Capítulo 5 Retas Tangentes 5.1 Conceituação No Capítulo Alguns Problemas do Cálculo, vimos que a reta tangente tem um importante significado físico e geométrico e que portanto, é necessário saber defini-la e determinar a sua equação. O problema que temos é o seguinte: considere uma função f e P = (, f( )) um ponto qualquer do seu gráfico. Em primeiro lugar, desejamos definir sem ambigüidades o que entendemos por reta tangente ao gráfico de f, passando por P. Como já discutimos, embora a idéia geométrica de reta tangente seja bastante intuitiva, eistem dificuldades para chegarmos a uma definição conceitual. Procurando atingir este objetivo, vamos usar o Maple para observar o comportamento da curva, nas proimidades do ponto de tangência, numa escala microscópica. Nesse sentido, vamos traçar vários gráficos de uma mesma função dando zooms sucessivos em torno do ponto de tangência, isto é, vamos usar o Maple como um microscópio para observar a região do gráfico marcada pelo quadradinho, aumentando, a cada passo, a potência da lente usada. 1 1 1 5 1 8 3 3 1 1 3 3 1 5.8... 3.8 3. 3. 3. 3 3.. 1.8 1. 1.. 3.8 3... 1.8 1. Os gráficos a seguir mostram esta mesma técnica usada com a função cúbica f() = 3, nas proimidades do ponto (, ).. y 1 y.1 1 1 1..1.1..1.

58 Cap. 5. Retas Tangentes Pela análise dos eemplos acima, parece razoável, e vamos definir reta tangente a uma curva em um ponto dado como a reta que se confunde com a curva próimo ao ponto de tangência. Levando em conta esta definição é possível garantir a eistência da reta tangente em qualquer ponto de uma dada curva? Para responder a esta pergunta, observe o que acontece com a função f() =, para valores de próimos de =. 1.3.8....1. 1.8.......8 1.3..1.1..3.. Veja que por mais que aumentemos a escala usada para traçar este gráfico, a figura continua sempre a mesma, isto é, sempre conseguiremos distinguir qualquer reta que passe pela origem do gráfico da função módulo. Neste caso, e de acordo com a definição a que chegamos acima, não eiste reta tangente à curva y = no ponto (, ). O problema surge porque, neste ponto, a curva forma um bico, o que torna impossível a eistência de uma reta que se confunda com o gráfico da função neste ponto. De um modo geral, eiste uma única reta tangente a uma dada curva em todos os pontos onde esta curva é suave, ou seja, onde não eistam bicos..1 5. Declividade Uma vez que chegamos a uma definição aceitável de reta tangente, o problema que se põe agora é: conhecendo-se o ponto de tangência, P = (, y ), como determinar a equação da reta tangente à curva nesse ponto? Em primeiro lugar, qualquer que seja a equação da reta tangente, ela deve conter o ponto P. Veja o gráfico a seguir. Como qualquer reta não vertical passando por P tem uma equação da forma y y = m ( ), a equação da reta tangente que passa por ( o, f( o )) é y f( ) = m ( ) onde m é a sua declividade. O problema, portanto, se resume em determinar o coeficiente angular dessa reta. Como não temos dados para calcular tal coeficiente, a idéia é aproimar o seu valor pelo coeficiente angular de uma reta que podemos determinar e que está próima da reta tangente. Neste caso, a reta secante que passa por P = (, f( )) e por P 1 = ( + h, f( + h)), um outro ponto qualquer da curva. Observe a animação abaio, para concluir que à medida que o ponto P 1 se aproima do ponto P, a reta secante que passa por estes dois pontos se aproima da reta tangente. 5. 3.5 3. 1. 1. 1...75......5. 1. 1. 1...3...38...33. 1. 1. 1.......

W.Bianchini, A.R.Santos 59 Portanto, podemos aproimar a declividade da reta tangente pela declividade da reta secante, e esta aproimação pode ser melhorada cada vez mais, bastando para isso considerarmos o ponto P 1 cada vez mais próimo do ponto P. Repare que a declividade da reta secante que passa por P 1 e por P é dada por f( + h) f( ). h Logo, para h suficientemente pequeno (se h é pequeno, o ponto P 1 estará bastante próimo de P ), podemos tomar a razão acima como uma aproimação para a declividade m da reta tangente ao gráfico da função y = f() no ponto P. Essa idéia foi usada por Fermat em 19, quando, desse modo, ele encontrou uma maneira de construir tangentes a uma parábola. Embora Fermat tenha deduzido o seu método para parábolas, ele pode ser aplicado a outras curvas planas. Para ilustrar como funciona o Método de Fermat, vamos eecutá-lo, passo a passo, com a ajuda do Maple, no caso particular em que f() = + 5 e P é o ponto ( 1, ). 1. Primeiro, defina a função y = f() e o ponto P : > f:= -> -^ + 5*; > p := [, f() ]; f := + 5 p := [1, ]. Determine um outro ponto qualquer do gráfico. Chame este ponto, por eemplo de P 1 : > 1:=+h; > p1 := [ 1, f(1) ]; 1 := 1 + h p1 := [1 + h, (1 + h) + 5 + 5 h] 3. Determine o coeficiente angular da reta secante que passa pelos pontos P e P 1. Para isso, podemos usar o comando slope do pacote student: > m := slope( p, p1 ); m := 1 + (1 + h) 5 h h Repare que no quociente acima temos necessariamente h. Esta restrição algébrica se traduz geometricamente pelo fato de serem necessários dois pontos distintos para se determinar uma reta (se h = o ponto P 1 coincidiria com o ponto P!).. Agora, basta estudar o comportamento de m quando h tende a zero, isto é, quando o ponto P 1 se aproima do ponto P. Para isso definimos uma seqüência de valores positivos de h que se aproimam de zero (dessa maneira estamos escolhendo o ponto P 1 à direita de P e fazendo este ponto se aproimar cada vez mais de P ) e calculamos, para cada h, os respectivos valores de m. > valores_h := evalf([seq( 1/1^i, i=..5)]); valores h := [1.,.1,.1,.1,.1,.1] > seq( evalf (m), h=valores_h );.,.9,.99,.999,.9999, 3. A lista de valores acima sugere que quando h o coeficiente angular m parece se aproimar de 3. 5. Repita o procedimento acima para h negativo, isto é, tome agora pontos à esquerda de P. > valores_h := evalf([seq( -1/1^i,i=..5)]);

Cap. 5. Retas Tangentes valores h := [ 1.,.1,.1,.1,.1,.1] > seq( evalf (m), h=valores_h );., 3.1, 3.1, 3.1, 3.1, 3.1 Nesse caso é possível afirmar que à medida que h se aproima de zero, quer por valores maiores que zero, quer por valores menores que zero, os valores do quociente m, isto é, a declividade da reta secante à curva que passa por P 1 e P, se aproimam de 3. Além disso, esses valores podem se aproimar arbitrariamente de 3, bastando para isso que escolhamos h suficientemente próimo de zero. Esta última afirmação equivale a dizer que podemos tornar a reta secante arbitrariamente próima da reta tangente, bastando para isso escolher o ponto P 1 suficientemente próimo do ponto de tangência P. Para ilustrar essa situação, traçamos abaio o gráfico da reta secante em conjunto com o gráfico da função, para valores de h cada vez mais próimos de zero. 8..8 1 1. 1. 1. 1.8 5.8... 3.8 3. 3. 3. 3.8..8.9 1 1.1 1. 1.3 1. No eemplo acima, vimos que a declividade da reta secante que passa pelos pontos P = (, f( )) e P 1 = ( + h, f( + h)) é dada por f( + h) f( ), h para h, ou equivalentemente, f() f( ), onde = + h e. Quando o ponto P 1 se aproima do ponto P, a declividade da secante se aproima da declividade da reta tangente. É claro que, quando o ponto P 1 se aproima de P, se aproima de. O problema então é descobrir o que acontece com o quociente f() f() quando se aproima de. Na seção abaio estudaremos este problema para o caso de uma parábola geral. 5.3 O problema da tangente à parábola Na seção anterior calculamos a inclinação da reta tangente à parábola y = + 5 num ponto particular. Vamos tentar resolver este problema no caso geral. Considere a parábola y = a + b + c e um ponto (, f( )) do seu gráfico. Como vimos na seção anterior, um bom método para determinar a declividade da reta tangente a esta parábola no ponto dado é estudar o que acontece com a declividade das secantes que passam pelos pontos (, f( )) e (, f()) à medida que se aproima de, isto é, precisamos estudar o comportamento do quociente m = f() f( o) quando se aproima de. Repare mais uma vez que este quociente não está definido em = e que, portanto, não adianta substituirmos, na epressão acima, por, porque isso resultaria numa epressão sem significado. Devemos pensar que chega muito perto de, mas permanece distinto dele. No eemplo particular da seção anterior, vimos que é fácil usar o Maple para gerar uma seqüencia de valores para esse quociente e então, a partir desses valores, tentar tirar conclusões sobre o seu comportamento. Nesse caso geral, vamos tentar encontrar para esse problema uma solução que se aplique quaisquer que sejam os valores de a, b e c dos coeficientes da parábola e qualquer que seja o ponto (, f( )) dado.

W.Bianchini, A.R.Santos 1 Assim, calculando e simplificando a razão acima, temos que > m:=(a*^+b*+c-(a*^+b*+c))/(-); > m:=collect(m,[a,b]); > m:=simplify(m); > m:=collect(m,a); m := a + b a b m := ( ) a + b m := a + b + a m := ( + ) a + b Repare que, conhecidos os valores de a, b e, a epressão acima depende somente de, definindo m como função de. Vamos, então, estudar o comportamento da função m à medida que se aproima de. (Repare, mais uma vez, que todos os cálculos que foram feitos valem somente para e que, portanto, esta função não está definida para = ). Primeiro definimos a função m, como se segue > m:=->a*(+)+b; m := a ( + ) + b e a seguir, fazemos se aproimar de : > _valores:=[seq(+h,h=[.1,.1,.1,.1,.1])]; valores := [ +.1, +.1, +.1, +.1, +.1] Nesta primeira sequência que geramos, se aproima de pela direita, isto é, por valores maiores que. Observe, agora, o que acontece com os correspondentes valores de m. > map(m,_valores); [a ( +.1) + b, a ( +.1) + b, a ( +.1) + b, a ( +.1) + b, a ( +.1) + b] Na sequência a seguir, se aproima de pela esquerda, isto é, por valores menores que. > _valores:=[seq(-h,h=[.1,.1,.1,.1,.1])]; valores := [.1,.1,.1,.1,.1] Observe, novamente, o que acontece com os correspondentes valores de m. > map(m,_valores); [a (.1) + b, a (.1) + b, a (.1) + b, a (.1) + b, a (.1) + b] Notamos que, à medida que se aproima de, quer pela direita, quer pela esquerda, os valores de m se aproimam de a + b; mais do que isso, os valores de m podem ficar tão próimos de a + b quanto quisermos, bastando para isso que esteja suficientemente próimo de. (Veja este resultado animado graficamente na versão eletrônica.) Matematicamente, esse comportamento se traduz pela epressão, (Lê-se: limite de m quando tende a é a + b.) lim m = a + b. Assim, para calcular a declividade da reta tangente a uma curva y = f() em um ponto (, f( )) do seu gráfico, basta estudar o comportamento do quociente m = f() f() quando se aproima de, ou, em linguagem matemática, é preciso calcular o valor de m = lim m.

Cap. 5. Retas Tangentes O valor desse limite que representa, geometricamente, a declividade da reta tangente à curva y = f() no ponto (, f( )), é usualmente denotado por f ( ) (lê-se: f linha de ) para enfatizar a sua dependência da função f e do ponto e define, como veremos adiante, a partir da função f, uma nova função, chamada derivada de f. Portanto, para calcularmos a declividade de retas tangentes a curvas e, conseqüentemente, estudarmos a derivada de uma função, é preciso conhecer um pouco mais sobre a teoria dos limites, o que faremos no próimo capítulo. Eercício (a) Encontre a equação da reta tangente à parábola y = no ponto (a, f(a)). (Observe algumas destas retas traçadas no gráfico a seguir.) y 1 1 1 1 (b) Os gráficos traçados no item anterior parecem sugerir que cada reta tangente intercepta o gráfico da parábola em um único ponto. Prove, analiticamente, este fato, isto é, mostre que a reta tangente à parábola y =, cuja equação você achou no item anterior, intercepta o gráfico desta curva no ponto (a, a ), sendo este o único ponto de interseção destas duas curvas. Observação: Neste sentido, a parábola é uma curva muito especial. Em geral, a reta tangente a uma curva intercepta o seu gráfico em mais de um ponto, como mostra o gráfico seguinte. 1 8 y 8 1 5. Uma nota histórica: A falha lógica no raciocínio de Fermat ou o porquê de limites Vamos calcular a declividade da reta tangente à curva y = 5 9 3 no ponto (1, 8), da mesma forma como Fermat fazia este cálculo no início do século XVII. Em primeiro lugar, vamos definir a função f e calcular o quociente m, como se segue: > f:=->^5-9*^3; f( + h) f() m = h A seguir, Fermat simplificava a epressão acima: > simplify(m[]); f := 5 9 3 = (1 + h)5 9 (1 + h) 3 + 8 h 17 h + h + 5 h 3 + h Essa epressão fornece a inclinação da reta que corta a curva nos pontos (1, f(1)) e (1 + h, f(1 + h)). Para Fermat, a declividade da reta tangente à curva y = f() era o resultado do cálculo do valor dessa última epressão em h =. Seguindo os passos de Fermat teríamos: > subs(h=,%);

W.Bianchini, A.R.Santos 3 Esse processo pode ser generalizado para obter a declividade da reta tangente à curva y = f() em um ponto (, f( )) arbitrário. Seguindo os mesmos passos anteriores, temos: > m:=(f([]+h)-f([]))/h; > simplify(m); > subs(h=,%); m := ( + h) 5 9 ( + h) 3 5 + 9 3 h 5 + 1 3 h + 1 h + 5 h 3 + h 7 7 h 9 h 5 7 Durante toda a sua vida e por um século e meio após a sua morte, o raciocínio de Fermat foi atacado por todos os matemáticos por conter uma falha lógica. A dificuldade era e continua sendo real. A falha do raciocínio de Fermat estava na substituição de h por zero somente após uma simplificação do quociente das diferenças. Qualquer tentativa de se fazer tal substituição antes de se cancelar o h que aparece no denominador da fração resulta numa epressão sem sentido matemático, do tipo. Da maneira como Fermat fazia a conta, h valia zero quando ele queria que assim o fosse, mas não era zero quando este valor atrapalhava a prova. Mais especificamente, a igualdade ( + h) 5 9 ( + h) 3 5 + 9 3 = 5 + 1 3 h + 1 h + 5 h 3 + h 7 7 h 9 h h só é verdadeira para valores de h. Fermat não permitia que h fosse zero no lado esquerdo da igualdade, mas, ainda assim, substituía h por zero no lado direito da mesma igualdade, o que consistia em uma clara contradição matemática no seu raciocínio! Com o desenvolvimento da Teoria dos Limites esse impasse lógico foi superado. No entanto, isso só veio a acontecer no final do século XIX, quando a idéia de limite deiou de ser obscura e nebulosa e foi definida com rigor e precisão pelo matemático alemão Karl Weierstrass (1815-1897). (Veja o próimo capítulo). Por enquanto, para entender como é poderosa a idéia de limite, tente calcular a declividade da reta tangente à curva y = sen() no ponto = 1 da mesma maneira como Fermat o fazia e depois calcule esta mesma declividade empregando o método de aproimação do quociente de diferenças para pequenos valores de h que empregamos para cálculos semelhantes por todo este capítulo. A que conclusões você pode chegar? 5.5 Atividades de laboratório Usando um computador e o Maple, faça as atividades propostas no arquivo Lab1.mws da versão eletrônica deste teto. 5. Eercícios 1. (a) Encontre a equação da reta tangente à parábola y = + + 5 no ponto ( 1, 3). (b) Encontre os pontos onde a inclinação da reta tangente à parábola do item anterior é horizontal.. Nos itens abaio, ache todos os pontos da curva y = f() nos quais a reta tangente é horizontal. (a) f() = 1 (b) f() = + 1 (c) f() = 3 + (d) f() = 1 (e) f() = ( + 3) 3. (a) Esboce vários gráficos de parábolas para comprovar que o seu vértice é o único ponto do gráfico onde a tangente é horizontal. (b) Use o fato acima e a fórmula da declividade da tangente a uma função quadrática, encontrada neste capítulo, para demonstrar que o vértice da parábola y = a + b + c é o ponto de coordenadas ( b a, a ).. Ache a equação da reta tangente à parábola y = + 1 que é paralela à reta 8 + y =. 5. Seja f() = a + b + c. Usando a fórmula f ( ) = a + b, deduzida neste capítulo, calcule f ( ) para cada uma das funções dadas abaio:

Cap. 5. Retas Tangentes (a) f() = (b) f() = 5 (c) f() = 3 + (d) f() = ( + 1) (e) f() = ( + 3) (f) O valor encontrado nos itens (a) e (b) é coerente com o significado geométrico de f ( )? 5.7 Problemas propostos 1. Ache as dimensões de um retângulo de perímetro igual a 1 cm, de tal modo que a sua área seja máima.. Dada uma curva no plano definida por uma função y = f() e um ponto (a, b) que não pertence a esta curva, deve eistir um ponto (, f( )) da curva que está mais perto do ponto (a, b). Veja a animação correspondente ao caso da curva y = e do ponto (3, ), na versão eletrônica deste teto. Intuitivamente, o segmento que une o ponto (a, b) ao ponto (, f( )) deve ser perpendicular ou normal ao gráfico da curva neste ponto. Definimos reta normal ao gráfico de uma curva em um ponto (, y ) como sendo a reta perpendicular à reta tangente à curva naquele ponto. (a) Qual a declividade da reta normal a uma curva y = f() no ponto (, f( ))? (b) Escreva a equação da reta tangente e da reta normal à curva y = no ponto (1, 1). (c) Escreva a equação da reta normal à curva y = no ponto genérico (, f( )). (d) Use o item anterior para determinar o ponto da curva y = mais próimo do ponto (3, ). 3. Considere a parábola y = a + b + c e P (, y ) um de seus pontos. Podemos traçar a reta tangente à parábola que passa por P da seguinte forma: Sejam P 1 e P dois pontos da parábola com abscissas 1 e o + 1, respectivamente. A tangente procurada é a reta paralela à reta que passa por P 1 e P e que contém P. Veja o gráfico: o 1 o o+1 Use a fórmula deduzida neste capítulo para a declividade de tangentes a parábolas e demonstre que a construção geométrica anterior é correta.. No gráfico seguinte, identifique: (a) os pontos onde a declividade da reta tangente ao gráfico é zero. (b) o ponto onde a reta tangente corta este gráfico. (c) os intervalos onde a declividade da reta tangente é positiva e os intervalos onde ela é negativa. y1 b c a 1 (d) O sinal da declividade da reta tangente nos fornece alguma informação a respeito do comportamento da função f? (Veja a resposta no capítulo sobre derivadas.) 5. (a) Ache as equações das duas retas que passam pelo ponto (, 1 ) e que são tangentes à parábola y =. (b) Prove analiticamente que não eiste uma reta que passe pelo ponto ( 1, 1) que seja tangente à parábola y =.

W.Bianchini, A.R.Santos 5. O ponto P (, ) pertence ao gráfico da curva y =. (a) Se Q é o ponto (, ) e, portanto, também pertence ao gráfico desta curva, ache a declividade da reta secante à curva que passa por P e Q, para os seguintes valores de (use o Maple ou uma calculadora): i. 5 ii.,5 iii.,1 iv.,1 v.,1 vi. 3 vii. 3,5 viii. 3,9 i. 3,99. 3,999 (b) Usando os resultados encontrados no item (a), deduza qual deve ser a declividade da reta tangente à curva y = no ponto P (, ). (c) Usando o resultado obtido no item (b), ache a equação da reta tangente à curva y = () no ponto P (, ). 7. O ponto P ( 1, ) pertence ao gráfico da curva y = 1. (a) Se Q é o ponto (, 1 ) e, portanto, também pertence ao gráfico desta curva, ache a declividade da reta secante à curva que passa por P e Q, para os seguintes valores de (use o Maple ou uma calculadora): i. ii. 1 iii.,8 iv., v.,5 vi.,55 vii.,555 viii.,5 i.,9 (b) Usando os resultados encontrados no item (a), deduza qual deve ser a declividade da reta tangente à curva y = 1 no ponto P ( 1, ). (c) Usando o resultado obtido no item (b), ache a equação da reta tangente à curva y = 1 no ponto P ( 1, ). 5.8 Para você meditar: Matemática, física, fórmula 1 e saber popular É muito difícil (e perigoso!) fazer curvas dirigindo um automóvel em alta velocidade (pergunte ao seu professor de física por que), por isso os pilotos de fórmula 1 procuram encontrar um traçado ótimo para cada circuito que consiste em suavizar as curvas, isto é, procurar guiar mantendo o carro o maior tempo possível em linha reta. (a) O que esse percurso ótimo tem a ver com retas tangentes e traçados de gráficos? (b) Por que um circuito de pista larga e curvas suaves é considerado de alta velocidade, enquanto que um circuito de rua, como o de Mônaco, por eemplo, é de baia velocidade? O povo usa epressões e adota procedimentos comprovados empiricamente através de muitas gerações. Esse tipo de conhecimento é mais evidente entre, por eemplo, índios e homens do campo, cuja cultura ainda não foi contaminada pelo saber científico do homem moderno. Esses procedimentos podem ser eplicados ou desmistificados à luz da Ciência. (c) Eplique matemática e fisicamente a epressão popular sair pela tangente. 5.9 Projetos 5.9.1 Programando o computador para traçar gráficos de funções (a) Como o Maple traça gráficos Assim como a maioria dos alunos preguiçosos e que nunca estudaram Cálculo, o Maple traça gráficos de funções ligando pontos por segmentos de reta. Como você já deve ter visto, o comando básico para o traçado de gráficos é plot( epress~ao, =a..b), onde [a,b] é o intervalo de variação de. Veja a seguir como este comando funciona: > f:=->-^+5*: > plot(f(),=-..); 8 1 1 1

Cap. 5. Retas Tangentes Ao receber esse comando, o Maple gera uma lista de pontos da forma (, f()) e os liga por segmentos de reta. O computador, ao contrário da maioria dos alunos, obtém com esse método uma boa aproimação do gráfico da função desejada porque escolhe um número muito grande de pontos no intervalo [a, b]. O comando lprint mostra a lista de pontos usada pelo Maple para traçar o gráfico acima. > lprint(plot(f(),=-..)); PLOT(CURVES([[-., -1.], [-1.8577, -1.11319599], [-1.738988333333, -11.171588373], [-1.537777, -9.77158919777], [-1.331537, -8.31571897], [-1.151833333, -7.197111733], [-1.73517, -.15193135], [-.837985351, -.893395], [-.858818, -3.787813918111], [-.9977515, -.75997857], [-.351913333333, -1.7397811593], [-.17178887, -.888558179785], [.75999999981e-3,.3877313e-], [.17178999999999,.839877795898], [.39837, 1.5888789551], [.97183333333,.31831], [.7897,.9119385718], [.8577, 3.77331773], [1.3915,.9859995877], [1.15515,.5587773377], [1.333915,.88835793999], [1.9739135, 5.773], [1.88917, 5.5591133191], [1.85117, 5.7953958], [1.995183333333, 5.9935997], [.173718333333,.198357838], [.3599535,.1971339751883], [.917953333333,.993888598], [.3118,.339535583], [.83789999999,.137983859], [.99878999999,.7813779771], [3.179189999999, 5.79718785337], [3.33719, 5.55377773], [3.573, 5.35193591], [3.39958333333,.89518919989], [3.835919,.7595117735], [3.991711,.11311198993], [.1155, 3.7971558158], [.38957,.988311], [.51355,.55597338], [.715197333333, 1.553537737], [.83853333333,.789733338], [5.5938517, -.5955581353e-1], [5.1597158, -.88377981], [5.339857, -1.7981385117], [5.95313333333, -.7195178], [5.15, -3.73598715953], [5.817815, -.8135353], [., -.]],COLOUR(RGB,1.,,)),AXESLABELS(, ),VIEW(-....,DEFAULT)) Para traçar este gráfico, o Maple usou 9 pontos! Eiste uma rotina interna que ajusta o número de pontos necessários para nos dar a ilusão de que o que vemos na tela é uma curva. Isto é feito usando um número maior de pontos nas regiões onde o ângulo entre os segmentos de reta que unem dois pontos consecutivos do gráfico é muito agudo. Observe este fato no eemplo dado traçando a curva com o estilo point. > plot(f(),=-..,style=point); 8 1 1 1 Observe também, nos eemplos abaio, o efeito conseguido pelo uso da opção adaptative=false. Essa opção faz com que a rotina interna para suavizar as curvas não seja usada. Como padrão, o Maple usa a opção adaptative=true. Essa opção tem prioridade sobre numpoints, isto é, se a opção adaptative=false não for especificada, a opção numpoints, que define o número de pontos usados para traçar o gráfico, nem sempre será obedecida. Observe a diferença nos seguintes eemplos. > plot(f(),=-..,numpoints=5,adaptive=false);

W.Bianchini, A.R.Santos 7 8 1 1 1 > plot(f(),=-..,numpoints=5); 8 1 1 1 Na versão eletrônica, mude o estilo do traçado do gráfico acima para point e comprove que o Maple usou muito mais que os cinco pontos especificados para traçar esse gráfico! Observe também, nos eemplos a seguir, quantos pontos são necessários para obtermos uma boa aproimação visual para o gráfico dessa função. > plot(f(),=-..,numpoints=8,adaptive=false); 8 1 1 1 > plot(f(),=-..,numpoints=,adaptive=false); 8 1 1 1 Por que o método acima funciona? (b) Escrevendo o nosso próprio programa para o traçado de gráficos Como vimos na seção anterior, o Maple e vários outros programas de computador traçam o gráfico de uma função y = f() num determinado intervalo [a, b], aproimando-o por segmentos de reta que unem dois pontos consecutivos do gráfico de f, isto é, dois pontos do tipo ( i, f( i )), onde os i s formam uma subdivisão do intervalo [a, b] com 1 = a, n = b e i [ a, b ] para 1 i n. Vamos chamar uma aproimação deste tipo de uma aproimação poligonal para o gráfico de f. A esta altura, você já deve saber porque à medida em que n cresce a aproimação poligonal converge para o gráfico da função! 1. Usando o Maple, faça o seu próprio programa para traçar uma aproimação poligonal para o gráfico da função y = em [, ], considerando uma subdivisão do intervalo com 3, 5, 9, 17 e 33 pontos, sucessivamente. Sugestão: Defina os pontos da subdivisão do intervalo, calcule o valor da função em cada um deles e use o comando plot([p1,p,..pn]) para ligar por segmentos de reta os pontos p i = [ i, f( i )] assim obtidos.

8 Cap. 5. Retas Tangentes. Modifique o seu programa para traçar o gráfico de uma função qualquer y = f(), em um intervalo [a, b] via aproimação poligonal, com o número de pontos na subdivisão de [a, b] determinado pelo usuário. 3. Teste o seu programa com as funções y = 3, y = sen() e y = 1 no intervalo [ 1, 1].. Quantas subdivisões foram necessárias, em cada caso, para se obter uma boa aproimação? Que problema acontece com a última dessas funções? Você é capaz de resolvê-lo? 5. Aponte algumas deficiências desse método. A idéia acima de aproimar curvas planas por segmentos de reta de comprimento cada vez menor é usada para definir e calcular comprimentos de arcos de curvas. Um comprimento aproimado para este arco pode ser obtido somando-se os comprimentos de cada um dos segmentos de retas usados para aproimar o arco de curva. O comprimento desses segmentos são calculados a partir da fórmula para a distância entre dois pontos quaisquer do plano. 1. Usando a técnica descrita acima, calcule um valor aproimado para o comprimento do arco de parábola y = para 1. Como essa aproimação pode ser melhorada? Você é capaz de chegar ao resultado com casas decimais eatas?. Deduza uma fórmula para aproimar o comprimento de uma curva y = f() em um intervalo [a, b] subdividindo-o em n subintervalos de igual comprimento. 3. Qual o valor eato para o comprimento de uma curva y = f() em um intervalo [a, b] qualquer? Se você não é capaz de responder a esta pergunta, estude o capítulo sobre limites. 5.9. O refletor parabólico Quando a luz é refletida por um espelho plano, o ângulo entre o raio incidente e o espelho é igual ao ângulo entre o raio refletido e o espelho. Quando o espelho é curvo, a reta tangente determina como o raio é refletido. Próimo ao ponto de refleão, o espelho, embora curvo, se parece muito com uma reta que é, como já vimos, a reta tangente à curva naquele ponto, e a luz é refletida de tal maneira que os ângulos entre os raios incidente e refletido e a reta tangente são iguais. Esta é a chamada propriedade de refleão das curvas. O objetivo desse projeto é determinar a propriedade de refleão das parábolas. Seja p uma constante positiva e considere a parábola = py com vértice na origem e o foco no ponto (, p), como é mostrado na figura abaio. Seja (, y ) um ponto dessa parábola, diferente do vértice. 1. Mostre que a tangente em (, y ) tem coeficiente linear y.. Mostre que o triângulo com vértices (, y ), (, y ) e (, p) é isósceles. Sugestão: Use a fórmula de distância entre dois pontos do plano. 3. Suponha que uma fonte de luz seja colocada no foco e que cada raio de luz que deia o foco seja refletido pela parábola de tal modo que forme ângulos iguais com a reta tangente. Use o item anterior para mostrar que, após a refleão, cada raio aponta verticalmente para cima e portanto é paralelo ao eio da parábola. Esta é a chamada propriedade de refleão das parábolas. Veja figura ao lado. Para formar uma idéia tridimensional da maneira como essa propriedade é usada na construção de holofotes e faróis de automóveis, temos apenas de imaginar um espelho construído prateando-se a parte interna da superfície obtida a partir da rotação de uma parábola ao redor do seu eio. A superfície obtida é chamada um parabolóide de revolução e o foco da parábola será também o foco do parabolóide. Veja a figura ao lado. (,p) (,-y) (,y)

W.Bianchini, A.R.Santos 9 Esse refletor parabólico pode ser usado ao contrário, isto é, para juntar raios fracos que chegam paralelos ao eio e concentrá-los no foco. Assim, por eemplo, se o espelho é apontado para o sol, todos os raios serão refletidos para o mesmo ponto, o foco do parabolóide, e uma grande quantidade de calor pode ser aí produzida (a palavra latina focus significa fogo). Esse é o princípio básico das antenas de radar, radiotelescópios e telescópios ópticos refletores. O grande telescópio do Monte Palomar, na Califórnia, tem um refletor de vidro de 15 toneladas que mede aproimadamente 51 cm de diâmetro e levou 11 anos para ser polido. 1. Um raio de luz penetra em uma parábola seguindo a direção da reta = e é refletido no ponto P (, y ). Passa pelo foco (, p) e é refletido pelo outro lado da parábola. Qual a direção seguida pelo raio refletido?. Suponha que um raio de luz, paralelo ao eio de uma parábola, é refletido pelo eterior da mesma. Qual a direção seguida pelo raio refletido? 3. O gráfico de y = a é uma hipérbole com focos (a, a) e ( a, a). Mostre que se um raio de luz emana do primeiro foco e é refletido pela hipérbole, então o raio refletido segue a direção de uma reta que passa pelo segundo foco.

7 Cap. 5. Retas Tangentes