FUNÇÕES As principais definições, teorias e propriedades sobre funções podem ser encontradas em seu livro-teto (Guidorizzi, vol1, Stewart vol1...); Assim, não vamos aqui nos alongar na teoria que pode ser encontrada lá. O intuito desta seção é apresentar as formas e gráficos de algumas funções importantes. Definição: Dizemos que y é uma função de se para cada valor atribuído a eiste em único valor correspondente para y. Neste caso, denotamos y = f(). O conjunto de valores que podem ser atribuídos a é chamado domínio da função e é denotado por Dom f ou por Df. O conjunto formado pelos valores que y assume em correspondência a algum valor é chamado de imagem da função e é denotado por Im f ou If. FUNÇÃO AFIM: y = a+b a: coeficiente angular b: coeficientelinear a < 0 a = 0 a > 0 b < 0 b = 0 b > 0
FUNÇÃO QUADRÁTICA y a 0 = a + b + c a,b,c R a > 0 a < 0 > 0 = 0 < 0 Observações: = b 4ac = Discriminante de f > 0 : raízes reais diferentes = 0 : raízes reais iguais < 0 : raízes compleas
FUNÇÃO MODULAR A função modular f : IR IR é definida por f () =, se:, f () =, =, se 0 se < 0 f() = f() = Eemplos: 1) Resolver = : -1= = 1 ou -1-1= = -1 = Resposta: S = {1, -1/} ) Resolver: 1 = + -1= + = 4 ou - -1= -( + ) = -1 = + Resposta: S = {4, -/}
FUNÇÃO RAIZ N-ÉSIMA y ( ) = n ou y ( ) = 1 n n par Dom f=[0;+ ) Im f=[0;+ ) n ímpar Dom f= R Im f=r
GRÁFICOS DE n y = FUNÇÃO f GRÁFICO SIMETRIA DOMÍNIO D, IMAGEM I f ( ) = não há D = [0, ) I = [0, ) f ( ) = eio y (função par) D = IR I = [0, ) f ( ) = origem (função ímpar) D = IR I = IR / f ( ) = eio y (função par) D = IR I = [0, ) / f ( ) = 1 origem (função ímpar) D = IR I = IR f ( ) = eio y (função par) D = IR I = [0, ) f ( ) = 1 origem (função ímpar) D = IR {0} I = IR {0}
FUNÇÃO EXPONENCIAL Definição: Dado um número real a, tal que a >0 e a? 1, chamamos função eponencial de base a a função f de IR IR que associa a cada real o número a. Podemos escrever, também: f: IR IR a Eemplos de funções eponenciais em IR: a) f() = 1 b) f() = c) f() = e d) f() = e e) f() = 10 1 = e O gráfico de f() = a tem o seguinte aspecto: 1) Se a > 1 ) Se 0 < a < 1 função crescente função decrescente Observamos que nos dois casos, a imagem da função eponencial é: Im = R + *. Dizemos, ainda, que a função f() = a, corta o eio y no ponto (0, 1).
FUNÇÃO LOGARÍTMICA Para cada número real positivo b 1, definimos a função logarítmica, na base b, como sendo a função f() f : ( = Log. b 0, ) IR, que a cada número real positivo associa o número real A função logaritmo de na base b pode ser representada graficamente de duas maneiras diferentes, dependendo do valor de b, como figura abaio: b > 1 0 < b < 1 Como se vê nos gráficos acima, a função logarítmica é crescente se b > 1 e é decrescente se 0 < b < 1. O domínio da função logarítmica é o conjunto dos números reais positivos e sua imagem é o conjunto de todos os números reais.
FUNÇÕES TRIGONOMÉTRICAS As três principais funções trigonométricas são as funções seno, cosseno e tangente, cujos gráficos estão abaio. Função Seno Função Cosseno Função Tangente
Tipos importantes de funções: Função par: Se f() = f( ), para todo Domf então dizemos que a função f() é uma função par. (note que o gráfico é uma curva simétrica pelo eio y). Eemplos: f(x) = é uma função par, já que f( ) = ( ) = = f(). g() = cos() é uma função par, já que f ( ) = cos( ) = cos() = f(). Função ímpar: Se f() = f( ), para todo Domf então dizemos que a função f() é uma função ímpar. (note que o gráfico é uma curva simétrica pela origem). Eemplos: f(x) = é uma função par, já que f( ) = ( ) = = f(). g() = sen() é uma função ímpar, já que f( ) = sen( ) = sen() = f(). Função injetora: Se para quaisquer 1 e no domínio de f(), f( ) f( ), então dizemos que f é uma função injetora. 1 1 Eemplos: f() = é uma função injetora, já que se f( ) = f( ). 1 1 1 = f() = não é injetora, já que se 1 = e = temos 1, mas f 1 = ( ) = f() = = 4 = ( ) = f( ) f( ). Função sobrejetora: é aquela em que sua imagem coincide com seu contra-domínio. Função bijetora: é aquela que é ao mesmo tempo bijetora e sobrejetora. Função composta: Sejam ( g() ) f o g() = f é a função composta de f com g. Eemplos: Se f() = + e () sen() g: A B e f : Im g C. A função f o g: A C dada por g = então f g() = f( g() ) = f( sen() ) = ( sen() ) + o. Se h () = e e () tg() h o u() = h u() = h tg() = e. tg() u = então ( ) ( ) Observação: Em geral, f o g() go f(). No eemplo anterior, se f() = + e g () = sen() então go f() = g( f() ) = g( + ) = sen( + ) e ( sen() ) + sen( + ) go f() f o g() = =. Função inversa: Se y = f() é uma função bijetora então a função g(y) tal que g (y) = y = f() é a função inversa de f(). Muitas vezes denotamos a função inversa de f por f -1.
Eemplos: Se f () = então 1 y = = y e a função inversa de f() é g (y) = f (y) = y 1 ou transformando para, f () =. Observação: As funções f() e g(y) são inversas se e somente se f (g(y)) = y e g (f()) =. Ou seja, uma forma alternativa para verificar se duas funções são inversas é verificar se as compostas dão as funções identidades. Eemplos: Se f () = + 1 e f 1 () = 1 f 1 ( f() ) = f ( + 1) = ( + 1) 1 = 1 então f( f ()) = f( 1) = ( 1) + 1= 1. Assim, como f ( f ) 1 1 () = f ( f() ) = inversas. e então f() e f -1 () são Resultado útil: Se c é um número real positivo então: O gráfico de f() + c é o gráfico de f() deslocado c unidades para cima. O gráfico de f() - c é o gráfico de f() deslocado c unidades para baio. O gráfico de f( + c) é o gráfico de f() deslocado c unidades para a esquerda. O gráfico de f( - c) é o gráfico de f() deslocado c unidades para a direita. Ou seja, Bibliografia: 1) Iezzi G, Dolce O, Gegenszain D, Périgo R. Matemática. Volume único. Atual editora. São Paulo, 00. ) Iezzi G. Fundamentos da Matemática Elementar vol.1. Atual editora. São Paulo, 000. ) Guidorizzi HL. Um curso de Cálculo vol 1. FTD editora. 5ª edição. Rio de Janeiro, 001. 4) Stewart J. Cálculo vol 1.Pioneira editora. São Paulo, 001.
EXERCÍCIOS SOBRE FUNÇÕES 1) Construa os gráficos das seguintes funções de R em R: a) y = + b) y = - + 1 c) y = ) Construa os gráficos das seguintes funções de R em R: a) y = b) y= - + d) d) y 4 = e) y = - + c) y = 4 d) y = - 10 + 7 ) Determine os valores de que satisfazem a cada uma das epressões abaio: a) 5 = 1 b) = 7 5 + 8 c) = 4 d) < 1 e) 7 4) Construa os gráficos das seguintes funções: a) y = + b) y = + c) y = - 4 d) y = 4 5) Construa os gráficos das seguintes funções: a) y = b) y = + c) y = + d) y = 4 6) Complete com verdadeiro ou falso, com e y pertencentes aos reais. a) ( ) ( ) + y = + y b) ( ) ( ).y =.y c) ( ) + y = + y d) ( ) ( + y) = + y e) ( ) ( + y) = log + log y,.y 0 log > y + y f) ( ) + =,.y 0 y y + g) ( ) = 7) Esboce o gráfico das seguintes funções: a) f() = 1 b) g() = c) h() = + 1 d) f() = - e) g() =. f) h() =
8) Determine o domínio e faça um esboço do gráfico da função dada. a) f() = Log 1 c) f () = Ln( + 1) 4 d) f() = Ln( ) b) f() = Log e) f() = Log 1( ) f) f() = Log 1 9) Construa o gráfico (um período completo) das seguintes funções, eplicitando o domínio, a imagem e o período: a) y = sen b) y = - sen c) π y = sen d) y = sen 4 10) Calcule f o g(), g o f (), f o f() e g o g() para as seguintes funções: a) f () = + 10 e g () = sen() b) f () = + e g() = 7 11) Simplifique a epressão f( + h) f() onde h a) f () = b) f () = 1 c) f () = ( + )
RESPOSTAS DOS EXERCÍCIOS SOBRE FUNÇÕES 1) y = X+ y = -+1 y =.0.0.0.0.0.0.0.0.0.0 5.0.0.0.0.0.0.0 5.0.0.0.0.0.0.0.0 y = (4-)/ y = -+.0.0.0.0.0.0.0.0 5..0.0.0.0.0.0 5.0.0.0 ) y = *^ y = -^+ y = 4-^ y = ^-10+7 6.0.0.0.0.0.0.0 5.0.0.0.0.0.0.0 5.0.0.0.0.0 5.0.0.0.0.0 6.0 5.0.0.0.0.0 5.0 6.0 7.0 8.0.0.0.0.0.0.0.0.0 5.0 6.0 7.0 ) 9 a) S=, 5 8 b) S=, 5 9 4 c) S=,4 11 d) S = 5 R < e) S = { R } < 7
4) a) y = + c) y = - 4 b) y = + d) y = 4 5) a) y = c) y = + b) y = + d) y = 4
6) a) F eemplo: b) V ( 5 + ) 5 + c) F eemplo: + 4 + 4 d) F eemplo: ( + 1) + 1 e) F O correto é ( y) = log + log y,.y 0 log > 1 + 1 f) F eemplo: + 1 1+ g) V 7) a) f() = c) h() = + e) g() =. Observação:.? 6 b) g() 1 = d) f() = 1 - f) h() = 8) a) D f = { R / > 0} b) D f = { R / > 0}
c) D f = { R / > 1} e) D f = { R / < 0} d) D f = { R / > } f) D f = { R / > 0} 9) a) c) b) d)
10) a) f o g() = sen() + 10 g o f () = sen( + 10) f o f() = + 10 + 10 g o g() = sen(sen()) b) f o g() = ( 7) + ( 7) g o f () = ( + ) 7 f o f() = ( + ) g o g() = ( 7) 7 + ( + ) 11) a) -+h 1 b) ( + h) c) +4+h