Trasformação de similaridade Relembrado bases e represetações, ós dissemos que dada uma base {q, q,..., q} o espaço real - dimesioal, qualquer vetor deste espaço pode ser escrito como:. Ou a forma matricial x x q q... q Ode q, q,...q são as coluas de Q e o vetor ~ x [... ] é dito ser a represetação de x com respeito a base {q,q...q}. Q M
Note etretato que x pode ser uma colua de uma matriz. ssim, se fizermos isto para cada colua poderíamos represetar toda a matriz em relação a base Q. Cosidere a equação: x y; : R 6 com a relação a base {q, q...q} a equação 6 se tora: x y 7 ode x e y são as represetações de x e y com respeito a base {q, q...q}, assim: R x Qx e y Qy 8
Substituido 8 em 6 temos: Q x Qy Como Q é uma matriz x ão sigular, ela adimite iversa. Multiplicado ambos membros de 9 pela iversa de Q à direita: Q Qx y 9 Substituido 7 em : Q Qx Q e Q QQ x ou são ditas matrizes semelhates. Seja um vetor b x tal que os vetores b, b, b..., b São LI e formam uma base.
ssim, tomado a represetação da matriz com respeito a base Q será: Esta matriz é dita estar a forma compaheira. ] [ b b... b b Q β β β β β L L M M M L M M L L L Q Q
Forma diagoal e forma de Jorda Uma matriz quadrada pode ter diferetes represetações em relação a diferetes base. Nesta seção é itroduzida uma base particular de modo que a represetação da matriz seja diagoal ou bloco diagoal. Defiição 5 Seja uma matriz x. O escalar em C é chamado autovalor de se existe um vetor x diferete de zero tal que xx. O vetor x é um autovetor direito de associado ao autovalor.
De x x, obtemos: x-x I x ode I é a matriz idetidade x. Se [I-] é ão sigular a úica solução para é x. Para ter uma solução x ão ula a matriz [I-] precisa ser sigular, ou seja, ter determiate zero. ssim, é um autovalor de se for uma solução de deti- é um poliômio môico de grau e é chamado de poliômio característico de.
Ex 6: Seja Etão, é o poliômio característico de e suas raízes, i e -i, são os autovalores de. Note que os autovalores são complexos embora a matriz seja real. Não há restrições para este fato. 5 5 4 5 5 5 5 4 det det I 5
s matrizes bem como e B tem o seguite poliômio característico: Estas matrizes podem facilmete ser formadas a partir dos coeficietes de ; são formas compaheiras. 4 4 B 4 4
utovalores distitos ou ão levam à algumas implicações. Caso Todos autovalores são distitos Seja qi um autovetor de associado com i, ou seja, qi iqi. O cojuto {qi} i,..., é LI e forma uma base. ssim se tomarmos uma matriz Q[q q...q] e a utilizarmos para aplicar uma trasformação de similaridade em, como:
ˆ Q Q O temos que  será uma matriz diagoal com os is a diagoal. Teorema 4 Todas matrizes semelhates tem os mesmos autovalores. Corolário: Todas matrizes semelhates tem os mesmos traços e determiates.
Caso Os autovalores ão são todos distitos Neste caso em sempre é possível ecotrar uma represetação diagoal da matriz. Forma de Jorda Caso uma matriz x ão possa ser diagoalizada devido a impossibilidade de se ecotrar autovetores LI, aida é possível se ecotrar um cojuto especial de vetores que formam uma base para a represetação a forma caôica de Jorda.
Ex 7: uma matriz 4x4 com com multiplicidade e com multiplicidade, pode ter as seguites formas de Jorda: s matrizes são bloco diagoal e a forma que será cosiderada depede das características de. Voltaremos a este assuto mais a frete. ou ou
Fuções de uma matriz quadrada Seja uma matriz quadrada etão: Seja f um poliômio de grau fiito: I... e k termos k I f f Α...... etão Q Q Q Q QQ ˆ ˆ ˆ ˆ f f f f ou Etão : a forma caôica de Jorda. com Seja
O poliômio míimo de uma matriz quadrada é o poliômio môico ψ de mais baixo grau tal que ψ ode é a matriz ula x. - Matrizes semelhates tem o mesmo poliômio míimo. Sejam,... m autovalores distitos de com multiplicidades,... m respectivamete. Etão o poliômio de é: quadradas e etão Se k k k m m m...... det > I
Defiição 5 maior ordem dos blocos de Jorda associados com um autovalor i é chamado ídice de i em e é deotado por i, assim o poliômio míimo se é: ψ m Π i Se uma matriz quadrada tem os poliômios característico e míimo respectivamete: i i
r r m r m m r...... ψ ode i são escalares distitos. Para cada i os blocos de Jorda correspodetes Jij tem as seguites propriedades: Existe ao meos um Jij de ordem mi os outros Jij são de ordem meor ou igual a mi. o. dos Jij associados a cada i é igual a multiplicidade geométrica dos i o. de autovetores idepedetes correspodetes a i.
Ex 8: Seja a matriz 7x7 cujos poliômios característicos e míimo são: Etão a forma de Jorda é uma das seguites matrizes: primeira ocorre se tem dois autovetores idepedetes associados ao autovalor. seguda ocorre se tem três autovetores idepedetes associados ao autovalor. 4 ψ ou
Ex 9: Sejam as matrizes elas tem o mesmo poliômio característico. Etretato tem os seguites poliômios míimos Verifique! ; ;
decomposição QR Toda matriz mx com m maior ou igual a pode ser fatorada o produto de uma matriz Q com coluas ortoormais pôr uma matriz triagular superior a direita R. O produto QR é a decomposição QR de. Se for quadrada, etão Q é ortogoal. decomposição QR resulta do processo de Gram- Schmidt, ou seja as coluas de Q são obtidas a partir das coluas de pôr ortoormalização.
Obteção de QR usado trasf. de Householder Seja x Passo : Fazer uk [kk,k kk,k... k,k], ode uk é a k-ésima colua de k tomada da liha k até a liha. Passo : Obter xk [kk,k uk kk,k... k,k] Passo : Obter a trasformação de Householder H k I k x k x k x k ode Ik é a matriz idetidade -k x -k.
Passo 4: Motar a matriz ode Ik é a matriz idetidade k- x k-. Passo 5: Calcular k Pk k. I k Voltar ao passo e repetir o processo para k até... -. Neste poto deverá ser triagular superior. P k H k ssim, QPPP- e R Q R
O algoritmo QR O algoritmo QR é um processo para determiar todos autovalores de uma matriz real. Obtém-se a decomposição QR de modo que: k Qk Rk e depois iverte-se a ordem do produto para obter: k Rk Qk Cada k é semelhate ao atecessor e tem os mesmos autovalores. Geralmete coverge para uma forma triagular superior com os a.vs. a diagoal. O processo será acelerado se for iicialmete reduzida à forma de Hesseberg.
Exercícios para casa Cosidere a matriz a Obter o poliômio característico. b Determiar os autovalores. c Determiar Q tal que D ivqq seja uma matriz diagoal. d Verificar o matlab os comados poly, eig e [q,d]eig. Qual a difereça etre a matriz Q calculada em c e a matriz q determiada pelo MTLB?
4 Mostrar que: a o zero é um autovalor de se e só se for sigular. b B e B tem os mesmos autovalores. e B quadradas. c se é iversível e se é um a.v. de etão / é um a.v. de da iversa de. 5 Mostre que: a O determiate de uma matriz quadrada é igual ao produto dos autovalores. b que seu traço é soma dos a.vs. 6 Dadas as matrizes e B abaixo colocá-las a forma diagoal. Se ão for possível, colocar a forma de Jorda. obs: Usar o coceito de pol. Míimo. 6 6 5 7 4 6 6 5 B
7 Cosidere a matriz 6 8 6 6 8 5 6 6 4 6 4 Obter a decomposição QR de utilizado: a Gram-Schmidt b Householder Determie os autovalores de utilizado o algoritmo QR: c a matriz diretamete; d iicialmete reduzido à forma de Hesseberg. Compare o úmero de iterações ecessárias aos dois casos. Obs. Utilize o comado [QR] qr do MTLB para obter as decomposições QR durate o processo.