Plano Básico Equações Diferenciais PET ENGENHARIA ELÉTRICA PROGRAMA DE EDUCAÇÃO TUTORIAL ORIENTADOR: LEONARDO OLÍMPIO LOPES Felipe Pones Samara Fava Rafael Marins Hydelo Wagner Robson Cardoso Foraleza, de fevereiro de 7.
TRANSFORMADA DE LAPLACE
INTRODUÇÃO - TL Ferramena uilizada na resolução de muios problemas práicos de engenharia envolvendo sisemas mecânicos ou eléricos em que auam agenes impulsivos ou desconínuos. Uilidade decorrene da necessidade de represenar funções emporais no domínio da freqüência complea; Por meio da mesma, as equações diferenciais que descrevem um modelo físico podem ser resolvidas aravés de uma manipulação algébrica;
INTRODUÇÃO
DEFINIÇÕES IMPORTANTES A Transformada de Laplace de f, que será simbolizada por L{f} = Fs se define pela equação L{ f } F s e s f d. A Inegral imprópria acima deve convergir para um valor limie. Tal convergência ocorre para deerminadas condições. Uma função f é seccionalmene conínua num inervalo qualquer se o inervalo puder se dividido num número finio de ponos de modo que: - f seja conínua em cada subinervalo abero - f em um limie finio nas froneiras de cada subinervalo.
DEFINIÇÕES IMPORTANTES Teorema: A ransformada de Laplace de uma função eise se for convergene. Para al, é suficiene que saisfaça as seguines condições: f seja seccionalmene conínua no inervalo A para qualquer A posiivo. f Ke a quando M. Nesa desigualdade, K, a e M são consanes reais, K e M necessariamene posiivas ordem eponencial. Teorema da Unicidade: Sejam f e g funções convergenes, enão: L{ f } L{ g } f g
EXEMPLOS Seja f =,. Enão L{ e a } e s d e s d, s s Seja f = e a,. Enão L{ e a } e s e a d e sa d, s s a Seja f = sena,. Enão L{ sen a} F s e s sen a d A A s A e cos a s s s a F s lim e sen a d lim e cos ad A A a a s² a²
PROPRIEDADES DA TL. Linearidade Operador Linear: L{ c f c f } cl{ f } cl{ f }.. Ao sofrer um Deslocameno: a L{ f a} e F s 3. Ao sofrer uma Mudança de escala: s L{ f a} F, a a a
SOLUÇÃO DE PROBLEMAS DE VALOR INICIAL A uilidade da TL na resolução de problemas de valor inicial com equações diferenciais de coeficienes consanes baseia-se no fao de a ransformada f er uma relação simples com a ransformada de f. Teorema : Seja f uma função conínua e f uma função seccionalmene conínua em qualquer inervalo A. Supondo, além disso, que eisem as consanes K, a e M ais que f Ke a para M. Enão L{f } eise para s > a e, além disso, L{ f } sl{ f df L d } sf s f f.,
SOLUÇÃO DE PROBLEMAS DE VALOR INICIAL Se f e f saisfazem as mesmas condições imposas por f e f, a ransformada de Laplace para f ambém eise para s> a e é dada por: L{ f } s² L{ f } sf f Teorema : Sejam f, f,..., f n- funções conínuas e fn seccionalmene conínua em qualquer inervalo A. Supondo, além disso, que eisem as consanes K, a e M ais que f Ke a, f Ke a,..., f n- Ke a para M. Enão L{f n } eise para s >a e é dada por TL{ f } s TL{ f } s f... sf n n n n n f.
SOLUÇÃO DE PROBLEMAS DE VALOR INICIAL Eemplo: Seja o seguine modelo de um sisema: y ay by r y k; y k r enrada do sisema y resposaà enrada do sisema Passo: Aplicar a ransformação de laplace da derivada Teorema, com n = : s² Y s sy y a[ sy s y] by s R s
SOLUÇÃO DE PROBLEMAS DE VALOR INICIAL Passo: Resolução algébrica da equação obida no primeiro passo e Subsiuição dos valores iniciais: s² as b Y s s a y y R s as b k ak Y s as bs c as R s bs c 3 Passo: Decomposição da equação em frações parciais, cujas ransformadas inversas abeladas permiem ober a resposa desejada.
s s s F e e f ; 3 B A s B s A s s s s F Eemplo de Cálculo da Transformada Inversa: Calcule a Transformada Inversa de: Epandindo em frações parciais: 3 ² 3 s s s s F SOLUÇÃO DE PROBLEMAS DE VALOR INICIAL Podemos escrever Fs como sendo: A parir de valores abelados, emos que:
TABELA - TRANSFORMADAS
FUNÇÕES DEGRAU Algumas enre as mais ineressanes aplicações elemenares do méodo da ransformadas aparecem na resolução de equações diferenciais lineares com funções de enradas desconínuas ou impulsivas. A função degrau uniário é definida por: u c, c,, c, c.
FUNÇÕES DEGRAU Em ermos da função degrau podemos escrever uma função g correspondene a f da forma conveniene: g uc f c A Transformada de Laplace de u c é fácil de deerminar: L{ uc } s s e uc d e. d c e s sc Teorema 3: Se Fs = L{f} eise para s >a e se c é uma consane posiiva: u c f c L { e cs F s}
FUNÇÕES IMPULSO o Em algumas aplicações, é necessário raar fenômenos de naureza impulsiva, por eemplo, forças de módulo grande que auam por um curo período de empo. o O impulso uniário não-deslocado é, eceo para =, onde seu valor ende a infinio. Porém, a sua área ende a., d d
FUNÇÕES IMPULSO } { d e d e L s s A ransformada de Laplace para o impulso em = é dada por: sa sa a a s a a s e d e a d e a d e a a L } { O impulso pode ser deslocado e a ransformada de Laplace é dada por:
FUNÇÕES IMPULSO Eemplo: Enconre a solução do problema de valor inicial: y y y y ; y 5 Aplicando a ransformada de Laplace para a equação diferencial: s² s Y s e 5s Assim, Y s e 5s s / 4² 5/6
FUNÇÕES IMPULSO Cálculo da Transformada Inversa: De valores abelados, sabemos que: L { s / / } 4² 5/6 5 e / 4 sen 4 5 Do Teorema 3 viso aneriormene, concluímos que: L { Y s} u 5 5 e 5/ 4 sen 5 4 5
CONVOLUÇÃO Teorema: Se ambas Fs = L{f} e Gs = L{g} eisem para s>, enão: d f g d g f h g f h a s h L s G s F s H }, { A função h é conhecida como a convolução de f e g. De acordo com ese eorema, a ransformada da convolução de duas funções, ao invés da ransformada do produo usual fg, é dada pelo produo das ransformadas separadas.
CONVOLUÇÃO Propriedades da Convolução: f * g g * f comuaividade f * g g f * g f * g disribuividade f * g* h f * g * h associaividade As convoluções aparecem em diversas aplicações onde o comporameno do sisema em qualquer insane não depende apenas do esado no insane, mas ambém da hisória de seus esados passados.
APLICAÇÃO: CIRCUITOS ELÉTRICOS Problema: Deerminar a ensão nos erminais do capacior para uma enrada impulsiva, vez que a Vc = e I =.
APLICAÇÃO: CIRCUITOS ELÉTRICOS As equações diferenciais que descrevem o circuio são as seguines: Vc L Vc Vi R di d i Ri C dvc d Vc s Vi s I s C[ svc s v] R R Vc s L[ si s i] I s As ransformadas de Laplace das equações acima são dadas por:
APLICAÇÃO: CIRCUITOS ELÉTRICOS s Li s V s I v R s Vi s svc s I s Vc Subsiuindo os valores de R,L,C e rearranjando as equações: Subsiuindo em : ² ² ² i s s v s s s s Vi s s s s V
APLICAÇÃO: CIRCUITOS ELÉTRICOS Uma vez que v= e i= condições iniciais dadas e Vis = : V s s² s s Calculando, em seguida, a inversa da ransformada obemos: V ep cos
Aplicação - Laplace Apresenação do moor de correne conínua Equacionameno no domínio do empo Equacionameno no domínio da freqüência Transformada de Laplace Obenção da função de ransferência Simulação
Apresenação do moor de correne conínua
Equacionameno no domínio do empo v Equação elérica do M.C.C. a dia Raia La e d v a = ensão de armadura Ra = Resisência de armadura Ia = correne de armadura La= Induância de armadura e = Força conra-eleromoriz
Equacionameno no domínio do empo Equação mecânica do M.C.C. d T J f d T = Torque J = Momeno de inércia ω = Velocidade angular f = coeficiene de ario viscoso
Equacionameno no domínio do empo Equações eleromecânicas do M.C.C. T ki a e k kφ = Consane da força conra-eleromoriz
Equacionameno no domínio da freqüência Transformada de Laplace s E s I sl s I R s V a a a a a s f s Js s T s k s E s I k s T a Aplicando-se a ransformada de Laplace nas equações no domínio do empo, obiveram-se as equações no domínio da freqüência:
Obenção da função de ransferência Função de ransferência de um sisema é a represenação das equações eléricas e mecânicas obida aravés da relação enre a saída e a enrada do sisema. Das equações aneriores, em-se que: a a a a R sl s E s V s I f Js s T s k s I s T a k s s E
Obenção da função de ransferência Unindo os blocos aneriores, chega-se ao seguine diagrama de blocos: Sendo a enrada do sisema a ensão aplicada à armadura do moor e a saída que se queira, a velocidade, em-se que a função de ransferência é: k f R s f L J R Js L k s V s a a a a a
Simulação Uilizando-se o Malab/Simulink, foi simulado o sisema do moor de correne conínua mosrado aneriormene. Os valores uilizados foram: Ra =.7Ω, La = 46.34mH, J =.87, f =. e kφ =.9
Simulação
Simulação
Simulação
Simulação Agora, os valores uilizados foram: Ra =.7Ω, La = 46.34mH, J =.87, f =. e kφ =.9
Simulação
Simulação
Equações Diferenciais Parciais e Séries de Fourier
Apresenação Problemas de Valores de Conorno para Froneiras com Dois Ponos Séries de Fourier Teorema de Convergência de Fourier Condução de Calor em uma Barra
Problemas de Valores de Conorno para Froneiras com Dois Ponos y + py + qy = g Condições de conorno: yα = y, yβ = y. Resolução: Enconrar y como função de solução geral da equação diferencial e usar as condições de conorno para deerminar os valores das consanes arbirárias.
Problemas de Valores de Conorno para Froneiras com Dois Ponos Problemas de conorno lineares: - Homogêneos: se g = para odo e se y e y ambém são nulos. Pode er somene a solução rivial ou ouras soluções não-riviais. - Não-homogêneos: caso conrário. Pode er só uma solução, nenhuma ou infinias soluções.
Séries de Fourier Se uma função f é periódica de período L e é inegrável de no inervalo [-L,L], ela pode ser epressa como uma série infinia de senos e/ou cossenos: f a am cos m m L b m sen m L A série de Fourier associa-se com o méodo de separação das variáveis e com as equações diferenciais parciais.
Propriedades das funções seno e cosseno: - Periodicidade As funções sen e cosmπ/l êm período fundamenal T = L/m. - Orogonalidade Produo inerno nulo:, d v u v u n m L n m d L n sen L m sen d L n sen L m n m L n m d L n L m L L L L L L,, cos,, cos cos
- As fórmulas de Euler-Fourier Se a série de Fourier converge para uma função f, em-se que f = a a cos m m m L b m m sen L Como conseqüência das condições de orogonalidade, pode-se enconrar a relação enre os coeficienes a m, b m e f: a m L L L f cos m d, m,,,... b m L L L f sen m d, m,,3,...
Funções pares e ímpares - Função par: f- = f - Função ímpar: f- = -f Pelas propriedades das funções pares e ímpares, em-se que: - f par: f a am cos m m L - f ímpar: f m b m sen m L
Eemplo Fazer o desenvolvimeno de Fourier para a função periódica f =, definida sobre [ π, π]. Solução: Período = π => L = π. Pela fórmula: a a m ímpar ou zero para m par. m cos d. cos d d cos m d d cos m d d 4, n para m b m sen m d sen m d sen m d.
Assim, f = a a cos m m m L b m m sen L m 4 f cos cos3 cos5... 9 5 4 m cos m Análise da aproimação:
Teorema de Convergência de Fourier Suposições: - f e f são seccionalmene conínuas no inervalo L < L; - f esá definida fora do inervalo L < L; - f é periódica com período L. Teorema: A série de Fourier converge para f em odos os ponos onde f é conínua e converge para [f+ + f-]/ em odos os ponos onde f é desconínua.
Eemplo, L Seja f e seja f definida fora desse inervalo L, L de forma que f+l = f para odo. Enconrar a série de Fourier dessa função e deerminar onde ela converge. Solução: Análise da coninuidade. Converge?
Pela fórmula,, para m ímpar ou zero para m par. Porano, m L m m L d L m sen d L m sen f L b m d L m d L m f L a L d d f L a L L L m L L L m L L L cos, cos cos
Fenômeno de Gibbs.
Condução de Calor em uma Barra Problema: Barra de seção rea uniforme e maerial homogêneo; Lados perfeiamene isolados; u, = f, L, onde f é uma função dada; u, =, ul, =, >. Equação do calor: α u = u < < L, >, onde α é uma consane conhecida como difusividade érmica e depende apenas do maerial do qual é feia a barra.
Por hipóese: u, = XT. Mas como α u = u α X T = XT. Separando variáveis: X X '' T T Obém-se, enão, as seguines equações diferenciais ordinárias: X ' T '' Com as condições iniciais, enconra-se que X = e XL =. Resolvendo-se, enconra-se que as soluções não-riviais são as Auofunções ' X T X n sen n / L, n,,3,... Associadas aos auovalores λ n = n π /L, n =,, 3,...
Subsiuindo λ na equação, observa-se que T é proporcional a ep-n π α /L. Dessa forma, concluiu-se que Ora, mas como u, = f, enconram-se os coeficienes c n em função de f pela seguine relação: Que é eaamene a série de Fourier em senos de f., / n L n n L n sen e c u d L n sen f L c L n
Eemplo Enconrar a emperaura u, em qualquer insane em uma barra de meal de comprimeno é de 5cm, que esá a uma emperaura uniforme inicial de C em oda a barra e cujas eremidades são manidas a C para odo >. Solução: Seja L = 5 e f = para < < 5. Logo, aplicando direamene na fórmula de u, e c n, em-se que e
Eemplo Subsiuindo c n em u,, enconra-se: Para α = :
Sisemas de Equações Lineares de Primeira Ordem
Apresenação Conceios Básicos Sisemas Lineares Homogêneos com Coeficienes Consanes º Caso: Auovalores Reais Disinos º Caso: Auovalores Compleos 3º Caso: Auovalores Repeidos
Conceios Básicos Seja um sisema de equações lineares de primeira ordem: Esse sisema pode ser escrio na forma maricial:... '... ' g p p g p p n n nn n n n n ' ' g g p p p p n n nn n n n
Conceios Básicos De forma simplificada: ' P G Considere a equação homogênea: ' P Resolvendo-a, as soluções serão: k k n,, nk
Conceios Básicos Teorema: Se as funções veoriais e são soluções do sisema, enão a combinação linear c + c ambém é solução quaisquer que sejam c e c. Pelo princípio da superposição, ambém é solução: = c + c +... + c k k
Sisemas Lineares Homogêneos com Coeficienes Consanes Seja uma mariz consane n n. Enão, em-se o sisema: ' A Noe que se n=, o sisema se reduz a uma única equação de primeira ordem: d d a Sua solução é: a ce
Sisemas Lineares Homogêneos com Coeficienes Consanes Procedendo por analogia ao raameno de equações diferenciais de segunda ordem, deve-se enconrar uma solução da forma: r ξe Em que o veor ξ e o epoene r são consanes e devem ser deerminados. Subsiuindo a solução na equação = A: rξe r Aξe r
Sisemas Lineares Homogêneos com Coeficienes Consanes Cancelando o ermo não nulo e r, em-se: A ri ξ Em que I é a mariz idenidade n n. Essa úlima equação deermina os auovalores e os auoveores da mariz A.
º Caso: Auovalores Reais Disinos Considere o sisema: Procura-se uma solução na forma: Subsiiuindo na equação: ' 4 r ξe 4 r r r ξ I A
Fazendo o deerminane da mariz dos coeficienes igual a zero: Enão, os auovalores são r =3 e r = -. Assim: 3 4 r r r r 3 ξ ξ r r º Caso: Auovalores Reais Disinos
Assim, as soluções são: e c c e e c c e e c e c e e 3 3 3 3 º Caso: Auovalores Reais Disinos
º Caso: Auovalores Reais Disinos Assim, pode-se raçar o plano de fases, plano, do sisema com suas rajeórias. Cada rajeória corresponde a uma solução com suas consanes c e c correspondenes. c e c dependem das condições iniciais do sisema.
r =3 r =-. Auovalores êm sinais oposos = Pono de sela Pono de sela assinoicamene insáveis. Por eemplo, quando c = e c = : 3 3 rea e e º Caso: Auovalores Reais Disinos ' 4
º Caso: Auovalores Reais Disinos ' 3 r =- r =-4. Auovalores são disinos e êm mesmo sinal = Nó Sinal negaivo Nós assinoicamene esáveis. Sinal posiivo Nós assinoicamene insáveis.
º Caso: Auovalores Compleos Seja o auovalor r e seu auoveor associado: i Tem-se que a solução é: u v r a ib i i e a b a ib e acos bsin u iv Re{ Im{ } } e e e ie acos bsin acos bsin cos i sin acos bsin
Eemplo: Seja o sisema: Os auovalores e auoveores da mariz dos coeficienes são: ' i i r i i r ξ ξ º Caso: Auovalores Compleos
Um conjuno fundamenal de soluções é: Para enconrar um conjuno de soluções reais, deve-se achar a pare real e imaginária de ou de. i i e i e i / / ' cos sin sin cos cos sin sin cos sin cos / / / / / / / e e e e i e e i e i v u º Caso: Auovalores Compleos
Enão, em-se a solução real: cos sin sin cos cos sin sin cos / / / / c c e c c e e c c e c c v u º Caso: Auovalores Compleos
r =-/+i r =-/-i. Auovalores são compleos com pare real negaiva: = Pono espiral, assinoicamene esável. Se Auovalores são compleos com pare real posiiva: = Pono espiral, assinoicamene insavel. º Caso: Auovalores Compleos '
º Caso: Auovalores Compleos ' r =i r =-i. Auovalores são compleos com pare real nula: = Cenro, esável, mas não assinoicamene.
3º Caso: Auovalores Repeidos Seja o sisema: ' 3 A mariz dos coeficienes possui um auovalor r = com muliplicidade. Assim, só possui um auoveor associado: r r ξ
Enão, em-se uma primeira solução: A segunda solução será da forma: Subsiuindo na equação =A: e e e η ξ e e A e e η ξ η ξ ξ 3º Caso: Auovalores Repeidos
Igualando os coeficienes de e e e : I é saisfeia se ξ for um auoveor associado ao auovalor da mariz A. Assim: II: II I ξ η I A ξ I A ξ 3 3º Caso: Auovalores Repeidos
Enão: E a solução será: Se k k k k k η e k e e 3º Caso: Auovalores Repeidos
O úlimo ermo é um múliplo do primeiro ermo, podendo ser ignorado. Enão, a segunda solução é: e k e e e e 3º Caso: Auovalores Repeidos
A solução geral é: e e c e c c c 3º Caso: Auovalores Repeidos
º Caso: Auovalores Compleos ' 3 r = r =. Auovalores repeidos = Nó Impróprio Sinal negaivo Nós assinoicamene esáveis. Sinal posiivo Nós assinoicamene insáveis.
Equações Diferenciais Não-Lineares e Esabilidade O Plano de Fases Sisemas Auônomos e Esabilidade Sisemas Quase-lineares A Equação Predador-Presa Araores Esranhos
O Plano de Fase ' de I A A r de A Auovalores Tipo de Pono Críico Esabilidade r r Nó Insável r r Nó Assim. Esável r r Pono de Sela Insável r r Nó Pr. Ou Impr. Insável r r Nó Pr. Ou Impr. Assim. Esável r, r i, Pono Espiral Insável Assim. Esável r i r i Cenro Esável,
O Plano de Fase r r r r r r r r r r r, r i r i, r i - -.5 - -.5.5.5 - - -.5 - -.5.5.5
Sisemas Auônomos e Esabilidade Sisemas auônomos êm F e G sem a variável epliciamene. d d dy d F G,, y y O caso mais simples de Sisemas auônomos é o sisema abaio em que a mariz A é consane. ' A A inerpreação imediaa para o comporameno de sisemas auônomos.
Sisemas Auônomos e Esabilidade Observe o comporameno de um sisema auônomo: 4 3.5 3.5..4.6.8 Observe o comporameno de um sisema que não é auônomo: 5 = =.5 =.5 5 3 4 5 6 7 8
Sisemas Auônomos e Esabilidade Pono Críico Esável Pono Críico Assinoicamene Esável Pono Críico Insável
Sisemas Quase-lineares Observemos um caso especial em que o pono críico é ligeiramene modificado r PERTURBAÇÃO i, r i r r, i - - -.5 - -.5.5.5 Insável Esável
Sisemas Quase-lineares ' de I A A r de A Auovalores Tipo de Pono Críico Esabilidade r r Nó Insável r r Nó Assim. Esável r r Pono de Sela Insável r r Nó Pr. Ou Impr. Insável r r Nó Pr. Ou Impr. Assim. Esável r, r i, Pono Espiral Insável Assim. Esável r i r i - -,
Sisemas Quase-lineares Considere o sisema não linear abaio ' f Nosso objeivo é analisar os ponos críicos do sisema não-linear ' A g Pono críico origem u Enão deve aconecer, ye G, g F y forem quando diferenciaveis duas vezes O sisema que obedece essa relação é denominado quase-linear
Sisemas Quase-lineares y y y y G y G y G y G y y y y F y F y F y F Y X Y X,,,,,,,,,, Desenvolvimeno em série de Taylor,,,, y G y G y F y F d d Y X Y X Observa-se que,,, y G y F Ficamos com críico perodo pono Desprezíveis,,, y y Ese é o sisema linear que aproima o sisema não-linear na vizinhança do pono críico d dy y G d d y F,,,
A equação Predador-Presa Ese é o modelo em que uma espécie se alimena da oura espécie mais vulnerável. Há muias aplicações para eses modelos, principalmene em esudos ecológicos. No mundo real, poderíamos enender o comporameno das populações de coelhos e raposas em uma floresa fechada. Eisem várias formas do modelo predador-presa. No enano esamos ineressados no modelo em que, na ausência do predador, a população da presa se compora segundo uma equação logísica.
A equação Predador-Presa r K A equação logísica em a forma: dy d dy y d K r ayy r y Taa inrínseca de crescimeno Capacidade ambienal de susenação 6 Eemplo Numérico r,7/ ano; K 8,5. Kg 5 7 Massa da população em função do empo y kg 5 3 4 5 6 7 anos
A equação Predador-Presa. Na ausência do predador, a presa cresce segundo a equação logísica d a a, y d K. Na ausência da presa dy cy, d 3. O número de enconros do predador e da presa é proporcional ao produo das respecivas populações d a y a y d dy cy y y c d a c Observação:
A equação Predador-Presa Enconrar os ponos críicos: a y y c Vemos claramene que eisem rês ponos críicos:, a, c a c, d dy As derivadas parciais serão F, G : d d F G X X a y y F G Y Y c
A equação Predador-Presa Temos rês ponos críicos do sisema linear para analisar. O primeiro deles é a origem. y c a y d d Os auovalores e auoveores são:, ;, c r a r O pono críico em quesão é um pono de sela insável. v u a c a a v u d d O segundo pono críico é o pono., a Os auovalores são: hipóese c a r a r O pono críico em quesão é um pono de sela insável.
A equação Predador-Presa v u c a c c v u d d O erceiro e mais imporane pono críico é o pono. c a c, c a c r c r c a c r r c Devemos resolver a equação do segundo grau para enconrar os auovalores 4 4 ca c c r c a c c c r Os auovalores são:
A equação Predador-Presa Isso implica em: Auovalores reais e negaivos se c 4ca Auovalores compleos se c 4ca Em ambos os casos o pono é assinoicamene esável. No primeiro, emos um nó; no segundo, emos uma epiral. Ese resulado mosra que o número de predadores e de presas ende a se equilibrar no erceiro pono.
A equação Predador-Presa d d dy d y Eemplo numérico a y,5,5 y c y,75,5 Ponos críicos:, ;, ; 3,.7 Observação: a c 3 d d y,75 y r,75, r Pono de Sela d d u v u 4,5 v r, r 4,5 Pono de Sela d d u v,5,45,5 u v r r,75,7949i,,75,7949i Espiral
A equação Predador-Presa,, 3,.7 predador 3 - - -3 Equação Predador-Presa - -5 5 presa predador - Equação Predador-Presa - - 3 presa predador 4 - -4 Equação Predador-Presa -5 5 presa
A equação Predador-Presa Comparação enre os ponos críicos do sisema linear com o não-linear 6 Equação Predador-Presa predador 4 Equação Predador-Presa 5 5 presa Equação Predador-Presa predador 3 - - -3 - -5 5 presa predador 4 - -4 Equação Predador-Presa -5 5 presa predador - - - 3 presa
A equação Predador-Presa Vejamos o comporameno das populações ao longo do empo. predador,presa 8 6 4 Equação Predador-Presa presa predador 3 4 5 6 7 empo
Caos e Araores Esranhos Apesar de usarmos sempre eemplos do plano, os conceios aplicados aneriormene podem ser generalizados para espaços com rês ou mais dimensões. A diferença é que o número de casos é bem maior e ainda emos dificuldades em enender um plano de fases com rês eios Como se isso não basasse, ainda eisem fenômenos esranhos e complicados que passam a aparecer mais freqüenemene à medida em que o espaço aumena.
Caos e Araores Esranhos As Equações de Lorenz Um problema de meeorologia consise em analisar o comporameno de uma camada de fluido enre duas isoermas. A camada de baio é mais quene que a camada de cima. Edward N. Lorenz propusera o modelo descrio a seguir: dy / d r y z dz / d bz y d / d y A variável esá relacionada ao movimeno do fluido enquano que as variáveis y e z esão relacionadas a variação de emperaura na horizonal e na verical.
Caos e Araores Esranhos As Equações de Lorenz Como de cosume, devemos enconrar os ponos críicos. y y r y z r z bz y bz Vemos que eisem rês ponos críicos: P P P 3, r, br, r br, br b, r, r, r Uilizaremos e b 8/ 3 para ornar essa análise menos cansaiva.
Caos e Araores Esranhos As Equações de Lorenz O primeiro pono críico d d y r y 8/ 3 Que em os seguines auovalores: 8 3 8 4r 8 4r Quando r<, a origem é assinoicamene esável. No enano quando r>, o erceiro auovalor orna-se posiivo. Enão a origem passa a ser insável. Esse momeno em que r passa a ser maior que um indica o começo do movimeno convecivo no fluido. 3
Caos e Araores Esranhos As Equações de Lorenz O segundo pono críico u u d v 8r / 3 v d w 8 r / 3 8 r / 3 w Que em os auovalores com raízes da equação: 3 3 4 8 r 6r A solução desa equação depende de r da seguine forma: <r<,3456, eisem rês auovalores reais negaivos esável na origem,3456 <r<4,737, eise um auovalor real negaivo e dois compleos com a pare real negaiva esável em P ou P 4,737 <r, eise um auovalor real negaivo e dois compleos com a pare real posiiva insável
Caos e Araores Esranhos As Equações de Lorenz Parece que o problema esá resolvido. Pois sabemos quais condições levam o movimeno do fluido a uma insabilidade. Poderíamos pensar que no caso de r>4,737 a parícula colocada no campo de rajeórias seria jogada longe, endendo ao infinio do plano de fases. No enano, para o modelo não linear, verifica-se que a esabilidade eise e é complea. Equação de Lorenz - 3 4 5 6 7 8 9
Caos e Araores Esranhos As Equações de Lorenz A fim de descobrir a razão desse fenômeno, seria ineressane invesigar casos com r s menores. Veja os gráficos abaio para r= e r = 3. Equação de Lorenz - 5 5 5 3 Equação de Lorenz - 3 4 5 6
Caos e Araores Esranhos As Equações de Lorenz A figura abaio mosra diversas siuações no campo de direções do problema. 5 r=5 8 r= 4 6 3 4 3 4 5 3 4 5 6 7 5 r=5 4 r=5 5-5 5-4 - -
Problemas de Valores de Conorno e Teoria de Surm-Liouville Objeivo Moivação Conceios Básicos Aplicação: Problemas de Valores de Conorno Não-Homogêneos
Objeivo Generalizar o méodo de separação de variáveis para resolução de equações diferenciais parciais
Moivação Modelagem de Fenômenos Físicos: Esudo de condução de calor em uma barra: Propriedades Variáveis; Presença de fones de calor.
Conceios Básicos Deerminação dos auovalores e auofunções de edo's Teoria de Surm-Liouville
Deerminação dos auovalores e auofunções de edo's Moivação: Esudo de vibrações freqüências naurais ransversais de uma barra elásica; Esudo da ensão de cisalhameno numa coluna elásica; Deerminação de soluções não-riviais de edo's auofunções.
Deerminação de soluções nãoriviais de edo's auofunções "Definição" Seja a equação maricial A para odo valor chamados auovalores, a equação amb émadmiesoluções não nulas,chamadas auofunções. λ. Esa admiea solução de λ, mas,para alguns valores de λ,
Deerminação de soluções não-riviais de edo's auofunções Eemplo: Seja o λ y e y. Considereos casos λ, λ r μ forma μ problema, y'' λy com condições de conorno e λ.para λ,considerando emos y' ' μ y,com raízes r. O polinômiocaracerísico i Assim, a soluçãogeral assume a é y c cos c sen. Aplicandoas condições de conorno, obemos c Porano, n, n, nãonulas,c e c as auofunções.daí sen. Já queprocuramos por soluções n sen. n,,3,... e,assim, n,,3,... Finalmene, obemos y n senn.
Teoria de Surm-Liouville Moivação:
Teoria de Surm-Liouville Definição Seja a equação diferencial [p y' ]' q y r y a y a y', b y b y' definida no inervalo, juno com as condições de conorno do ipo
Teoria de Surm-Liouville Propriedades:.Todos os auovalores do problema de Surm- Liouville são reais.. Se enão e Surm - Liouvillee e pode ser r são duas auofunções do prob lemade desurm - Liouville. d os respecivos auovalores,. 3. SejamΦ,Φ,..., Φ as auofunções normalizad as do problema n desurm - liouville.suponha que f sejam uma função al que f e f' sejam seccionalmene conínuas em,enão f epandida em ermos das auofunções do problema
Aplicação: Problemas de Valores de Conorno Não-Homogêneos Considere o problema de equações diferenciais parciais o qual represena a condução de calor numa barra a qual possui propriedad es variáveis e esá submeida a uma fone de calor.
Aplicação: Problemas de Valores de Conorno Não-Homogêneos Como o problema 4,6 é um problema de Surm - Liouville, obemos uma seqüência de auovalore s e auofunçõe s normalizadas correspondenes. Supondo que a solução u, possa ser epressa na forma de uma série de auofunçõe s, obemos u, em que Para a igualdade em 8 ser respeiada, é preciso que a quanidade denro dos colchees seja nula Para deerminar compleamene b Fazendo em 7 e usando 3, emos Porano, n n como já conhecemos b n F, para odo n. Enão b' n u, [b' n n r f d. n b b n n n n n n n d,, n,,3,... b n b n n n n n, precisamos de uma condição inicial n n n,,3,..., e, apos resolver, obemos a solução u, 7. Subsiuin do u, ], b, n,,3,... n n n f n n n 8 9 n 9, b. n em, obemos