Hwltt-Packard MATRIZES Aulas 0 a 06 Elson Rodrigus, Gabril Carvalho Paulo Luiz
Sumário MATRIZES NOÇÃO DE MATRIZ REPRESENTAÇÃO DE UMA MATRIZ E SEUS ELEMENTOS EXERCÍCIO FUNDAMENTAL MATRIZES ESPECIAIS IGUALDADE ENTRE MATRIZES 3 3 MATRIZ OPOSTA 3 MATRIZ TRANSPOSTA 3 MATRIZ SIMÉTRICA 3 MATRIZ ANTISSIMÉTRICA 3 0 5 0 5 t A 0 4 A 0 4 A 3 5 4 0 5 4 0 OPERAÇÕES ENTRE MATRIZES 4 ADIÇÃO DE MATRIZES 4 SUBTRAÇÃO DE MATRIZES 4 PROPRIEDADES DA ADIÇÃO DE MATRIZES 4 MULTIPLICAÇÃO DE UMA MATRIZ POR UM NÚMERO REAL 4 4 MULTIPLICAÇÃO ENTRE MATRIZES 5 5 PROPRIEDADES DA MULTIPLICAÇÃO DE MATRIZES 5 MATRIZ INVERSA 6 6 QUESTÕES EXTRAS 6 CAIU NO VEST 7 GABARITO 7 7 QUESTÕES EXTRAS 8 CAIU NO VEST 8
AULA 0 MATRIZES NOÇÃO DE MATRIZ Dados dois númros naturais m n, dnomina-s matriz m por n (dnotado por m x n), uma tabla formada por númros rais distribuídos m m linhas n colunas Exmplo : A sguir tmos a rprsntação d uma matriz, A, d três linhas ( m 3 ) cinco colunas n 5 A 7 5 5 7 3 0 0 3x5 REPRESENTAÇÃO DE UMA MATRIZ E SEUS ELEMENTOS Os lmntos d uma matriz A, m x n, são rprsntados por aij, m qu i,, 3,, m indica a linha j,, 3,, n indica a coluna na qual ss lmnto s ncontra na matriz Assim podmos rprsntar uma matriz A, m x n, dos sguints modos: i ii iii a a A am a a3 a a3 am am3 a a3 an a n amn m x n a a A am a a3 am am3 an a n amn m x n a a a3 an a a a3 an A am am am3 amn mxn Obs: Pod-s rprsntar uma matriz A, m x n, por A aij m x n, s i j C cij 4 x 4, m qu cij 0, s i j MATRIZES ESPECIAIS Matriz linha: uma matriz A, x n, é dnominada matriz linha Matriz coluna: uma matriz A, m x, é dnominada matriz coluna 3 Matriz nula: uma matriz A é dnominada matriz nula s todos sus lmntos são iguais a zro 4 Matriz quadrada d ordm n: uma matriz A, n x n, é dnominada matriz quadrada d ordm n 5 Matriz triangular: uma matriz quadrada d ordm n, na qual todos os lmntos qu stão acima, ou abaixo, da diagonal principal são iguais a zro 6 Matriz idntidad d ordm n: Matriz quadrada d ordm n na qual todos os lmntos da diagonal principal são iguais a todos os outros lmntos dssa matriz são iguais a zro Exmplo : A sguir tmos a rprsntação d uma matriz idntidad d ordm 3 0 𝐼3 = (0 0 0 Obs: Em uma matriz quadrada d ordm n os lmntos cujos índics d linha coluna são iguais constitum a diagonal principal dssa matriz 𝑎 [ 𝑎𝑛 a) A aij 3 x, m qu aij i j 𝑎𝑛 ] 𝑎𝑛𝑛 Diagonal Principal Obs: Em uma matriz quadrada d ordm n os lmntos cuja soma dos índics é igual a n+ constitum a diagonal scundária dssa matriz EXERCÍCIO FUNDAMENTAL Escrva a matriz dtrminada m cada itm a sguir 0 0) Diagonal Scundária 𝑎 [ 𝑎𝑛 𝑎𝑛 ] 𝑎𝑛𝑛 b) B bij x 3, m qu bij 3i j Elson Rodrigus, Gabril Carvalho Paulo Luiz Página
5 A 0 3 TAREFA Lr páginas 8 9 do capítulo "Matrizs " fazr PSA,, 3 AULA 0 IGUALDADE ENTRE MATRIZES Duas matrizs, A B, são iguais s todos os lmntos corrspondnts, isto é, qu ocupam a msma linha msma coluna, form iguais Exmplo : As matrizs A B a sguir são matrizs iguais 3 3 A 3 5 7, B 3 5 7 0 5 0 5 MATRIZ TRANSPOSTA Dada a matriz A aij m x n, dnomina-s transposta d A a matriz At a ' ji, m qu a ' ji aij para todo nxm i,,, m j,,,n Transposição d matriz Fazr a transposição d uma matriz,é simpls, basta trocar ordnadamnt as linhas por colunas, ou sja, a primira linha da matriz A srá a primira coluna, a sgunda linha d A srá a sgunda coluna d, assim sucssivamnt, por xmplo: Dtrmin os valors rais d x y nos itns a sguir x 5 a) 3 3 y 7 4 7 x y 5 b) 5 x y x 4 y x y 3 x y 3y 5 3y x 4 log3 x Considr as matrizs A 5y 6 B, m qu 𝑥, 𝑦 ℝ Sndo 𝐴 = 𝐵, 5 dtrmin o valor d 𝑥 + 𝑦 MATRIZ SIMÉTRICA Uma matriz quadrada d ordm n, A, é dnominada matriz simétrica s At A Exmplo 3: 5 5 t A 7 4 A 7 4 A 5 4 0 5 4 0 MATRIZ ANTISSIMÉTRICA Uma matriz quadrada d ordm n, A, é dnominada matriz antissimétrica s At A Exmplo 4: MATRIZ OPOSTA A matriz oposta d A aij m x n é a matriz A aij m x n Exmplo : S A 3 5 0, ntão Elson Rodrigus, Gabril Carvalho Paulo Luiz 5 0 0 5 t A 0 4 A 0 4 A 5 4 0 5 4 0 3 y 3 Sabndo qu a matriz x 5 é simétrica, 3 z qual o valor d 𝑥 + 𝑦 𝑧? Página 3
TAREFA No capítulo "Matrizs " fazr PSA d 4 a 9 AULA 03 OPERAÇÕES ENTRE MATRIZES I Comutativa: A B B A II Associativa: A B C A B C III Elmnto nutro: A O A IV Oposto: A A O MULTIPLICAÇÃO DE UMA MATRIZ POR UM NÚMERO REAL ADIÇÃO DE MATRIZES Multiplicar uma matriz A por um númro ral k é, por dfinição, multiplicar todos os lmnto d A por k matriz soma A B C, m qu C cij m x n, é tal qu 5 0 Exmplo 3: Sja A, tmos qu 3 4 0 0 A 6 4 6 5 0 3A 9 3 6 Dadas duas matrizs, A aij m x n B bij m x n, a cij aij bij para todo i,,, m j,,,n Em outras palavras, para somar duas matrizs basta somar sus lmntos corrspondnts Obs3: Só é possívl somar duas matrizs s las tivrm a msma quantidad d linhas colunas Exmplo 3: 4 B, Sjam a matriz 5 0 A 3 soma C A B é 6 4 C 4 0 3 SUBTRAÇÃO DE MATRIZES Dadas duas matrizs, A aij m x n B bij m x n, a matriz difrnça A B é, por dfinição, a soma da matriz A, com a oposta d B B, ou sja, A B A B Em outras palavras, para subtrair duas matrizs basta subtrair sus lmntos corrspondnts PROPRIEDADES DA ADIÇÃO DE MATRIZES Sja A, B, C O matrizs com m linhas n colunas Em qu O é a matriz nula, m x n É possívl provar qu valm as sguints propridads para a adição d matrizs Elson Rodrigus, Gabril Carvalho Paulo Luiz k 0 k k 5 k A, para todo k k 3 k k Dadas as matrizs 3 A 6 4 0 5 3 3 0 0 B 3 5 0, dtrmin: 7 a) A B b) B A A d) A 3B 3 Rsolva a quação 𝑋 + 𝐵 = 𝐴, m qu 3 4 5 A B 0 0 7 33 Sndo as matrizs A aij 3 x, com aij cos i B bij 3 x, com bij i j Dtrmin 𝐴 + 𝐵 Página 4
34 Rsolva o sistma 6 X Y 8 X Y 0 4 4 8 6 4 Obs4: Só é possívl multiplicar duas matrizs s o númro d colunas da primira matriz for igual ao númro d linhas da sgunda 6 4 6 𝐴𝑚 𝑝 𝐵𝑝 𝑛 = 𝐶𝑚 𝑛 TAREFA 3 No capítulo "Matrizs " fazr PSA d 3 TSC Obs5: A matriz produto, caso xista, trá o númro d linhas da primira o númro d colunas da sgunda AULA 04 𝐴𝑚 𝑝 𝐵𝑝 𝑛 = 𝐶𝑚 𝑛 MULTIPLICAÇÃO ENTRE MATRIZES Dadas duas matrizs A aij m x p B bij p x n, dnomina-s o produto A B a matriz C cij m x n, tal qu cij ai b j ai b j ai 3 b3 j aip bpj Tablt: Em "Matrizs " Lr a situação 3 na página 4 Multiplicação d matrizs 4 Para dtrminar o trmo da matriz produto basta "pgar" a linha i da matriz A a coluna j da matriz B Em sguida ralizar os produtos dos primiros trmos, dos sgundos trmos, dos trciros trmos, assim sucssivamnt, somar os rsultados Por xmplo, considr as matrizs, assim para dscobrir, Considr as matrizs A, 3 B 3 C Dtrmin s xistir 0 3 4 os produtos a sguir a) A B b) A C C A d) B A ) A f) B dvmos "pgar" a primira linha da matriz A a trcira coluna da matriz B Em sguida façamos a soma dos produtos ralizados ntr os primiros trmos, ntr os sgundos trmos assim sucssivamnt, obtndo o trmo PROPRIEDADES DA MULTIPLICAÇÃO DE MATRIZES Sja A, B, C I matrizs para as quais é possívl ralizar as opraçõs a sguir Em qu I é uma matriz idntidad É possívl provar qu valm as sguints propridads para a multiplicação d matrizs Fazndo ss procsso é possívl dscobrir totalmnt a matriz I Associativa: A B C A B C II Distributiva a dirita m rlação a adição: A B C A C B C III C A B C A C B IV Elson Rodrigus, Gabril Carvalho Paulo Luiz Distributiva a squrda m rlação a adição: Elmnto nutro: A I I A A Página 5
TAREFA 4: No capítulo "Matrizs " fazr PSA d 4 a 6 AULA 05 MATRIZ INVERSA Considr uma matriz quadrada, A, d ordm n Essa matriz é dita invrsívl s xist uma matriz B tal qu AB B A I n m qu I n é a matriz idntidad d ordm n Nss caso a matriz B é dita a invrsa d A é indicada por A 5 5 3 5 Vrifiqu s é a invrsa d 3 5 Dtrmin, s xistir, as matrizs invrsas das matrizs dadas nos itns a sguir a) b) 5 A 3 B 4 C 3 6 TAREFA 5: No capítulo "Matrizs " fazr PSA d 7 a QUESTÕES EXTRAS EXTRA ) Dtrmin a matriz B bij x 3, m qu bij sn i cos j, com i j 3 ) Dtrmin o valor d x para qu x x 4 x x 3x 4 3) Sndo A 0, calcul A, 3 A 4 A 4) As matrizs A x y B são tais qu 0 3 AB B A Calcul x y 5) Sndo quação A 5 T T A X B 6) S a matriz A é igual a T matriz A B 3, rsolva a 4, dtrmin a 3 7) A soma d todos os lmntos da diagonal principal com todos os lmntos da diagonal scundária da matriz transposta da matriz A = (a ij ) x, m qu a ij = { i +, s i = j i + j, s i j é igual a a) 7 b) 5 6 d) ) 8 8) A invrsa da matriz A = [ 3 5 4 ] é igual a (A) [ 0 0 ] (B) [ 3 5 4 ] (C) [ 3 5 4 ] (D) [ 5 3 ] (E) [ 4 5 3 ] 9) Considr as matrizs A = (a ij ) 3x = [ 3 ], 0 3 B = (b ij ) = 3x [ 3] C = (c ij ) = 3x xa yb, com x, y R Para qu os lmntos c c sjam iguais a, os valors d x y dvm sr, rspctivamnt, iguais a (A) 3 3 (B) 3 3 (C) 3 3 (D) 3 3 (E) 3 3 Elson Rodrigus, Gabril Carvalho Paulo Luiz Página 6
0) Sjam as matrizs A = ( 0 ), B = x3 ( 0 0 6 4 ), X = (x ij ) Y = x3 x3 (y ij ) x3 X Y = A Sabndo qu {, dtrmin as matrizs X + 3Y = B X Y CAIU NO VEST (AFA) Dadas as matrizs: A = (a ij ) 8x3 B = (b ij ) 3x7, ond a ij = i j b ij = i j, o lmnto c 56 da matriz C = (c ij ) = A B é: a) 74 b) 6 8 d) 76 (ESPECEX 008) Considr as matrizs M = tg x [ cos x cotg x ] M = [ tg x ] para x kπ, k Z A matriz rsultant do produto matricial M M é a) [ sc x cos x ] b) [ tg x cos x ] x [sc sn x ] d) x [cossc sn x ] ) [ cos x sn x ] 3 (UERJ) Dnominamos traço d uma matriz quadrada à soma dos lmntos da sua diagonal principal Assinal a opção qu contém o traço da matriz C, ond C = A B, m qu A = (a ij ) x, com a ij = i + j, B = (b ij ) x, com b ij = i j a) 0 b) d) 3 4 (AFA) As matrizs A, B C são do tipo m 3, n p 4 r, rspctivamnt S a matriz transposta d ABC é do tipo 5 4, ntão a) m = p b) mp = nr n + p = m + r d) r = n 5 (ITA) Considr as matrizs A = ( 0 0 ), I = ( 0 0 ), X = (x y ) B = ( ) S x y são soluçõs do sistma (A A t 3 I) X = B, ntão x + y é igual a a) b) 0 d) - ) - GABARITO 0 0 0 3 4 a) 3 5 6 b) 0 0 0 7 8 4 0 0 0 0 0 0 0 a) x5, y 7 b) x, y 3 x3, y 4 3 3 4 3 3 a) 3 9 0 0 7 4 4 0 3 0 33 0 3 9 34 3 3 b) 9 0 3 0 0 4 4 4 6 8 0 0 3 4 4 7 7 4 6 d) 7 30 5 4 4 3 0 3 5 6 3 8 3 X Y 5 5 3 5 5 4 a) 7 3 4 0 6 b) 7 8 5 6 5 7 3 9 4 d) Não xist ) Não xist Elson Rodrigus, Gabril Carvalho Paulo Luiz Página 7
f) ( 4 7 0) 4 4 7 5 Sim 3 5 5 a) b) Não xist QUESTÕES EXTRAS 0 0 B x 3 A, 0 4 x 7 y 5 9 7 X 4 7 0 3 4 6 4 5 7 C 8 D 9 B 0 6 3 7 7 7 X 9 0 5 7 7 7 3 3 A 0 4 4 A 0 4 7 7 7 Y 6 3 7 7 7 CAIU NO VEST D C 3 C 4 A 5 D Elson Rodrigus, Gabril Carvalho Paulo Luiz Página 8