Notas de aula de Probabilidade Avançada

Notas de aula de Probabilidade Avaçada Adilso Simois (professor) Tássio Naia dos Satos (aluo) primeiro semestre de 2012 compilado 2 de abril de 2012 Notas de aula de Tássio Naia dos Satos, aluo do curso miistrado pelo professor doutor Adilso Simois. Os erros são meus (Tássio). O curso segue o livro Probability ad Measure de Patrick Billigsley. Este é um trabalho em progresso. Quaisquer icosistêcias, icorreções, sugestões, fique à votade para me 1 escrever! 1 Meu email é tassio@ime.usp.br. 1

Sumário Sumário 2 1 Programa 3 2 Espaços de Probabilidade 5 2.1 Vamos estudar a uicidade da extesão........ 15 3 Covergêcia de Variáveis Aleatórias 30 2

Capítulo 1 Programa Sete de março de 2012 e questões burocráticas. Nesta aula vimos o programa do curso Estudaremos a formalização de espaços de probabilidade, o teorema cetral do limite e medidas Lebesgue-Stewltjes. Extesões sair de um certo domíio para outro maior ; medidas de probabilidade de modo geral, itegração, esperaça e teoremas de covergêcia; medidas-produto e o teorema de Fubii; idepedêcia, o teorema da extesão de Kolmogorov, o teorema de Rackou-Nikodym e a esperaça codicioal. 1 - ) Espaços de Probabilidade a - ) Medidas de Lebesgue-Stieltjes e o Teorema da Extesão de Carathédory b - ) Medidas de Probabilidade e Variáveis Aleatórias c - ) Itegração, Esperaça, Teoremas de Covergêcia d - ) Medidas Produto, Teorema de Fubii e - ) Idepedêcia 3

CAPÍTULO 1. PROGRAMA 4 f - ) Teorema de Extesão de Kolmogorov g - ) Teorema de Rado-Nikodym e Esperaça Codicioal 2 - ) Leis dos Grades Números a - ) Covergêcia em Probabilidade e Covergêcia Quase-certa b - ) Lei Fraca dos Grades Números c - ) Lemas de Borel-Catelli d - ) Lei Forte dos Grades Números 3 - ) Teorema Cetral do Limite a - ) Covergêcia em Distribuição b - ) Fuções Características c - ) TCL para variáveis aleatórias i.i.d. d - ) TCL para Arrajos Triagulares

Capítulo 2 Espaços de Probabilidade Nove de março de 2012 Defiição de álgebra, σ-álgebra, espaço de Borel, medida de probabilidade e espaço de probabilidade. Cosidere Ω um cojuto arbitrário ão-vazio (Ω será dito o espaço amostral do experimeto aleatório), e F uma classe de subcojutos de Ω. F é dita uma álgebra de subcojutos de Ω se Ω F, se é fechada por complemetação e por uiões fiitas de cojutos de F. Isto é F é uma álgebra se 1) Ω F, 2) A F A c F, 3) A, B F A B F. Observação: Se vale 1, e 2, temos que 3 é equivalete a (= suficiete e ecessário) A, B F A B F. 5

CAPÍTULO 2. ESPAÇOS DE PROBABILIDADE 6 Para verificar, lembre das operações de De Morga 1 : (A B) c = A c B c e (A B) c = A c B c F, classe de subcojutos de Ω, é dita uma σ-álgebra se ela for uma álgebra fechada por uiões eumeráveis de subcojutos de F. Isto é, F é σ-álgebra de Ω se: 1) Ω F, 2) A F A c F, e 3) A 1, A 2,... F =1 A i F. Observação: Um cojuto A F é dito F-mesurável. Observação: Defiimos P(Ω) ( partes de Ω ) como o cojuto de todos os subcojutos de Ω (também deotado 2 Ω ). As P(Ω) sempre são σ-álgebras. Além disso, F 0 = {, Ω} é a σ-álgebra trivial, com cardialidade F 0 = 2, e se A F, etão F A = {, A, A c, Ω} é dito traço de A. Temos F 0 F A P(Ω). Exemplo: Ω = (0, 1], e 0 < a b 1; e seja I = (a, b] = b a. Cosidere cojutos A = i=1(a i, b i ] = i=1 I i ode os itervalos I i são disjutos e cotidos em Ω = (0, 1]. Essa é uma classe fechada por uiões fiitas de cojutos disjutos de (0, 1]. Icluido o cojuto vazio, esta classe, digamos B 0, é uma álgebra. 1 Augustus De Morga, iglês ascido em Madurai, a Ídia, em 1806.

CAPÍTULO 2. ESPAÇOS DE PROBABILIDADE 7 Prova: Mostramos que B 0 satisfaz 1): Ω B 0. Para 2), seja A = (a 1, a 1 ] (a 2, a 2 ] (a, a ] com a 1 a 2 a. Se os (a i, a i ] são disjutos, etão A c = (0, a 1 ] (a 1, a 2] (a 1, a ] B 0 (algus destes itervalos podem ser vazios). Fialmete, se B = (b 1, b 1 ] (b 2, b 2 ] (b m, b m] disjutos etão m A B = {(a i, 1 i ] (b i, b i ]} i=1 j=1 ode cada parcela é um itervalo disjuto ou vazio, e a uião é uma uião fiita. Sedo assim, B 0 é uma álgebra de subcojutos de (0, 1]. E B 0 ão é uma σ-álgebra. Prova: (x 1 =1, x] = {x} B 0. Defiição: Para uma classe A de subcojutos de Ω, defiimos σ(a) como a meor (em termos de estar cotido ) σ-álgebra que cotém A. É dita a σ-álgebra gerada por A. Em outras palavras, σ(a) é por defiição a iterseção de todas as σ-álgebras que cotém A. Nota: A uião de σ-álgebras ão é, em geral, uma σ-álgebra. Observação: 1) A σ(a), 2) σ(a) é uma σ-álgebra,

CAPÍTULO 2. ESPAÇOS DE PROBABILIDADE 8 3) se A G, e G é σ-álgebra, etão σ(a) G, 4) se F é σ-álgebra, etão σ(f) = F, 5) se A A, etão σ(a) σ(a ), 6) A A σ(a) implica σ(a ) = σ(a). (Verificar.) Exemplo: Cosidere Ω = (0, 1] e defia A como a classe formada por itervalos de Ω. Seja B = σ(a). Observe que A B 0 σ(a) B = σ(b 0 ). B é dita a σ-álgebra de Borel, e B B é um Boreliao. Veremos que B ão cotém todos os subcojutos de Ω!!! 2 Defiição: Uma fução de cojutos é uma fução real (com valor em R) defiida em alguma classe de subcojutos de Ω. Defiição: Uma fução de cojutos P defiida em uma álgebra F é uma medida de probabilidade se 1) 0 P (A) 1, para A F, 2) P ( ) = 0, e 3) se A 1, A 2,... são cojutos disjutos F-mesuráveis, e se vale i=1 A i F etão P ( i=1 A i ) = i=1 P (A i ). Observação: A codição 3) diz que P é eumeravelmete aditivo. 2 A cardialidade de B é maior que a da reta supera ℵ 0.

CAPÍTULO 2. ESPAÇOS DE PROBABILIDADE 9 Observação: Se A 1, A 2,..., A são F-cojutos disjutos, etão i=1 A i F. Colocado A +1 = A +2 =... =, temos que P ( i=1 A i ) = P ( i=1), ou seja, é fiitamete aditiva. B L P(Ω) Quatorze de março de 2012 Provamos que a extesão de uma medida de probabilidade de uma álgebra para uma σ-álgebra é possível, preservado os valores da medida os potos da álgebra. O passo seguite é demostrar que essa extesão é úica. Exemplo: Ω = (0, 1], B 0 itervalos que são uiões fiitas de itervalos disjutos, A B 0, A Ω se A = i=1 I i = i=1 (a i, b i ]. Defia P (A) = i=1 I i = i=1(b i a i ), A B 0. Iremos provar que P (A) é eumeravelmete aditiva, mais tarde. Defiição: Se F é ima σ-álgebra em Ω, P uma medida em F, etão a trica (Ω, F, P) é dita um espaço de probabilidade. Defiição: Um suporte de P é qualquer cojuto A, F-mesurável, tal que P (A) = 1. Observação: Cosidere P uma medida de probabilidade em uma álgebra F, e A B, etão P (A) P (B). (Moótoa.)

CAPÍTULO 2. ESPAÇOS DE PROBABILIDADE 10 A B Figura 2.1: Diagrama de Ve: A B. Prova: Ideia: vide 2.1). Podemos decompor o cojuto B em B = (B A c ) A = (B A) A. Portato, P (B) = P (B A)+P (A) P (A). Além disso, P (B A) = P (B) P (A). Também, tomado B = Ω, segue que P (A c ) = 1 P (A). Teorema 1: Se P é medida de probabilidade em uma álgebra F, etão i) {A 1} F, A F, e A A (ou seja, para todo 1 vale A A +1 ) etão P (lim A ) = lim P (A ). ii) {A 1}, A F, e A A etão P (A ) P (A). iii) {A 1} e k=1 A k F, etão P [ A k ] P (A k ) k=1 k=1 (eumeravelmete sub-aditivo). Prova:

CAPÍTULO 2. ESPAÇOS DE PROBABILIDADE 11 i) Temos que mostrar que P (A ) P (A). Sejam B 1 = A 1, B k = A k A c k 1. A 1 A 2 B k são disjutos, e A = =1 A = =1 B k. Além disso, A = k=1 B k. Segue que P ( =1 A ) = P (A) = P ( k=1 B k ) = =1 P (B k ) = lim k=1 P (B k ) = lim P ( k=1 B k ) = lim P (A ) ii) A A, etão A c A c e portato 1 P (A ) 1 P (A). iii) Seja B 1 = A 1 e B k = A k A c k 1 A c 1. Os {B k k 1} são disjutos. Além disso, k=1 A k = k=1 B k. Segue que P ( k=1 A k ) = k=1 P (B k ). Como P (B k ) P (A k ), temos que P ( k=1 A k ) k=1 P (A k ) (desigualdade de Boole). Segue que P ( k=1 A k ) k=1 P (A k ). Aplicado a parte i do teorema, o resultado segue. Cosidere P uma medida de probabilidade em uma álgebra F 0 de subcojutos de Ω e defia F = σ(f 0 ). Vamos mostrar que existe uma medida de probabilidade Q em F tal que Q(A) é igual a P (A), para todo A F 0. Iremos mostrar também que se Q é outra medida de probabilidade em F, tal que Q (A) = P (A), A F, etão Q (A) = Q(A) para A F 0.

CAPÍTULO 2. ESPAÇOS DE PROBABILIDADE 12 Defiição: Para A Ω, defiimos sua medida exterior por P (A) = if P (A ) ode o ífimo é tomado sobre todas as sequêcias, fiitas ou ifiitas, A 1, A 2,... de cojutos F 0 -mesuráveis satisfazedo A A. (O ífimo está bem defiido porque sempre existe ífimo de uma sequêcia de úmeros reais; e o somatório está defiido porque os A estão em uma álgebra.) Defiição: Para A Ω, defiimos a medida iterior por P (A) = 1 P (A c ). Note que as medidas são iguais quado P (A) + P (A c ) = 1. Defiição: Um cojuto A Ω é dito P -mesurável se para todo E Ω. P (A E) + P (A c E) = P (E), Seja M a classe defiida por M = {A P (A E) + P (A c E) = P (E), E Ω} (Verificar.) 1) P ( ) = 0, = {A A é P -mesurável} 1) P (A) 0 para todo A Ω, 1) A B P (A) P (B).

CAPÍTULO 2. ESPAÇOS DE PROBABILIDADE 13 Lema 2: P ( A ) P (A ) (eumeravelmete subaditiva). Prova: Para ε > 0, escolha cojutos B k que sejam F 0 -mesuráveis tais que A k B k e k P (B k ) < P (A ) + ε/2, o que é possível pela defiição de ífimo. Temos que A,k B k tal que P ( A ),k P (B k ) < P (A ) + ε. Portato, como ε > 0 é arbitrário, P ( A ) P (A ). Lema 3: M é uma álgebra. Dezesseis de março de 2012 Cotiuamos buscado alguma extesão da sigma-álgebra que comporte uma medida de probabilidade para cojutos iteressates, já que ão coseguimos ir até as partes de Ω. Retomado, defiimos P -mesurabilidade para cojutos de Ω. Seja M a classe dos cojutos P -mesuráveis. Lema 4: M é uma álgebra.

CAPÍTULO 2. ESPAÇOS DE PROBABILIDADE 14 Prova: Ω M, pois P ( ) = 0, e P (Ω E) + P (Ω c E) = P (E), e também é fechado por complemetações. Para A, B M, E Ω, P (E) = P (B E) + P (B c E) = P (A B E) + P (A c B E) + P (B E) + P (A B c E) + P (A c B c E) P (B c E) P (A B E) + +P [(A c B E) (A B c E) (A c B c E)] = P [(A B) E] + P [(A B) c E]. Verifique que isso é suficiete para afirmar que A B M. Observação: Verifique: (i) M é σ-álgebra e P -restrita a M implica ser eumeravelmete aditiva. (ii) F 0 M. (iii) P (A) = P (A) para todo A F 0. Teorema 5: Uma medida de probabilidade (defiida em uma álgebra) possui uma extesão para a σ-álgebra gerada.

CAPÍTULO 2. ESPAÇOS DE PROBABILIDADE 15 Prova: Para A Ω, defiimos P (A) como ates, ode a sequêcia {A 1} são F 0 -cojutos, tais que A A. Temos que F 0 σ (F 0 ) = F M P(Ω) = 2 Ω, ode M é a classe dos cojutos P -mesuráveis. Sabemos que P (Ω) = P (Ω) = 1. P, defiida as P(Ω), restrita a M é eumeravelmete aditiva, isto é, uma medida de probabilidade em M. Segue que P restrita a F é uma medida de probabilidade em F. Como P (A) = P (A) para A F 0, a medida P em F é a a extesão de P em F 0. 2.1 Vamos estudar a uicidade da extesão Defiição: Uma classe Q de subcojutos de Ω é um π-sistema se for fechado por iterseções fiitas, isto é, se A, B Q A B Q. Defiição: Uma classe L de subcojutos de Ω é um λ-sistema se cotém Ω, for fechado por complemetação e por uiões disjutas eumeráveis, isto é 1. Ω L, 2. se A L, etão A c L, e 3. {A 1} L, disjutos, etão =1 A L. Observação: Uma σ-álgebra é um λ-sistema. A recíproca ão vale! Tome Ω = {1, 2, 3, 4} e L = {, Ω, {1, 2}, {1, 3}, {1, 4}, {2, 3}, {2, 4}, {3, 4}} é λ-sistema. Mas ão é σ-álgebra!

CAPÍTULO 2. ESPAÇOS DE PROBABILIDADE 16 Lema 6: σ-álgebra. Uma classe em Ω que é π-sistema e λ-sistema é uma Prova: A classe é uma álgebra pois é π-sistema e valem 1 e 2 do λ-sistema. Se {A 1} pertece à classe, etão B = A A c 1 Ac 1, pertece à classe. Como A = B, temos que a classe é σ-álgebra. Lema 7: (Dyki) Se Q é um π-sistema e L é um λ-sistema, etão Q L implica que σ (Q) L. A prova é um exercício. Como uma álgebra é um π-sistema, a uicidade da extesão segue do teorema a seguir. Teorema 8: Supoha P 1 e P 2 medidas de probabilidade em σ (Q), com Q um π-sistema. Se P 1 e P 2 coicidem em Q, etão coicidem em σ (Q). Prova: Seja L a classe de cojutos A σ (Q), tais que P 1 (A) = P 2 (A). Observe que Ω L. Se A L, etão P 1 (A c ) = 1 P 1 (A) = 1 P 2 (A) = P 2 (A c ). Se {A 1} L e são disjutos, etão P 1 ( A ) = P 1 (A ) = P 2 (A ) = P ( A ), e portato A L. Isto é, L é um λ-sistema! Como Q L (por hipótese), com Q um π-sistema, o lema de Dyki implica que σ (Q) L. O resultado segue. (Qualquer extesão tem as mesmas medidas.)

CAPÍTULO 2. ESPAÇOS DE PROBABILIDADE 17 Defiição: Se P (A) > 0, a probabilidade codicioal de B dado A é dada por P (A B) P (B/A) =. P (A) (Note que abusamos usado P, falta mostrar que essa fução é uma medida de probabilidade.) Defiição: {A 1} é uma partição de Ωse A = Ω e A i A j para todo i j. Observação: Se {A 1} é uma partição de Ω, etão P (B) = P (A ) P (B/A ), para cojutos com P (A ) < 0. Vite-um de março de 2012 Limites de cojutos. Exibimos o exemplo de um cojuto ão-boreliao que está as partes de (0, 1]. Defiição: Sejam {A 1} evetos (ou seja, cojuto mesuráveis). lim sup A = lim if A = =1 k=1 =1 k=1 A k, A k. e

CAPÍTULO 2. ESPAÇOS DE PROBABILIDADE 18 Defiição: Se lim if A = lim sup A = A etão escrevemos lim A = lim if A lim sup A, isto é, A A. Exemplo: Seja A B, propriamete, e defia A 2 = A e A 2+1 = B, para 1. Etão A = lim if A lim sup A = B. Teorema 9: P (lim if A ) lim if P (A ) lim sup P (A ) P (lim sup A ) (Obs:Uma maeira de descrever lim if de uma sequêcia de úmeros é como o maior poto de acumulação abaixo da sequêcia.) Prova: Sejam B = k= A k e C = k= A k. Etão B =1 B = lim if A e C =1 C = lim sup A. Pela cotiuidade (por cima e por baixo) já provada, temos que Portato P (lim if P (A ) P (B ) P (lim if A ) e P (A ) P (C ) P (lim sup A ). A ) lim if P (A ) lim sup pois lim if e lim sup de uma sequêcia sempre existem. P (A ) P (lim sup A ).

CAPÍTULO 2. ESPAÇOS DE PROBABILIDADE 19 Veremos agora um exemplo de cojuto em (0, 1] que ão e Borel-mesurável. Faremos algumas observações para embasar o exemplo. O que fizemos até agora: estedemos a medida para uma σ-álgebra, e mostramos que a extesão é úica. Exibimos mootoicidade e cotiuidade da medida P a trica (Ω, F, P). Justificamos agora osso trabalho, mostrao que de fato existe gete que ão podemos pegar com esse modelo. Ates, porém, cometamos o Axioma da Escolha. Observação: Axioma da Escolha: Supoha {A θ θ Θ} uma decomposição de Ω isto é, uma partição ão-eumerável de Ω; em outras palavras θ A θ = Ω e vale A θ A θ = se θ θ. O Axioma da Escolha estabelece que existe ao meos um cojuto C que cotém exatamete um poto de cada A θ, isto é, Aθ C é um cojuto uitário para todo θ Θ, com A θ, θ Θ. Observação: Uma relação defiida em um cojuto Ω é uma fução de Ω Ω que vale 1 ou 0 (fução booleaa). Isto é, dados x, y Ω, ou x se relacioa com y (idicamos x y), ou x ão se relacioa com y (x y). Uma relação é de equivalêcia se é a) reflexiva: x x para todo x Ω; b) simétrica: x y y x para todo x, y Ω; e c) trasitiva: x y y z x z, para todo x, y, z Ω. Dada uma relação de equivalêcia, e x Ω, a classe de equivalêcia de x são todos y Ω tais que x y. As classes de equivalêcia formam uma decomposição de Ω. Observe que duas classes (em uma relação de equivalêcia) ou são idêticas ou são disjutas.

CAPÍTULO 2. ESPAÇOS DE PROBABILIDADE 20 Passamos agora à costrução do cojuto ão-boreliao, devida a Vitali. Exemplo: (0, 1], Defiimos a adição módulo 1 em (0, 1]: para x, y x + y se x + y 1 x y = x + y 1 caso cotrário Defiimos aida A x = [a x a A], ode usamos colchetes porque ão ecessariamete tratamos de um cojuto. Defia a classe L de subcojutos de Ω = (0, 1] por: L = {A A B, A x B e λ(a x) = λ(a)} ode B são os boreliaos do itervalo (0, 1], e λ é o comprimeto (medida de Lebesgue: λ((a, b]) = b a). Veja que L é um λ-sistema cotedo os itervalos, e portato B L (usado o lema de Dyki). Segue que A B A x B e λ(a x) = λ(a). Defiimos x e y equivaletes (x y) se x r = y, para algum r racioal. Cosidere H o subcojuto de (0, 1] formado por um represetate de cada classe de equivalêcia, e cosidere a classe (eumerável) de cojutos H r, com r racioal em (0, 1]. Estes cojutos são disjutos e cada poto de (0, 1] cai em algum desses cojutos. Segue que (0, 1] = r (H r), uma uião eumerável de cojutos disjutos. Se H B, etão λ((0, 1]) = r λ(h r). Isto é impossível (porque o lado esquerdo é 1 e o direito é zero ou + ). Vite-três de março de 2012 Idepedêcia etre σ-álgebras. * * *

CAPÍTULO 2. ESPAÇOS DE PROBABILIDADE 21 Da aula passada, apresetamos um cojuto que ão estava a σ-álgebra gerada por Borel. x, y (0, 1], e defiimos x y; x y se x r = y para algum racioal; a cardialidade de cada classe é eumerável. 1 = λ((0, 1]) = λ { r {H r}} = r λ(h r) = r 0 λ(h) = +. Ode = decorre de o comprimeto ser idepedete de traslações. Agora vamos defiir propriedades daquilo que queremos medir. Defiição: Evetos A e B (mesuráveis em alguma σ-álgebra) são ditos idepedetes se P (A B) = P (A) P (B). (Motivação: ossa defiição de probabilidade codicioal.) Uma coleção fiita {A i 1 i } de evetos é idepedete se P (A k1 A k2 A kj ) = j i=1 P (A k i ) ode 2 j, e aida 1 k 1 < k 2 < < k j. Ou seja, para evetos, é preciso verificar ( 2 ) + + ( ) = 2 1 equações. Exemplo: Tome, por exemplo Ω = {1, 2, 3, 4}, F = {P(Ω)}, e P ({x}) = 1/4. Cosidere evetos A = {1, 4}, B = {2, 4}, C = {3, 4}. Etão P ({A B}) = P ({A C}) = P ({B C}) = P ({4}) = 1/4 = P (A) P (B) = P (A) P (C) = P (B) P (C) = (2/4) 2. Mas P (A B C) = 1/4 1/2 3. Não são idepedetes.

CAPÍTULO 2. ESPAÇOS DE PROBABILIDADE 22 Uma coleção ifiita de evedos é dita idepetete se qualquer de suas coleções fiitas o for. Exibimos agora uma defiição equivalete de idepedêcia, que usaremos amiúde. Defiição: Podemos defiir idepedêcia para uma coleção fiita de evetos também da seguite maeira: a coleção {A i 1 i } é idepedete se e somete se P (B 1 B 2 B ) = P (B i ), i=1 ode B i = A i ou B i = Ω para todo i = 1,.... Agora vamos falar de idepedêcia etre classes, passo itermediário para falar de idepedêcia etre σ-álgebras. Cosidere A 1, A 2,..., A classes de subcojutos de Ω, todos cotidos a σ-álgebra F. As classes {A i 1 i } são ditas idepedetes se, para cada A i A i, a coleção {A i 1 i } são idepedetes. Teorema 10: Se A 1, A 2,..., A são classes idepedetes e cada uma delas um π-sistema, etão σ (A 1 ), σ (A 2 ),..., σ (A ) são idepedetes. Prova: Sejam {C i 1 i } as classes A i com a iclusão de Ω. Cada C i é um π-sistema e são classes idepedetes. Para C 2, C 3,..., C evetos fixados em C 2, C 3,..., C, respectivamete, seja L a classe dos evetos C 1 em F que satisfazem a codição de idepedêcia. L é um λ-sistema! L cotém um π-sistema C 1 e portato σ (C 1 ) = σ (A 1 ). Segue que C 1, C 2,..., C em σ (A 1 ), C 2, C 3,..., C satisfazem a codição de idepedêcia, isto é, σ (A 1 ), C 2, C 3,..., C são idepedetes. Repetido o argumeto, o resultado segue.

CAPÍTULO 2. ESPAÇOS DE PROBABILIDADE 23 Exemplo: Ecotre cotra-exemplo para o caso em que a hipótese π-sistema do teorema ão vale. Sabemos que existem σ-álgebras idepedes. Queremos ver o que acotece o limite dessas sequêcias. Ademais, quem é mesurável o limite? Vamos derivar uma σ-álgebra τ = =1 σ (A, A +1,...) que está lá para o fim da sequêcia (σ-álgebra caudal), e veremos o que acotece quado os evetos são idepedetes. A τ P (A) = 0 ou 1 (lei 0-1 de Kolmogorov). E depois partimos para a questão da covergêcia, em que usamos Ω a reta, e poderemos trabalhar com úmeros (esperaça, variâcia) associados às fuções X Ω R. Vite-oito de março de 2012 variáveis aleatórias. Itrodução a σ-álgebra caudal e Demostramos a aula aterior o teorema abaixo. Teorema 11: (Ω, F, P), e {A i i = 1,..., } classes em F, idepedetes e cada uma um π-sistema. Etão {σ (A i ) i = 1,..., } são idepedetes. Veremos agora uma σ-álgebra caudal. Lema 12: (Borel-Catelli, parte I.) Se P (A ) < (i.e., coverge) etão P (lim sup A ) = 0.

CAPÍTULO 2. ESPAÇOS DE PROBABILIDADE 24 Prova: Como lim sup A = =1 k= A k k= A k, 1, temos P (lim sup A ) sub-aditiva P ( k= A k ) Boferroi k= P (A k ) 0. Lema 13: (Borel-Catelli, parte II.) Se {A 1} são evetos idepedetes, e =1 P (A ) = + etão P (lim sup A ) = 1. Prova: É suficiete mostrar que P ( =1 k= A c k ) = 0. Assim, basta provar que P ( k=) = 0 para qualquer 1. Temos, para todo j, +j P ( k= A c k) = +j k= +j P (A c k) = (1 P (A k )), k= que podemos limitar usado a desigualdade 1 x e x, obtedo +j k= (1 P (A k ) +j k= e P(A k) = e P (A k) j 0. Defiição: {A i i 1} evetos em (Ω, F, P). Cosidere τ = =1 σ (A, A +1,...). Dizemos que τ é σ-álgebra caudal. Teorema 14: (Lei 0-1 de Kolmogorov.) Seja {A 1} uma sequêcia de evetos idepedetes, A eveto τ-mesurável (dessa sequêcia!). Etão P (A) é zero ou um.

CAPÍTULO 2. ESPAÇOS DE PROBABILIDADE 25 Prova: Segue do teorema aterior que σ (A 1 ),..., σ (A 1 ),... σ (A, A +1,...) são idepedetes. Se A τ (A i é τ-mesurável), etão vale que A σ (A, A +1,...) para todo 1. Portato, A 1, A 2,..., A 1, A são idepedetes. A τ σ (A 1, A 2,...) e como A σ (A), além, é claro, de A σ (A 1, A 2,...), segue que A é idepedete dele próprio. Isto é, P (A A) = P (A) P (A), o que implica que P (A) é zero ou é um. E agora atigimos, o curso, um marco. Passamos para a reta real. Defiição: Em (Ω, F, P), defiimos X Ω R como uma variável aleatória simples se X assume um úmero fiito de valores e se {ω Ω X(ω) = x} F, x R. Observação: {X = x} é uma otação para {ω X(ω) = x}. Usamos a seguite otação para a fução idicadora 1 A (a) de um cojuto A (com a A): 1 se x A, 1 A (a) = 0 caso cotrário. Defiição: Dizemos que X = i=1 x i 1 Ai (ω) é uma variável aleatória se {A i 1 i } forma uma partição fiita de Ω com A i F.

CAPÍTULO 2. ESPAÇOS DE PROBABILIDADE 26 Observação: Toda variável aleatória simples pode ser represetada pela soma defiida acima. Observação: Cosidere G uma sub-σ-álgebra de F (quer dizer que ambas são σ-álgebra, mas G F. Seja X uma v.a. (variável aleatória) simples. Dizemos que X é famg-mesurável se {X = x} G para todo x R. Observação: X é sempre F mesurável. Observação: {X H} = x H {X = x} (Por agora essa uião é fiita, já que a v.a. é simples.) Defiição: σ (X), σ-álgebra gerada por X, é a meor σ-álgebra em que X é mesurável. Observação: Para uma sequêcia {X i i 1} de v.a. s simples, σ (X 1, X 2,...) é a meor σ-álgebra em que cada X i é mesurável. Teorema 15: {X i 1 i } v.a. s simples. Etão a σ-álgebra σ (X 1,..., X ) é formada pelos cojutos {(X 1,..., X ) H} = {ω (X 1 (ω), X 2 (ω),..., X (ω))}, para H R. Além disso, H pode ser escolhido como fiito.

CAPÍTULO 2. ESPAÇOS DE PROBABILIDADE 27 Trita de março de 2012 Aida ão sei. Retomado da aula passada, vamos provar o teorema euciado. Prova: que Seja M a classe {ω (X 1 (ω),..., X (ω)) H}. Temos {(X 1,..., X ) = (x 1,..., x )} = {X i = x i } σ (X 1,..., X ). i=1 Além disso, {ω (X 1 (ω),..., X (ω)) H} = {(X 1,..., X ) = (x 1,..., x )}, fiita para M σ (X 1,..., X ). M é álgebra pois: i) Ω = {ω (X 1 (ω),..., X (ω)) R }, ii) iii) {ω (X 1 (ω),..., X (ω)) H} c = = {ω (X 1 (ω),..., X (ω)) H c }, {ω (X 1 (ω),..., X (ω)) H j } = j = {ω (X 1 (ω),..., X (ω)) H j } j Cada X i é M-mesurável pois {ω X i (ω) = x} pode ser colocado a forma {(X 1,..., X ) H} tomado H = {(x 1,..., x ) R, x i = x}. Portato σ (X 1,..., X ) M, o que por sua vez implica M = σ (X 1,..., X ).

CAPÍTULO 2. ESPAÇOS DE PROBABILIDADE 28 Observação: H pode ser tomado fiito: H = H fiita (x 1,...,x ) (X 1 = x 1,..., X = x ). Exemplo: Ω = {1, 2, 3, 4}, F = P(Ω). 1 ω é par X(ω) = 0 ω é ímpar Note que Imagem X = 2, e a v.a. é simples. {ω X(ω) = 1} = {2, 4} {ω X(ω) = 0} = {1, 3} X Q = {{2, 4}, {1, 3},, Ω} {ω X(ω) = x, x 0 ou 1} = 1 se ω é par Defia Y(ω) =. Qual a σ-álgebra σ (X, Y)? ω caso cotrário Pelo teorema ela é {ω (X(ω), Y(ω)) H, H R 2 } Teorema 16: Uma v.a. simples Y é σ (X 1,..., X )-mesurável se, e somete se, Y = f(x 1,..., X para alguma f R R. Prova: ( ) Assuma que Y(ω) = f(x 1 (ω),..., X (ω)) para todo ω Ω. Como {Y = y} pode ser escrito como {(X 1,..., X ) H}, com H cosistido de potos x = (x 1,..., x ) tais que f(x) = y, segue, pelo teorema aterior, que Y é σ (X 1,..., X ) mesurável. (Ω x y(x).) x y

CAPÍTULO 2. ESPAÇOS DE PROBABILIDADE 29 ( ) Cosidere y! my 2,..., y r os diferetes valores que Y assume. Pelo teorema aterior, existem cojutos H 1, H 2,..., H r em R, tais que {ω Y(ω) = y i } = {ω X 1 (ω),..., X (ω) H i }. Escreva f = r i=1 y i 1 Hi. Os H i s podem ão ser disjutos, mas este caso são, pois se H i e H j têm algum poto em comum da forma (X 1 (ω),..., X (ω)) etão Y(ω) = y i e Y(ω) = y j, o que é impossível, se i j.

Capítulo 3 Covergêcia de Variáveis Aleatórias Cosidere X 1, X 2,... v.a. s defiidas em (Ω, F, P). Vamos estudar o eveto {ω lim X (ω) = X(ω)}. Observação: O complemetar desse eveto, X (ω) / X(ω), acotece se e só se existe algum ε > 0 tal que para ehum m, com X (ω) X(ω) < ε, para todo m. Em outras palavras, X / X(ω) se e só se, para algum ε > 0 sabemos que X (ω) X(ω) < ε acotece ifiitas vezes, ou acotece para uma quatidade ifiita de s. Portato, o {lim X = x} c = ε>0 { X X > ε i.v.}, ode i.v. abrevia ifiitas vezes. 30

CAPÍTULO 3. CONVERGÊNCIA DE VARIÁVEIS ALEATÓRIAS31 Observação: Como a uião é moótoa, os cojutos (crescem) para ε 0 (decrescete para zero), e, portato, podemos pegar ε racioais 1!!! A seguir vamos discutir covergêcia quase-certa, em probabilidade, e o coceito de esperaça. 1 Quado existe o limite, toda subsequêcia tem o mesmo limite, e podemos tomar, em particular, a uma subsequêcia formada por racioais.