APLICAÇÃO DE MODELOS QUANTITATIVOS DE PREVISÃO EM UMA EMPRESA DE TRANSPORTE FERROVIÁRIO

XXIII ENEGEP - Ouro Preo, MG, Brasil, 22 a 24 de ouubro de 2003 APLICAÇÃO DE MODELOS QUANTITATIVOS DE PREVISÃO EM UMA EMPRESA DE TRANSPORTE FERROVIÁRIO Ricardo Ferrari Pacheco Universidade Caólica de Goiás UCG Deparameno de Engenharia de Produção Av. Universiária, 1069 CEP: 74.605-010. Goiânia GO Alisson Vior Fori Silva Ponifícia Universidade Caólica do Paraná PUCPR Deparameno de Engenharia de Produção R. Imaculada Conceição 1155. CEP: 80215-901. Curiiba Paraná e-mail: alifori@homail.com Absrac: Ese arigo relaa um esudo sobre a aplicabilidade de modelos quaniaivos de previsão em uma empresa brasileira de ranspore ferroviário. Denre os modelos quaniaivos exisenes, foram analisados o modelo de decomposição de séries emporais com endência e sazonalidade e o modelo de suavisameno exponencial de Winers. Foram analisados os 3 principais produos ransporados pela companhia: soja, farelo de soja e açucar, sendo geradas previsões para o período de 2002 e 2003 e comparados com os volumes efeivamene ransporados e com a previsão realizada pela companhia. Embora a empresa seja recene e os dados hisóricos escassos, o esudo demonsrou que a uilização de modelos quaniaivos de previsão propicipou resulados superiores às previsões realizadas pela companhia sem o uso de modelos formalizados. Keywords: previsão de demanda; logísica; ranspore ferroviário. 1- INTRODUÇÃO O desenvolvimeno de écnicas de previsão cada vez mais sofisicadas, paralelamene ao rápido desenvolvimeno de compuadores e ouras ecnologias de informação e manipulação de dados, em levado diversas empresas a se ineressarem cada vez mais pelo processo de previsão de demanda (MAKRIDAQUIS e all, 1983). O perfeio enendimeno das diversas écnicas quaniaivas de previsão permie aos profissionais uilizar efeivamene os valores previsos como pono de parida, a parir do qual deverão incorporar seu julgameno e sensibilidade a respeio do comporameno do mercado. Os resulados da previsão de demanda são uma enrada para o planejameno de capacidade, programação de parada de aivos para manuenção, definição de níveis de serviço, enre ouras. Conrariamene ao que ocorre com os produos, não é possível esocar serviços não presados durane os períodos de menor demanda para o aendimeno em períodos de ala demanda (CORREA & GIANESI, 1994). Percebe-se porano, que uma quesão crucial no seor de serviços é o dimensionameno da capacidade de seu sisema operacional, respondendo não apenas qual o volume de capacidade a ser adicionado, mas ambém em quando expandi-la. Capacidade ociosa pode implicar em elevados cusos uniários para o serviço presado, enquano fala de 1

capacidade pode implicar em deerioração dos níveis de serviço presados ao cliene. O presene arigo relaa um esudo de viabilidade da aplicação de modelos quaniaivos de previsão de demanda em uma empresa brasileira de ranspore ferroviário. O arigo esá dividido em 5 seções. Na Seção 2, é feia uma revisão sucina dos conceios de previsão. Na Seção 3, a descrição do problema de previsão da empresa é apresenado. Na Seção 4, são descrios os méodos e os dados uilizados na elaboração do modelo de previsão para os produos analisados. Finalmene, na seção 5, em-se as conclusões do esudo. 2 - REVISÃO BIBLIOGRÁFICA Técnicas de previsão consisem no cálculo maemáico ou esaísico empregado para converer dados hisóricos e parâmeros em quanidades fuuras (WHEELWRIGHT & MAKRIDAKIS, 1985). As écnicas de previsão geralmene se dividem em dois ipos principais (MORETTIN & TOLOI, 1981): i Técnicas qualiaivas. Esas dependem exclusivamene do experise ou feeling dos previsores, sendo geralmene mais caras e rabalhosas que os méodos quaniaivos de previsão. São ideais para siuações onde não há séries hisóricas disponíveis e/ou julgameno humano é imprescindível, sendo desenvolvidas por meio de pesquisas de mercado, painéis ou reuniões de especialisas no seor. ii Técnicas quaniaivas. Esas dividem-se em dois grupos principais: séries emporais e modelos causais. As écnicas de séries emporais uilizam dados hisóricos de demandas como base para deerminação de padrões que podem se repeir no fuuro. Exemplos de écnicas de séries emporais são as médias móveis, o alisameno exponencial e a decomposição de séries emporais. Já os modelos causais buscam relacionar as demandas (variável dependene) com ouros faores ais como PIB, inflação, clima, perfil de população, denominadas variáveis independenes. Para isso são uilizadas écnicas de regressão linear e não-linear. 2.1 SÉRIES TEMPORAIS Séries Temporais são observações ordenadas no empo, uma seqüência de valores que seguem uma ordem não aleaória (MORETTIN; TOLOI, 1981). A análise das séries emporais é baseada na suposição de que valores sucessivos dos dados represenam formas de medidas consecuivas omadas em inervalos de empos iguais, denominadas séries discreas. Exisem dois objeivos principais na análise de séries emporais: o primeiro consise em idenificar a naureza do fenômeno gerador da seqüência de observações, o segundo é fazer previsões de valores fuuros da série emporal. Uma vez idenificado o padrão de comporameno, é possível exrapolar o padrão idenificado e prever evenos fuuros. Os méodos de previsão de séries emporais dividem-se em duas caegorias: (i) méodos auomáicos, que são aqueles aplicados direamene com a uilização de um compuador (processos ieraivos), e (ii) méodos não auomáicos, aqueles que exigem a inervenção de um operador especializado na seleção do modelo devido à dificuldade de auomaização do méodo. A grande popularidade aribuída aos méodos auomáicos é devida à facilidade de implemenação, eficiência compuacional e sua boa previsão. Na escolha de modelos para previsão de séries emporais, deve-se levar em cona o comporameno dos dados e, basicamene quaro hipóeses podem ser levanadas: (i) hipóese de permanência (esacionariedade); (ii) hipóese de rajeória padrão (endência); (iii) hipóese sazonal com permanência (sazonalidade) e (iv) hipóese sazonal com rajeória (endência e sazonalidade). Assim, um modelo clássico para séries emporais supõe que a série emporal, = 1,..., N possa ser escria como a soma (modelo adiivo ) ou muliplicação (modelo muliplicaivo) de rês componenes: uma endência, uma componene sazonal e um ermo aleaório: 2

T T S S a + +.. a =, = 1,..., N. =. Algum auores propõem ainda incluir no modelo uma componene cíclica C, para represenar movimenos com períodos longos, geralmene maiores que um ano. Conudo, como desacam ouros auores (GRANGER & NEWBOLD, 1977), não há evidencias que as séries macroeconômicas modernas conenham componenes periódicas além de sazonal. Removendo-se as componenes T e S, o que sobra é a componene aleaória ou residual. A suposição normal é que a a seja um processo esocásico puramene aleaório, embora em alguns casos pode-se considerá-lo um processo esacionário, com média zero e variância consane (MORETTIN; TOLOI, 1981). 2.2 ALISAMENTO EXPONENCIAL DE WINTERS Ese modelo procura deerminar as rês componenes deerminísicas da decomposição da série: nível, endência e sazonalidade. Aravés de esudos empíricos demonsra-se que sua precisão é compaível com modelos mais complexos, como modelos ARIMA (MAKRIDAKIS; HIBON, 2000). Exisem duas formas de procedimeno que esão relacionadas com as relações enre as componenes: a forma muliplicaiva e a adiiva. As componenes são deerminadas com base em rês equações de alisameno. O modelo sazonal muliplicaivo, variane mais usual, em um período de sazonalidade s, considera um faor de sazonalidade F como muliplicaivo: = µ. F + T + a, = 1,..., N, onde µ é o nível da série e pode ser esimado por. As equações de alisameno são definidas em função das consanes de alisameno A, C e D e represenam, respecivamene, os faores de nível, de endência e de sazonalidade sendo: ( )( = A + 1 A + Tˆ ) 0 < A < 1 = s + 1,..., N, 1 1 Fˆ s = C + 1 C 0 < C < 1 = s+1,,n, T ( ) ( ) Tˆ 1 ˆ 1 Fˆ = D + ( 1 D ) Fˆ 0 < D < 1 = s+1,,n. s A previsão para ese procedimeno, muliplicaivo, observa as seguines equações em função do horizone: a) previsões denro do período sazonal s, ( + T ˆ ) F ( + T ˆ ) F ˆ = h ˆ + h s, h = 1,2,..., s. b) previsões enre o primeiro e o segundo período sazonal s, ˆ = h ˆ + h 2 s, h = s +1, s + 2,..., 2s. Ese procedimeno de previsão, por semelhança pode ser esendido aos demais horizones. Deve-se escolher os valores das consanes A, C e D, de forma a melhor ajusar o modelo aos valores da série emporal analisada. MORETTIN e TOLOI (1981) aribuem como vanagens dese méodo a adequação às séries com comporameno mais geral, a grande flexibilidade em função da escolha das consanes de alisameno e ser de fácil enendimeno e aplicação. São ciadas como desvanagens para ese méodo, a dificuldade de se deerminar os 3

melhores valores para as consanes de alisameno, no caso o veor [ A C D ], as dificuldades de esudo de propriedades esaísicas como média e variância de previsão que dificulam a consrução do inervalo de confiança para os valores previsos. 2.3 MEDIDAS DE PRECISÃO DOS MÉTODOS DE PREVISÃO E DESEMPENHO Exisem vários ipos de medidas do erro de previsão que podem mensurar o desvios enre os valores previsos e os observados xi xi ˆ, onde é o valor da observação no insane i; xi xi ˆ é o valor previso para o insane i e n o número de observações. Denre elas esão o erro médio, o erro médio absoluo, o erro quadráico médio (EQM), o erro percenual absoluo e o erro absoluo percenual médio (MAPE). Quano menor for o erro, melhor esará ajusado o modelo à série. O EQM é geralmene o mais uilizado, pois penaliza desproporcionalmene os grandes erros, sejam posiivos ou negaivos. 3 - APRESENTAÇÃO DO PROBLEMA A empresa esudada foi fundada em março de 1997, vencendo um leilão de privaização de pare da malha ferroviária brasileira. Em 1998, assumiu as operações da malha sul paulisa perencene a Ferroban. Em 1999 adquiriu as ferrovias argeninas Ferrocarril Mesopoamico General Urquiza, Ferrocarril Buenos Aires e Pacifico General San Marin. Em julho de 2001, adquiriu uma das maiores empresas de logísica rodoviária do país, assumindo as operações e conraos comerciais no Brasil, Chile, Argenina e Uruguai. São aualmene 15 mil quilômeros de vias férreas no Brasil e Argenina, uma froa com cerca de 3 mil veículos enre próprios e agregados, 550 locomoivas, 17 mil vagões e grandes áreas esraegicamene localizadas para embarque e desembarque de carga e armazenagem. A empresa aende aos segmenos de commodiies agrícolas e ferilizanes, combusíveis, consrução, madeira, papel, celulose, siderúrgicos, higiene e limpeza, eleroelerônicos, auomoivo e auopeças, embalagens, químicos e pero-químicos, bebidas, enre ouros. Sendo basane recene, a empresa possui poucos dados hisóricos, realizando previsões de demandas de modo não formalizado. Como se pode esperar, previsões geradas nas condições ciadas êm poucas chances de serem adequadas, o que pode-se comprovar aravés do MAPE, que em 2001 foi de 55%. Uma ferrovia pode ser enendida de uma forma esquemáica como um conjuno de rechos que compõem a malha. Esses rechos são chamados de corredores. Cada corredor possui suas paricularidades, como o mix de produos que nele são escoados, sua capacidade, perfil de linha e ipo de máquina que nele opera. As séries aqui esudadas fazem pare da demanda do corredor Cenral do Paraná, recho ese que corresponde a 50% do volume ransporado pela empresa em granéis sólidos. Os produos compõem 80% do mix escoado pela Cenral do Paraná para exporação, ou seja, a origem do fluxo esá na região de Maringá e Londrina e seu desino é o Poro de Paranaguá. Os produos são: (i) Farelo de soja; (ii) Soja, e (iii) Açúcar. Traa-se de produos cujas demandas possuem sazonalidade e endência percepíveis, apresenando maior dificuldade de previsão sem o auxílio de ferramenas esaísicas. 4 - MATERIAIS E MÉTODOS Para o esudo dos produos acima descrios, foram uilizados dois modelos de previsão para dados com endência e sazonalidade: (i) os modelos de Decomposição de Séries Temporais e (ii) os modelos de Alisameno Exponencial de Winers. Os dados dos produos uilizados para ese esudo foram reirados do banco de dados aravés de consulas SQL. As demandas são mensais e correspondenes aos anos de 1997 a 2001. As previsões geradas são referenes ao ano de 2002 e foram comparadas com as demandas reais dese ano. Também foram geradas previsões para o ano de 2003 e comparadas com as demandas mapeadas a campo pelas unidades de negócio e pelo markeing, denominadas Plano Anual 2003. 4

4.1 MODELOS UTILIADOS 4.1.1. Modelo de Decomposição de Séries Temporais. Ese modelo decompõe a série em 4 faores a saber: R = valor real da variável em quesão; T = nível de endência da série; S = efeio de faores sazonais, e C = efeio relaivo dos faores cíclicos. Para o esudo das séries consideradas nese rabalho foi seguido a seguine ordem: i Cálculo das Médias Móveis Cenradas com 12 períodos; ii Fez-se a regressão das Médias Móveis Cenradas em função do empo; iii Foi feio o Cálculo dos Índices Sazonais Médios; iv Foi feio o Calculo do Ciclo ; v Finalmene calculada a previsão: P = TxCxS, onde P é o valor da previsão. 4.1.2. Modelo de Alisameno Exponencial de Winers Os passos para deerminação da previsão pelo modelo de Alisameno Exponencial de Winers foram: i A série foi amorecida exponencialmene Y A = α + ( 1 α )( A + T ); 1 1 S 1 = β + β ; ii A endência foi esimada T ( A A ) ( 1 1 )T 1 iii A sazonalidade foi esimada Y S = γ + ( 1 γ )S ; L A iv Finalmene sua previsão foi calculada Yˆ = ( A + T ) + p S amorecido; T = endência esimada; Y p L+ p, onde: = novo valor A = úlima observação ou valor real da série no período ; S = sazonalidade esimada; α = consane de amorecimeno (0< α < 1); β = consane de amorecimeno para a endência esimada (0< β < 1); γ = consane de amorecimeno para a sazonalidade esimada (0< γ < 1); p = períodos fuuros a serem previsos; L = número de observações em um ano; Y = previsão para p períodos fuuros. p As consanes de amorecimeno α, β e γ foram deerminadas de maneira a minimizar o valor do Erro Quadráico Médio (EQM) aravés de programação linear, com auxílio do Solver do Excel. 5 RESULTADOS A figura 1 mosra o comporameno das séries farelo de soja, soja e açúcar enre 1997 e 2002, nos quais se pode verificar a exisência de endência e sazonalidade, jusificando a escolha dos modelos de previsão que conemplem al caracerísica. A figura mosra ambém o gráfico comparaivo das previsões realizadas para 2002 e 2003. Comparou-se as previsões para 2003 com os resulados obidos aé abril. 5.1 ANÁLISES E PREVISÕES PARA O PRODUTO: FARELO DE SOJA 5.1.1 UTILIANDO DECOMPOSIÇÃO DE SÉRIES TEMPORAIS Para o cálculo das previsões para os anos de 2001 e 2002 para o modelo de Decomposição de Séries Temporais, primeiramene foi calculada a Média Móvel Cenrada com 12 períodos. Aravés do gráfico da Média Móvel Cenrada, do hisórico da série, foi gerada uma rea de endência, na qual pode-se observar um crescimeno em oneladas de farelo de soja. A rea obida foi Y= 775,75X +60812, com R 2 =0,7241. Em função dos dados de hisóricos foram ˆ + 5

calculados os índices sazonais médios e corrigidos. Para o cálculo das médias dos índices foi uilizada a média ponderada. O cálculo dos índices uilizados nas previsões do ano de 2002 os pesos considerados foram: 0,5 para o ano de 2001, 0,3 para 2000 e 0,1 para 1999 e 1998. Para as previsões de 2003: 0,4 para 2002, 0,3 para 2001 e 0,1 para 2000, 1999 e 1998. Após isso foram calculados os ciclos, e gerado os valores em função do empo. O valor de ciclo considerado para o cálculo, conforme recomendado pela lieraura, é o úlimo observado, que no caso do farelo de soja foi de 1,03 anos. Comparaivo Farelo Soja Comparaivo - Soja Ton 250.000 200.000 150.000 100.000 50.000-0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50 55 60 65 70 75 80 85 Períodos Previsão Decomp. Previsão Winers Real / P.A. 2003 Ton 350.000 300.000 250.000 200.000 150.000 100.000 50.000-0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50 55 60 65 70 75 80 85 Períodos Previsão Decomp. Previsão Winers Real / P.A. 2003 Comparaivo - Açúcar 200.000 150.000 Ton 100.000 50.000-0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50 55 60 65 70 75 80 85 Períodos Previsão Decomp. Previsão Winers Real / P.A. 2003 Figura 1 - Gráficos das demandas hisóricas e das previsões dos 3 produos 5.1.2 UTILIANDO ALISAMENTO EXPONENCIAL DE WINTERS Para se execuar o Alisameno Exponencial de Winers algumas premissas foram adoadas: i - inicial foi considerada a média dos valores hisóricos do ano de 1997; A ii - T inicial foi considerada igual a zero; iii Os Índices Sazonais iniciais, para o cálculo de 1998, foram considerados iguais aos de 1997 e ajusados ano a ano. Para o cálculo das previsões foram uilizados as consanes de amorecimeno α, β e γ de forma a minimizar o Erro Quadráico Médio (EQM). Com a ajuda da ferramena Solver do Excel foi obido os valores: α = 0,33, β = 0,36 e γ = 0,24. Per. Meses Previsão Decomp. Previsão Winers Real 2002 61 jan/02 27.402 49.650 19.523 62 fev/02 50.648 19.669 62.311 63 mar/02 145.667 117.421 134.942 64 abr/02 168.993 137.490 168.952 65 mai/02 169.691 166.142 145.887 66 jun/02 155.293 163.983 130.798 67 jul/02 138.422 98.237 146.783 68 ago/02 125.526 106.362 122.513 69 se/02 133.435 103.016 159.107 70 ou/02 129.762 106.155 170.530 71 nov/02 84.255 96.686 94.779 72 dez/02 64.155 93.545 78.945 Toal 2002 1.393.249 1.258.355 1.435.070 EQM 350.780.579 1.304.925.807 MAPE 0,7% 36,1% Tabela 1- Previsões Mensais geradas e Erros enconrados Farelo de soja. 6

Conforme observamos na abela 1, o modelo mais eficiene para série farelo de soja foi o de decomposição de séries emporais, apresenando o menor EQM e ambém o MAPE. As previsões para o ano de 2003 foram comparadas com os dados das previsões qualiaivas lançadas pelas Unidades de Negócio no Plano Anual 2003 (abela 2).Considerandos os valores reais ransporados aé abril/2003, noamos que o modelo de decomposição de séries emporais apresenou o menor EQM, e menor MAPE que o plano anual gerado pela companhia. Para o produo farelo de soja, o modelo de Winers apresenou o menor EQM e o modelo de decomposição apresenou o menor MAPE. O plano anual da companhia apresenou resulados basane inferiores nos dois criérios. Previsão Decomp. Previsão Winers Plano Anual 2003 Real 2003 73 jan/03 31.538 63.275 72.603 15.461 74 fev/03 58.258 36.750 98.550 40.965 75 mar/03 167.461 114.008 163.431 148.356 76 abr/03 194.171 142.713 153.684 117.645 77 mai/03 194.867 154.846 140.632 78 jun/03 178.238 169.073 130.140 79 jul/03 158.790 134.683 167.508 80 ago/03 143.921 134.101 167.292 81 se/03 152.911 138.674 168.750 82 ou/03 148.626 165.600 138.694 83 nov/03 96.455 104.976 128.774 84 dez/03 73.408 88.188 94.500 Toal 2003 1.598.644 1.446.888 1.624.558 EQM 1.694.686.870 1.028.033.637 2.026.826.384 MAPE 56,03% 91,00% 137,73% Tabela 2- Previsões Mensais 2003 Farelo de soja. 5.2 ANÁLISES E PREVISÕES PARA OS PRODUTOS: SOJA E AÇÚCAR Para a deerminação das previsões ano para a Soja, quano para o Açúcar foram seguidos odos os passos descrios no iem anerior. Para o produo Soja, o modelo de decomposição de séries emporais ambém foi o que apresenou o menor EQM e o menor MAPE. Os valores enconrados para as consanes de amorecimeno foram: α = 0,57, β = 0,04 e γ = 0. A abela 4 mosra os valores dos erros dos modelos para o período 2003. Noa-se que mais uma vez o modelo de decomposição forneceu os menor EQM e o modelo de Winers o menor MAPE, quase 7 vezes menor que o gerado pelo plano anual da empresa. Previsão Decomp. Previsão Winers EQM 1.123.936.390 6.786.240.886 MAPE 52,8% 39,9% Tabela 3 - Erros enconrados 2002 - Soja. Previsão Decomp. Previsão Winers Plano Anual 2003 Toal 2003 1.813.327 1.306.363 1.950.399 EQM 616.124.863 4.360.858.152 1.403.311.154 MAPE 30,78% 26,76% 180,68% Tabela 4 Erros enconrados 2003 - Soja. A abela 5 mosra os erros gerados pelos modelos para o período 2002 para o produo Açúcar. Como se vê, ambém nese caso, o modelo de decomposição de séries emporais apresenou menores erros. Os valores enconrados para as consanes de amorecimeno, com o auxílio do Solver foram: α = 0,54, β = 0 e γ = 0,39. A abela 6 mosra o comporameno os erros gerados para o período 2003. No caso do açúcar, o plano anual obeve o menor EQM e o menor MAPE. É imporane observar que nesa época do ano normalmene não há exporação 7

de açúcar. Ese comporameno aípico resula do baixo valor relaivo do produo ocasionado pela desvalorização do real ocorrida nos úlimos meses. Ese fao foi melhor previso pelo plano anual que pelos modelos baseados em dados hisóricos. O modelo de decomposição novamene apresenou resulados superiores ao modelo de Winers. Previsão Decomp. Previsão Winers EQM 430.950.224 566.247.739 MAPE 27,9% 16,5% Tabela 5 Erros enconrados 2002 - Açúcar. Previsão Decomp. Previsão Winers Plano Anual 2003 EQM 606.828.769 1.444.752.773 266.938.594 MAPE 68,09% 100,00% 34,31% Tabela 6 Erros enconrados 2003 - Açúcar. 6 CONCLUSÃO Os resulados gerados pelos modelos de previsões uilizados foram saisfaórios, apesar da simplicidade dos modelos uilizados. Os modelos quaniaivos em apresenado resulados basane superiores ao plano anual da empresa para 2003. Para o produo açúcar, que apresenou um comporameno considerado aípico, o plano anual apresenou melhores resulados, demonsrando que informações não consideradas nos dados hisóricos devem ser consideradas à poseriori, melhorando as previsões fornecidas pelos modelos quaniaivos. Considerando a sua facilidade de implemenação, de uilização e flexibilidade, a adoção de al modelo parece apresenar grande poencial, podendo ajudar à empresa conhecer melhor o comporameno das demandas de seus diversos produos e gerar previsões de demandas fuuras mais confiáveis. O rabalho demonsrou que a escassez de dados hisóricos, uma vez que a empresas é basane recene, não impede a uilização dos modelos esudados, já que o mesmo apresenou nos dois principais produos, EQM inferiores aos planos gerados pela companhia sem o uso de méodos quaniaivos formalizados de previsão. BIBLIOGRAFIA CORRÊA, H. L. ; GIANESI, I. G. N. ; CAON, M. Planejameno, programação e conrole da produção: MRP II / ERP: conceios, uso e implanação. 3ª ed. São Paulo: Gianesi Corrêa & Associados: Alas, 2000. CORRÊA, H. L. ; GIANESI, I. G. N. ; Adminisração Esraégica de Serviços. São Paulo: Ediora Alas, 1994. DIAS, M. A. P. Adminisração de Maeriais: edição compaca. 4ª ed. São Paulo: Alas, 1995. MAKRIDAKIS, S. ; HIBON, M. The M3-Compeiion: resuls, conclusions and implicaions. Inernaional Journal of Forecasing. v. 16, p. 451-476, 2000. MAKRIDAKIS, S. ; WHEELWRIGHT, S. C. ; McGEE, V. E. Forecasing: Mehods and Applicaions. 2ª ed. Nova York: John Wile & Sons Inc., 1983. MORETTIN, P. A. ; TOLOI, C. M. de C. Modelos para Previsão de Séries Temporais. In: Colóquio Brasileiro de Maemáica, 13º, 1981, Poços de Caldas - MG, IMPA, Rio de Janeiro, 1981. PELLEGRINI, F. R. ; FOGLIATTO, F. S. Esudo comparaivo enre os modelos de Winers e de Box-Jenkis para a previsão sazonal. Produo & Produção. v. 4, p. 72-85, 2000. WHEELWRIGHT, S. C. ; MAKRIDAKIS, S. Forecasing Mehods for Managemen. 4ª ed. Nova York: John Wile & Sons Inc., 1985. 8