Matemática Biômio de Newto Professor Duda www.acasadococurseiro.com.br
Matemática BINÔMIO DE NEWTON Defiição O biômio de Newto é uma expressão que permite calcular o desevolvimeto de (a + b), sedo a + b um biômio e um úmero atural qualquer. Sabemos que um biômio elevado ao quadrado é igual ao quadrado do primeiro moômio mais duas vezes o primeiro, vezes o segudo moômio mais o quadrado do segudo moômio. (a + b) 2 = a 2 + 2ab + b 2 Essa forma só é válida se o biômio for elevado ao quadrado (potêcia 2), se ele estiver elevado à potêcia 3, devemos fazer o seguite: (a + b) 3 é o mesmo que (a + b) 2. (a + b), como sabemos que (a + b) 2 = a 2 + 2ab + b 2, basta substituirmos: (a + b) 3 = (a + b) 2. (a + b) = (a 2 + 2ab + b 2 ). (a + b) = a 3 + 3a 2 b + 3ab 2 + b 3 Aida temos que : (a + b) 4 = (a + b) 3. (a + b) = ( a 3 + 3a 2 b + 3ab 2 + b 3 ). (a + b) = a 4 + 4a 3 b + 6a 2 b 2 + 4ab 3 + b 4 De modo aálogo, podemos calcular as quitas e sextas potêcias e, de modo geral, obter o desevolvimeto da potêcia (a+ b ) a partir da aterior, ou seja, de (a+ b) - 1. Porém quado o valor de é grade, este processo gradativo de cálculo é muito trabalhoso e é para isso que existe um método para desevolver a eésima potêcia de um biômio, cohecido como biômio de Newto. Coeficietes Biomiais Sedo e p dois úmeros aturais p, chamamos de coeficiete biomial de classe p, do! úmero, o úmero, que idicamos por (lê-se: sobre p). Podemos escrever: p!( p)! p www.acasadococurseiro.com.br 3
p =! p! ( p)! (,p! e p) O coeficiete biomial é uma combiação C,p = p Lembrado que: = 1, 1 = e 0 = 1 Exemplos: 5 3 = 5! 3! ( 5 3)! = 5! 3!2! = 10 4 1 = 4 3 0 = 1 6 6 = 1 0 0 = 1 Estrutura do Biômio de Newto ( a+b) = p=0 p.a p.b p O Triâgulo de Pascal dá apoio a essa estrutura pois cada liha traz os coeficietes dos biômios formados. 4 www.acasadococurseiro.com.br
Matemática Biômio de Newto Prof. Duda Observe que em qualquer liha, dois úmeros biomiais equidistates dos extremos são iguais. Além disso a soma dos elemetos de qualquer colua, do 1º elemeto até um qualquer, é igual ao elemeto situado a colua à direita da cosiderada e a liha imediatamete abaixo. Além disso o termo de ordem k + 1 do desevolvimeto de (x + y), feito segudo os expoetes crescete de x é: Como fugir da decoreba?? Vamos tomar por exemplo: (a + b) 5 = a 5 + 5 a 4 b + 10 a 3 b 2 + 10 a 2 b 3 + 5ab 4 + b 5 www.acasadococurseiro.com.br 5
Observe que o expoete do primeiro e últimos termos são iguais ao expoete do biômio, ou seja, igual a 5. E que a partir do segudo termo, o expoete de a decresce de até 0 e o de b cresce de 0 a. Além disso, a partir do segudo termo, os coeficietes podem ser obtidos a partir da seguite regra prática de fácil memorização: Multiplicamos o coeficiete de a pelo seu expoete e dividimos o resultado pela ordem do termo. O resultado será o coeficiete do próximo termo. Assim por exemplo, para obter o coeficiete do terceiro termo, teríamos: 5.4 = 20; agora dividimos 20 pela ordem do termo aterior (2 por se tratar do segudo termo) 20:2 = 10 que é o coeficiete do terceiro termo procurado. Assim o terceiro termo é 10 a 3 b 2 (observe que o expoete de a decresceu de 4 para 3 e o de b cresceu de 1 para 2). Observações: 1. o desevolvimeto do biômio (a + b) é um poliômio. 2. o desevolvimeto de (a + b) possui + 1 termos. 3. os coeficietes dos termos equidistates dos extremos, o desevolvimeto de (a + b) são iguais. 4. a soma dos coeficietes de (a + b) é igual a 2. Usado a regra prática acima, vamos observar o desevolvimeto do biômio de Newto (a + b) 7 (a + b) 7 = a 7 + 7 a 6 b + 21 a 5 b 2 + 35 a 4 b 3 + 35 a 3 b 4 + 21 a 2 b 5 + 7 ab 6 + b 7 Exercício Resolvido: Desevolvedo o biômio (2x 3y) 3, obtemos um poliômio de 16 termos. Qual o valor de? Solução: Ora, se o desevolvimeto do biômio possui 16 termos, etão o expoete do biômio é igual a 15. Logo, 3 = 15 de ode coclui-se que = 5. Exercício Resolvido: Determie o 7º termo do biômio (2x + 1) 9, desevolvido segudo as potêcias decrescetes de x. 6 www.acasadococurseiro.com.br
Matemática Biômio de Newto Prof. Duda Solução: Vamos aplicar a fórmula do termo geral de (a + b), ode a = 2x, b = 1 e = 9. Como queremos o sétimo termo, fazemos p = 6 a fórmula do termo geral e efetuamos os cálculos idicados. Temos etão: T 6+1 = T 7 = C 9,6. (2x) 9-6. (1) 6 = 9! /[(9 6)!. 6!]. (2x) 3. 1 = 9.8.7.6! / 3.2.1.6!. 8x 3 = 84.8x 3 = 672x 3. Portato o sétimo termo procurado é 672x 3. Exercício Resolvido: Qual o termo médio do desevolvimeto de (2x + 3y) 8? Solução: Temos a = 2x, b = 3y e = 8. Sabemos que o desevolvimeto do biômio terá 9 termos, pois = 8. Se temos 9 termos o desevolvimeto do biômio, o termo do meio (termo médio) será o T5 (quito termo). Logo, o osso problema resume-se ao cálculo do T 5. Para isto, basta fazer p = 4 a fórmula do termo geral e efetuar os cálculos decorretes. Teremos: T 4+1 = T 5 = C 8,4. (2x) 8-4. (3y) 4 = 8! / [(8 4)!. 4!]. (2x) 4. (3y) 4 = 8.7.6.5.4! / (4!. 4.3.2.1). 16x 4.81y 4 Fazedo as cotas vem: T 5 = 70.16.81.x 4. y 4 = 90720x 4 y 4, que é o termo médio procurado. E se o biômio fosse do tipo (x 3) 8? O que mudaria? www.acasadococurseiro.com.br 7