Módulo Tópicos Adicioais Cotagem
Módulo Tópico Adicioais Cotagem 1 Exercícios Itrodutórios Exercício 1. De quatos modos podemos colocar 10 garotos e 10 garotas em uma fila de modo que pessoas do mesmo sexo ão fiquem jutas? Exercício. Seja E {a, b, c,..., x, y, z o alfabeto de 6 letras. Ecotre o úmero de palavras de 5 letras distitas que podem ser formadas de E de modo que a primeira e a última letra sejam vogais, e as três letras restates sejam cosoates. Exercício 3. De quatas maeiras podemos colocar um rei braco e outro preto em um tabuleiro de xadrez de modo que eles ão se ataquem? Exercício 4. Existem apeas 6 letras o alfabeto de ABC- DEFlâdia. Uma palavra é qualquer sequêcia de seis letras em que pelo meos duas delas são iguais. Quatas palavras tem o alfabeto de ABCDEFlâdia? Exercício 5. Um milhão de árvores cresceram em uma floresta. Sabe-se que cada árvore tem o máximo 600000 folhas. Prove que existem duas árvores a floresta com a mesma quatidade de folhas. Exercício 6. Em um país existem 0 cidades e quaisquer duas delas são ligadas por uma úica estrada. Quatas estradas existem? Exercício 7. Quatas diagoais existem em um polígoo covexo de lados? Exercício 8. O Código Morse usa palavras cotedo de 1 a 4 letras, as letras sedo poto e traço. João plaeja decorar todas as palavras que existem o código morse. Sabedo que ele leva um miuto para decorar cada palavra, quato tempo ele levará para decorar todas elas? Exercício 9. Em um cocurso há três cadidatos e cico examiadores, devedo cada examiador votar em um úico cadidato. De quatos modos os votos podem ser distribuídos? Exercício 10. Qual o úmero de fuções f : {1,, 3 {1,,..., estritamete crescetes? Exercício 11. Qual a quatidade de úmeros de 5 dígitos com todos os seus dígitos ímpares? Exercício 1. Cosidere m garotos e garotas arrajados em uma fila, ode m, N. Ecotre o úmero de maeiras de fazermos esses arrajos de modo que i) Não existem restrições. ii) Não existem garotos adjacetes (m + 1). iii) As garotas formam um um úico bloco. iv) Um garoto particular e uma garota particular têm que ser adjacetes. Exercício 13. Determie o úmero de fuções f : {1,,..., 1999 {000, 001, 00, 003 satisfazedo a codição de que f (1) + f () +... + f (1999) é ímpar. Exercício 14. Ecotre o úmero de triplas de cojutos (A, B, C) tais que A B C {1,,..., 003 e A B C. Exercício 15. Ecotre o úmero de quádruplas ordeadas (x 1, x, x 3, x 4 ) de iteiros positivos ímpares que satisfazem x 1 + x + x 3 + x 4 98. Exercício 16. Nove cadeiras em uma sala irão ser ocupadas por 6 estudates e 3 professores chamados de A, B e C. Os professores chegam ates dos aluos decidem escolher suas cadeiras de modo que cada um deles fique etre dois aluos. De quatas maeiras os três professores podem escolher seus lugares? Exercício 17. Nós chamamos um úmero de telefoe d 1 d d 3 d 4 d 5 d 6 d 7 de legal se o úmero d 1 d d 3 é igual a d 4 d 5 d 6 ou a d 5 d 6 d 7. Assuma que cada d i pode ser qualquer dígito de 0 a 9. Quatos telefoes legais existem? Exercício 18. O úmero 3 pode ser expresso como uma soma ordeada de uma ou mais iteiros positivos de 4 maeiras diferetes: 3, 1 +, + 1, 1 + 1 + 1. Mostre que todo iteiro pode ser expresso de exatamete 1 maeiras diferetes como soma de iteiros positivos. Exercícios de Fixação Exercício 19. Seja A {a 1, a,..., a. Para 0 r, uma r-permutação de A é o úmero de maeiras de arrajar quaisquer r elemetos de A em uma fila. Quado r, uma -permutação de A é simplesmete chamada de permutação. Esse úmero será deotado por P r. Já sabemos que o úmero de r-permutaões de um cojuto de elemetos é P r ( 1)( )... ( r + 1)! ( r)!. Observação: Por coveção, 0! 1. Veja que P 0 1 e P!. Sejam, r N com r. Prove cada uma das seguites idetidades: i) P r r P 1 r ode r <, ii) P +1 r P r + rp r 1, iii) P +1 r r! + r(p r 1 + P 1 r 1 +... + Pr r 1 ). Exercício 0. Em Brasilâdia existem apeas 9 casas muito distates etre si. É possível que cada casa esteja ligada a exatamete 7 outras casas através de estradas? Exercício 1. Cosidere um iteiro positivo a com mdc(a, 10) 1. (a) (b) Prove que existe um múltiplo de a com todos os seus dígitos iguais a 1. Prove que para qualquer atural, existe uma potêcia de a termiado em 000... 1. http://matematica.obmep.org.br/ 1 matematica@obmep.org.br
3 Exercícios de Aprofudameto e de Exames Exercício. Dois quadrados de um tabuleiro 7 7 são pitados de amarelo e o resto é pitado de verde. Dois esquemas de cores são equivaletes se um pode ser obtido do outro aplicado uma rotação o plao do tabuleiro. Quatos esquemas de cores ão equivaletes podemos obter? Exercício 3. Uma araha tem uma meia e um sapato para cada um de seus oito pés. De quatas maeiras diferetes a araha pode se calçar admitido que as 8 meias e os 8 sapatos são distitos e que cada meia precisa ser colocada ates do seu respectivo sapato? Exercício 4. Sejam X {1,,..., 100 e S {(a, b, c) a, b, c X, a < b e a < c. Ecotre #S. Exercício 5. Cosidere o cojuto M {1,,..., 1000000 e seu subcojuto A formado por todos os iteiros positivos da forma m + k 3 com m e também iteiros positivos. Quem tem mais elemetos: A ou M\A? Exercício 6. Prove usado argumetos combiatórios as seguites afirmações: (a) (b) (Relação de Stifel) ( ) ( ) + r r + 1 ( ) ( ) ( + + + 1 + 1 Exercício 7. que: ) ( ) + 1. r + 1 ( ) +. 1 Mostre usado um argumeto combiatório k i0 ( ) ( + i + k + 1 + 1 Exercício ( 8. ) Mostre ( ) usado um ( argumeto ) combiatório que: 1 + +... + 1 1 Exercício 9. que: ). Mostre usado um argumeto combiatório r ( ) ( + 1). r r1 Exercício 30. Duzetos estudates participaram de uma competição matemática. A prova possuía 6 problemas. Sabemos que cada problema foi resolvido corretamete por pelo meos 10 estudates. Prove que existem dois participates de modo que para qualquer problema, pelo meos um deles dois coseguiu uma solução correta. Exercício 31. Há tipos de doce a loja do Zé. Um dia, m amigos se jutam para comprarem k doces diferetes cada um. Cada tipo de doce é comprado por r dos amigos. Cada par de tipo de doces é escolhido por t amigos. Prove que: (i) mk r; (ii) r(k 1) t( 1). Exercício 3. a) João arrajou 13 palitos o formato de um cercado retagular 1 4 como mostrado a figura abaixo. Cada palito é o lado de um quadradiho 1 1 e o iterior de cada um destes quadradihos ele colocou uma formiga. Qual o úmero míimo de palitos que devemos remover para garatir que todas as 4 formigas cosigam fugir e retorar para os seus formigueiros? b) João agora arrajou 4 palitos o formato de um cercado quadrado 4 4 como mostrado a figura abaixo e o iterior de cada um destes quadradihos, ele colocou uma formiga. Qual o úmero míimo de palitos que devemos remover para garatir que todas as 9 formigas cosigam fugir e retorar para os seus formigueiros? Exercício 33. Uma ura cotém k bolas marcadas com k, para todo k 1,,..., 016. Qual é o úmero míimo de bolas que devemos retirar, sem reposição e sem olharmos as bolas, para termos certeza de que teremos 1 bolas com o mesmo úmero? Exercício 34. (a) Mostre que se escolhermos mais que iteiros do cojuto {1,,..., existirão dois iteiros a e b tais que um dividirá o outro. (b) Mostre que se escolhermos mais que iteiros do cojuto {1,,..., exitirá um par de iteiros primos etre si. Exercício 35. Dado um cojuto de pessoas, formam-se comitês compostos de r pessoas cada e de modo que dados quaisquer r + 1 comitês, existe pelo meos uma pessoa que está em todos esses comitês. Mostre que existem uma pessoa que está em todos os comitês. Exercício 36. Um quadrado Latio é um tabuleiro preechido com símbolos distitos de modo que em cada liha e em cada colua ão existam símbolos repetidos. Sabemos que existem 576 Quadrados Latios distitos de dimesões 4 4. De quatos modos podemos completar o quadrado abaixo, que já possui duas casas preechidas, com os algarismos 1,, 3 e 4 de modo que em cada liha e colua figurem os quatro algarismos? Exercício 37. Existem m miçagas de m cores distias, sedo duas de cada cor. Essas miçagas são distribuidas em http://matematica.obmep.org.br/ matematica@obmep.org.br
m caixas, com duas em cada caixa, de modo que é possível escolher uma miçaga em cada uma delas e obter um cojuto de m miçagas de cores distitas. Prove que o úmero de maeiras de fazermos esse tipo de escolha é ecessariamete uma potêcia de. Exercício 38. João trabalha vededo pacotes de previsão astrológica. Para icremetar as vedas de suas previsões, ele oferece descotos caso pessoas de um mesmo sigo queiram cotratar seus serviços. No Horóscopo Grego, como existem exatamete 1 sigos, ele sabe que em um grupo de 13 pessoas sempre duas delas terão o mesmo sigo e poderão se iteressar pelo pacote promocioal. a) Qual o úmero míimo de pessoas que um grupo deve possuir para ele ter certeza de que existirão pelo meos 3 pessoas de um mesmo sigo do Horóscopo Grego? b) No horóscopo Chiês, também existem exatamete 1 sigos. Se João quiser ter certeza de que, em determiado grupo de pessoas existirão duas possuido exatamete os mesmos sigos, tato o Horóscopo Grego quato o Horóscopo Chiês, qual o úmero míimo de pessoas que tal grupo deve ter? Exercício 39. Uma roleta circular possui 7 seções de igual tamaho e cada uma delas será pitada com uma detre duas cores. Duas colorações são cosideradas equivaletes se uma pode ser rotacioada para produzir a outra. De quatas maeiras a roleta pode ser pitada? http://matematica.obmep.org.br/ 3 matematica@obmep.org.br
Respostas e Soluções. 1. Cosiderado apeas o sexo de cada pessoa, existem duas distribuições possíveis para garatir a alterâcia, a saber, ou começamos com um garoto ou com uma garota e as posições restates ficam determiadas. Feita essa escolha, existem 10! possíveis distribuições dos garotos e, para cada uma dessas distribuições, existem 10! distribuições das garotas. Assim, pelo Pricípio Multiplicativo, existem 10! 10! escolhas.. Podemos escolher as vogais (em ordem) de 5 4 formas e escolher as cosoates (em ordem) de 1 0 19 maeiras. Assim, o úmero de palavras é 5 4 1 0 19 159600. 3. Um rei ao ser colocado o tabuleiro, além de ocupar uma casa, ameça uma certa quatidade de quadradihos que depede da posição em que ele é iserido. Se o rei é colocado em um dos 4 catos, ele ameça 3 outras casas e assim restam 64 3 1 60 posições possíveis para o outro rei. Se ele é colocado em algum quadradiho o bordo que ão é um dos catos, ele ameaça 5 outras casas e assim restam 64 5 1 48 posições possíveis para o outro rei. Fialmete, se o rei é colocado o tabuleiro 6 6, que forma o iterior do tabuleiro 8 8, ele ameaça 8 outras casas e assim restam 64 8 1 53 posições possíveis para o outro rei. Existem, respectivamete, 4, 4 e 36 casas os catos, o bordo e o iterior do tabuleiro. Portato, o total de maeiras de colocarmos o rei braco e posteriormete o rei preto o tabuleiro é 4 60 + 4 48 + 36 53. 4. Se ão cosiderarmos a restrição das duas letras iguais, pelo Pricípio Multiplicativo existem 6 6 palavras com seis letras. Destas, 6 5 4 3 1 10 possuem todas as letras distitas. Portato, existem 6 6 10 palavras de seis letras com pelo meos duas letras iguais. 5. Como existem mais árvores do que o úmero de possibilidades de folhas, pelo Pricipío da Casa dos Pombos, pelo meos duas delas terão a mesma quatidade de folhas. 6. Cada escolha de duas cidades correspode a uma úica estrada. Existem ( 0 ) 190 estradas. 7. Cada diagoal do polígoo pode ser associado a uma escolha de dois vértices que ão são vizihos. Existem ( ) pares de vértices e pares de vértices vizihos. Portato, existem ( ( 3) ) diagoais. 8. Fixado o úmero de letras de uma palavra, existem maeiras de escolhermos as letras de cada uma de suas posições. Como ehuma palavra do Código Morse possui mais de 4 letras, o total de palavras é 1 + + 3 + 4 30. 9. As escolhas dos examiadores podem ser simbolizadas por uma 5-upla da forma (a 1, a, a 3, a 4, a 5 ) em que cada a i é um detre três símbolos, associados aos três cadidatos. Como cada a i pode ser escolhido de 3 formas, existem 3 5 distribuições de votos. 10. Primeira Solução: Como as images são elemetos distitos de {1,,...,, basta escolhermos ( ) três elemetos quaisquer, que pode ser feito de formas, e associar o 3 meor deles como imagem de 1, o segudo meor como imagem de e o terceiro meor como imagem de 3. Isso garatirá que a fução é crescete. Seguda Solução: Cosideremos a tripla ( f (a), f (b), f (c)). Como a fução é crescete, sabemos que os seus elemetos são distitos e que f (a) < f (b) < f (c). Para cotar a quatidade de tais triplas, escolha o valor de f (a) de maeiras, o valor de f (b) de 1 maeiras, pois ão podemos repetir o valor já escolhido para f (a) e, fialmete, escolha f (c) de maeiras. As escolhas podem ser agrupadas em cojutos de 3! 6 triplas cotedo o mesmo cojuto de elemetos { f (a), f (b), f (c). Em cada um desses agrupametos de triplas, apeas um de seus elemetos satisfaz a codição f (a) < f (b) < f (c). Portato, o cojuto de fuções é igual ao cojuto ( ) de agrupametos de triplas, ou ( 1)( ) seja,. 6 3 11. O cojuto A {1, 3, 5, 7, 9 cotém todos os dígitos ímpares. Escolheremos os dígitos do úmero a 1 a a 3 a 4 a 5 da esquerda para a direita. Para cada dígito, temos 5 opções. Assim, pelo Pricípio Multiplicativo, teremos 5 5 5 5 5 5 5 iteiros. 1. i) Com m + pessoas, existem (m + )! permutações. ii) Podemos dispor as garotas de! formas. Uma vez que a ordem delas esteja defiido, podemos escolher as posições dos garotos os + 1 espaços defiidos etre elas e os seus extremos. Isso pode ser feito de ( + 1) ( 1) ( )... ( m + ) ( + 1)!. A ordem etre os garotos para ocupar ( m + 1)! uma das escolhas de posições pode ser defiida de m! formas. Portato, o úmero de disposições é ( + 1)!! ( m + 1)! m!. iii) Se as garotas formam um bloco, podemos cosiderála mometaeamete como uma úica pessoa X. Essa pessoa e os m garotos podem ser dispostos em fila de (m + 1)! formas. A pessoa X pode ser trocada pela lista de garotas de! formas, pois esse é o úmero de permutações dessas pessoas. Portato o úmero procurado é m! ( + 1)!. iv) Esse garoto e essa garota podem ser uificados e formar uma úica pessoa chamada Y. Podemos arrajar Y e as outras m + pessoas de (m + 1)!. As pessoas que formam Y pode ser arrajadas de duas formas a fila. Portato, existem (m + 1)! permutações em que essas duas pessoas estão jutas. Assim, exsitem (m + )! (m + 1)! permutações em que essas duas pessoas ão estão jutas. http://matematica.obmep.org.br/ 4 matematica@obmep.org.br
13. Podemos escolher os valores de f (1), f (),..., f (1998) de 4 1998 formas. Uma vez que eles teham sido escolhidos e que saibamos a paridade de f (1) + f () +... + f (1998) existem apeas duas opções possíveis em {000, 001, 00, 003 para o valor de f (1999) de modo que a soma seja ímpar. Portato, existem 4 1998 fuções possíveis. 14. Cada tripla pode ser codificada com uma pitura dos iteiros do cojuto {1,,..., 003 com símbolos do cojuto {A, B, C, AB, AC, BC. Se um iteiro for pitado com o símbolo BC, isso sigifica que ele deve ser colocado apeas os cojutos B e C e se ele for pitado com a cor A ele deve ser colocado apeas o cojuto A. Os outros símbolos são iterpretados de forma aáloga. Com esses símbolos, cada iteiro será iserido em pelo meos um dos três cojutos e ehum elemeto estará a iterseção dos três. Isso garate as codições do euciado. Como cada iteiro pode receber um detre os 6 símbolos, existem 6 003 triplas. 15. Como x i é ímpar, podemos escrevê-lo como x i y i + 1, com y i 0. Assim, x 1 + x + x 3 + x 4 98 (y 1 + 1) + (y + 1) + (y 3 + 1) + (y 4 + 1) 98 y 1 + y + y 3 + y 4 47. O úmero de soluções dessa equação é igual ao úmero de disposições de 47 bolas e 4 1 3 barras em liha. Portato, o úmero de soluções é ( 47+3 3 ). 16. Dada uma fila de 6 cadeiras que serão ocupadas por aluos, existem 5 espaços etre elas e em cada um deles pode ficar o máximo um professor. Podemos etão escolher as posições dos três professores de 5 4 3 60 maeiras. 17. Se d 1 d d 3 é simultaeamete igual a d 4 d 5 d 6 e d 5 d 6 d 7, etão todos os dígitos são iguais. Para cotar o úmero de telefoes com d 1 d d 3 é igual a d 4 d 5 d 6, basta escolhermos d 1 d d 3 de 10 3 maeiras e o valor de d 7 de 10 maeiras. Portato, existem 10 4 telefoes com d 1 d d 3 igual a d 4 d 5 d 6. Aalogamete, existem 10 4 úmeros telefoes com d 1 d d 3 igual a d 5 d 6 d 7. Descotado os úmeros de telefoes que estão em ambos os grupos, temos 10 4 10 úmeros de telefoe legais. 18. Cosidere uma sequêcia de úmeros 1 s com espaços etre eles como idicado a figura abaixo: 19. (a) (b) (c) Temos Temos P +1 r P r! ( r)! r ( 1)! ( r 1)! r P 1 r ( + 1)! ( + 1 r)! [( + 1 r) + r]! ( + 1 r)! ( + 1 r)! r! + ( + 1 r)! ( + 1 r)!! ( r)! + r! ( + 1 r)! P r + rp r 1. Pelo item aterior, temos Pr +1 P r + rpr 1 P r P 1 r + rpr 1 1 P 1 r P r + rpr 1... P r+ r Pr r+1 + rp r+1 P r+1 r Pr r + rpr 1 r r 1 Somado as equações e cacelado os termos que aparecem em ambos os membros, temos P +1 r r! + r(p r 1 + P 1 r 1 +... + Pr r 1 ). 0. Não é possível. Some a quatidade de estradas que saem de cada casa. Facilmete obtemos 7 9 63 estradas. Como cada estrada liga duas cidades, a cotagem que fizemos cotou cada estrada exatamete duas vezes. Logo, o úmero obtido tem que ser par e isso claramete etra em cotradição com o valor 63 obtido a primeira cotagem. 1. (1...1...1.........1...1...). Cada um desses 1 espaços será preechido com ) + ( ou +. Um preechimeto correspode a uma escrita ordeada de como soma de iteiros positivos. Por exemplo, se 4, o preechimeto de (...1...1...1...1...) da forma (1 + 1) + (1) + (1) sigifica a soma ordeada + 1 + 1. Existem 1 preechimetos e, cosequetemete, 1 somas ordeadas em iteiros positivos. (a) Cosidere a lista de iteiros x 1 1 x 11 x 3 111... x a 111... 11 a vezes x a+1 111... 11 a+1 vezes http://matematica.obmep.org.br/ 5 matematica@obmep.org.br
(b) Como existem apeas a restos a divisão por a e lista aterior possui a + 1 úmeros, pelo meos dois deles, digamos x i e x j, possuem o mesmo resto. Daí, x i x j 111... 11 10 j é múltiplo de a. como mdc(a, 10) 1, i j vezes segue que 111... 11 é múltiplo de a. i j vezes Cosidere as potêcias a k com k 1. Como a quatidade restos a divisão por 10 é fiita e a quatidade de potêcias é ifiita, existem duas delas com o mesmo resto a divisão por 10, digamos a i e a j. Daí a i a j a j (a i j 1) é múltiplo de 10. Como mdc(a, 10) 1, segue que a i j 1 é multiplo de 10, ou seja, a i j termia em 000... 1.. (Extraído da AIME 1996) Como o tabuleiro possui 7 7 49 quadrados, existem ( 49 ) 1176 maeiras de escolhermos dois deles para receberem a cor amarela. Quado eles ão são diametralmete opostos, podemos rotacioá-los em 90 três vezes e obter cofigurações que geram esquemas equivaletes. Para cotarmos os pares de quadrados diametralmete opostos, escolha um quadrado distito do cetro de 49 1 formas. O outro quadrado está completamete determiado por essa escolha. Etretato, como a ordem de escolha etre eles é irrelevate, o total de pares é 49 1 4. Cada um desses 4 esquemas pode ser rotacioado uma vez por 180 gerado outro equivalete. Portato, o úmero de esquemas é 1176 4 + 4 4 300 3. (Extraído da AMC) Se simbolizarmos as meias por {m 1, m,..., m 8 e os sapatos por {s 1, s,..., s 8, podemos iterpretar cada palavra com essas 16 letras como uma ordem de usos desses objetos. Por exemplo, a palavra m 1 m s 1 s s 3 s 4 m 5... s 8 idica que a araha colocará iicialmete a meia m 1, depois a meia m, o sapato s 1, o sapato s etc. Existem 16! permutações desses 16 símbolos. Por simetria, em metade deles, o símbolo m 1 vem ates do s 1 e a outra metade ocorre o cotrário. Dessa metade em que m 1 vem ates de s 1, em metade deles o símbolo m vem ates de s. Repetido esse argumeto, podemos cocluir que existem 16! 8 sequêcias em que o símbolo m i vem ates de s i para todo i. Esse é o úmero procurado. 4. Como a < b a {1,,..., 99. Se a k etão temos 100 k possibilidades para b e c. Assim, pelo Pricipío Multiplicativo, o úmero de teros (k, b, c) é (10 k). Variado k podemos ecotrar #S 99 + 98 +... + 1 38350 1. 1 Estamos usado ( + 1)( + 1) a cohecida fórmula 1 + +... + 6 5. Como m e k são iteiros positivos e m + k 3 10 6, existem o máximo 10 3 possibilidades para m e 10 possibilidades para k. Assim, o cojuto A possui meos que 10 3 10 10 5 elemetos, pois em todos os pares (m, k) com 1 m 10 3 e 1 k 10 satisfazem m + k 3 10 6. Por exemplo, (m, k) (10 3, 10 ) ão satisfaz isso. Assim, o complemetar de A possui mais que 10 6 10 5 9 10 5 elemetos. Como 10 5 < 9 10 5, segue que o complemetar de M\A possui mais elemetos que A. 6. (a) (b) O lado direito cota o úmero de maeiras de escolhermos r + 1 pessoas em um grupo de + 1. Podemos dividir essas escolhas em dois grupos: aquelas que cotém um certo idivíduo previamete destacado (( r )) e aquelas que ão o cotém (( r+1 )). O lado esquerdo cota o úmero de maeiras de escolhermos + 1 pessoas o grupo da + pessoas que estão comemorado o aiverário da Aa e do joão. Essas escolhas se dividem em três grupos, aquelas que ão cotém Aa e João (( +1 um dos dois (( )), aquelas que cotém apeas )) e aquelas que cotém ambos (( 1 )). 7. Supoha que exista uma fila de + 1 + k pessoas. As primeiras k + 1 pessoas são c 0, c 1,..., c k e estão ordeadas pelas suas alturas. O lado direito cota o úmero de maeiras de escolhermos + 1 pessoas esse grupo. Certamete precisaremos escolher alguém do cojuto {c 0, c 1,..., c k C. Seja C i o cojuto das escolhas em que o meor elemeto de C escolhido é c i. Qualquer escolha faz parte de algum desses C i s. Para calcular o úmero de elemetos de C i, veja que c i deve fazer parte dessa escolha e os outros elemetos devem ser escolhidos detre os elemetos posteriores a c i, i.e., temos + k + 1 i cadidatos. Logo, ( ) + k + 1 + 1 k C i i0 k i0 ( + i 8. Vamos cotar o úmero de maeiras de escolhermos algumas criaças para passearem e, além disso, uma delas para gahar um sorvete. Como a criaça que gahará o sorvete certamete estará o passeio, podemos começar escolhedo-a. Podemos fazer isso de maeiras. Das criaças que restaram, devemos escolher algum subcojuto para acompahar a primeira criaça, podemos fazer isso de 1 maeiras, isso os dá o lado direito. Por outro lado, para cada k 1, podemos escolher k criaças ( ( k )) e, posteriormete, podemos escolher uma delas para gahar o sorvete de k maeiras. A soma sobre todos os k, cotará todos os cojutos, como está escrito o lado esquerdo. 9. Vamos costruir uma situação semelhate ao problema aterior, sedo que agora seremos mais bodosos, além de escolher uma criaça para gahar um sorvete também escolheremos uma criaça para gahar um caramelo (a criaça pode ser a mesma). O lado esquerdo cota essas escolhas como o problema aterior. Agora queremos cotar o úmero de maeiras de primeiro escolhermos as criaças que vão receber as guloseimas e depois aquelas que irão acompahá-las. ). http://matematica.obmep.org.br/ 6 matematica@obmep.org.br
Se essas duas criaças são diferetes, temos ( 1) escolhas. Se essas criaças são iguais, temos 1 escolhas. Agora basta ver que: ( 1) + 1 ( + 1). 30. Façamos um tabuleiro 00 6 represetado o resultado dos estudates. Cada liha represetará um estudate e cada problema resolvido pelo estudate i será marcado com o úmero 1 a tabela. Caso o problema ão teha sido resolvido, marcaremos o úmero zero. Pesemos iicialmete em casos extremais. O que acotece se um estudate resolveu os seis problemas? Basta escolhermos um estudate qualquer e a dupla desejada estará formada. Se um estudate resolveu 5 problemas, também podemos obter facilmete ossa dupla. E se um estudate tiver resolvido exatamete 4 problemas? Supoha, sem perda de geeralidade, que ele ão resolveu os problemas 5 e 6. Sabemos que pelo meos 10 pessoas resolveram o problema 5. Se ehuma delas tiver resolvido o problema 6, saberemos que o máximo 80 pessoas o resolveram. Mas isso cotradiz o euciado e assim temos certeza que pelo meos uma pessoa resolveu ambos os problemas. Resta mostrar que esse tipo de situação sempre acotece, i.e., existe alguém que resolveu pelo meos 4 problemas. Agora usaremos a cotagem dupla. A soma dos úmero das coluas é pelo meos 6 10 70. Como existem 00 lihas, pelo meos uma delas terá soma 70 00 > 3, ou seja, pelo meos uma liha terá 4 úmeros 1 s. 31. O úmero de doces levados da loja é mk. Como cada doce é levado por r amigos, esse úmero também é r. Quatos pares de doces são levados? Pela última iformação do euciado, esse úmero é t( r ). Por outro lado, cada amigo leva ( k ) pares de doces, logo: ( ) ( ) r k t m r(r 1) k(k 1) t m r(r 1) r(k 1) t r(k 1) t( 1) 3. a) É possível libertarmos todas as formigas removedo 4 palitos como idica a figura a seguir. Como cada palito é compartilhado por o máximo dois quadrados e cada quadrado deve possuir pelo meos uma lateral aberta para que a formiga em seu iterior possa fugir, para usarmos 3 ou meos palitos, somos obrigados a remover pelo meos um palito do iterior que é lateral de dois quadrados. A remoção de um destes palitos aglutia o iterior de dois quadradihos um compartimeto maior e, do poto de vista prático, trasforma o problema de libertar 4 formigas em um cercado 1 4 o problema de libertarmos 3 formigas em um cercado 1 3. Se é possível removermos 3 ou meos o cercado 1 4, também deve ser possível libertarmos as formigas de um 1 3 usado ou meos palitos. Pelo mesmo argumeto iicial, isto os força a remover pelo meos um palito iterior e assim, o problema é ovamete trasformado em libertarmos duas formigas em um cercado 1 removedo apeas um palito. Isto é claramete impossível, tato removedo o úico palito iterior como um palito do bordo de tal cercado. Logo, o míimo de palitos que devem ser removidos este caso é 4. b) É possível libertarmos todas as formigas removedo 9 palitos como idica o exemplo da esquerda da figura a seguir Durate a retirada sucessiva de palitos para a libertação das formigas, chamemos em qualquer mometo por compartimeto qualquer liha poligoal fechada de palitos sem possuir em seu iterior uma outra liha poligoal fechada de palitos. Por exemplo, a figura da direita acima, ode foram removidos 6 palitos, temos 3 compartimetos idicados por três tipos de preechimetos distitos. Veja que a remoção de um palito dimiui o úmero de compartimetos em o máximo uma uidade. Portato, como temos iicialmete 9 compartimetos e queremos que o fial ehuma formiga fique presa em qualquer tipo de compartimeto, devemos remover pelo meos 9 palitos. 33. Solução: Somemos a maior quatidade de bolas que podem ser retiradas de cada tipo sem que obtehamos 1 bolas de cada cor: 1 + + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 + 10 + 11 + 11 + 11 +... + 11 11. 005 vezes Assim, é possível que tehamos azar e retiremos tal quatidade de bolas sem obtermos 1 bolas de cada cor. Etretato, se retirarmos 1 bolas, certamete teremos 1 bolas de uma mesma cor, pois a soma aterior cota exatamete o máximo de bolas que podem ser retiradas sem que isto ocorra. Logo, o míimo buscado é 1. 34. a) Todo atural m pode ser escrito a forma m a b ode b é impar( a é a maior potêcia de que divide m e b é parte ímpar de m). Existem úmeros ímpares o cojuto {1,, 3,...,, logo, existem o máximo partes impares distitas. Como iremos escolher + 1 úmeros, pelo http://matematica.obmep.org.br/ 7 matematica@obmep.org.br
Pricípio da Casa dos Pombos, iremos escolher dois com a mesma parte ímpar. Assim um dividirá o outro. b) Podemos dividir os úmeros do osso cojuto em pares : (1, ), (3, 4),..., ( 1, ). Como devemos escolher + 1 úmeros, pelo Pricípio da Casa dos Pombos, pelo meos em um par deveremos escolher seus dois elemetos. Como esses úmeros são cosecutivos, eles serão primos etre si. 35. Cosidere um comitê qualquer chamado de C {p 1, p, p 3,..., p r. Supoha, por absurdo, que ehuma dessas pessoas está em todos os comitês. Etão, para cada pessoa p i, existe um comitê C i do qual p i ão faz parte. O cojuto dos r + 1 comitês {C, C 1, C,..., C r cotradiz a iformação do euciado, pois ehuma pessoa está em todos eles. Esse absurdo mostra que existe uma pessoa em todos os comitês. 36. Observe que dado um Quadrado Latio, quado trocamos todas as casas de um símbolo pelas casas de outro, aida obtemos outro Quadrado Latio. No exemplo dado o euciado, ao trocarmos as casas de úmero 1 e de posição, obtemos: Isso os permite costruir uma correspodêcia biuívoca etre todos os Quadrados Latios que possuem o cato superior esquerdo um símbolo em {1,, 3, 4 e todos os outros Quadrados Latios com outro símbolo o mesmo cojuto. Daí, em 1/4 do total de Quadrados Latios 4 4 deve possuir o algarismo 1 a casa do cato superior esquerdo. Detre esses quadrados, qualquer permutação etre os símbolos de {, 3, 4 aida irá gerar um quadrado ode a casa do cato superior esquerdo tem o símbolo 1. 37. Ates de descrevermos a solução para o caso geral, cosidere o caso particular com m 5, em que as cores das miçagas serão deotadas por A, B, C, D e E, com as seguites distribuições de caixas: C 1 C C 3 C 4 C 5 A, B B, C C, A D, E D, E. Cotemos agora o úmero de escolhas de miçagas, uma de cada caixa, de modo que todas as escolhidas sejam de cores distitas. Aalisado as duas últimas caixas, se escolhermos uma cor em C 4, somos forçados a escolher a outra cor em C 5. Essas escolhas ão iterferem as escolhas das cores das primeiras caixas. Se escolhermos A em C 1, somos obrigados a escolher B em C e C em C 3. Por outro lado, se escolhermos B em C 1, temos que escolher C em C e A em C 3. Ou seja, existem escolhas para as cores retiradas das três primeiras caixas e para as das duas últimas. Essas 4 escolhas totalizam o úmero de maeiras de escolhermos 5 miçagas distitas esse exemplo particular. Para o caso geral, cosidere uma caixa geérica, que chamaremos de C 1 e deote por m 1 a cor de uma de suas miçagas. Em seguida, escolha uma outra caixa, que chamaremos de C, cotedo uma miçaga de uma cor, que chamaremos de m, presete em C 1, mas distita da cor m 1. Escolha agora um caixa C 3 cotedo uma miçaga de cor m 3 presete em C, mas diferete de m. Cotiue esse processo até, evetualmete, obtermos para algum l que C l C 1. Isso se traduz a seguite distribuição: C 1 C C 3... C l 1 m 1, m m, m 3 m 3, m 4... m l 1, m 1. Perceba que qualquer uma das duas escolhas possíveis das cores escolhidas da caixa C 1 determia uicamete quais miçagas devem ser escolhidas as outras caixas do ciclo aterior para que as cores permaeçam distitas. Se aida existirem caixas fora deste ciclo, podemos repetir o processo descrito ateriormete e agrupá-las em ciclos. Para cada um deles, existirão apeas duas maeiras de selecioarmos suas miçagas de modo que as cores sejam todas distitas. Como as escolhas esses ciclos são idepedetes, se k é o úmero deles, o total de escolhas de miçagas de cores diferetes é k. 38. Portato, em um terço dessas cofigurações o algarismo se ecotra a posição X, em outro terço a posição Y e o último terço a posição Z dos quadrados da primeira liha da figura aterior. Logo, o total de Quadrados Latios procurados é 1 4 1 576 48. 3 a) O míimo é 5. Se em um grupo de 4 pessoas cada sigo aparecer o máximo duas vezes, teremos o máximo 1 4 pessoas. Como 4 < 5, isso mostra que pelo meos um dos sigos deverá aparecer três vezes. De fato, esse é o míimo ode tal propriedade ocorre pois se cosiderarmos 4 pessoas divididas em 1 pares com o mesmo sigo, a propriedade do euciado ão será ecotrada. http://matematica.obmep.org.br/ 8 matematica@obmep.org.br
b) O úmero míimo é 1 1 + 1 145. Veja que existem o máximo 1 1 144 pares de combiações possíveis etre sigos Gregos e Chieses. Se escolhermos 145 pessoas e as dividirmos de acordo com esses pares, pelo meos um deles deverá ser usado duas vezes. Não é possível cocluirmos isso com meos de 145, pois é possível 144 pessoas apresetarem todos os pares possíveis de combiações sem repetições. 39. (Extraído do Mathcouts 013) Existem 7 preechimetos das 7 seções com duas cores. Cada uma desses preechimetos pode ser rotacioado de 6 formas e gerar outros 6 preechimetos equivaletes. Esses preechimetos obtidos por rotação serão distitos se em todas as cores escolhidas forem a mesma. Só existem duas pituras em que todas as seções possuem a mesma cor. Portato, o total de pituras ão equivaletes é 7 7 +. Produzido por Arquimedes Curso de Esio cotato@cursoarquimedes.com http://matematica.obmep.org.br/ 9 matematica@obmep.org.br