Hwltt-Packard CONJUNTOS NUMÉRICOS Aulas 0 a 06 Elson Rodrigus, Gabril Carvalho Paulo Luiz Ramos Ano: 206
Sumário CONJUNTOS NUMÉRICOS 2 Conjunto dos númros Naturais 2 Conjunto dos númros Intiros 2 Conjunto dos númros Racionais 2 Conjunto dos númros Irracionais 2 Conjunto dos númros Rais 2 RELAÇÃO DE INCLUSÃO 2 SUBCONJUNTOS 3 OBSERVAÇÕES 3 INVERSO E OPOSTO DE UM RACIONAL 3 EERCÍCIOS FUNDAMENTAIS 3 FECHAMENTO 3 MÚLTIPLO E DIVISOR DE UM NÚMERO INTEIRO 4 MÍNIMO MÚLTIPLO COMUM (MMC) 4 MÁIMO DIVISOR COMUM (MDC) 4 EERCÍCIOS FUNDAMENTAIS 4 O VALOR ABSOLUTO DE UM NÚMERO 4 Módulo d um númro (dfinição formal) 5 EERCÍCIOS FUNDAMENTAIS 5 CONJUNTO DOS NÚMEROS RACIONAIS 5 FRAÇÃO GERATRIZ 5 EERCÍCIOS FUNDAMENTAIS 6 CONJUNTO DOS NÚMEROS IRRACIONAIS 6 EERCÍCIOS FUNDAMENTAIS 6 CONJUNTO DOS REAIS 6 REAIS E A RETA NUMÉRICA 6 INTERVALOS REAIS 7 PRELIMINAR 7 PRELIMINAR 2 7 INTERVALOS REAIS 7 REPRESENTAÇÃO DOS INTERVALOS 7 EERCÍCIOS FUNDAMENTAIS 8 OPERAÇÕES ENTRE INTERVALOS 8 EERCÍCIOS FUNDAMENTAIS 8
QUESTÕES ETRAS 8 Elson Rodrigus, Gabril Carvalho Paulo Luiz Ramos Página
AULA 0 CONJUNTOS NUMÉRICOS Alguns conjuntos numéricos já foram studados m anos antriors São ls: Conjunto dos númros Naturais Surgiu a partir da ncssidad d contagm important passo no dsnvolvimnto da matmática m qu rprsnta um númro natural gnérico Conjunto dos númros Intiros Surgiu a partir da ncssidad grada pla opração difrnça Mas, pod-s dizr qu o conjunto dos númros racionais contém todos os númros conhcidos? Não Há alguns tipos d númros qu não são racionais, ntr ls: As dízimas não-priódicas (aquls qu, na sua rprsntação dcimal, têm part dcimal infinita SEM rptição d um "bloco" formado por um ou mais algarismos); As raízs qu têm índic par radicando ngativo Conjunto dos númros Irracionais Ess conjunto surgiu a partir da ncssidad d calcular o comprimnto da diagonal d um quadrado d lado com mdida (PITAGÓRICOS) O conjunto dos irracionais é um conjunto disjunto do conjunto dos númros racionais tm como lmntos apnas as dízimas não-priódicas Exmplo 2 Conjunto dos númros Racionais O conjunto dos racionais surg da ncssidad d rprsntar algumas razõs não xatas é irracional é irracional ; é irracional Conjunto dos númros Rais É o conjunto formado pla união do conjunto dos númros racionais com o conjunto dos númros irracionais Exmplo Not qu, o conjunto dos númros irracionais pod sr rprsntado por Quais númros podm sr scritos na forma mncionada? Os númros intiros; Os dcimais xatos (aquls qu, na sua rprsntação dcimal, têm part dcimal finit; Exmplos: As dízimas priódicas (aquls qu, na sua rprsntação dcimal, têm part dcimal infinita com rptição d um "bloco" formado por um ou mais algarismos) Exmplo: RELAÇÃO DE INCLUSÃO A rlação d inclusão ntr os conjuntos studados pod sr ilustrada plos diagramas d Vnn a sguir Tmos a sguint cadia d inclusão: Elson Rodrigus, Gabril Carvalho Paulo Luiz Ramos Página 2
SUBCONJUNTOS Na rta ordnada, dois númros opostos são quidistants da origm TAREFA Lr: na página 3, os tópicos Alguns subconjuntos spciais do conjunto dos númros naturais Alguns subconjuntos spciais do conjunto dos númros intiros ; na página 43, as obsrvaçõs 2 22 INVERSO E OPOSTO DE UM RACIONAL Qual é o padrão na scrita dos subconjuntos? Su oposto: Su invrso: Após a litura rcomndada, você dv tr obsrvado qu um * na part suprior à dirita do símbolo do conjunto xclui o zro do conjunto um + na part infrior à dirita do símbolo do conjunto mantém somnt o 0 os positivos no conjunto um na part infrior à dirita do símbolo do conjunto mantém somnt o 0 os ngativos no conjunto Obs: O sucssor d um númro natural é o númro natural qu vm imdiatamnt após o númro m qustão Exmplo 3: c) d) 0 (zro) não é sucssor d nnhum númro natural Obs2: Os conjuntos studados são infinitos Obs3: Há uma forma para s rprsntar númros pars ímpars d manira gnérica: PARES S é par, ntão para algum ÍMPARES S é ímpar, ntão para algum Obs4: Podmos dscrvr cada númro intiro como um ponto na rta ordnada é dado por Elson Rodrigus, Gabril Carvalho Paulo Luiz Ramos, tmos, ond Exmplo 4 Tomando o númro racional su oposto:, tmos su invrso: Obs6: Uma fração é dita irrdutívl quando EERCÍCIOS FUNDAMENTAIS Dados OBSERVAÇÕES Obs5: O oposto d um númro Dado númros naturais, tais qu, dtrmin: 2 Dtrmin natural, tal qu 3 Sabndo qu a soma d três númros conscutivos é 63, dtrmin sss númros TAREFA 2: Lr, na página 4, o tópico As propridads fundamntais da adição da multiplicação m o xrcício 5 Além disso, fazr os PRATICANDO EM SALA (PSA) 2, 3, 4, 5 6 AULA 02 FECHAMENTO Considr um conjunto A quaisqur dois d sus lmntos S o rsultado d uma opração fita com sss dois lmntos também for lmnto d A, ntão é dito qu A é fchado para ssa opração Exmplo 2: O conjunto dos númros naturais é fchado para as opraçõs d adição multiplicação Isto é, Página 3
Not qu na opração difrnça isto nm smpr acontc, no ntanto Vja, na tabla a sguir, para quais opraçõs cada conjunto numérico studado é fchado Opração Adição Multiplicação Subtração Divisão Obs: Quando s trata do fchamnto da opração divisão é vidnt qu stamos tratando dos rspctivos conjuntos sm o lmnto 0 (zro), pois a divisão por zro não stá dfinida MÚLTIPLO E DIVISOR DE UM NÚMERO INTEIRO Obs2: Todos os múltiplos comuns d a b são múltiplos do mmc d a b MÁIMO DIVISOR COMUM (MDC) Considr os númros a, b O máximo divisor comum d a b é o maior c qu é divisor d a d b O máximo comum d dois ou mais númros pod sr obtido por fatoração simultâna como podmos obsrvar no xmplo a sguir Exmplo 24: Vamos dtrminar o mdc 24, 30 Obsrv qu vamos dividir apnas plos fators qu dividm simultanamnt os dois númros 24, 30 2 2, 5 3 6, 5 2 3 Assim tmos qu mdc 24, 30 6 Obs3: Todos os divisors comuns d a b são divisors do mdc d a b Considr os númros a, b Diz-s qu a é divisor d b, ou qu b é múltiplo d a, s xist um númro intiro c tal qu b a c Exmplo 22: O númro 26 é múltiplo d 3, pois 26 3 2, pod-s dizr ainda qu 3 é um divisor do 26 EERCÍCIOS FUNDAMENTAIS 2 Dois corrdors partm juntos numa pista circular no msmo sntido Sabndo qu o primiro complta uma volta a cada 2 minutos o sgundo uma volta a cada 5 minutos, dtrmin o tmpo mínimo para ls s ncontrarm na linha d chgada MÍNIMO MÚLTIPLO COMUM (MMC) Considr os númros a, b O mínimo múltiplo comum d a b é o mnor c qu é múltiplo d a d b O mínimo múltiplo comum d dois ou mais númros pod sr obtido por fatoração simultâna como podmos obsrvar no xmplo a sguir O VALOR ABSOLUTO DE UM NÚMERO Considr qu, m uma rta ordnada, a abscissa (zro) stja associada a um ponto (origm) um ponto qualqur tnha sua abscissa dnominada Exmplo 23: Vamos dtrminar o mmc 24, 30 Obsrv qu vamos dividir plos fators dos dois númros até qu ls fiqum iguais a 24, 30 2 2, 5 2 6, 5 2 3, 5 3 5, 5, 2 3 5 3 O módulo ou valor absoluto do númro intiro, dnotado por, é um valor (ncssariamnt positivo) qu nos diz a distância ntr os pontos S stá à dirita d, ntão sua abscissa é um númro intiro positivo, dss modo, su valor absoluto é igual a l msmo Em símbolos: Assim tmos qu mmc 24, 30 20 Elson Rodrigus, Gabril Carvalho Paulo Luiz Ramos Página 4
EERCÍCIOS FUNDAMENTAIS Exmplo 25 22 Dtrmin o valor ou simplifiqu as xprssõs a sguir:, ntão S stá à squrda d, ntão sua abscissa é um valor intiro ngativo, dss modo, su valor absoluto é igual ao su oposto (qu é positivo) Em símbolos:, ntão, s TAREFA 3 Lr, nas páginas 3 a 5 do tablt, O valor absoluto d um númro intiro fazr o PSA 7, 30 3 AULA 03 CONJUNTO DOS NÚMEROS RACIONAIS Vimos qu os dcimais xatos as dízimas priódicas Exmplo 26 podm sr rprsntados na forma intiros, com Exmplo 3 ntão Módulo d um númro (dfinição formal) O módulo ou valor absoluto do númro intiro, dnotado por, é o quanto l dista da origm na rta ral Tmos qu, Como rtirar o módulo d um xprssão? Not qu o rsultado do módulo dpnd do sinal da xprssão dntro dl Logo, para rtirar o módulo d uma xprssão, faça o sguint: º) Avali o sinal da xprssão dntro do módulo Em gral, para avaliar o sinal das xprssõs algébricas, basta substituir alguns valors do intrvalo ao qual prtnc 2º) S for positiva, apnas limin o módulo rscrva a xprssão, sm altrá-la; s for ngativa, limin o módulo scrva o oposto da xprssão (isto é, troqu os sinais d todos os sus trmos) FRAÇÃO GERATRIZ Como já foi dito, uma dízima priódica pod sr rprsntada como uma fração d dois númros intiros (com dnominador não nulo) A ssa fração é dado o nom d fração gratriz Obs: Em uma dízima priódica, a mnor squência d algarismos qu s rpt é dnominada príodo Dstacamos o príodo d uma dízima priódica colocando um sobr l Vja: Exmplo 32 Dtrminar a fração gratriz d 2,03333 I) II) III) IV) Est procsso é rlvant quando tmos incógnitas dntro do módulo Logo, Exmplo 33 Elson Rodrigus, Gabril Carvalho Paulo Luiz Ramos Página 5
Para dtrminar a fração gratriz ( ) d, basta utilizar o sguint método: i) Escrva a dízima dstacando o príodo, conform a Obs igual-a a ii) iii) iv) S ntr a vírgula o príodo não houvr nnhum algarismo, vá para o passo iii) Caso haja, cont o númro d algarismos ntr a vírgula o príodo multipliqu ambos os lados da quação pla potência d 0 corrspondnt Não há algarismos ntr a vírgula o príodo, logo continuamos com Cont o númro d algarismos qu formam o príodo (no caso, ) multipliqu a quação obtida m i) pla potência d 0 corrspondnt Subtraia ii) d iv) rsolva a quação rsultant Logo, CONJUNTO DOS NÚMEROS IRRACIONAIS Vimos qu o conjunto dos irracionais abrang todas as dízimas não priódicas Exmplo 4 Obs: É important lmbrar qu o conjunto dos númros irracionais não é fchado para as opraçõs básicas, ntr las difrnça soma Isto é, nm toda soma d irracionais é irracional EERCÍCIOS FUNDAMENTAIS 4 Prov qu não é racional DESAFIO: Prov qu não é racional CONJUNTO DOS REAIS Já vimos qu, Em outras palavras, o conjunto dos númros rais é dado pla união d racionais irracionais TAREFA 4 Lr, no tablt, a part tórica 4 xrcício 25 REAIS E A RETA NUMÉRICA EERCÍCIOS FUNDAMENTAIS Dtrmin a difrnça Para cada númro ral stá associado um único ponto da rta Rciprocamnt, à cada ponto da rta stá associado um único númro ral Isto é, tmos uma rlação biunívoca ntr a rta numérica os númros rais 3 Sjam p q, primos ntr si, tais qu 32 Encontr a fração gratriz, m cada caso a sguir Os númros rais a rta numérica c) 33 Escrva m ordm crscnt as fraçõs, TAREFA 5 Lr, no tablt, a part tórica 4 fazr os PROPOSTOS 35, 36, 37, 39, 40(a, d, f) 4(a, b, c) E AULA 04 Elson Rodrigus, Gabril Carvalho Paulo Luiz Ramos É important obsrvar qu os rais consgum compltar uma rta, ou sja, você consgu associar a cada ponto da rta um númro ral sm dixar nnhum buraco na rta Not qu, os conjuntos não são capazs d compltar a rta As suas rprsntaçõs na rta numérica dixam buracos (pontos sm númro) Essa associação srá muito important quando formos tratar os subconjuntos d TAREFA 6 Lr, no tablt, nas páginas 42 a 45, Página 6 Conjunto dos númros rais Rprsntação dos númros rais na rta numérica E FAZER o PSA 42
REPRESENTAÇÃO DOS INTERVALOS Para rprsntar os intrvalos rais d manira mais visual utilizarmos pdaços d rtas AULA 05 Exmplo 52 O conjunto rprsntado da sguint forma? INTERVALOS REAIS Até agora, ralizamos opraçõs apnas ntr conjuntos finitos Srá iniciado o studo d uma nova class d conjuntos, os intrvalos Ests, d modo gral, possum infinitos lmntos PRELIMINAR Dados os conjuntos, dtrmin Logo, Obs: A rprsntação dos conjuntos pod sr fundamntal para facilitar a ralização das opraçõs ntr conjuntos PRELIMINAR 2 os conjuntos, tnt dtrminar Not qu os dois conjuntos são infinitos; é complicado ralizar a opração com a rprsntação atual, também não é possívl rprsntá-los na forma tabular Portanto, ainda não sabmos como dtrminar INTERVALOS REAIS Os intrvalos são subconjuntos d qu podm sr xprssos por mio d dsigualdads Exmplo 5 O conjunto ral A rprsntação aprsntada é boa, porém, not qu não ficaclaro s os xtrmos,, prtncm ou não ao intrvalo Para dixar claro quando os xtrmos prtncm ou não ao intrvalo, srá usada a notaçãoxplicada no quadro a sguir (ond a part pintada rprsnta os lmntos d ) Extrmos do intrvalo Not qu os dois conjuntos são finitos; para ralizar a opração união, primiro altramos a rprsntação dos conjuntos para a forma tabular Dados pod sr é um intrvalo Bolinha fchada: quando o xtrmo prtncr ao intrvalo, utilizarmos uma bolinha fchada para rprsntá-lo A idia é mostrar qu o ponto do xtrmo também stá pintado Evidnciando, dss modo, qu l também é lmnto do intrvalo Bolinha abrta: quando o xtrmo não prtncr ao intrvalo, utilizarmos uma bolinha abrta para rprsntá-lo A idia é mostrar qu o ponto do xtrmo não stá pintado Evidnciando, dss modo, qu l não é lmnto do intrvalo Logo, o conjunto (do xmplo 52) sria corrtamnt rprsntado por Assim, para rprsntar qualqur intrvalo d númros rais, basta sguir o sguint passo-a-passo: i Dsnh uma rta (com a sta para a dirit ii Coloqu os lmntos dos xtrmos iii Pint do a part qu rprsnta os lmntos intrvalo iv Avali s os xtrmos prtncmou não ao intrvalo v Rprsnt as bolinhas, dixando claro s stão fchadas ou abrtas Exmplo 53 Elson Rodrigus, Gabril Carvalho Paulo Luiz Ramos Página 7
O conjunto rprsntado por pod sr Visto qu os intrvalos são conjuntos, podmos ftuar, ntr ls, as opraçõs união, intrsção, difrnça complmntar página 46, a tabla TAREFA 7 Lr, no tablt, na rprsntação Intrvalos com dscrição, notação Parênts colcht Após a litura rcomndada, você dv tr obsrvado intrvalos utilizando qu podmos rprsntar os parêntss ou colchts Colcht no sntido normal [ ] : utilizado para dnotar xtrmos fchados Colcht no sntido contrário ] [ : utilizado para dnotar xtrmos abrtos Parênts: utilizado para dnotar xtrmos abrtos Exmplo 54 O conjunto scrito na forma OPERAÇÕES ENTRE INTERVALOS pod sr também EERCÍCIOS FUNDAMENTAIS 6 Dado o conjunto, sguir c) d) ), dtrmin os conjuntos a TAREFA 9 Lr, nas 45 a 50, Os intrvalos fazr os PSA 46, 47 48 ETRA ETRA: Exrcícios CONHECENDO AVALIAÇÕES 5, 8 QUESTÕES ETRAS Obs: ou não são númros Rais, portanto, nunca usamos qualqur notação qu indiqu a idia d fchado junto aos símbolos ou EERCÍCIOS FUNDAMENTAIS 5 Rprsnt cada intrvalo a sguir, m su cadrno, utilizando as três notaçõs studadas: parêntss ou colchts, pla propridad, também, na rta numérica Sndo A, 6, B 0, 8 C, 0, tm-s qu o conjunto B A B C é igual a (A) (B) 8, 0 (C) 6, 0 (D) 6, 8 (E), 6 8, 0 2 Sjam x y númro primos ntr si, tais qu x y,23 A soma x y é igual a c) d) ) TAREFA 8 Fazr os PSA 44 45(a, d) AULA 06 (A) 67 (B) 37 (C) 30 Elson Rodrigus, Gabril Carvalho Paulo Luiz Ramos Página 8
(D) 23 (E) 7 3 Sndo x, com 0 x 4, tm-s qu a xprssão 2x 8 5 2 3x 30 x é igual a (A) 6x 98 (B) 6x 82 (C) 8x 38 (D) 2x 38 (E) 2x 22 4 Sjam, Rprsnt, por mio d uma propridad qu caractriz sus lmntos, o conjunto 5 Calcul o valor numérico da xprssão a sguir 6 Uma rodoviária possui duas linhas d ônibus Um ônibus da linha sai da rodoviária a cada minutos um ônibus da linha sai a cada minutos Dado qu às h sam juntos, da rodoviária, um ônibus d cada linha, dtrmin o primiro horário, após as h, no qual os ônibus das linhas sairão juntos novamnt 7 Dados os conjuntos,, uma rprsntação gráfica do conjunto é 8 Em algumas famílias d uma comunidad carnt foram distribuídos 240 cadrnos, 576 lápis 080 borrachas A distribuição foi fita d tal modo qu o maior númro d famílias foss contmplado qu cada família rcbss a msma quantidad d lápis, a msma quantidad d cadrnos a msma quantidad d borrachas Nssas condiçõs, a quantidad d borrachas qu cada família rcbu foi igual a 24 28 c) 36 d) 40 ) 45 GABARITO EERCÍCIOS FUNDAMENTAIS 20 60 2 n 5 3 20, 2, 22 2 60 minutos 22 6 x 3 9 32 3 7 3 2 4x 6 c) 23 99 33 5 2 7 5 30 3 5 4 Dmonstração 5 A rprsntação por rta srá fita m sala 2, 5 3, c) x x 4 d) x x 3 ) x 0 x 4 6, 5 0, 3 c), 0 d) 3, 5 ), 0 QUESTÕES ETRAS D 2 A 3 E 4 x 0 x 3 ou 4<x<0 5 256 6 2h5 7 C 8 E Elson Rodrigus, Gabril Carvalho Paulo Luiz Ramos Página 9