Iclusão pr vid UNIDADE REGRA DE TRÊS GRANDEZAS DIRETAMENTE PROPORCIONAIS Dus grdezs são dits diretmete proporciois qudo o umeto um dels implic o umeto d outr mesm rzão. Eemplo: kg de limeto cust R$, kg de limeto custm R$, kg de limeto custm R$ 7, GRANDEZAS INVERSAMENTE PROPORCIONAIS Dus grdezs são dits iversmete proporciois qudo o umeto der um dels implic dimiuição d outr mesm rzão. Eemplo: pessos costroem obr em 8 dis pessos costroem mesm obr em 9 dis 6 pessos costroem mesm obr em 6 dis APLICAÇÕES REGRA DE TRÊS Regr de Três Simples Regr de Três Simples é um processo mtemático medite o qul podemos resolver problems do cotidio evolvedo dus grdezs, sejm els diret ou iversmete proporciois. Este processo cosiste o seguite: Idetificr s grdezs evolvids o problem. Ns situções dds (em relção às mesms) dispô-ls em colus. Verificr se são GDP ou GIP. Motr proporção correspodete. Resolver proporção. Regr de Três Compost Regr de três compost é um processo mtemático medite o qul podemos resolver problems do cotidio, evolvedo três ou mis grdezs. O processo é semelhte o cso terior (Regr de três simples), levdo em cosiderção pes o item d verificção quto GDP ou GIP, que deve ser feito d seguite meir: lisr s grdezs dus dus, sempre em relção à que possui vriável. A motgem e resolução d proporção seguem o mesmo roteiro do cso terior (Regr de Três Simples). PORCENTAGEM As rzões cujos deomidores são iguis são chmds rzões cetesimis. 7 Eemplo: ; ; etc. Noção Ituitiv O ídice de lfbetismo d cidde é de % (lê-se por ceto). Sigific que, em médi, de cd hbittes são lfbetos. Cálculo de um porcetgem Eemplo: % de R$ 8, é R$, pois % = =, Logo % de R$ 8, =,.8, =, Defiição Porcetgem é um rzão cetesiml que é represetd pelo símbolo % que sigific por ceto. Eercícios de Sl. Se Kg de um certo produto cust R$ 6,, qul o preço de Kg do mesmo produto?. Sbedo que 6 operários coseguem costruir um cs em dis, se dispomos pes de desses operários, em quto tempo será costruíd mesm cs?. Clculr: ) 6% de d) % de % b) % de e) (%) c) % de f) %. Num cidde, joves represetm % d populção. Etão populção d cidde é de: ) hbittes d) 8 hbittes b) 6 hbittes e) 9 hbittes c) 7 hbittes Tref Míim. Se trit litros de um combustível custm R$ 6,9, qutos custrão oitet litros do mesmo combustível? 6. Se pedreiros levm 8 dis pr costruir um cs, quto tempo levrão pr costruí-l pedreiros? 7. Um cmpmeto com 8 pessos tem suprimeto pr dez dis. Sbedo-se que chegrm mis vite solddos, pergut-se: pr qutos dis terão suprimetos, cosiderdo-os ilteráveis? 8. Clculr s seguites porcetges: ) % de 8 e) % de % b) % de f) (%) c) % de g) 9 % d),% de 9. Num sl de 8 luos, luos form provdos. A porcetgem de reprovção foi de: ) % c) % e) 7% b) % d) 6%. (UFSC) Ao vestibulr de 98 d UFSC, iscrevermse. cdidtos, dos quis.99 cocluírm tods s provs. O percetul de bsteção foi:. Qul o preço de um mercdori que custv R$ 8, e teve um umeto de %? ), c), e) 98, b), d) 6,. (CESCEM-SP) % de,9 vle: ),7 c),9 e).d.. b),7 d),9 Pré-Vestibulr d UFSC
Tref Complemetr. (UNIMEP-SP) Se dois gtos comem dois rtos em dois miutos, pr comer 6 rtos em miutos são ecessários: ) gtos c) gtos e) 6 gtos b) gtos d) gtos. Dezesseis operários trblhdo seis hors por di costroem um residêci em ceto e oitet dis. Qutos operários serão ecessários pr fzer mesm residêci, trblhdo oito hors por di durte ceto e vite dis? ) 8 c) 9 e) b) d). Durte dis, cvlos cosomem kg de lff. Retirdo-se 7 cvlos, 8 kg de lff serão cosumidos em qutos dis? ) c) e) 6 b) d) 6. (UFSC) Com um lt de tit é possível pitr m de prede. Pr pitr um prede de 7m, gst-se um lt e mis um prte de um segud lt. A prte que se gst d segud lt, em porcetgem, é: 7. (UFSC) Pedro ivestiu R$., em ções. Após lgum tempo, vedeu esss ções por R$.,. Determie o percetul de umeto obtido em seu cpitl iicil. 8. (UFSC) Um reservtório cotedo litros de águ presetv um ídice de sliidde de %. Devido à evporção, esse ídice subiu pr %. Determir, em litros, o volume de águ evpord. 9. (UFSC) Assile som dos úmeros ssocidos à(s) proposição(ões) corret(s).. Um ivestidor tem seu diheiro plicdo % o mês. Desej comprr um bem o vlor de R$.,, que pode ser pgo vist ou em três prcels de R$.,, sedo primeir de etrd e s outrs em e 6 dis. Ele sirá lucrdo se fizer compr prceld.. Obter 7 certos um prov de questões é um desempeho iferior obter 6 certos um prov de questões, porém superior obter certos um prov de 9 questões.. Duplicdo-se o ldo de um triâgulo equilátero, su áre fic tmbém duplicd. 8. Se impressors trblhdo hors por di levm dis pr fzer determido trblho, etão impressors (com mesm eficiêci ds teriores) trblhdo 8 hors por di levrão 6 dis pr fzer o mesmo trblho UNIDADE FATORIAL Iclusão pr Vid! =.( ). ( ). ( )....... Assim temos:! =.... =! =... =! =.. = 6! =. =! = e! = (coceito primitivo) Observção: Podemos desevolver um ftoril té um ftor coveiete. Vej: 8! = 8. 7. 6..... = 8. 7. 6..!! 6! = 6..... = 6.!!! =. ( ).( )! PRINCÍPIO FUNDAMENTAL DA CONTAGEM FÓRMULA DO ARRANJO PRINCÍPIO FUNDAMENTAL DA CONTAGEM O pricípio fudmetl d cotgem, ou pricípio multiplictivo, estbelece um método idireto de cotgem de um determido eveto, sem que hj ecessidde de descrever tods s possibiliddes. Pode ser eucido dess form: Se um Eveto E pode cotecer por etps sucessivs e idepedetes de modo que: E é o úmero de possibiliddes d ª Etp E é o úmero de possibiliddes d ª Etp E é o úmero de possibiliddes d -ésim Etp Etão E. E.....E k é o úmero totl de possibiliddes do eveto ocorrer. ARRANJO Cosidere o cojuto K = {,,, }. Vmos gor motr os pres ordedos prtir do cojuto K. (, ); (, ); (, ); (, ); (, ); (; ); (, ); (, ); (, ); (, ); (, ); (, ) Observe que esses grupmetos diferem Pel turez dos elemetos compoetes: (, ) (,) Pel ordem dos elemetos: (, ) (, ) A esses tipos de grupmetos deomi-se ARRANJO de elemetos tomdos p p, e é idicdo por A,. p Defiição: Deomi-se rrjo de elemetos tomdos p p cd grupo ordedo de p elemetos escolhidos etre dispoíveis. Ddo um úmero turl, deomi-se ftoril de e idic-se por! epressão: Pré-Vestibulr d UFSC
Iclusão pr vid FÓRMULAS PARA O CÁLCULO DO ARRANJO ARRANJO COM REPETIÇÃO A *,p = p Eemplo: Cosidere o cojuto K = {,,,, 6}. Qutos úmeros de lgrismos podemos formr prtir de K? Resolução: A *, = = Logo, podemos formr úmeros de lgrismos. ARRANJO SEM REPETIÇÃO (SIMPLES) A p p Eemplo: Cosiderdo o cojuto K = {,,,, }. Qutos úmeros de lgrismos sem repetição podem ser formdos? Resolução: A, = 6 Logo, podemos formr 6 úmeros de lgrismos distitos. Eercícios de Sl. Clculr o vlor de: )!! b) 8!. Resolver s equções: ) ( )! = 7 b). Qutro seleções de futebol (Brsil, Esph, Portugl e Urugui) disputm um toreio. Quts e quis são s possibiliddes de clssificção pr os dois primeiros lugres?. Quts plcs pr idetificção de veículos podem ser cofecciods com letrs e lgrismos? (Cosidere 6 letrs, supodo que ão há ehum restrição.). Cosidere o cojuto K = {,,,,, 6, 7}. Qutos úmeros com qutro lgrismos distitos podemos formr prtir do cojuto K? Tref Míim 6. Clculr. 7. Resolver s equções bio: ) ( - )! = c) ( - )! = 7 b) ( - 6)! - = 6! ( )! 8. Ache solução d equção ) 7 b) c) 8 d) 68 e) 8. Num olimpíd de Mtemátic cocorrem prticiptes e serão tribuídos dois prêmios, um pr o º lugr e outro pr o º lugr. De quts meirs poderão ser distribuídos esses prêmios? ) 99 c).9 e). b) d) 9.9. Telefoes de um cidde possui 6 dígitos (ºuc é zero). Supodo que cidde psse ter 7 dígitos. Qul o umeto o úmero de telefoes? ) 8. b) 8 c) 9 d) 9. Tref Complemetr. Qul o vlor de que stisfz equção. Quts soluções possui equção ( )! =. (UFPA) Simplificdo obtém-se: ) d) b) + e) c) + m m. (FSBEF-DF) Sedo e tedo em vist m que m >, o vlor de m é: 6. Se ( 6)! = 7, etão é igul : 7. (F.Dom Bosco-DF) A epressão!!! É equivlete à epressão: )! b) 7! c)! d)! e)! 8. Durte Cop do Mudo, que foi disputd por píses, s tmpihs de Coc-Col trzim plpites sobre os píses que se clssificrim os três primeiros lugres Se, em cd tmpih, os três píses são distitos, quts tmpihs diferetes poderim eistir? ) 69 c) 9.6 b). d). e).8 9. (UECE) A qutidde de úmeros iteiros compreedidos etre os úmeros e que podemos formr utilizdo somete os lgrismos,,, e 7, de modo que ão figurem lgrismos repetidos, é:. (PUC-SP) Chmm-se plídromos os úmeros iteiros que ão se lterm qudo é ivertid ordem de seus lgrismos (por eemplo: 8,, 787). O úmero totl de plídromos com cico lgrismos é: ) d) b) e) c) 9 9. Dum poto A um poto B eistem cmihos; de B um terceiro poto C eistem 6 cmihos; e de C um qurto poto D eistem tmbém 6 cmihos. Qutos cmihos eistem pr ir do poto A o poto D? Pré-Vestibulr d UFSC
UNIDADE TIPOS DE AGRUPAMENTOS PARTE II - PERMUTAÇÕES Qudo fzemos rrjos de elemetos tomdos, sem repetição, estmos motdo grupos com todos os elemetos dispoíveis. Dizemos que esse tipo de Agrupmeto é deomido PERMUTAÇÃO de elemetos, e é idicdo por P. Cosidere etão, o cojuto K = {,, }. As permutções com esses elemetos são: (,, ); (,, ); (,, ); (,, ); (,, ), (,, ). FÓRMULAS PARA O CÁLCULO DA PERMUTAÇÃO PERMUTAÇÃO SIMPLES P =! Eemplo : Qutos úmeros de lgrismos distitos podemos formr com os úmeros usdo os lgrismos {,, 6, 7}. Resolução: P =! =... = Logo, pode-se formr úmeros com lgrismos distitos. Eemplo : Clcule o úmero de grms d plvr VASCO. Resolução: Cd grm é um permutção ds letrs V, A, S, C e O. Como são letrs distits, o úmero de grms é ddo por: P =! =... = Logo, pode-se formr grms com s letrs que compõem plvr VASCO. PERMUTAÇÃO COM REPETIÇÃO Vmos cosiderr um cojuto com elemetos, dos quis um dos deles repete vezes, outro vezes e ssim por dite, té que um elemeto repit vezes. O úmero de permutções possíveis é ddo pel epressão: P... Eemplo: Qutos grms podemos formr com s letrs d plvr ARARA. Resolução: = = =, P = = Logo, podemos formr grms com s letrs que compõem plvr ARARA. Iclusão pr Vid TIPOS DE AGRUPAMENTOS PARTE III - COMBINAÇÕES Cosidere o cojuto K = {,,, }. Vmos motr gor os subcojutos com dois destes elemetos. {, }; {, }; {, }; {, }; {, }; {, }. Observe que esses grupmetos diferem Apes pel turez dos elemetos compoetes: {, } {, } Ms ão diferem pel ordem: {, } = {, } Esses tipos de grupmetos são chmdos de COMBINAÇÃO de elemetos tomdos p p, e são idicdos por C p ou C p. Defiição: Deomi-se combição de elemetos p p todo subcojuto de p elemetos. FÓRMULA PARA O CÁLCULO DA COMBINAÇÃO O úmero de combições simples dos elemetos tomdos p p é ddo pel epressão:,! C p ( p)! p! Eemplo: Quts comissões de pessos podemos formr com um grupo de pessos. Resolução: As comissões são subcojutos de pessos escolhids etre s, logo: C, = 987 7 Portto, podemos formr comissões de pessos com um grupo de pessos. Eercícios de Sl. Qutos são os grms ds plvrs: ) ROMA b) ESCOLA c) BANANA. d) MATEMATICA. Qutos são os grms d plvr MÉXICO em que precem s letr E e X sempre juts?. Quts comissões de pessos podem ser formds com luos (A,B,C,D,E) de um clsse?. Mrcm-se 8 potos distitos um circuferêci. Qutos triâgulos com vértices esses potos podemos obter? Tref Míim. Qutos úmeros de lgrismos distitos podemos formr com os úmeros utilizdo os lgrismos {,, 8, 9}. Pré-Vestibulr d UFSC
Iclusão pr vid 6. Qutos úmeros diferetes obteremos permutdo os lgrismos do úmero 6.? 7. Qutos são os grms d plvr SAPO? 8. Determie os úmero de grms d plvr CARCARÁ? (ão cosidere o ceto) 9. O vlor de em C, =, é: ) c) 7 e) 9 b) d) 8. Quts comissões costituíds por pessos podem ser formds com luos de um clsse? ) c) e) b) d). Num circuferêci são tomdos 8 potos distitos. Ligdo-se dois quisquer desses potos, obtém-se um cord. O úmero totl de cords ssim formds é: Tref Complemetr. Quto os grms d plvr ENIGMA, temos s firmções: I - O úmero totl deles é 7. II - O úmero dos que termim com letr A é. III - O úmero dos que começm com EN é. Etão pes: ) firmção I é verddeir. b) firmção II é verddeir. c) firmção III é verddeir. d) s firmções I e II são verddeirs. e) s firmções I e III são verddeirs.. (CEFET-PR) O úmero de grms d plvr NÚMERO, em que em s vogis em s cosotes fiquem juts, é: ) c) 8 e) 7 b) 6 d) 6. (PUC-SP) Alfredo, Armdo, Ricrdo, Reto e Eresto querem formr um sigl com cico símbolos, ode cd símbolo é primeir letr de cd ome. O úmero totl de sigls possíveis é:. Cosidere um grupo de moçs e rpzes. O úmero de comissão de membros, de modo que em cd comissão figure pelo meos um rpz, é: 6. Os presetes determid reuião, o fil d mesm, cumprimetm-se mutumete, com perto de mão. Os cumprimetos form em úmero de 66. O úmero de pessos presetes à reuião é: 7. (ACAFE) Digol de um polígoo coveo é o segmeto de ret que ue dois vértices ão cosecutivos do polígoo. Se um polígoo coveo tem 9 ldos, qul é o seu úmero totl de digois? ) 7 c) 6 e) 8 b) 6 d) 7 8. (UFRN) Se o úmero de combições de + elemetos está, pr o úmero de combições de elemetos, rzão de pr, etão vle: ) 6 b) 8 c) d) e) UNIDADE NÚMEROS BINOMIAIS Ddos dois úmeros turis e p, deomi-se úmero biomil de sobre p e idicdo por o úmero p defiido por: = p! p!( p)! Podemos cocluir de imedito que: b) com N, p N e p c) NÚMEROS BINOMIAIS COMPLEMENTARES Dois úmeros biomiis de mesmo umerdor são chmdos complemetres qudo som dos deomidores (clsses) é igul o umerdor. Eemplos: ) p e b) p e PROPRIEDADES DOS NÚMEROS BINOMIAIS ª) Dois úmeros biomiis complemetres são iguis. k p Etão se ou k p k p ª RELAÇÃO DE STIFFEL p p p 6 Vej que TRIÂNGULO DE PASCAL Vmos dispor gor os úmeros biomiis em um triâgulo, de form que os biomiis de mesmo umerdor fiquem mesm lih, e os biomiis de mesmo deomidor fiquem mesm colu. Pré-Vestibulr d UFSC
lih lih lih lih lih lih lih 6 col col col col col col col 6 6 6 6 6 6 6 6 6 Substituido cd biomil pelo respectivo vlor, temos: PROPRIEDADES DO TRIÂNGULO DE PASCAL PRIMEIRA PROPRIEDADE Todos os elemetos d ª colu são iguis. SEGUNDA PROPRIEDADE O último elemeto de cd lih é igul. TERCEIRA PROPRIEDADE Num lih qulquer dois biomiis equidisttes dos etremos são iguis. (biomiis complemetres) QUARTA PROPRIEDADE Cd biomil d lih é igul à som de dois p biomiis d lih ( - ); quele que está colu p com quele que está colu (p - ). p p p Lih + + = Lih + + + = Eercícios de Sl Iclusão pr Vid 8 9. Clcule A, sedo A = 7. Ache o cojuto solução d equção. Clcule o vlor de: ) 7 7 b) p p p p 8 c) 8 p p. Resolv equção: Tref Míim 7. Clcule E, sedo E =. 6. (UECE) A som ds soluções d equção 8 8 é: 6 ) 8 b) c) 6 d) 7 7. (PUC-SP) A som dos vlores que m pode ssumir 7 7 iguldde: m m 6 8. Clcule p p 9. Resolv equção: 8 8 9 6 7. (Mck-SP) O vlor de 7 7 7 7 7 7 6 7 é: ) 8 b) c) d) 6 e) Tref Complemetr QUINTA PROPRIEDADE A som dos elemetos d lih do umerdor é igul. Lih = Lih + =. (Mck-SP) Cosidere sequêci de firmções: I. II. III. 6 Assocido V ou F cd firmção, coforme sej verddeir ou fls, tem-se: ) F, F, V c) F, V, F b) F, V, V d) F, F, F e) V, V, V p. (Ftec-SP) Clcule E de modo que E p ode p, N * e p <... o. (U.C.-MG) O resultdo de Pré-Vestibulr d UFSC 6 6 p ou p= 8 p é igul : ) 6 b) 8 c) d) 7 e) 6 p
Iclusão pr vid. (UNESP) Sej um úmero turl tl que. Etão: ) = b) = c) = d) =. (FGV-SP) Sbedo-se que m m + m e y eto é: p p + p + ) + y b) - y c) y - d) - p e) y p UNIDADE BINÔMIO DE NEWTON Observe bio os desevolvimetos: ( + b) = ( + b) = + b ( + b) = + b + b ( + b) = + b + b + b ( + b) = + b + 6 b + b + b ( + b) = + b + b + b + b + b Observe que: O úmero de termos do desevolvimeto de ( + b) é +. Os coeficietes dos termos do desevolvimeto de ( + b) formm o triâgulo de Pscl. Os epoetes de decrescem de, e os epoetes de b crescem de. A som dos epoetes de e b é sempre igul Com bse esss observções podemos geerlizr o desevolvimeto de ( + b). Vej: b b b b b - Um termo qulquer do desevolvimeto de ( + b) é ddo pel epressão: T p p p b p Eercícios de Sl. Desevolver o biômio ( + ). Determir o º termo do desevolvimeto de ( + ) 6.. Determir o termo idepedete o desevolvimeto de ( + ).. A som dos coeficietes do desevolvimeto do biômio ( y) 6 Tref Míim. Determir o coeficiete umérico do º termo o desevolvimeto de ( + ) 7. 6. Achr o termo idepedete de o desevolvimeto de ( ) 6. 7. Se som dos coeficietes do biômio b m 6, etão o vlor de m é: é 8. (UEL-PR) Pr qulquer vlor turl de, o úmero de termos do biômio ( + ) é: ) + b) c) - d) pr e) ímpr 9. (UFRN) A som dos coeficietes dos termos do desevolvimeto do biômio ( + ) é: ) b) / c) + d) e) Tref Complemetr. (UDESC) Sedo som dos coeficietes do desevolvimeto de ( + y) m. O vlor de m! é: ) 6 b) c) d) e). (CEFET-PR) O º termo do desevolvimeto de ( + ) 6 é: ) 8 b) 8 c) d) e) 6. (MACK-SP) Qul som dos coeficietes uméricos do desevolvimeto de?. (FAAP-SP) O seto termo do desevolvimeto de ( + ) 8 pelo biômio de Newto é: ) 8 b)7 c) 79 d) 8. (Mck-SP) O coeficiete do desevolvimeto de é: ) - b) -9 c) - d) -7 e) -8 UNIDADE 6 POLINÔMIOS DEFINIÇÃO Ddos os úmeros reis, -,...,, e, chmmos de poliômio vriável tod epressão d form: P() = + - - +... + + + Nomecltur COEFICIENTES:, -,...,,. TERMOS:, - -,...,, TERMO INDEPENDENTE: é um úmero turl e idic o gru do poliômio se for diferete de zero. Observção: Se P() =, ão é defiido o gru do poliômio. VALOR NUMÉRICO Vlor Numérico de um poliômio P(), é o vlor que se obtém substituido vriável por um úmero e efetudo s operções idicds. Observção: Qudo P() = dizemos que é riz do poliômio. Observe que os úmeros e são rízes do poliômio P() = - + 6, pois P() = e P() =. 8 Pré-Vestibulr d UFSC 7
POLINÔMIOS IDÊNTICOS Ddos os poliômios: P () = + - - +... + + + e P () = b + b - - +... + b + b + b A codição pr que P e P sejm idêticos é que os coeficietes dos termos de mesmo gru sejm iguis. Idicmos por P () P () Assim: = b ; - = b - ; = b ; = b ; = b Vle ressltr que, se P e P são idêticos, pr qulquer vlor de eles ssumem o mesmo vlor umérico. Em símbolos: P () P () P () = P () Eercícios de Sl. Ecotre o vlor umérico do poliômio P() = + + pr =.. Ddo o poliômio P() = ( ) + ( + ) +. Determie o vlor de de modo que P() sej do º gru.. Sej P() = + b + c, em que, b, e c são úmeros reis. Sbedo que P() = 9, P() = e P() = 7, clcule P(). Tref Míim. Ddo P() = +, clcule: ) P() b) P() c) P(). Cosidere o poliômio P() = m +. Sbedo que P(-) = -, determie o vlor de m. 6. Sbedo-se que P () = + (b + c) - - + c + b + e P () = + 8 + 9 são poliômios idêticos, determie o vlor d epressão: + b + c. 7. O poliômio p() = ( - ) + (b + ) + (6b + c) é ideticmete ulo. Clcule o vlor de ( + b + c). 8. Se A B, etão A + B é igul : 6 ) -/ b) / c) d) / e) - Tref Complemetr 9. (UEM-PR) Sej P() = + b + c, em que, b, e c são úmeros reis. Sbedo que P() = 9, P() = e P() = 7, clcule P(). b. (PUC-SP) Efetudo som de e c, obtemos epressão. Os vlores de, b e c são respectivmete: ),, - c) -,, b), -, - d),, - e),, - Iclusão pr Vid. (UFRGS) O poliômio do º gru p(), que tem zero como riz e tl que p() - p( - ) = 6 -, é ) + 6 c) 6 - b) 6 - d) + e) +. (Lodri-PR) Sedo F, G e H poliômios de grus, 6 e, respectivmete, o gru de (F + G).H será: ) 9 b) c) d) 8 e) UNIDADE 7 DIVISÃO DE POLINÔMIOS Ddos os poliômios P() e D(), com D() ão ideticmete ulos, dividir P() por D() equivle obter os poliômios Q() (quociete) e R() (resto), tis que: P() R() D() Q() P() D(). Q() + R() gr(r) < gr(d) ou R() Ode: P() é o dividedo D() é o divisor Q() é o quociete R() é o resto OBSERVAÇÕES: O gru de Q() é difereç etre os grus de P() e de D(), ou sej, gr(q) = gr(p) gr(d) Se R() for um poliômio ulo, potmos que P() é divisível por D(), dizemos etão, que divisão é et. MÉTODO DA CHAVE (ALGORITMO DE EUCLIDES) O método ds chves é um dos quis podemos obter o quociete etre dois poliômios. Pr isso, devemos seguir os seguites procedimetos: Ordemos os poliômios P() e D() segudo s potêcis decrescetes de. Dividi-se o primeiro termo de P() pelo primeiro de D(), obtedo o primeiro termo de Q(). Multiplic-se o termo obtido pelo divisor D() e subtri-se de P() Cotiu-se o processo té que hj um resto de gru iferior que o de D(). Eemplo: Determir o quociete e o resto d divisão de P() = + 6 por D() = + + Resolução:. (ABC-SP) Num poliômio P() de º gru, o coeficiete de é. Se P() = P() = e P() =, o vlor de P() é: Pré-Vestibulr d UFSC 8
Iclusão pr vid Observe que: + 6 = ( + + ). ( ) + ( ) Dividedo Divisor Quociete Resto MÉTODO DE DESCARTES Método de Descrtes ou Método dos Coeficietes determir é um Método que cosiste obteção dos coeficietes do quociete e do resto com o uílio d seguite idetidde de Poliômios: P() D(). Q() + R() ode gr(q) = gr(p) gr(d) e gr(r) < gr(d) Eemplo: Obter o quociete e o resto d divisão do poliômio P() = + por D() = + Resolução: O gru do resto é o máimo, pois gr(r) < gr(d) e gr(q) = gr(p) gr(d) gr(q) = = Isso os permite escrever: R() = c + d + e e Q() = + b Aplicdo idetidde, temos: P( D(). Q() + R() + ( + ). ( + b) + c + d + e + + (b ) + (c b) + ( + d) + (b + e) Dí vem: b c b d b e resolvedo o sistem, temos: =, b =, c =, d =, e = Logo: Q() = + e R() = TEOREMA DO RESTO O resto d divisão de um poliômio P() por um biômio do tipo + b é o vlor umérico de P() pr TEOREMA DE D'ALEMBERT Um poliômio P() é divisível por D() = + b se, e somete se, P( b ) =. Vej por eemplo que o poliômio P() = + é divisível por ( + ) pois P() =. Eemplo: Determir o vlor de m de modo que o poliômio P() = + m sej divisível por Resolução: Pr que P() sej divisível por, deve-se ter P() =. Etão P() = + m P() = () () + m() = 7 9 + m 6 = m = m Logo, pr divisão ser et devemos ter m = TEOREMA DAS DIVISÕES SUCESSIVAS Se um poliômio P() é divisível por ( ) e por ( b), etão P() é divisível por ( ).( b). Observe que o poliômio P() = + 6 + é divisível por ( + ).( ), um vez que ele é divisível seprdmete por ( + ) e ( ). DISPOSITIVO DE BRIOT-RUFFINI O dispositivo de Briot-Ruffii, tmbém cohecido como lgoritmo de Briot-Ruffii, é um modo prático pr dividir um poliômio P() por um biômio d form + b. Vmos presetr esse processo trvés de um eemplo. Determie o quociete e o resto d divisão d divisão de P() = + por ( ) Resolução: º Psso Dispõem-se todos os coeficietes de P() de form orded e segudo os epoetes decrescetes de chve. = b, ou sej P( b ). Observe que b é riz do divisor. Esse teorem os permite chr o resto de um divisão sem que hj ecessidde de plicr o método ds chves ou o método de Descrtes. Eemplo: Determir o resto d divisão do poliômio P() = + + pelo poliômio D() = Resolução: A riz do divisor é, logo, pr determirmos o resto d divisão de P() por D(), bst clculr P(). Dí vem: P() = + + P() = () + () + P() = 8 º Psso Coloc-se à esquerd riz do divisor. º Psso Abi-se o primeiro coeficiete de P() Pré-Vestibulr d UFSC 9
º Psso Multiplic-se o coeficiete bido pel riz, somdo o resultdo com o próimo coeficiete de P() e o resultdo bio desse último. + º Psso Multiplic-se o esse último resultdo pel riz e som o resultdo com o próimo coeficiete de P() de form álog o último psso, e ssim sucessivmete. + 9 + 9 6 Termido ssim o processo, temos: riz coeficietes de P() 9 6 coeficietes de Q() R() Como gr(q) = [gr(p) gr(d)] temos que Q() = + + 9 e resto R() = 6 Eercícios de Sl. (FUVEST) O quociete de por é: ) + 68 b) + + 9 c) + 9 d) + 7 e) + +. Qul o vlor de "" pr que o poliômio + + + + sej divisível por + +?. ( UFSM ) O resto d divisão de por + é: ) b) c) d) e).d.. Tref Míim. (UFSC) Determie o resto d divisão do poliômio + 8 + por +.. (UECE) Se divisão do poliômio + + + por + - o quociete é Q(), etão o vlor de Q() é: Iclusão pr Vid 6. (UFMG) O quociete d divisão de P() = - + - por Q() = + é: ) c) + e) + 8 b) - d) - 7. (UFSC) Qul o vlor de "" pr que o poliômio + + + - + sej divisível por + - +? 8. (UFSC) Determie o vlor de m, pr que o resto d divisão do poliômio P() = + m - + por + sej. Tref Complemetr 9. (UFSC) Se o poliômio - + b + é divisível por + -, etão o vlor de - b é:. (Mck-SP) Um poliômio descohecido o ser dividido por - dei resto e o ser dividido por - dei resto. Etão, o resto d divisão desse poliômio por ( - ) ( - ) é: ) c) + e) - + b) - + d) -. (UFBA) O resto d divisão de P() = + + p + - por ( + ) é, se p é igul : ) / b) - c) - d) - e) -7/. (FGV-SP) O resto d divisão do poliômio - + + 7-6 por ( - )( - )( + ) é: ) - + c) - e) b) -6 d). (PUC-MG) Os vlores de e b que torm o poliômio P() = + + + b divisível por ( + ) são respectivmete: ) e b) e c) e d) e e).d.. UNIDADE 8 EQUAÇÕES POLINOMIAIS DEFINIÇÃO Deomi-se Equção Poliomil tod seteç do tipo P() =, ou + - - +... + + + = ode, -,...,, são úmeros compleos é um úmero turl é vriável O epoete d equção é o epoete do poliômio P() Deomi-se riz de um equção poliomil todo úmero, tl que P() = Pré-Vestibulr d UFSC
Iclusão pr vid TEOREMA FUNDAMENTAL DA ÁLGEBRA Tod equção poliomil de gru ( ) tem pelo meos um riz comple. Esse teorem foi demostrdo por Guss em 799. DECOMPOSIÇÃO DE UM POLINÔMIO EM UM PRODUTO DE FATORES DO º GRAU Como um cosequêci do Teorem Fudmetl pode-se firmr que todo poliômio de gru pode ser escrito form: P() = ( ).( )( )....( ) ode,,,... são rízes de P(). MULTIPLICIDADE DE UMA RAIZ Deomi-se multiplicidde de um riz o úmero de vezes que mesm se repete o cojuto solução. Geericmete, pode-se dizer que o úmero é riz de multiplicidde d equção poliomil P() = se e somete se, P() = ( ). Q(), com Q(). TEOREMA DAS RAÍZES COMPLEXAS Se um úmero compleo z = + bi é riz de um equção poliomil de coeficietes reis, etão seu cojugdo z = bi tmbém é riz dess equção. Cosequêcis: Se riz ( + bi) é de multiplicidde k, etão seu cojugdo ( bi) terá tmbém multiplicidde k. Tod equção poliomil de gru ímpr dmite pelo meos um riz rel, pois o úmero de rízes ão reis é sempre pr. RELAÇÕES DE GIRARD São relções estbelecids etre os coeficietes e rízes de um equção poliomil. Eercícios de Sl. O poliômio P() = + + pode ser escrito como: ) P() = ( )( ) d) P() = ( )( +) b) P() = ( + )( + ) e) () = ( )( + ) c) P() = ( + )( + ). Resolver equção + - =, sbedo que = é um ds rízes.. Determie meor riz d equção + 66 8 =, sbedo que sus rízes estão em P.A. Tref Míim. (ACAFE) A equção poliomil cujs rízes são, e é: ) + + = d) + = b) = e) + + = c) + =. (FGV-SP) A equção + 6 dmite um riz igul. Etão, s outrs dus rízes são: ) / e c) e e) / e b) e d) / e Sejm e s rízes d equção + b + c =. Vlem b s seguites relções: c Sejm, e s rízes d equção + b + c + d =. Vlem s seguites relções: EQUAÇÃO DE GRAU b d c Sedo,,... s rízes d equção + - - +... + + =, vlem s seguites relções: 6. (UFSC) Sbedo-se que um ds três rízes d equção - 7 + - = é igul / determie som ds outrs dus rízes. 7. (UDESC) As rízes do poliômio 6 + : ) somds dão 6 e multiplicds dão b) somds dão -6 e multiplicds dão c) somds dão 6 e multiplicds dão - d) somds dão -6 e multiplicds dão e) são, - e Tref Complemetr 8. (Med ABC-SP) As rízes d equção - 9 + - = estão em progressão ritmétic. Sus rízes são: ),, c),, e), 6, 9 b),, d),, 6 9. (Mckezie) Um riz d equção + + 6 = é igul som ds outrs dus. As rízes são: ), e d), e b), e e), e c), e Pré-Vestibulr d UFSC
. (MACK-SP) O determite d mtriz c b c ode, b, e c são rízes d equção + =, é:. (SANTA CASA) Sbe-se que equção: + k =, ode k, dmite dus rízes oposts. O produto ds rízes dess equção é: ) b) / c) / d) / e). (ITA-SP) Cosidere equção + p + q + r = de coeficietes reis, cujs s rízes estão em P.G. Qul ds relções é verddeir? ) p = r.q d) p = r.q b) p + r = q e) q = r.p c) p = r. q. (UFSC) Assile o crtão-respost som dos úmeros ssocidos à(s) proposição(ões) corret(s).. A equção poliomil + = possui s rízes, b e c. Logo, som + b + c é igul.. O resto d divisão do poliômio 6 + por + é.. Ddo o poliômio p() = + 8 + + 8 + é correto firmr que é riz de multiplicidde pr p(). 8. Pr que o poliômio p() = ( + b) + ( b + c) + (b + c 6) sej ideticmete ulo, o vlor de c é. UNIDADE 9 MATRIZES DEFINIÇÃO Um mtriz do tipo m (lê-se: m por ), m,, é um disposição tbulr formd por m. elemetos dispostos em m lihs e colus. As mtrizes são represetds trvés de prêteses ( ), colchetes [ ] ou trvés de brrs dupls Eemplos.: A = A 6 9 (lê-se: A dois por três) A = 8 7 6 A (lê-se: A dois por qutro) A = 6 6 A (lê-se: A três por dois) NOTAÇÕES Notção Eplícit Um mtriz geericmete é represetd por letrs miúsculs e seus elemetos por letrs miúsculs. Sedo ssim, um mtriz A m lgebricmete pode ser represetd ssim:, A = m m m m Iclusão pr Vid com m e N * Notção Codesd Podemos tmbém, brevir ess represetção d seguite form: A = [ij] m Os elemetos d mtriz A são idicdos por ij de form que: i {,,,...m} (idicdor d lih) j {,,,...} (idicdor d colu) CLASSIFICAÇÃO DE MATRIZES Sej mtriz A = (ij) m, lembrdo que m e são respectivmete qutidde de lihs e colus d mtriz A, temos: ) MATRIZ LINHA se m = Eemplo: A b) MATRIZ COLUNA se = Eemplo: A = c) RETANGULAR se m Eemplo: A = 9 d) QUADRADA se m = Eemplo: A 6 8 Defiição: Diz-se que um mtriz é qudrd se qutidde de lihs for igul qutidde de colus. Pode-se dizer etão que el é ou simplesmete de ordem. Possui dus digois: digol pricipl (qudo i = j pr todo ij) digol secudári (qudo i + j = + ), ode é ordem d mtriz. TIPOLOGIA Mtriz Trspost Sej A um mtriz de ordem m, deomi-se trspost de A mtriz de ordem m obtid qudo trocmos de form orded s lihs pels colus. Represet-se por: A t ou A' 9 Eemplo A = A t = 9 Pré-Vestibulr d UFSC
Iclusão pr vid OBSERVAÇÃO: Sej um mtriz A de ordem. Se A = A t, etão A é dit SIMÉTRICA Eemplo: A = 8 8 Se A = A t, etão A é dit ANTISIMÉTRICA (A idic mtriz opost de A que se obtém trocdo o sil dos seus elemetos) Eemplo: A = Mtriz Idetidde Um mtriz A de ordem é dit idetidde ou uidde se os elemetos d digol pricipl forem iguis e os demis elemetos iguis zero. Eemplos: I = I = Pode se idicr mtriz idetidde por:, pr i = i I = [ij], ij =, pr i j Importte: A mtriz idetidde é eutr multiplicção de mtrizes. Mtriz Nul Um mtriz é dit ul qudo todos seus elemetos forem iguis zero. A mtriz Nul é eutr som de mtrizes. Mtriz Digol É tod mtriz de ordem tl que ij = pr i j. Eemplo: A = Mtriz Trigulr É tod mtriz qudrd ode ij = pr i > j ou/e pr i < j. Eemplos: 7 9 8 IGUALDADE DE MATRIZES Dus mtrizes A m e B m são iguis se os elemetos correspodetes (elemetos de mesmo ídice) forem iguis. ADIÇÃO E SUBTRAÇÃO DE MATRIZES É efetud somdo ou subtrido os elemetos correspodetes ds mtrizes. (válido pr mtrizes de mesm ordem). Proprieddes: ) A + B = B + A (propriedde comuttiv) ) A + (B + C) = (A + B) + C (propriedde ssocitiv) ) A + O = A (elemeto eutro) ) (A + B) t = A t + B t PRODUTO DE UM NÚMERO POR MATRIZ Ddo um úmero rel K e um mtriz A m, deomi-se produto de K por A e se idic por k.a, mtriz que se obtém multiplicdo-se todo elemeto de A por k. Proprieddes: Sedo e y dois úmeros reis e A e B dus mtrizes de mesm ordem, vlem s seguites proprieddes: ). (ya) = (y). A ). (A + B) = A + B ) ( + y). A = A + ya Eercícios de Sl. A é um mtriz por, defiid pel lei Determie e y de tl form que seu trço vlh 9 e sej o triplo de y. Pré-Vestibulr d UFSC ij = i j, se i j Etão, A se escreve:, se i j. (UFSC) Dds s mtrizes: A = y e B = z 6 Se A = B t, o vlor de.y.z é:. O vlor de.y de modo que mtriz A sej simétric, é: A = y 6 ) 6 b) c) d) e) Tref Míim. Escrev, form eplícit, cd mtriz bio: ) A = ( ij ), com ij = i + j b) A = ( ij ), com ij = i j se i j c) A = ( ij ), com ij = i se i j se i = j d) A = ( ij ), com ij = + j, se i j. (UFSC) Dd mtriz A = [ij] defiid por ij = i j,sei j o vlor d epressão + - é: 7,sei j i j,sei j 6. (UFOP-MG) Observe mtriz y.
Iclusão pr Vid 7. Cosidere s mtrizes A = e B = y log 7 8. Determie o vlor de + y de 6 7 modo que A = B t 8. Cosidere s mtrizes A = ) Obter mtriz X tl que A + X = B b) Obter s mtrizes X e Y tl que: X Y A X Y B Tref Complemetr e B = 9. Clcule + y, de modo que se teh: y 6 y. (FCMSCSP) Se A é um mtriz qudrd, defie-se o TRAÇO de A como som dos elemetos d digol pricipl de A. Nests codições, o trço d mtriz A = (ij), ode ij = i - j é igul : ) 6 b) c) - d) - e) -6. Determie som dos elemetos d digol pricipl d mtriz A = ( ij ) X, ode ij = i + j se i j ou ij = i j se i < j.. Um mtriz se diz ti-simétric se A t = A. Nesss codições, se mtriz A é ti-simétric, etão, + y + z é igul : y z A = ) b) c) d) e) c) e) - - - d). Se mtriz qudrd A é tl que A t = A, el é chmd mtriz ti-simétric. Sbe-se que M é tisimétric e: M =. b b c c 8 Os termos, e vlem respectivmete: ), e d), e b), e e).d.. c), e 6. Sedo A = 7e B =, etão mtriz X, tl que X A X B, é igul : 7. Dds s mtrizes: A = e B = produto dos elemetos d segud lih de ) b) c) d) e) B A, o é: 8. Dds s mtrizes y A z w B = 6 - w C = y e sedo A = B + z + w C, etão: ) + y + z + w = d) + y z w = b) + y + z + w = e) + y + z + w > c) + y z w = UNIDADE MULTIPLICAÇÃO DE MATRIZES. (LONDRINA-PR) Um mtriz qudrd A diz-se simétric se A = A t. Assim, se mtriz y A = é simétric, etão + y + z é igul : z ) b) c) d) e). (U.Ctólic de Slvdor - BA) Um mtriz qudrd A, de ordem, se diz ti-simétric se A = -A t, ode A t é mtriz trspost de A. Nesss codições, qul ds mtrizes seguites é ti-simétric? ) - - b) - - - Cosidere s mtrizes A = [ ij ] m e mtriz B = [b jk ] p. O produto de A por B é mtriz C = [c ik ] m p, de tl form que os elemetos cik são obtidos ssim: c ik = i. b k + i. b k + i. b k +... + i. b k ou sej: j {,,...,p}. Pré-Vestibulr d UFSC ij b jk pr todo i {,,..., m} e todo k Eemplo: Cosidere s mtrizes A = e B = 9. Determie A.B Resolução: O produto AB é um mtriz obtid d seguite form: 9 A.B = 9
Iclusão pr vid A.B = PROPRIEDADES 9 7 ) A.(B.C) = (A.B).C ) A.(B + C) = A.B + A.C ) (B + C).A = B.A + C.A ) A.I = I.A = A Observções: ) N multiplicção de mtrizes gerlmete A.B B.A. Se A.B = B.A dizemos que A e B se comutm. ) N multiplicção de mtrizes ão vle lei do ulmeto, ou sej, podemos ter A.B = mesmo com A B. DETERMINANTES DEFINIÇÃO Dd um mtriz qudrd de ordem, podemos ssocir à el, trvés de certs operções, um úmero rel chmdo determite d mtriz. Podemos simbolizr o determite de um mtriz por dus brrs verticis. Assim, se é mtriz A, idicmos o determite de A por det A = CÁLCULO ª ORDEM Sej mtriz A = [ ], deomi-se o determite de A o próprio elemeto e se idic por: det A = = ª ORDEM ª ORDEM Eercícios de Sl. Dds s mtrizes A = e B =. - Determie: ) A.B c) A t.b t e) A.I b) B.A d) B t.a t f) mtriz X, tl que A.X = B. (UFSC) Sejm A = (ij ) e B = (bij) dus mtrizes defiids por ij = i + j e bij = i + j, respectivmete. Se A.B = C, etão o elemeto C d mtriz C, é:. Clcule os determites: ) b). Clcule o determite: Tref Míim 6. (UEL-PR) Sobre s seteçs: I - O produto de mtrizes A. B é um mtriz. II - O produto de mtrizes A. B é um mtriz. III - O produto de mtrizes A. B é um mtriz qudrd. É verdde que ) somete I é fls b) somete II é fls c) somete III é fls d) somete I e III são flss. e) I, II e III são flss 6. Se 7. Dds s mtrizes A = A.B temos mtriz: 7 =, etão + b é igul : b 9 e B =, pr 8. (UCMG) O vlor de, pr que o produto ds mtrizes: A = e B = sej um mtriz simétric, é: 9. (UFSC) Dd equção mtricil: z O vlor d epressão + y y y + z é:. Clcule os seguites determites: ) 6 b) c). (MACK-SP) Sedo A = ( ij ) um mtriz qudrd de ordem e ij = j - i, o determite d mtriz A é:. (UFSC) Obteh o vlor do determite d mtriz A = (ij), ode ij =, sei j i j,sei j Pré-Vestibulr d UFSC
Iclusão pr Vid. O vlor de equção Tref Complemetr. (CESCEM) O produto M.N d mtriz M = mtriz N = : ) ão se defie b) é mtriz idetidde de ordem c) é um mtriz de um lih e um colu d) é um mtriz qudrd de ordem e) ão é um mtriz qudrd. (FEI-SP) As mtrizes bio se comutm. O vlor de é: é: pel e 6. (UFSC) Determie o produto dos vlores de e y que stisfçm equção mtricil y 7 7. (UFSC) Dds s mtrizes: A = ; B = ; C = e sej P = (A - C).B. Determie som dos elemetos d digol pricipl d mtriz P. 8. (UFSC) Cosidere s mtrizes A = B = Sejm M = ( A + Bt ).(A t B ), ode A t e B t são mtrizes trsposts de A e B, respectivmete. O produto dos elemetos m ij com i = j d mtriz M é: 9. Se A =, etão A + A I, ode I é mtriz idetidde de ordem, é igul :. (UFSC) Determie o vlor de pr que o determite d mtriz C = A B t sej igul 6, ode: A = 8 7 e B t é mtriz trspost de B.. (UFSC) Em R, solução d equção = 7 é:. (MACK) O cojuto solução de Pré-Vestibulr d UFSC 6 é: ) { R } c) { } e) { } b) {, } d) { -}. (MACK-SP) Sejm s mtrizes A = e B =, e sej X um mtriz tl que X.A = B. Etão, det X vle: ) - b) - c) d) e) UNIDADE PROPRIEDADES DE DETERMINANTES ª PROPRIEDADE Csos ode o determite é ulo º Se um mtriz possui um fil de elemetos iguis zero. Eemplo: 9 8 º Se um mtriz possui dus fils iguis. Eemplo: 8 6 º Se um mtriz possui dus fils proporciois. Eemplo: 6 7 º Se um fil de um mtriz for um combição lier de dus outrs. Eemplo: 9 ª PROPRIEDADE Se multiplicrmos um fil de um mtriz por um úmero k, o determite d ov mtriz fic multiplicdo por k. Eemplo: CONSEQUÊNCIAS No cálculo dos determites, é possível colocr o ftor comum em evidêci. 8 6. 6.. 6. (7).(-7)= -6 Se multiplicrmos um mtriz qudrd de ordem por um úmero k o determite fic multiplicdo pelo úmero k. det(k.a) = k.deta
Iclusão pr vid ª PROPRIEDADE Se trocrmos dus fils prlels de um mtriz o determite mud de sil. ª PROPRIEDADE O determite de um mtriz trigulr é o produto dos elemetos d digol pricipl. Eemplo: 9 8 ª PROPRIEDADE (TEOREMA DE BINET) Se A e B são dus mtrizes de ordem o determite do produto de A por B é o produto dos determites d mtriz A pelo determite d mtriz B, ou sej: det(a.b) = det(a).det(b) 6ª PROPRIEDADE O determite de um mtriz é igul o determite de su trspost. 7ª PROPRIEDADE (TEOREMA DE JACOBI) Se somrmos um fil de A um outr fil previmete multiplicd por um úmero rel, obtemos um mtriz A', tl que det A' = det A Eemplo: A = det A = Multiplicdo terceir lih por e diciodo à primeir, obtemos A': A' = det A = INVERSÃO DE MATRIZES Sejm A e B dus mtrizes qudrds. Se A.B = B.A = I, dizemos que B é mtriz ivers de A. e idicmos por A -. Logo: A. A - = A. A - = I PROPRIEDADES DA INVERSA: OBSERVAÇÃO: O processo de se obter ivers de um mtriz muits vezes é trblhoso, pois reci resolução de sistems de equções e icógits. Vmos gor presetr um processo que simplific esse cálculo. Teorem Se A é um mtriz qudrd de ordem e det A, etão ivers de A é: A =. det A A Ode A represet mtriz djut. Mtriz Adjut: É mtriz trspost d mtriz dos coftores de A. Cosequêci Pr clculr um elemeto b ij d mtriz ivers de A, pode-se plicr: b ij =. det A C ji ode C ji é o coftor do elemeto ij Eercícios de Sl d g. Sbe-se que b e h b c d e f g h i c f i. Determie o vlor de. Um mtriz A é qudrd de ordem e seu determite é igul. Clcule o vlor do determite d mtriz A.. Determie ivers ds seguites mtrizes: ) b) (A - ) - = A (A.B) - = B -. A - det A - = det A OBSERVAÇÕES: Um mtriz só possui ivers se o seu determite for diferete de zero, sedo ssim, chmd de iversível. Um mtriz que ão dmite ivers é chmd de sigulr. Se mtriz A é iversível, etão, el é qudrd. Se mtriz A é iversível, etão, su ivers é úic.. Determie o vlor de de modo que mtriz sej sigulr Tref Míim d g. Sbedo que b e h d, clcule b e c f i c f 9 g h i Pré-Vestibulr d UFSC 7
Iclusão pr Vid 6. (UFRN) O determite 7 8 é igul :. Cosidere mtriz A = A - =,, etão :. Sbedo que det 7. (UFRGS) Cosidere s seguites firmções. I - O determite de um mtriz ão se lter, qudo são trocds, ordedmete, s lihs pels colus. II - O determite de um mtriz com lihs proporciois é ulo. III - Multiplicdo-se um lih de um mtriz por um úmero rel p,ão ulo,o determite d ov mtriz fic dividido por p. Quis são s verddeirs? ) I b) II c) I e II d) II e III e) tods são verddeirs 8. (UDESC) A prtir d mtriz A = ij ode ij = se i j i j se i j clculr o determite do produto d mtriz A pel su trspost, ou sej: det( A t.a ), ode A t é mtriz trspost de A. 9. (Uisios-RS) O vlor de um determite é 8. Dividimos ª lih por 8 e multiplicmos ª colu por 6, etão o ovo determite vlerá:. (UFRGS) A ivers d mtriz A = ) d) b) e) c). O mior elemeto d ivers d mtriz A = ) c) / e) / b) /6 d) /6. (UFVIÇOSA) Sejm s mtrizes A = 6 y é: é: e M =, ode e y são úmeros reis e M é mtriz ivers de A. Etão o produto.y é: ) / b) / c) / d) / e) /. (UCSl-BA) A mtriz úmero rel, é iversível se, e somete se: ) = b) = c) = - d), qul é um ) b) c) d) e) Tref Complemetr. (UECE) Sbe-se que M é um mtriz qudrd de ordem e que det(m) =. Etão det (M) é igul : ) b) 6 c) 8 d) e) 7 6. (UFSM) Sejm s mtrizes A, de ordem e B =. Se o det A = 6 e C = A.B, o det C vle: 6 ) b) c) -6 d) - e) - 7. (SANTA CASA) Dds s mtrizes A e B tis que: - A e B = O vlor do determite de A.B é: ) 9 b) c) -6 d) e).d.. 8. (F.M.Stos-SP) O determite ) - b) c) 9 d) e).d.. 9. (MACK-SP) Sej A um mtriz qudrd de ordem e I =. Chmm-se uto vlores de A s rízes d equção det (A I) =. Obteh os utovlores de A = m. (FGV-SP) Cosidere s mtrizes A = b c p m e B = b p c. Se o determite d mtriz A é igul, etão o determite d mtriz B é igul : ) / b) / c) d) / e) / é: Pré-Vestibulr d UFSC 8
Iclusão pr vid. (UEPG-PR) Dd mtriz A = ( ij ), ode ij =,se i j. Etão é correto firmr:,se i j. det (A) = 6. (A).(A t ) é um mtriz qudrd de ordem 6. det(a) = 8 det(a) 8. det(a) det(a t ) 6. A 6 = 6 6 6 6 6. Os vlores de k pr que mtriz A = dmit ivers são: ) e c) e e) e b) e d) e. (UFPB) Se mtriz etão, o vlor de em módulo é: k k ão ão é ivertível,. (UDESC) Sej mtriz A = ( ij ) defiid por ij = i j pr i j pr i j UNIDADES o determite de A - é: POSSÍVEL INDETERMINADO (ifiits soluções) IMPOSSÍVEL Não Admite Solução REGRA DE CRAMER A Regr de Crmer cosiste um método pr resolvermos sistems Lieres de equções e icógits. Sej o sistem b b b Pr obtermos solução pr esse sistem vmos fzer lgus cálculos. Acomphe: det S Determite ssocido à mtriz formd pelos coeficietes ds icógits. det S = det X i Determite ssocido à mtriz obtid prtir de S, trocdo colu dos coeficietes de X i, pel colu dos termos idepedetes do sistem. SISTEMAS LINEARES DEFINIÇÃO Deomi-se Sistem Lier todo cojuto de m equções lieres com icógits. b b m m m b Se b, b,..., b = dizemos que o sistem é homogêeo. Solução de um Sistem Lier Deomi-se solução de um sistem sequêci de úmeros reis (,,..., ) que stisfz simultemete tods s equções do sistem. Sistems Equivletes Dois Sistems são ditos equivletes se e somete se: São Possíveis e dmitem s mesms soluções, ou São Impossíveis. Clssificção de um Sistem Lier Um Sistem Lier pode ser clssificdo de cordo com o úmero de soluções que ele preset. Sedo ssim ele pode ser: DETERMINADO ( solução) det X = det X = b b b b b b A solução do Sistem é dd por: det X = det X det X det X det S det S det S b b b Vej que só é possível plicr Regr de Crmer em sistems em que det S. Esses sistems são deomidos ormis.. Discussão com bse regr de Crmer () ) Qudo det S, o sistem é possível e determido. ) Qudo det S = det X = det X =...=, o sistem é possível e idetermido ) Qudo det S = e pelo meos um dos demis determites for diferete de zero, os sistem é impossível. O sistem homogêeo é sempre possível. Pré-Vestibulr d UFSC 9
Iclusão pr Vid Eercícios de Sl. Usdo regr de Crmer, resolv os seguites sistems: ) b) c) y y y y 6 y y y z. Ddo o sistem de equções lieres y z y z com, R, etão o sistem é determido se: ) se - d) se = - e = b) se = - e e) se = - e = - c) se. (FGV-SP) O sistem lier solução trivil, se: ) = - c) = e) b) - d) Tref Míim. (USF-SP) Resolvedo o sistem y z 9 y z, obtém- y z se y igul : y z dmite y z y z. (UFRGS) Ddo o sistem de equções lieres sobre y z R y z os vlores de, y e z que costituem y z su solução: ) formm um progressão geométric b) formm um progressão ritmétic c) são iguis etre si d) ão eistem e) têm um som ul 6. (FGV-SP) O sistem de equções equivlete : - - ). b). y y - - c). d) - y - y y é y 7. (UFSC)Pr que o sistem bio sej impossível, o vlor de é: y z y z y z 8. (UFSC)Determie o vlor de m pr que o sistem, bio dmit ifiits soluções: m y z my z y Tref Complemetr 9. (UEPG-PR) O sistem lier y z Pré-Vestibulr d UFSC y z y z b é:. impossível pr e b =. impossível pr = e b. possível e determido pr = b R 8. possível e idetermido pr = e b = 6. possível e determido pr. (UFSCr-SP) Ddo o sistem lier y z y z ssile ltertiv corret: y z ) O sistem dmite um ifiidde de soluções pr qulquer rel. b) O sistem ão dmite solução de =. c) O sistem dmite um úic solução se =. d) O sistem dmite somete solução trivil. e) O sistem dmite um úic solução se =. y z. (FEI-SP) Se o sistem m y z my z dmite um úic solução, etão: ) m 6 d) m b) m e) m c) m 8. (UFSC) Cosidere o sistem S : y - - 6y determie som dos úmeros ssocidos à(s) proposição(ões) verddeir(s).. O pr ordedo (,) é um solução do sistem S.. O sistem S é possível e determido.. A solução do sistem S é um ret que ão pss pel origem. 6y 8. O sistem S : é equivlete o - - y sistem S.
Iclusão pr vid. (UFSC) Assile som dos úmeros ssocidos às proposições verddeirs:. O úmero de elemetos de um mtriz qudrd de ordem é 8.. Somete podemos multiplicr mtrizes de mesm ordem.. A som ds rízes d equção = é 8. 8. Um mtriz qudrd pode ter diverss mtrizes iverss. y 6. O sistem é idetermido. y. (UFSC) Assile som dos úmeros ssocidos às proposições verddeirs.. A mtriz 8 ão possui ivers.. Se um sistem de equções é idetermido, etão ão se pode ecotrr solução pr ele.. Um peque idústri produz três tipos de produto que idicmos por, y, z. As uiddes vedids de cd produto e o fturmeto bruto d empres em três meses cosecutivos são os ddos tbel bio. Etão, os preços dos produtos, y e z só podem ser, respectivmete, R$.,, R$., e R$.,. Mês Uiddes de vedids Uiddes de y vedids Uiddes de z vedids Fturmeto bruto R$., R$., 6 R$., 8. A solução d equção é =. (UFSC) Assile s proposições correts.. O pr ordedo (, y) = (, ) é úic solução do y 9 sistem 6y 7. A mtriz A = ( ij ), tl que ij = i j é A = 8.. A som dos elemetos d ivers d mtriz é igul. 8. Um mtriz qudrd A se diz ti-simétric se t A = - A, sedo t A trspost d mtriz A. Nesss codições, pode-se firmr que mtriz é ti-simétric. 6. Se s mtrizes P, Q e R são escolhids etre s listds seguir, pr que PQ R sej um mtriz ul, o vlor de deve ser. 6 9,,, 6. A e B são mtrizes qudrds de ordem tis que A = B. Nests codições, pode-se firmr que det(a) = det(b), sedo que det(a) e det(b) desigm, respectivmete, os determites ds mtrizes A e B. 6. (UFSC) Mrque (s) proposição(ões) corret(s).. Dd um mtriz A, de ordem m, e um mtriz B de ordem p, mtriz produto A.B eiste e é de ordem m p.. Se um sistem de equções possui mis equções do que icógits, etão ele é icomptível (impossível).. A ter (,, ) é solução do sistem y z y z y z 7 6 y z 8. Três pessos form um lchoete. A primeir tomou (dois) gurás e comeu (um) pstel e pgou R$,. A segud tomou (um) gurá e comeu (dois) pstéis e pgou R$,. A terceir tomou (dois) gurás e comeu (dois) pstéis e pgou R$ 7,. Etão, pelo meos, um ds pessos ão pgou o preço correto. 7. (FUVEST) O sistem lier log ylog log ylog 9 ) tem solução úic se = b) tem ifiits soluções se = c) ão tem solução se = d) tem ifiits soluções se = e) tem solução úic se = 9 Pré-Vestibulr d UFSC