Aula 4-A -Funções trigonométricas no ciclo trigonométrico ) Função seno (definição) )Gráfico da função seno )Seno de alguns arcos imortantes 4) Equações e inequações 5) Resolução de exercícios
) Função seno definição Lembre se: amos ver então seno arco Considerando o ciclo trigonométrico abaixo: Para arcos com medida x, o seno de x é numericamente igual ao segmento OM, e indicamos or : sen x = OM
A função seno é obtida considerando uma volta comleta no ciclo trigonométrico amos formar uma tabela com a tangente dos arcos notáveis em um ciclo Ponto alor de x rad Coordenad as dos ontos alor do sen x A 0 (,0) 0 B (0,) A (-,0) 0 B (0, -) - A (,0) 0 Se observarmos tabela anterior verificamos que o domínio da função seno é dado or: D( f ) = O conjunto imagem é dado or: { y Œ / - y } Im( f ) = Então tg (x) é uma função definida or: ( x) (x) f : Æ, tal que f = sen
Sinais da função seno: º quadrante º quadrante ºquadrante 4º quadrante sen (x) > 0 sen (x) > 0 sen (x) < 0 sen (x) < 0 ) Gráfico da função seno Para determinarmos o gráfico da função seno, usaremos o intervalo[ 0, ] alor de x rad alor do sen x 0 0 0-0 Período da função f(x) = sen (x) =
) Senos de alguns arcos imortantes: erifique o ciclo trigonométrico abaixo: Ao verificarmos os valores acima e os da tabela que usamos ara fazer o gráfico odemos ver os senos que devemos ter na memória Arco 0 6 4 Seno 0 0-0
4) equações e inequações Para resolvermos equações trigonométricas será conveniente desenharmos o ciclo; isto facilitará a solução do roblema Exemlo: Resolver a equação senx =, ara 0 x Devemos determinar no ciclo os arcos que tem ordenada igual a _ Os valores de x ara os quais 5 x = ou x = - = 6 6 6 logo: senx = são: Ï 5 = Ì, Ó 6 6 Para resolvermos inequações trigonométricas faremos o mesmo rocedimento Exemlo: Resolver a equação senx, ara 0 x Devemos determinar no ciclo os arcos que tem ordenada maior ou igual a _ Os valores de x ara os quais senx = são: 5 x = ou x =, e os que têm ordenadas 6 6 5 maiores do que são todos entre e 6 6 Logo: Ï = Ìx Œ / x Ó 6 5 6
5) Resolução de exercícios ) Resolver a equação sen x = ara 0 x Determinemos os ontos no ciclo cuja ordenada seja igual a erificando a figura só encontramos um único onto que é x = Logo: Ï = Ì Ó ) Resolver a equação sen x = - ara 0 x erificando a figura encontramos os valores dos arcos cuja ordenada é - Encontramos 5 7 x = e x = Logo: 4 4 Ï = Ì 5 7, Ó 4 4 ) Resolver a equação Temos que : sen sen x = x = ± fi sen x = ± sen x = ara 0 x fi sen x = ± fi erificando a figura encontramos os valores dos arcos cujas ordenadas são ± Encontramos 5 7 x =, x =, x = e x = Logo: 4 4 4 4 Ï = Ì Ó 4 5,,, 4 4 7 4
4) Resolver a equação sen x = 0 ara 0 x Determinemos os ontos no ciclo cuja ordenada seja igual a 0erificando a figura encontramos três ontos que são x = 0, x = e x = Logo: = { 0,, } 5) Resolver a equação sen x = ara 0 x erificando a figura encontramos os valores dos arcos cuja ordenada é Encontramos x = e x = Logo: Ï = Ì Ó, 6) Resolver a inequação sen x ara 0 x erificando a figura encontramos os valores dos arcos cuja ordenada é Encontramos x = e x = e os que têm ordenadas 4 4 maiores do que são todos entre e 4 4 Logo: Ï = Ìx Œ / x Ó 4 4
7) Resolver a inequação sen x < ara 0 x erificando a figura encontramos os valores dos arcos cuja ordenada é Encontramos x = e x = e os que têm ordenadas menores do que são todos entre 0 e e e Logo: Ï = Ìx Œ / 0 x ou x Ó 8) Resolver a inequação sen x ara 0 x erificando a figura determinamos os ontos no ciclo que têm ordenadas diferentes de Ï = Ìx Œ / 0 x e x Ó 6 5 e x 6
Aula 4-A -Funções trigonométricas no ciclo trigonométrico ) Função cosseno (definição) )Gráfico da função cosseno )Cosseno de alguns arcos imortantes 4) Equações e inequações 5) Resolução de exercícios
) Função cosseno - definição Lembre se: amos ver então cosseno de um arco Considerando o ciclo trigonométrico abaixo: Para arcos com medida x, o cosseno de x é numericamente igual ao segmento ON, e indicamos or : cos x = ON
A função cosseno é obtida considerando uma volta comleta no ciclo trigonométrico amos formar uma tabela com a tangente dos arcos notáveis em um ciclo Ponto alor de x rad Coordenad as dos ontos alor do cos x A 0 (,0) B (0,) 0 A (-,0) - B (0, -) 0 A (,0) Se observarmos tabela anterior verificamos que o domínio da função cosseno é dado or: D( f ) = O conjunto imagem é dado or: { y Œ / - y } Im( f ) = Então tg (x) é uma função definida or: f : Æ, tal que f = ( x) cos (x)
Sinais da função cosseno: º quadrante º quadrante ºquadrante 4º quadrante cos (x) > 0 cos (x) < 0 cos (x) < 0 cos (x) > 0 ) Gráfico da função cosseno Para determinarmos o gráfico da função seno, usaremos o intervalo[ 0, ] alor de x rad alor do cos x 0 0-0 Período da função f(x) = cos (x) =
) Cossenos de alguns arcos imortantes: Ao verificarmos os valores da tabela acima e os da tabela que usamos ara fazer o gráfico odemos ver os cossenos que devemos ter na memória Arco 0 6 4 Cos 0-0
4) equações e inequações Para resolvermos equações trigonométricas será conveniente desenharmos o ciclo; isto facilitará a solução do roblema Exemlo: Resolver a equação cos x =, ara 0 x Devemos determinar no ciclo os arcos que tem abscissa igual a _ Os valores de x ara os quais 5 x = ou x = - = logo: cos x = são: Ï = Ì Ó, 5 Para resolvermos inequações trigonométricas faremos o mesmo rocedimento Exemlo: Resolver a equação cos x, ara 0 x Devemos determinar no ciclo os arcos que tem abscissa maior ou igual a _ Os valores de x ara os quais cos x = são: x = ou x = -, e os que têm ordenadas maiores do que são todos entre - e Logo: Ï = Ìx Œ /- x Ó Observação : 5 - =
5) Resolução de exercícios ) Resolver a equação cos x = ara 0 x Determinemos os ontos no ciclo cuja abscissa seja igual a erificando a figura encontramos o ontos que são x = 0 e x = Logo: = { 0, } ) Resolver a equação cosx = - ara 0 x erificando a figura encontramos os valores dos arcos cuja abscissa é - Encontramos 5 x = e x = Logo: 4 4 Ï = Ì 5, Ó 4 4 ) Resolver a equação Temos que : cos x = cos x = ± fi cos x = ± cos x = ara 0 x fi cos x = ± fi erificando a figura encontramos os valores dos arcos cujas abscissas são ± Encontramos 5 7 x =, x =, x = e x = Logo: 4 4 4 4 Ï = Ì Ó 4 5,,, 4 4 7 4
4) Resolver a equação cos x = 0 ara 0 x Determinemos os ontos no ciclo cuja abscissa seja igual a 0erificando a figura encontramos dois ontos que são x =, x = Logo: Ï = Ì Ó, 5) Resolver a equação cos x = ara 0 x erificando a figura encontramos os valores dos arcos cuja abscissa é Encontramos x = 6 e x = Logo: 6 Ï = Ì Ó 6, 6 6) Resolver a inequação cos x - ara 0 x erificando a figura encontramos os valores dos arcos cuja ordenada é Encontramos x = e x = e os que têm abscissas 4 4 menores do que 5 são todos entre e 4 4 Logo: Ï = Ìx Œ / Ó x 4 5 4
7) Resolver a inequação cos x > - ara 0 x erificando a figura encontramos os valores dos arcos que têm abscissas iguais a - Encontramos 7 x = e x = e os que têm 6 6 abscissas maiores do que - são todos entre 0 e 5 7 e e 6 6 Logo: Ï 5 7 = Ìx Œ / 0 x ou x Ó 6 6 8) Resolver a inequação cos x - ara 0 x erificando a figura determinamos os ontos no ciclo que têm abscissas diferentes de - { x Œ / 0 x e } = x