Mcroeconoma II Cursos de Economa e de Matemátca Aplcada à Economa e Gestão AULA 5.4 Provsão de Bens Públcos de forma descentralzada: a solução de Lndahl Isabel Mendes 2007-2008 13-05-2008 Isabel Mendes/MICRO II 1
5.4 Provsão de Bens Públcos: Solução de Lndhal Em teora, os efetos sobre a efcênca económca assocados à falha de mercado caracterzada pela exstênca de bens públcos puros, podem ser ultrapassados nternalzando os bens públcos puros nas decsões dos agentes. Lndahl (1919) e Wcksell (1896) descreveram o processo de nternalzação dos bens públco puros, fazendo os consumdores pagarem um preço pelo seu consumo. Wcksell propôs pela 1ª vez que os consumdores só deveram pagar pela provsão do bem públco, no máxmo, uma quanta gual ao benefíco margnal ndvdual assocado ao seu consumo preços personalzados. Lndahl sugeru posterormente que os preços personalzados de Wcksell poderam ser gerados (revelados) através de um processo de tâtonnement de equlíbro, semelhante ao que se estudou em Mcro I, no Equlíbro Geral Preços de Lndahl. Samuelson (1958) demonstrou que os preços de Lndahl geraram uma afectação do bem públco efcente à Pareto condção de Samuelson (AULA 5.3) 13-05-2008 Isabel Mendes/MICRO II 2
5.4 Provsão de Bens Públcos: Solução de Lndhal 1. Os preços personalzados Lndahl Wcksell Seja um problema de consumdor do segunte tpo: = 1, 2,, consumdores que consomem um bem públco X e bem prvado q nos quas podem gastar um rendmento M; assuma-se que as preferêncas dos consumdores por bem públco e bem prvado são herarquzadas por uma função de utldade quas lnear do tpo: ( ) ( ) U X,q = U X + q Cada consumdor va ter de pagar um preço personalzado pelo benefíco do uso do bem públco p ; para smplfcar, assume-se que o preço do bem prvado é gual à undade p q = 1. 13-05-2008 Isabel Mendes/MICRO II 3
5.4 Provsão de Bens Públcos: Solução de Lndhal 1. Os preços personalzados Lndahl Wcksell (contnuação) O problema de decsão do consumdor é: X,q A Lagrangeana deste problema é: * ( ) maxu = U X + q suj a : p X + q = M ( λ ) = ( ) + + λ [ ] L X,q, U X q M p X q E as condções relevantes de 1ª ordem são dadas por: 13-05-2008 Isabel Mendes/MICRO II 4
5.4 Provsão de Bens Públcos: Solução de Lndhal 1. Os preços personalzados Lndahl Wcksell (contnuação) L U = 0 λ p = 0 X X L = 0 1 λ = 0 q (1) (2) Resolvendo (1) e (2) para os λ s e compondo os termos obtém-se: p U p é o preço personalzado do = (3) X consumdor que lhe maxmza a sua função de utldade 13-05-2008 Isabel Mendes/MICRO II 5
5.4 Provsão de Bens Públcos: Solução de Lndhal 1. Os preços personalzados Lndahl Wcksell (contnuação) Seja, agora, o problema de produção do bem públco X: X é produzdo por uma empresa. A sua receta méda é gual à soma dos preços personalzados dos consumdores. O problema de maxmzação de lucro da empresa é: X* = = 1 ( ) ( ) maxπ X p X CT X Sendo a condção de 1ª ordem dada por: 13-05-2008 Isabel Mendes/MICRO II 6
5.4 Provsão de Bens Públcos: Solução de Lndhal 1. Os preços personalzados Lndahl Wcksell (contnuação) = 1 p = ( ) CMg X Condção de equlíbro para a empresa produtora de X O equlíbro geral (no consumo e na produção) compatível com um óptmo à Pareto é alcançado quando for determnado um vector de preços personalzados p do tpo {p* 1, p*2,., p*} para o qual se verfca que: 1º) a quantdade de bem públco desejada seja gual para todos os consumdores e gual a = X* : para esta quantdade verfca-se a gualdade TMS X*,q = p* ; 2º) a quantdade X* maxmza o lucro da empresa produtora do bem públco; ou seja, para esta quantdade verfca-se a segunte gualdade: = 1 * ( ) p* = p = CMg X* 13-05-2008 Isabel Mendes/MICRO II 7
5.4 Provsão de Bens Públcos: Solução de Lndhal 1. Os preços personalzados Lndahl Wcksell (contnuação) 3º) Das condções defndas em 1º) e 2º) é medata a conclusão de que, para o vector de preços personalzados óptmos {p* 1, p* 2,., p* }, se verfca a condção de Samuelson, porque, para estes preços: = = = X*,q = 1 = 1 equlbro no produtor equlbro no consumdor TMS p* p* CMg(X*) 13-05-2008 Isabel Mendes/MICRO II 8
5.4 Provsão de Bens Públcos: Solução de Lndhal 2. Como é que a entdade públca conhece os preços personalzados? Lndahl propôs o segunte esquema de tâtonnement apoado na fgura de um leloero, semelhante àquele que fo descrto nos capítulo das Trocas Efcentes (ver últmas aulas de MICRO I). O papel do leloero é: 1º) propor város vectores de preços personalzados aos consumdores; para cada vector de preços que é proposto, o leloero assegurará sempre que o seu somatóro guala o custo margnal de aprovsonamento do bem públco; 2º) recolher as ntenções de consumo dos consumdores, para cada vector de preços personlazados, em termos de bem públco X ; 13-05-2008 Isabel Mendes/MICRO II 9
5.4 Provsão de Bens Públcos: Solução de Lndhal 2. Como é que a entdade públca conhece os preços personalzados? (contnuação) 3º) Se, para um determnado vector de preços personalzados, as ntenções de consumo de bem públco não forem guas para todos os consumdores, o leloero volta a apresentar um novo vector de preços personalzados, reajustado às ntenções de procura de cada consumdor; 4º) Este processo nteractvo contnua em número de teracções necessáro, até que o leloero obtém o vector de preços personalzados de equlíbro. 13-05-2008 Isabel Mendes/MICRO II 10
5.4 Provsão de Bens Públcos: Solução de Lndhal 3. Problemas assocados à revelação dos preços personalzados Quando os cdadãos são nterrogados acerca das suas dsponbldades para pagar por bens públcos, exstem fortes ncentvos para que os ndvíduos não revelem a sua verdadera preferênca. Tratando-se de um bem públco, cada cdadão sabe que todos os restantes cdadãos rão pagar por ele; logo, ele tem um ncentvo para benefcar do bem públco a custo zero, ou a um custo nferor, dexando os outros pagarem por ele, na totaldade ou em parte. Este comportamento é desgnado de free rdng. Em termos da lnguagem do mecansmo de Lndahl o free rdng sgnfca que o consumdor declara pretender uma quantdade de bem públco nferor à sua verdadera preferênca, para poder pagar um preço personalzado mas baxo na teracção fnal de equlíbro. Mas, se todos os consumdores adoptarem a mesma estratéga, a procura méda de bem públco revelada será necessaramente nferor à procura óptma, o que leva a um equlíbro nferor ao que sera efectvamente desejado. 13-05-2008 Isabel Mendes/MICRO II 11
5.4 Provsão de Bens Públcos: Solução de Lndhal 3. Problemas assocados à revelação dos preços personalzados (contnuação) Os problemas assocados a comportamentos de free rdng e da subsequente subrevelação das preferêncas verdaderas por bem públco, podem ser formalmente analsados pelo segunte problema formal. Seja: Um consumdor, com = 1, 2,, consumdores, que consome bem públco X e bem prvado q; As preferêncas são herarquzadas por uma função de utldade quaslnear em q não há efeto rendmento no consumo de bem públco para nenhum consumdor a provsão óptma de bem públco não depende do rendmento dos consumdores: ( ) β ( ) U X,q = ln X + q, com β = preferênca do consumdor pelo bem públco; 13-05-2008 Isabel Mendes/MICRO II 12
5.4 Provsão de Bens Públcos: Solução de Lndhal 3. Problemas assocados à revelação dos preços personalzados (contnuação) Cada consumdor maxmza a sua função de utldade em ordem a X e q estando sujetos à segunte restrção orçamental: px + q = M Onde p = preço personalzado de X, o preço de q é gual à undade e M é o rendmento. Assume-se que o custo margnal de produção do bem públco é gual à undade - CMg(X) = 1. A função de Lagrange é: ( λ ) = β ( ) + + λ [ ] L X,q, ln X q M p X q 13-05-2008 Isabel Mendes/MICRO II 13
5.4 Provsão de Bens Públcos: Solução de Lndhal 3. Problemas assocados à revelação dos preços personalzados (contnuação) E as condções de 1ª ordem são dadas por: L β = 0 λ p = 0 (1) X X L = 0 1 λ = 0 (2) q Resolvendo (1) e (2) para λ e compondo os termos obtém-se: p = β X (3) 13-05-2008 Isabel Mendes/MICRO II 14 X β = p
5.4 Provsão de Bens Públcos: Solução de Lndhal 3. Problemas assocados à revelação dos preços personalzados (contnuação) A gualdade (3) dz que, se não exstrem efetos rendmento no consumo de bem públco, então os preços personalzados não dependem da rqueza do consumdor; só dependem das suas preferêncas pelo bem públco dadas por β. Em equlíbro, os preços personalzados são guas aos preços de Lndahl as equações (3) pode ser reescrta da segunte forma: β X p = * (4) Adconando (4) para todos os consumdores e gualando os preços personalzados ao custo margnal de produção do bem públco obtém-se: 13-05-2008 Isabel Mendes/MICRO II 15
5.4 Provsão de Bens Públcos: Solução de Lndhal 3. Problemas assocados à revelação dos preços personalzados (contnuação) β = = 1 (5) X p * = 1 = 1 Resolvendo, agora (5) em ordem a X* obtém-se: X * = β = 1 (6) A equação (6) dz que a provsão óptma de bem públco na ausênca de efetos de rendmento depende das preferêncas ou da valorzação β que lhe é atrbuída pelos consumdores. 13-05-2008 Isabel Mendes/MICRO II 16
5.4 Provsão de Bens Públcos: Solução de Lndhal 3. Problemas assocados à revelação dos preços personalzados (contnuação) Para conhecer a utldade que o consumdor obtém no equlíbro de Lndahl, substtu-se na função de utldade ( ) β ( ) U X,q = ln X + q 1º) q por M p X* (o preço do bem prvado é gual à undade); 2º) p e X* pelos resultados (4) e (6), respectvamente; Obtém-se: 13-05-2008 Isabel Mendes/MICRO II 17
5.4 Provsão de Bens Públcos: Solução de Lndhal 3. Problemas assocados à revelação dos preços personalzados (contnuação) p X* β ( ) = U X*,q β ln β + M β = 1 = 1 β X* = 1 ( X*, ) U q = β ln β + M β = 1 O resultado (7) dz que, aos preços de equlíbro de Lndahl e na ausênca de efetos rendmento, a utldade do consumdor depende das preferêncas reveladas por ele. q (7) 13-05-2008 Isabel Mendes/MICRO II 18
5.4 Provsão de Bens Públcos: Solução de Lndhal 3. Problemas assocados à revelação dos preços personalzados (contnuação) Quas são os efetos sobre (7) se o consumdor revelar uma preferênca falsa acerca da quantdade de bem públco b -, relatvamente à que ele efectvamente prefere - β -? Se o consumdor revelar b em vez da sua preferênca verdadera β, tal que b < β então o nível de utldade que obterá no equlíbro de Lndahl é: U X*,q l M b j j ( ) = β n b + β + (8) Onde: j β j é a soma das preferêncas de todos os outros consumdores dferentes do consumdor. 13-05-2008 Isabel Mendes/MICRO II 19
5.4 Provsão de Bens Públcos: Solução de Lndhal 3. Problemas assocados à revelação dos preços personalzados (contnuação) O problema do consumdor pratcante da revelação falsa é, agora, o de calcular b* que maxmza (8) a segunte condção: U ( X*,q ) β = 0 1= 0 (9) b* β b + j j Resolvendo o lado dreto de (9) em ordem a b* obtém-se: b* β β = j j (10) 13-05-2008 Isabel Mendes/MICRO II 20
5.4 Provsão de Bens Públcos: Solução de Lndhal 3. Problemas assocados à revelação dos preços personalzados (contnuação) O resultado (10) confrma que o problema na maxmzação da utldade no âmbto do esquema de Lndahl é os consumdores mentrem acerca da sua preferênca real por bens públcos. Se todos os consumdores mentrem e se se assumr que as funções de utldade são guas para todos, então: - β = β, = 1,, consumdores; - b = b, = 1,, consumdores. Infere-se que, das expressões anterores, cada consumdor, no equlíbro de ash, revelará: β β b* = = b* = = ash X = 1 = 1 13-05-2008 Isabel Mendes/MICRO II 21 X *