FACULDADE DE CIÊNCIAS NATURAIS E MATEMÁTICA DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA Campus de Lhanguene, Av de Moçambique, km 1, Tel: +58 1401078, Fa: +58 140108, Maputo ESTRUTURAS ALGÉBRICAS -01 FICHA DE EXERCÍCIOS OPERAÇÕES - LEIS DE COMPOSIÇÃO INTERNA 1 Justifique se a multiplicação e a adição são leis de composição interna no conjunto S : Z, 0 Justifique se são ou não leis de composição interna as operações definida por: a) y y no conjunto R - y y no conjunto R - c) y y no conjunto R 0 d) a b b a no conjunto e) y y definida no conjunto dos números Irracionais f) y : y dos números racionais g) a b a b definida no conjunto z - Caso não sejam justifique 3 Justifique se a subtração pode ou não ser considerada uma operação no conjunto N? N PROPRIEDADES DAS OPERAÇÕES - LEIS DE COMPOSIÇÃO INTERNAS 4 Estude a eistência do elemento neutro da subtração definida no conjunto Z 5 Considere em N b a operação definida por a b a Verifique a validade das seguintes propriedades: a) Associativa Eistência do elemento neutro 6 Considere a operação definida por a b a b 1 no conjunto dos números reais a) Verifique se é comutativa Verifique se é associativa c) Verifique a eistência do elemento neutro d) Calcule 1 e) Resolva a equação ( 1) 48 7 Considere a operação y y y definida no conjunto Z cujo e 0 a) Calcule ( 7) Justifique se eiste ou não o simétrico de 7? c) Encontre, se eistirem os elementos simetrizáveis 8 Considere a operação em R definida por a b ab a b cujo elemento neutro é 0 a) Discuta a eistência ou não do simétrico de 5 Discuta a eistência ou não de elementos simetrizáveis c) Calcule ( 3) ( 5) 1 de duas maneiras diferentes d) Discuta a eistência ou não do oposto de 1
9 Em Z está definida a lei de composição interna, dada por ( a, ( c, d) ( ac, b d ), associativa, comutativa, cujo elemento neutro é ( 1, ) a) Encontre os elementos simetrizáveis Encontre os elementos regulares c) Apresente um contraeemplo que prove que a proposição formulada em 4 não é em geral verdadeira e justifique 10 Em R está definida a operação, comutativa, dada por ( a, ( c, d) ( a c 1, b d ) cujo elemento neutro é ( 1, ) a) Calcule ( 0, 0) (0, 0) Encontre os elementos que têm oposto 11 Considere em N a operação definida por a b a b 1 Em que condições a operação é comutativa? 1 Considere a operação definida por, y z, t z, y t onde, y, z, w R a) Em que conjunto está definida a operação? Calcule,1,,1 c) Justifique se a operação é ou não comutativa d) Estude a eistência do elemento neutro 13 Considere o conjunto dos números naturais Dê eemplo de: a) Uma operação não comutativa Uma operação não associativa 14 Enuncie e demonstre o teorema referente ao oposto a direita e a esquerda de um dado elemento, numa operação definida num conjunto 15 Considere uma operação definida num conjunto que tem como elemento neutro u Justifique se nessa operação eistem ou não elementos simetrizáveis Caso sim apresente-os 16 Considere um conjunto A e uma lei de composição interna definida em A, associativa e comutativa a) Demonstre que se a A é simetrizável, então a é regular Formule a proposição recíproca da formulada em a) 17 Considere o conjunto Z 7 a) Apresente esse conjunto Indique (justifique) o oposto aditivo de 3 18 Considere a operação definida pela tabela: 1 3 1 1 3 3 1 3 3 3 3 a) Em que conjunto está definida a operação Justifique se a operação é ou não lei de composição interna c) Calcule de modos diferentes 3 A que conclusão se pode chegar? d) Estude, justificando, todas as propriedades das operações, ecluindo a associativa e) Resolva a equação 1 3 f) Resolva a equação
ESTRUTURAS ALGÉBRICAS 19 Justifique se é ou não grupóide ( R, ) onde y y 0 Justifique se é ou não grupóide ( I, ) onde I é conjunto dos números Irracionais e y y 1 Justifique se o par ordenado ( R \ Q, ) onde é a multiplicação usual é ou não um grupóide Justifique se são ou não grupóides os seguintes pares ordenados: b a) ( Q, ) onde a b ( Z, ) onde a b a b I onde I representa o conjunto dos números Irracionais c), d) I, onde I representa o conjunto dos números Irracionais 3 Considere o par ordenado, Z, onde a b a b a) Calcule ( 3) ( 5) Calcule ( 7) ( 7) c) Justifique se, Z é ou não um grupóide d) Resolva em a equação ( 6) 1 e) Resolva a equação ( 1) 36 4 Considere o par ordenado, Z, onde a b a 3 a) Calcule ( 5) ( 5) e ( 5) (5) Que conclusão se pode tirar Verifique se é associativa c) Verifique se possui ou não elemento neutro d) Resolva a equação 10 16 R, onde a b a b a) Calcule ( 3) ( 5) 1 de duas maneiras diferentes Tendo em conta a), que conclusão se pode tirar? Justifique c) Justifique se possui elemento neutro em R 5 Considere o par ordenado, 6 Considere o par ordenado, R, onde a b a b 3 e o neutro de é 3 Encontre se eistirem elementos simetrizáveis à direita 7 Considere o par ordenado ( R, ) onde b a log b a a) Calcule 3 8 Justifique se ( R, ) é ou não grupóide 8 Estude a eistência do elemento neutro no grupóide ( R, ) onde a b a b 1 N 0, em que y 3y a) Calcule 5 7 Verifique se o grupóide é um semi-grupo comutativo 9 Considere o grupóide 30 Verifique se, R onde y log y é um grupóide 3
31 Considere o grupóide, Calcule: a) 71 R onde y y 1 3 1 3 Considere o grupóide ( R, ) onde a b a b 1 a) Indique quais elementos têm oposto e justifique Determine se eistir o oposto de 7, caso não justifique 33 Verifique se o grupóide ( R, ) é um monóide comutativo onde a, b c, d a c, b d A Considere 34Seja, y R : y 1 A, onde, yz, t z, y t a) Calcule 1,4 1,3 A onde, yz, t z, y t é um grupóide Verifique se, 35 Considere o par ordenado R, semi-grupo Justifique se a estrutura algébrica é ou não um 36 Caracterize algebricamente o conjunto M ( R) munido das operações usuais de adição e multiplicação e justifique 37 Eplique o significado e apresente eemplo de ( ) em ( R, ) 38 Considere que em,, R, a b a b 1 e a b a b a b Demonstre que a operação é distributiva à esquerda em relação à operação 39 Seja ( A, ) um monóide Justifique se num monóide o conjunto de elementos simetrizáveis (que têm oposto) pode ser vazio 40 Considere o grupo, A e a equação a b com a, b A a) Demonstre que a equação a b tem solução única Apresente um eemplo de uma estrutura algébrica, de uma equação e verifique a validade da proposição da alínea a 41 Demonstre o teorema: Se o grupóide ( A, ) tem neutro, então este é único 4 Seja G, um grupo 1 Demonstre que: a) a G a a a, b G a b b a Justifique que todos elementos de G são regulares 43 Considere A, em que 0,3,6,9 A e y y a) Elabore a tabela da operação Através da tabela indique e eplique todas as propriedades da operação, ecluindo a propriedade associativa c) Resolva em A a equação 6 y 9 4
44 A tabela seguinte define uma operação binária definida num dado conjunto a) Indique o conjunto Indique o elemento neutro e justifique c) Complete-a (justificando) de tal modo que E, seja um grupo e a b c e e a b c a a - - - b b c - - c c e a - 45 Sabe-se que A, 1,0,, de Elabore, eplicando, uma tabela da operação, sabendo que, 0 A é um grupo comutativo, -1 é o elemento neutro 46 Elabore uma tabela, sabendo que A, é um grupo comutativo, sendo A, 1,0, -1 o elemento neutro de e 0, e justifique 47 Apresente um subgrupo de Z, Justifique HOMOMORFISMO 48 Considere R, e, R onde a b a b 1 O neutro de é 1 f : R R está definida por f ( ) 1 a) Verifique se f é um homomorfismo de R, em R, Apresente o núcleo de f c) Calcule f (( 5) ) utilizando propriedades do homomorfismo d) Calcule f ( ) utilizando propriedades do homomorfismo 49 Considere os grupóides, R e ( R, ) onde a b a b 1 Seja f : R R definida por f ( ) 1 a) Compare f ( 3) com f ( ) f (3) Verifique se f é um homomorfismo c) Através de um eemplo, verifique a validade da proposição f ( e) u onde e e u são neutros de R, e R,, respetivamente 50 Justifique se o núcleo de um homomorfismo de grupos pode ou não ser vazio 51 Considere os grupos, Z e R, e seja f : Z R definida por a) Encontre Ker f Verifique se f é um isomorfismo 5 Considere G, o e, f ( ) J dois grupos cujos elementos neutros são e e u respetivamente Demonstre que f ( e) u 5
53 Considere os grupos um homomorfismo de seguintes proposições: a) f e) u, R, Seja f : R R definida por f ( ) log R em R Através de eemplos, verifique a validade das R e ( onde e e u são neutros de 1 ) f ( a ) f ( a 1 54 Considere o grupo, R e R,,, respetivamente R e a aplicação f : R R definida por f ( ) a) Demonstre que f é um isomorfismo Encontre Ker f 55 Considere os pares ordenados R, e, R onde e estão definidas por a b a b 1 e a b a b 1 respetivamente Considere a aplicação f : R R definida por f ( ) 1 a) Demonstre que f é um homomorfismo de R, em R, Determine f ( 7 10) c) Aplicando o homomorfismo determine o neutro de 56 Considere f : Z R, definida por f ( ), onde Z é o grupo aditivo e R é grupo multiplicativo a) Mostre que f é um homomorfismo Com eemplos concretos, faça um diagrama eplicativo do significado do homomorfismo c) Encontre Ker ( f ) d) Verifique se f é ou não um monomorfismo e) Indique um subgrupo de Z 57 Considere os Grupóides, e R, R Seja a aplicação definida por f ( ) 571 Calcule se eistir, caso não justifique: a) f (9) f 1 ( 9) 57 Verifique se f é um monomorfismo de 58 Considere o Grupo, R em R f : R R, R Seja a aplicação f : R R, definida por f ( ) 581 Calcule se eistir, caso não justifique: a) f (7) f 1 (7) 58 Verifique se f é um isomorfismo sobre R 59 Enuncie e demonstre uma proposição sobre isomorfismo de grupos ANEIS 60 Considere o anel R,, onde a adição e multiplicação são definidas de forma usual O elemento neutro da adição e da multiplicação são 0,0 e 1,1 respetivamente a) Classifique o anel quanto ao tipo Responda, justificando, se o anel tem ou não divisores de zero c) Responda, justificando, se o anel é ou não um domínio de integridade? 6
d) Indique os elementos que têm oposto multiplicativo e) Responda, justificando, se o anel é ou não um corpo 61 Justifique se num anel com divisores de zero, é válida a lei de anulamento de produto 6 Apresente uma situação de utilização da lei do anulamento do produto no Ensino Secundário Geral 63 Considere a propriedade a b a a b A,, a) Eplique o conteúdo da propriedade Apresente um eemplo de aplicação da propriedade no Ensino Secundário 64 Considere o terno ordenado,, ( válida no anel A 641 Formule uma proposição sobre a resolução da equação a b com a, b A, se A,, for: a) Um anel de integridade Um corpo A,, é um corpo 64 Demonstre a proposição anterior no caso em que 65 Enuncie e demonstre o teorema sobre a solução da equação a b com a 0 em Z,, 66 Considere a seguinte estrutura algébrica ( E,, ) : Enuncie e eplique o teorema sobre a eistência e unicidade da equação caso em que: a) ( E,, ) é um domínio de integridade ( E,, ) é um corpo a b no 67 Considere que ( A,, ) é um anel: a) Eplique o significado de ( a a b a b Apresente, eplicando, um conteto de aplicação de ( a a b a b no Ensino Secundário c) Considerando ( A, ), enuncie e demonstre o teorema referente a resolução da equação ( a ) b 68 Resolva todos os eercícios da bibliografia recomendada 7