21. Um professor propôs aos seus alunos o seguinte exercício: "Dada a função

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1 0. Estima-se que 150 m de terra sejam necessários para fornecer alimento para uma pessoa. Admite-se, também, que há 0 x 150 bilhões de m de terra arável no mundo e que, portanto, uma população máxima de 0 bilhões de pessoas pode ser sustentada, se não forem exploradas outras fontes de alimento. A população mundial, no início de 1987, foi estimada em 5 bilhões de habitantes. Considerando que a população continua a crescer, a uma taxa de % ao ano, e usando as aproximações ln 1,0 0,0; ln 0,70 e ln 1,10, determine em quantos anos, a partir de 1987, a Terra teria a máxima população que poderia ser sustentada. Resposta: 90 Fazendo 5 bilhões 5 e 0 bilhões 0 f(x) 5.(1,0) x 0 5.(1,0) x 6 1,0 x ln 6 ln 1,0 x ln (.) x.ln 1,0 ln + ln x.ln 1,0 0,70 + 1,10 x.0,0 x 1,80/0,0 90 anos 1. Um professor propôs aos seus alunos o seguinte exercício: "Dada a função f : R R determine a imagem de x 104" e f(x) log 64x. Qual não foi sua + * surpresa quando, em menos de um minuto, um aluno respondeu corretamente que a imagem era: a) 0 b) c) d) 5 e) 6 Resposta: E f(x) log 64x f(104) log 64(104) f(104) log 6 ( 10 ) f(104) log 6. 0 f(104) log 6 f(104) 6.log Dada a expressão S log 0,001 + log 100, o valor de S é: 1

2 a) - b) - c) -1 d) 0 e) 1 Resposta: C S log 0,001 + log 100 S log log 10 S -.log 10 +.log 10 S Observe a figura. Nessa figura, está representado o gráfico de f(x) log n x. O valor de f(18) é: a) 5/ b) c) 7/ d) 7 Resposta: C f(x) log n x log n 16 n 16 n 4 f(x) log 4 x f(18) log 4 18 y 4 y 18 y 7 y 7 y 7/

3 4. Se log n 6, então n + ( n) é igual a: a) 6 b) 45 c) 54 d) 81 Resposta: D log n 6 n 6. n + ( n) Se log (x - 5) 0, então x vale: a) 5. b) 4. c). d) 7/. e) 5/. Resposta: C log (x - 5) 0 x x x 6 x 6. Em que base o logaritmo de um número natural n, n>1, coincide com o próprio número n? a) n n. b) 1/n. c) n. d) n.

4 e) n n. Resposta: E log n n x n x x n n n 7. Supondo que exista, o logaritmo de a na base b é a) o número ao qual se eleva a para se obter b. b) o número ao qual se eleva b para se obter a. c) a potência de base b e expoente a. d) a potência de base a e expoente b. e) a potência de base 10 e expoente a. Resposta: B log b a x b x a x é o número ao qual se eleva b para se obter a. 8. Em 00, um banco teve lucro de um bilhão de reais e, em 00, teve lucro de um bilhão e duzentos milhões de reais. Admitindo o mesmo crescimento anual para os anos futuros, em quantos anos, contados a partir de 00, o lucro do banco ultrapassará, pela primeira vez, um trilhão de reais? (Obs.: use as aproximações ln ,907, ln 1, 0,18.) Resposta: 8 1 bilhão trilhão 10 1 f(x) 10 9.(1,0) x (1,0) x 10 1,0 x ln 10 ln 1,0 x ln 1000 x.ln 1, 6,907 x.0,18 x 6,907/0,18 7,9 8 anos 9. Em uma cidade, a população que vive nos subúrbios é dez vezes a que vive nas favelas. A primeira, porém, cresce % ao ano, enquanto a segunda cresce 15% ao ano. 4

5 Admita que essas taxas de crescimento permaneçam constantes nos próximos anos. a) Se a população que vive nas favelas e nos subúrbios hoje é igual a 1,1 milhões de habitantes, calcule o número de habitantes das favelas daqui a um ano. b) Essas duas populações serão iguais após um determinado tempo t, medido em anos. Se t 1/logx, determine o valor de x. Resposta: f(s) p 0.(1,0) s f(f) p 0.(1,15) f a) s + f 1,1 10f + f 1,1 11f 1,1 f 1,1 milhões f(1) 1,1.(1,15) 1 f(1) b) 10.p 0.1,0 t p 0.1,15 t 10 1,15 t /1,0 t 10 (115/10) t log 10 t.log(115/10) 1 t.log(115/10) t 1/[log115/10)] 1 t log x log x log log x log x Em 1996, uma indústria iniciou a fabricação de 6000 unidades de certo produto e, desde então, sua produção tem crescido à taxa de 0% ao ano. Nessas condições, em que ano a produção foi igual ao triplo da de 1996? (Dados: log 0,0 e log 0,48) a) 1998 b) 1999 c) 000 5

6 d) 001 e) 00 Resposta: E f(x) (1,0) x , x 1, x log log 1, x 0,48 x.log 1, 0,48 x. (log1 log 10) 0,48 x(log. 1) 0,48 x(.log + log 1) 0,48 x(.0,0 + 0,48 1) 0,48 x.0,08 x 0,48/0,08 x 6 anos A figura a seguir mostra parte do gráfico da função: a) sen x b) sen (x/) c) sen x d) sen x e) sen x Sendo y a + b.sen (m.x + n); a 0 b P /m 4π /m m ½ n 0, logo a função é y.sen x/ 6

7 . Observe o gráfico. Sabendo-se que ele representa uma função trigonométrica, a função y(x) é a) - cos (x). b) - sen (x). c) cos (x). d) sen (x). e) cos (x). P m m m A função apresentada é uma senóide com imagem entre - e e como está invertida em relação à função original deve ser multiplicada por (-). f(x) -.sen(x). Observe o gráfico da função trigonométrica y 1 + sen x, a seguir. 7

8 Pode-se afirmar que o seu conjunto imagem é o intervalo a) [-, 1] b) [-, ] c) [-1, ] d) [-1, ] e) [-1, 4] y 1 + sen x P/ -1: y 1 + (-1) -1 P/ +1: y 1 + (1) Im [-1, ] 4. Na figura a seguir tem-se o gráfico função f, de R em R, definida por f(x) k.sen(mx), em que k e m são reais, e cujo período é 8π/. Qual o valor de f(π/)? P m 8π m 8πm 6π m k 8

9 x f ( x). sen 4 π. π. π f sen. sen (UFAL) Se a medida de um arco, em graus, é igual a 18, sua medida em radianos é igual a a) (π/4) - 17 b) (64/15) π c) (64/45) π d) (16/5) π e) (/45) π Resposta: E 180 o π 18 o x 180 o x 18 o π x 18 o π/180 o x /45 rad. 6. Dentre os desenhos abaixo, aquele que representa o ângulo que tem medida mais próxima de 1 radiano é Resposta: B 180 o π 9

10 x o o x.π x 180 o /π x 180 o /,14 x 57,º 7. Dos números a seguir, o mais próximo de sen 5 é a) 1 b) 1/ c) 0 d) -1/ e) -1 Resposta: E 180 o π x o o x.π x 900 o /π x 900 o /,14 x 86,6º Dentro os números dados o 86,6º está mais próximo de 70º, cujo seno vale Em um jogo eletrônico, o "monstro" tem a forma de um setor circular de raio 1 cm, como mostra a figura. A parte que falta no círculo é a boca do "monstro", e o ângulo de abertura mede 1 radiano. O perímetro do "monstro", em cm, é: a) π - 1. b) π + 1. c) - 1. d). 10

11 e) + 1. Resposta: E C circunferência arco + r + r C R C O subir e descer das marés é regulado por vários fatores, sendo o principal deles a atração gravitacional entre Terra e Lua. Se desprezássemos os demais fatores, teríamos sempre o intervalo de 1,4 horas entre duas marés altas consecutivas, e também sempre a mesma altura máxima de maré, por exemplo, 1,5 metros. Nessa situação, o gráfico da função que relacionaria tempo (t) e altura de maré (A) seria semelhante a este: O fenômeno das marés pode ser descrito por uma função da forma f(t) a.sen (b.t), em que a é medido em metros e t em horas. Se o intervalo entre duas marés altas sucessivas é 1,4 horas, tendo sempre a mesma altura máxima de 1,5 metros, então a) b (5π)/1 b) a + b 1,9 c) a - b π/1,5 d) a. b 0,1 e) b (4π)/ Resposta: A P m 1,4 m 10 5π m. 1,

12 40. No processo de respiração do ser humano, o fluxo de ar através da traquéia, durante a inspiração ou expiração, pode ser modelado pela função F, definida, em cada instante t, por F(t) M sen wt. A pressão interpleural (pressão existente na caixa torácica), também durante o processo de respiração, pode ser modelada pela função P, definida, em cada instante t, por P(t) L - F(t + a). As constantes a, L, M e w são reais, positivas e dependentes das condições fisiológicas de cada indivíduo. (AGUIAR, A.F.A., XAVIER, A.F.S. e RODRIGUES, J.E.M. Cálculo para Ciências Médicas e Biológicas, ed. HARBRA Ltda (Adaptado) Um possível gráfico de P, em função de t, é: Resposta: D A função P(t) L - F(t + a) fica sendo: P(t) L - M sen w(t + a), que é uma senóide. 41. Um supermercado, que fica aberto 4 horas por dia, faz a contagem do número de clientes na loja a cada horas. Com base nos dados observados, estima-se que o número de clientes possa ser calculado pela função trigonométrica f(x) sen [(x.π)/1], onde f(x) é o número de clientes e x, a hora da observação (x é um inteiro tal que 0 x 4). Utilizando essa função, a estimativa da diferença entre o número máximo e o número mínimo de clientes dentro do supermercado, em um dia completo, é igual a a)

13 b) 800. c) 900. d) e) Resposta: E f(x) sen [(x.π)/1] Mínimo Máximo (-1) (PUC-RIO) O valor de (cos60 + tg45 )/sen90 é: a) b) c) d) e) 0 +1 Resposta: A (cos60 + tg45 )/sen O conjunto-imagem da função f definida por f(x) sen (x) + h é [-; 0]. O valor de h é a) π b) - c) -1 d) 0 e) 1 Resposta: C f(x) sen (x) + h P/ -1: -1 + h - h -1 1

14 x 44. O período e a imagem da função f ( x) 5 cos, x R, são, π respectivamente, a) e [-1, 1] b) e [, 8] c) e [, 8] d) e [-, ] e) e [-, ] Resposta: C π P. m 1 1 π Imagem: P/ -1: 5 (-1) 8 P/ 1: 5.(1) Im [, 8] 45. Carlos propõe o seguinte exercício para seus alunos: Calcule o período da função f(x) + sen(6πx + 1/). A resposta correta é a) 6π b) 1/ c) π/ d) π e) Resposta: B 1 P m 6π 46. Seja f : R R, onde R denota o conjunto dos números reais, uma função definida por f ( x) + 1. O menor e o maior valor de f(x), respectivamente, são: 4 + cos x a) 1,6 e b) 1,4 e 14

15 c) 1,6 e d) 1,4 e 1,6 e) e Resposta: A P/ -1: ( 1) P/ 1: (1) ,6 5 15