Trasporte Iôico e o Potecial de Membraa Até o mometo, cosideramos apeas o trasporte de solutos eutros (sem carga elétrica) através da membraa celular. A partir de agora, vamos passar a estudar o trasporte de solutos carregados (íos) pela membraa celular. O fluxo iôico através das membraas das células ervosas é fudametal para o cotrole das propriedades de excitabilidade e de geração de pulsos elétricos por essas células. Esses pulsos elétricos são uma das pricipais formas de comuicação etre as células ervosas, de maeira que o etedimeto das propriedades de trasporte de íos pela membraa celular é essecial para uma compreesão do fucioameto do sistema ervoso. Existe uma difereça de potecial elétrico etre os dois lados da membraa de qualquer célula viva, aimal ou vegetal. O valor de repouso desse potecial é chamado de potecial de repouso (veja a figura abaixo). 1
O potecial de repouso pode ser medido colocado-se um eletrodo detro da célula, em cotato com o seu citoplasma, e outro eletrodo em cotato com a solução extracelular. Um esquema de um experimeto típico para a medida do potecial de repouso de uma célula está mostrado a figura abaixo. Com o uso de técicas como a ilustrada acima, o potecial de repouso pode ser medido para diversos tipos de células de platas e aimais. Os resultados idicam que, quase sempre, o potecial do citoplasma é egativo em relação ao potecial do meio extracelular. 2
Tomado-se como referêcia para o zero de potecial o seu valor o meio extracelular, o valor da difereça de potecial V m etre o iterior e o exterior da maioria das células está etre 100 mv e 10 mv. A figura abaixo dá um exemplo de uma medida de V m (o ídice m idica membraa). Existem também difereças as cocetrações iôicas etre os dois lados da célula e essas difereças de cocetração são matidas costates o repouso. Por exemplo, o citoplasma tem maior cocetração de íos de potássio em relação ao exterior e meor cocetração de íos de sódio em relação ao exterior. A tabela a seguir dá os valores das cocetrações de algus íos, detro e fora da célula, para algumas células selecioadas. 3
Cocetração (mmol/l) Ío Lula Sapo Humao Citoplasma Sague Água Salgada Citoplasma Plasma Citoplasma Plasma K + 400 20 10 124 2,25 150 5,35 Na + 50 440 460 10,4 109 12 20 144 Cl 40 150 560 540 1,5 77,5 73,5 111 Ca ++ 0,0001 10 10 4,9 2,1 6,4 Mg ++ 10 54 53 14,0 1,25 5,6 2,14 Cocetrações itra- e extracelulares de algus íos para o axôio gigate de lula, a fibra muscular do sapo e eritrócitos humaos. A difereça a composição iôica etre os dois lados da membraa afeta as propriedades elétricas das células. As difereças o potecial e a cocetração de íos etre os dois lados da membraa estão relacioadas, de maeira que mudaças o potecial podem resultar em mudaças a cocetração de íos e vice-versa. A relação etre o potecial de repouso e a cocetração de íos é cotrolada pela membraa. Estudaremos a partir de agora esta relação e os mecaismos físico-químicos resposáveis pela mauteção das difereças de potecial e de cocetração iôica. 4
Eletrodifusão Nas aulas ateriores cosideramos o trasporte de partículas a preseça de um gradiete de cocetração. Etretato, se as partículas tiverem carga elétrica e estiverem sob o efeito de um campo elétrico, haverá trasporte de partículas provocado por dois mecaismos físicos diferetes: Difusão, devido à existêcia de um gradiete de cocetração de partículas etre os dois lados da membraa celular; e Arrasto, devido à existêcia de um gradiete de potecial elétrico etre os dois lados da membraa celular. Lembrado das aulas de eletricidade e magetismo, um gradiete de potecial elétrico está associado a um campo elétrico pela relação: E = V. (1) Em uma dimesão (por exemplo, a do eixo-x), que será o caso cosiderado aqui, esta relação é: E = V. (2) E uma partícula de carga q movedo-se em um campo elétrico E (uidimesioal) sofre uma força F dada por: f = qe. (3) Esta força elétrica é a força de arrasto (veja a Aula 1, págias 17 e 18) atuado sobre as partículas 5
Como há dois mecaismos de trasporte de partículas carregadas através de uma membraa celular (difusão e arrasto), podemos escrever as expressões correspodetes aos fluxos de partículas por esses dois mecaismos. O fluxo por difusão é descrito pela lei de Fick (Aula 1, equação 1): φ D = D c, (4) ode c é a cocetração de partículas (que tem valores diferetes dos dois lados da membraa) e D é o coeficiete de difusão. Note que o subídice D foi usado em φ D para idicar explicitamete que este é o fluxo por difusão. Lembrado da Aula 2 (equação 4), o coeficiete de difusão D pode ser escrito como D = l 2 2τ, (5) ode l pode ser iterpretado como o livre camiho médio etre duas colisões e τ pode ser iterpretado como o tempo médio etre duas colisões. Já o fluxo devido ao arrasto provocado pelo campo elétrico pode ser escrito como (Aula 1, equações 13 e 14): ode: φ a = cv = ucf, (6) 6
v = velocidade de arrasto de um mol de partículas; f = força elétrica por mol de partículas; u = mobilidade mecâica molar (u = v/f). Note o uso do subídice a em φ a para idicar explicitamete que este é o fluxo por arrasto. Vamos cosiderar que as partículas são íos (portato, com carga) de valêcia z e que a força f é causada por um campo elétrico com itesidade E = V, ode V é o potecial elétrico. Etão, a força elétrica sobre um mol de partículas é ode q é a carga de um mol de partículas. f = qe, (7) A carga de um mol de partículas pode ser escrita em termos da costate de Faraday F. A costate de Faraday é defiida como a carga de um mol de partículas moovaletes (z = 1). A carga de uma partícula moovalete é a carga elétrica fudametal e: e = 1,602 10 19 C. (8) O úmero de partículas em um mol é o úmero de Avogadro: Portato, o valor de F é: N A = 6,022 10 23 mol 1. (9) 7
F N A e = 9,648 10 4 C/mol. (10) A carga de um mol de partículas de valêcia z qualquer é etão, q = zf, (11) de maeira que a força elétrica sobre um mol de partículas pode ser escrita como: f = qe = zfe = zf V. (12) Combiado as equações (6) e (12): Esta equação é chamada de lei de Plack. φ a = uczf V. (13) A lei de Plack descreve o fluxo de partículas carregadas sob a ação de um campo elétrico em um meio viscoso (ote que as partículas ão estão se movimetado o vácuo, mas sofrem colisões com as partículas do meio). Ela implica que o movimeto de cargas elétricas positivas (z > 0) ocorre o setido cotrário ao do gradiete do potecial elétrico V(x). Já as partículas com carga elétrica egativa (z < 0) se movem o setido do gradiete do potecial elétrico V(x). Combiado as equações (4) e (13), obtemos a equação que descreve o fluxo de partículas da espécie iôica sob ação dos mecaismos de difusão e de arrasto: 8
c φ = D (x, u z Fc (x, V(x, difusão arrasto. (14) Note que as uidades do fluxo escrito acima são úmero de moles por uidade de área por uidade de tempo. Se multiplicarmos o fluxo φ pela carga de um mol de partículas da espécie, teremos uma gradeza cujas uidades serão carga elétrica por uidade de área por uidade de tempo. No SI, essa gradeza tem uidades de C/m 2.s (coulombs por metro quadrado por segudo). A correte elétrica I em um dado poto do espaço é defiida como a carga elétrica que passa por esse poto do espaço dividida pela uidade de tempo. No SI, a uidade de I é o ampère (A): 1 A 1 C/s. Portato, as uidades de fluxo iôico são as de correte elétrica por uidade de área. No SI, C/m 2.s = A/m 2. Estas são as uidades de desidade de correte. Lembrado das aulas de eletricidade e magetismo, dado um elemeto de área da de orietação defiida pelo versor ormal ˆ e supodo que por esse elemeto de área passa uma correte I cuja direção e setido correspodem ao de um vetor (figura abaixo), a correte I pode ser escrita como: I = J ˆdA. J (15) 9
O vetor J é chamado de desidade de correte e suas uidades são as de correte por uidade de área (o SI, A/m 2 ). Como estamos cosiderado aqui apeas casos de fluxos uidimesioais (as direções de correte tora-se um escalar J dado por: J e ˆ são as mesmas), a desidade de ode A é a área da superfície por ode passa a correte I. J = I A, (16) Voltado à equação (14), multiplicado o fluxo iôico φ pela carga de um mol de íos da espécie (z F) teremos a desidade de correte dos íos da espécie : J (x, = z Fφ (x,. (17) De forma explícita: # c J (x, = z F D (x, % $ + u z Fc (x, V(x, & (. (18) ' 10
Esta é a chamada equação de Nerst-Plack. Ela é a base teórica para a descrição do fluxo iôico através de membraas celulares em decorrêcia do efeito combiado dos gradietes de cocetração e de potecial elétrico. O sial egativo idica que (lembre-se que a equação 18 idica a desidade de correte elétrica): a) Íos positivos (z > 0): a correte elétrica apota a direção oposta dos gradietes de cocetração e de potecial elétrico. Neste caso a correte elétrica coicide com a direção do fluxo dos íos. b) Íos egativos (z < 0): a correte elétrica apota a direção do gradiete de cocetração e a direção oposta do gradiete de potecial elétrico (ote que o segudo termo etre parêteses é multiplicado por z ). Como este caso a direção da correte elétrica é cotrária à do fluxo de íos (pois os íos são egativos), o movimeto dos íos vai a direção oposta à do gradiete de cocetração, mas a mesma direção do gradiete de potecial. Esta equação pode ser reescrita usado-se a relação de Eistei obtida a aula 2 (equação 20 da aula 2): D = u RT, (19) ode R é a costate uiversal dos gases (= 8,314 J/mol.K), e T é a temperatura absoluta. Substituido (19) em (18) podemos reescrever a equação de Nerst- Plack como: J = u z F RT c + z Fc V. (20) 11
Se cada espécie iôica for coservada, cada ío terá sua própria equação de cotiuidade. Coforme a equação (7) da aula 1, a equação de cotiuidade para os íos da espécie iôica é: φ c = t ode φ idica o fluxo dos íos da espécie iôica., (21) Lembre-se que o fluxo aqui sigifica o úmero de moles da espécie iôica que passa por uidade de área por uidade de tempo. Portato, se multiplicarmos o fluxo φ pela carga de um mol de íos da espécie (q = z F) teremos a desidade de correte dos íos da espécie, J (x, (equação 17 acima). Em termos da desidade de correte J (x,, a equação (21) fica J c = z F. (22) t Assim como se pode deduzir uma equação de cotiuidade para o úmero de partículas (feita a aula 1), que expressa a coservação das partículas, pode-se também deduzir uma equação de cotiuidade para a massa de um cojuto de partículas (coservação da massa) e uma equação de cotiuidade para a carga de uma população de partículas carregadas (coservação da carga). 12
Como o que os iteressa aqui é a carga, faremos agora a dedução da equação de cotiuidade para a carga de uma população de partículas carregadas (íos de várias espécies diferetes). A demostração será aáloga à feita a aula 1. Cosideremos um elemeto de volume com área da seção reta A e comprimeto Δx com desidade de carga ρ e desidade de correte J, como mostrado a figura abaixo. A coservação da carga implica que a carga líquida fluido para detro do elemeto de volume em um itervalo de tempo Δt deve ser igual à variação da carga o iterior do elemeto de volume o itervalo Δt. Portato, J AΔt J( x + Δx, AΔt = t + Δ AΔx ρ( x, AΔx ρ. Rearrajado os termos da equação acima e fazedo 0 que, em três dimesões, é escrita como J ρ( x, t = ) t Δx e Δt 0, obtemos,, (23) 13
J ρ = t. (24) Esta é a equação da cotiuidade para a carga elétrica (em 1-D e 3-D), expressado a sua coservação. Note que ele é equivalete à soma de termos iguais aos da equação (22), um para cada espécie iôica presete: J (x, = z F c(x, t % ' & J ( % * ' ) & = J = ρ t. ( z Fc * ) t Uma das equações fudametais do Eletromagetismo é a lei de Gauss (1 a lei de Maxwell), que escrita a forma diferecial em uma dimesão é: E = ρ ε, (25) ode ρ é a desidade de carga (C/cm 3 ) e ε é a permissividade elétrica do meio. Expressado o campo elétrico em termos do potecial elétrico, E(x, = V(x,, 14
a lei de Gauss pode ser escrita como, 5910187 Biofísica II FFCLRP USP Prof. Atôio Roque Aula 10 2 V que é cohecida como equação de Poisso. 2 ρ = ε, (26) Em três dimesões, as equações (25) e (26) são: e ρ E = (27) ε V ρ = ε 2. (28) A desidade de carga é formada por dois termos, um devido às cargas móveis e outro devido às cargas fixas, imóveis o meio. A desidade de cargas móveis (isto é, que fluem pelo meio) associada aos íos da espécie é, como a equação (17): ρ (x, = z Fc (x,. (29) Já a desidade de cargas fixas será escrita como ρ f (x,. Portato, a desidade total de carga será escrita como: N ρ( x, = F z c + ρ f. (30) = 1 15
Um sistema de eletrodifusão é completamete especificado pelas equações (20), (22), (26) e (30). Assim, existem N equações de Nerst-Plack (Equação 20) relacioado 2N + 1 variáveis: J1, J 2, J3,..., J N, c1, c2,..., cn, V. Se cada uma das espécies iôicas for coservada, etão teremos mais N equações de cotiuidade adicioais (equação 22) relacioado essas variáveis. Fialmete, a equação de Poisso (equação 26) também defie outra relação etre essas 2N + 1 variáveis. Se as cargas fixas forem especificadas como uma propriedade do material e se codições de cotoro apropriadas forem especificadas, estão todas essas equações permitem uma determiação completa do problema de eletrodifusão, isto é, existem 2N + 1 variáveis e 2N + 1 equações. Em pricípio, essas equações podem ser resolvidas para a cocetração e a desidade de correte de cada um dos íos móveis bem como para o potecial elétrico. Porém, essas equações podem ser ão lieares por causa do termo c ( V ) a equação (20), o que complica sua solução. Eletrodifusão o Equilíbrio Uma situação importate que pode ser estudada com o auxílio das equações obtidas a seção aterior é aquela em que o fluxo do -ésimo ío é zero, ou seja, a situação em que há equilíbrio eletrodifusivo do -ésimo ío. Fazedo J = 0 a equação (20) obtemos a codição, 16
c V u zf RT + zfc( x, = 0. (31) Existem várias maeiras de satisfazer esta codição. Três delas são triviais: (1) se u = 0, ou seja, se as partículas da -ésima espécie iôica estiverem fixas, com mobilidade zero; (2) se z = 0, ou seja, se as partículas ão tiverem carga, de maeira que mesmo que haja difusão de partículas ão exista eletrodifusão; e (3) se c = 0, que é o caso quado ão há partículas da -ésima espécie iôica. Quado ehuma dessas codições triviais existe, o equilíbrio só é possível quado, dc ( x) RT + z dx Fc dv ( x) ( x) = 0, (32) dx ode as derivadas parciais foram trasformadas em derivadas totais porque o equilíbrio todas as variáveis são idepedetes do tempo. Separado as variáveis, obtemos 1 c ( x) dc ( x) dx zf dv ( x) =. (33) RT dx Itegrado esta equação etre x 0 (o poto de referêcia para o potecial) e x (mostre isso como exercício):! l c (x) $ # & = z F " c (x 0 )% RT V(x) V(x 0) ( ). (34) 17
Resolvedo esta equação para c (x), obtemos a distribuição espacial de partículas da -ésima espécie iôica o equilíbrio, c ( x) ( V ( x) V ( x0 )) RT = c ( x ) e. (35) 0 z F Esta equação os diz que, se ão houver difereça de potecial etre os dois potos, x e x 0, e/ou se z = 0, a cocetração da -ésima espécie iôica é uiforme o espaço, o mesmo resultado que foi obtido quado se estudou a codição de equilíbrio para a difusão de partículas sem carga a aula 1. Observado o expoete da equação (35), vemos que ele depede da razão etre a eergia potecial elétrica armazeada por mol, U = z FV(x), e a eergia térmica por mol, RT. Este resultado faz setido ituitivamete, pois a distribuição espacial das moléculas depede de dois fatores que competem etre si: a tedêcia ao arrasto, devida à existêcia do campo elétrico, e a tedêcia à difusão, devida à eergia térmica. Se, por exemplo, a distribuição espacial do potecial elétrico tiver uma forma como a dada a figura a seguir, com um pico a origem e míimos simétricos em toro dela, e a eergia potecial for grade em comparação com a eergia térmica, a distribuição espacial da cocetração de partículas terá uma forma como a da figura abaixo dela, com picos as posições correspodetes dos míimos do potecial e um míimo a origem. 18
À medida que a eergia térmica aumeta (pelo aumeto a temperatura), os picos a distribuição de partículas se toram cada vez meos prouciados até que, o limite de temperatura arbitrariamete alta, a distribuição de partículas se tora uiforme. Pode-se fazer uma aalogia mecâica para iterpretar este resultado. Imagiemos uma superfície tridimesioal rígida cujos picos e vales represetam máximos e míimos locais a eergia potecial gravitacioal. Essa distribuição espacial da eergia potecial gravitacioal é aáloga à de um potecial elétrico. Agora coloque uma coleção de bolas sobre a superfície e agite-a para trasmitir alguma eergia ciética às bolas. A eergia ciética das bolas é aáloga à eergia ciética térmica. As bolas rolarão para os fudos dos vales e permaecerão lá. 19
Fazedo vibrações suaves a superfície, você provocará movimetos das bolas de um vale para outro de maeira que, a cada istate de tempo, sempre haverá algumas bolas as regiões etre os vales. Porém, se a superfície for agitada com muito vigor, você perceberá que as bolas ão ficarão cofiadas aos fudos dos vales, mas terão probabilidades iguais de ser ecotradas em qualquer poto da superfície. 20