Função do 2 o Grau. Uma aplicação f der emr

UNIVERSIDADE DO ESTADO DE MATO GROSSO CAMPUS UNIVERSITÁRIO DE SINOP FACULDADE DE CIÊNCIAS EXATAS E TECNOLÓGICAS CURSO DE ENGENHARIA CIVIL DISCIPLINA: FUNDAMENTOS DE MATEMÁTICA. Dfinição Uma aplicação f dr mr rc o nom d função quadrática ou do o grau quando associa a cada o lmnto (a + + c) R, m qu a,, c são númrosrais dados a 0. Função do o Grau f ( ) = a + + c (a 0) Prof.: Rogério Dias Dalla Riva 4 Função do o Grau. Dfinição.Dfinição.Gráfico 3.Concavidad 4.Forma canônica 5.Zros 6.Máimo mínimo 7.Vértic da paráola 8.Imagm 9.Eio d simtria 0.Informaçõs qu auiliam a construção do gráfico Emplos d funçõs quadráticas a) f ( ) = 3 + m qu a =, = 3, c = f a c ) ( ) = + 4 3 m qu =, = 4, = 3 f a c c) ( ) = 3 + 5 m qu = 3, = 5, = f d) ( ) = 4 m qu a =, = 0, c = 4 ) f ( ) = + 5 m qu a =, = 5, c = 0 f = a = = c = f) ( ) 3 m qu 3, 0, 0 5 Função do o Grau. Gráfico.Sinal da função quadrática.inquação do o grau O gráfico da função quadrática é uma paráola. 6

. Gráfico. Gráfico Emplos o ) Construir o gráfico d = -. -3 - - 0 3 = - 8 3 0-0 3 8 (0,) (-,0) (,0) 0 - - 4-4 -3-0 3 - (-,-3) (,-3) -3-4 -5-6 -7 (-3,-8) -8 (3,-8) -9 7 0. Gráfico. Gráfico 9 (-3,8) 8 (3,8) 7 6 5 4 (-,3) 3 (,3) 0 (-,0) - (,0) - -4-3 - 0 3 4 (0,-) - Ercício : Dtrminar uma função quadrática f tal qu f(-) = -4, f() = f() = -. 8. Gráfico 3. Concavidad Emplos o ) Construir o gráfico d = - +. A paráola rprsntativa da função quadrática = a + + c pod tr a concavidad voltada para cima ou voltada para aio. -3 - - 0 3 = - + -8-3 0 0-3 -8 S a > 0, a concavidad da paráola stá voltada para cima. S a < 0, a concavidad da paráola stá voltada para aio. 9

3. Concavidad 4. Forma canônica a > 0 a < 0 Rprsntando c por, tamém chamado discriminant do trinômio do sgundo grau, tmos a forma canônica. f ( ) = a + a 3 6 4. Forma canônica A construção do gráfico da função quadrática = a + + c com o auílio d uma tala d valors, como foi fito no itm antrior, torna-s às vzs um traalho imprciso, pois na tala atriuímos a alguns valors intiros pod acontcr qu m dtrminada função quadrática os valors d ascissa (valors d ), m qu a paráola intrcpta o io dos ou a ascissa do ponto da paráola d maior ou mnor ordnada, não são intiros. Zros ou raízs Os zros ou raízs da função quadrática f() = a + + c são os valors d rais tais qu f() = 0, portanto, as soluçõs da quação do sgundo grau. a c + + = 0 4 7 4. Forma canônica Para iniciarmos um studo analítico mais dtalhado da função quadrática, vamos primiramnt transformá-la m outra forma mais convnint, chamada forma canônica. c c f ( ) = a + + c = a + + a a a = + + + = a a c c = a + + a = + a a a Utilizando a forma canônica, tmos: + + = 0 + = 0 a a c a + 0 a = + = a ± + = ± = a a a 5 8 3

Númro d raízs Osrv qu a istência d raízs rais para a quação do sgundo grau a + + c fica condicionada ao fato d sr ral. Assim, tmos três casos a considrar: Significado gométrico das raízs Intrprtando gomtricamnt, dizmos qu os zros da função quadrática são as ascissas dos pontos ond a paráola corta o io dos. Emplo Construindo o gráfico da função = 4 + 3 podmos notar qu a paráola corta o io dos nos pontos d ascissas 3, qu são as raízs da quação 4 + 3 = 0. 9 o ) > 0, a quação aprsntará duas raízs distintas, qu são: (-,8) (5,8) + = = a a o ) = 0, a quação aprsntará duas raízs iguais, qu são: (0,3) (4,3) = = a (,0) (,-) (3,0) 3 o ) < 0, sando qu nss caso R, dirmos qu a quação não aprsnta raízs rais. 0 3 Rsumo + > 0 = ou = a a + + = = a < 0 não istm raízs rais a c 0 Ercício : Dtrmin o zro ral das funçõs aaio. a) f ( ) = + ) f ( ) = c) f ( ) = + 4

Ercício 3: Rsolva o sistma aaio. 7 + = = Ercício 6: Dtrminar os valors d m para qu a quação do o grau f() = (m + ) + (3 m) + (m ) = 0 tnha raízsrais. 8 Ercício 4: Dtrminar os zros rais das funçõs. 4 a) f ( ) = 5 + 4 4 ) f ( ) = + 5 + 36 4 c) f ( ) = + 3 3 4 d) f ( ) = 3 Ercício 7: Dtrminar os valors d m para qu a função f() = m + (m + ) + (m + ) tnha um zro ral duplo. 9 Ercício 5: Dtrminar os valors d m para qu a função quadrática f() = (m ) + (m + 3) + m tnha dois zros rais distintos. Ercício 8: Dtrminar os valors d m para qu a quação f() = + (3m + ) + (m + m + ) = 0 tnha duas raízs rais iguais. 7 30 5

Ercício 9: Dtrminar os valors d m para qu a função f() = (m + ) + (m + 3) + (m - ) não tnha zros rais. Ercício : Na quação do o grau 5 = 0 d raízs, calcular: ( ) ( ) + + a) d) ) ) + c) + f) + ( ) ( ) 3 3 3 Ercício 0: Dtrminar os valors d m para qu a quação f() = m + (m - ) + (m - ) = 0 não tnha raízs rais. Ercício 3: Mostr qu uma quação do o grau d raízs é a quação S + P = 0, ond S = + P =.. 3 35 Ercício : Mostr qu na quação do o grau a + + c = 0, d raízs rais, tmos para a soma S das raízs S = + = -/a para produto P das raízsp =. = c/a. Ercício 4: Otr uma quação do o grau d raízs a) 3 d) 3 ) ) + 3 3 c)0,4 5 33 6

6. Máimo mínimo Ercício 5: Dtrminar m na quação m (m - ) + m = 0 para qu s tnha / + / = 4, ond são as raízs da quação. Dizmos qu o númro M Im(f) é o valor máimo da função = f() s, somnt s, M para qualqur Im(f). O númro M D(f) tal qu M = f( M ) é chamado ponto d máimo da função. 37 40 6. Máimo mínimo 6. Máimo mínimo Dizmos qu o númro m Im(f) é o valor mínimo da função = f() s, somnt s, m para qualqur Im(f). O númro m D(f) tal qu m = f( m ) é chamado ponto d mínimo da função. Valor máimo M V M Ponto d máimo Im(f) 38 4 6. Máimo mínimo 6. Máimo mínimo Im(f) I. S a < 0, a função quadrática = a + + c admit o valor máimo M = para. M = a Ponto d mínimo m II. S a > 0, a função quadrática = a + + c admit o valor mínimo m = para. m = a m Valor mínimo V 39 4 7

6. Máimo mínimo 6. Máimo mínimo Dmonstração I. Considrmos a função quadrática na forma canônica: Dmonstração II. Prova-s d modo análogo = a + a Sndo a < 0, o valor d srá tanto maior quanto mnor for o valor da difrnça (I) + a 43 46 6. Máimo mínimo 6. Máimo mínimo Nssa difrnça, é constant (porqu não dpnd d ; só dpnd d a,, c) + 0 a para todo ral. Então a difrnça assum o mnor valor possívl quando + = 0, ou sja, quando a = a 44 Aplicaçõs o ) Na função ral f() = 4 4 8, tmos: a = 4, = -4, c = -8 = 44. 47 6. Máimo mínimo 6. Máimo mínimo Para =, tmos na prssão (I): a = a + a 0 a a = = Como a = 4 > 0, a função admit um valor mínimo: 44 m = =, isto é: m = 9 4 4 m m 4 = =, isto é: m = a 4 45 48 8

6. Máimo mínimo 7. Vértic da paráola Aplicaçõs o ) Na função ral f() = - + + ¾, tmos: a = -, =, c = ¾ = 4. Ercício 6: Dtrminar o valor máimo ou o valor mínimo, o ponto d máimo ou ponto d mínimo das funçõs aaio. a) = 3 + ) = 4 8 + 4 49 6. Máimo mínimo 7. Vértic da paráola Como a = - < 0, a função admit um valor máimo: M m M 4 = =, isto é: M = 4 ( ) = =, isto é: M = a ( ) Ercício 7: Dtrminar o valor d m na função ral f() = 3 - + m para qu o valor mínimo sja 5/3. 50 7. Vértic da paráola 7. Vértic da paráola O ponto V, é chamado vértic da a paráola rprsntativa da função quadrática. Ercício 8: Dtrminar o valor d m na função ral f() = -3 + (m ) + (m + ) para qu o valor máimo sja. 5 9

7. Vértic da paráola 7. Vértic da paráola Ercício 9: Dtrminar o valor d m na função ral f() = m + (m - ) + (m + ) para qu o valor mínimo sja. Ercício : Dntr todos os númros rais z tais qu + z = 8 dtrmin aquls cujo produto é máimo. 7. Vértic da paráola 7. Vértic da paráola Ercício 0: Dtrminar o valor d m na função ral f() = (m ) + (m + ) - m para qu o valor mínimo sja. Ercício 3: Dntr todos os rtângulos d prímtro 0 cm, dtrmin o d ára máima. 7. Vértic da paráola 7. Vértic da paráola Ercício : Dntr todos os númros rais d soma 8 dtrmin aquls cujo produto é máimo. Ercício 4: Dntr todos os númros d soma 6 dtrmin aquls cuja soma dos quadrados é mínima. 0

7. Vértic da paráola 7. Vértic da paráola Ercício 5: Dtrmin o rtângulo d ára máima localizado no primiro quadrant, com dois lados nos ios cartsianos um vértic na rta = -4 + 5. Ercício 8: Num triângulo isóscls d as 6 cm altura 4 cm stá inscrito um rtângulo. Dtrmin o rtângulo d ára máima sando qu a as do rtângulo stá sor a as do triângulo. 7. Vértic da paráola 7. Vértic da paráola Ercício 6: É dado uma folha d cartolina como na figura aaio. Cortando a folha na linha pontilhada rsultará um rtângulo. Dtrminar ss rtângulo sando qu a ára é máima. Ercício 9: Dtrminar os vértics das paráolas aaio a) = 4 ) = 5 + 7. Vértic da paráola 8. Imagm Ercício 7: Dtrmin o rtângulo d maior ára contido num triângulo quilátro d lado 4 cm, stando a as do rtângulo num lado do triângulo. Para dtrminarmos a imagm da função quadrática, tommos inicialmnt a função na forma canônica: ou sja, f ( ) = a + a a + a 66

8. Imagm 8. Imagm Osrvmos qu + 0 para qualqur a R; ntão tmos qu considrar dois casos: Rsumindo: a > 0, a < 0, 67 70 8. Imagm 8. Imagm o caso: a > 0 a + 0,, portanto: a = a + a ou ainda: a > 0 Im(f) = / a < 0 Im(f) = / 68 7 8. Imagm 8. Imagm o caso: a < 0 a + 0,, portanto: a = a + a Emplos o ) Otr a imagm da função f drmrd- finida por f ( ) = 8 + 6 69 7

8. Imagm 8. Imagm Na função f ( ) = 8 + 6, tmos: a =, = -8 c = 6 5 Na função f ( ) = +, tmos: 3 3 a = -/3, = c = -5/3 logo: logo: = c = (-8) 4.. 6 = 6 6 portanto: = = 4 Como a = > 0, tmos: { R } Im( f ) = / 73 = c = 4. (-/3). (-5/3) = 6/9 6 4 portanto: = 9 = 4 ( ) 3 3 Como a = -/3 < 0, tmos: 4 Im( f ) = / 3 76 8. Imagm 8. Imagm 8 6 4/3 4 0-0 3 4 5 6 - - 0-0 3 4 5 6 - - -4-3 74 77 8. Imagm 8. Imagm Emplos o ) Otr a imagm da função f drmrd- finida por 5 f ( ) = + 3 3 Ercício 30: Dtrminar a imagm das funçõs dfinidas m R. a) = + 4 ) = + + 75 3

8. Imagm 9. Eio d simtria Ercício 3: Dtrminar m na função f() = 3 4 + m dfinida m R para qu a imagm sja Im = { R / }. A M B r a a v + r a 8 8. Imagm 0. Informaçõs qu auiliam a construção do gráfico Ercício 3: Dtrminar m na função f() = - /3 + m / dfinida m R para qu a imagm sja Im = { R / 7 }. Para fazrmos o soço do gráfico da função quadrática f() = a + + c, uscarmos, daqui para a frnt, informaçõs prliminars qu são: o ) O gráfico é uma paráola, cujo io d simtria é a rta. = a prpndicular ao io dos o ) S a > 0, a paráola tm a concavidad voltada para cima. S a < 0, a paráola tm a concavidad voltada para aio. 83 9. Eio d simtria 0. Informaçõs qu auiliam a construção do gráfico O gráfico da função quadrática admit um io d simtria prpndicular ao io dos qu passa plo vértic. Os pontos da rta prpndicular ao io dos qu passa plo vértic da paráola odcm à quação =, pois todos os pontos dssa rta a têm ascissa. a 8 3 o ) Zros da função. S > 0, a paráola intrcpta o io dos m dois pontos distintos. + P, 0 P, 0 a a S = 0, a paráola tangncia o io dos no ponto. P, 0 a 84 4

0. Informaçõs qu auiliam a construção do gráfico 0. Informaçõs qu auiliam a construção do gráfico S < 0, a paráola não tm pontos no io dos. Ercício 34: Fazr o soço do gráfico = - + 4-4. otr: 4 o ) O vértic da paráola é o ponto d coordnadas V,, qu é máimo s a < 0 ou a é mínimo s a > 0. Sgum os tipos d gráficos qu podmos 85 0. Informaçõs qu auiliam a construção do gráfico 0. Informaçõs qu auiliam a construção do gráfico a > 0 > 0 a > 0 = 0 a > 0 < 0 Ercício 35: Fazr o soço do gráfico = / + +. P P V V V V P P V V a < 0 > 0 a < 0 = 0 a < 0 < 0 86 0. Informaçõs qu auiliam a construção do gráfico Ercício 33: Fazr o soço do gráfico = 4 + 3. Considrmos a função quadrática f() = a + + c (a 0) vamos rsolvr o prolma: para qu valors d tmos: a) f() > 0 ) f() < 0 c) f() = 0? Na dtrminação do sinal da função quadrática, dvmos comçar plo cálculo do discriminant, quando três casos distintos podm aparcr: a) < 0 ) = 0 c) > 0 90 5

Vjamos como prossguir m cada caso. o caso: < 0 S < 0, ntão - > 0. Da forma canônica, tmos: a f ( ) = a + + a f ( ) > 0, a não ngativo positivo positivo Emplos o ) f ( ) = + aprsnta = ( ) 4 = 4 < 0, como a = > 0, concluímosqu: f ( ) > 0, 9 94 Isso significa qu a função f() = a + + c, quando < 0, tm o sinal d a para todo R, ou mlhor: a > 0 f ( ) > 0, a < 0 f ( ) < 0, Emplos o ) f ( ) = + aprsnta = 4 ( ) ( ) = 3 < 0, como a = - < 0, concluímosqu: f ( ) < 0, 9 95 A rprsntação gráfica da função f() = a + + c, quando < 0, vm confirmar a ddução algérica. f() > 0 f() < 0 positivo o caso: = 0 Da forma canônica, tmos: a f ( ) = a + + a + a a não ngativo zro 0 ntão a f ( ) 0,. 93 96 6

Isso significa qu a função f ( ) = a + + c, { } quando = 0, tm o sinal d a para todo, sndo zro duplo d f(), ou mlhor: = a a > 0 f ( ) 0, a < 0 f ( ) 0, 97 Emplos o ) f ( ) = + 8 8 aprsnta = 8 4 ( ) ( 8) = 0 ntão f() tm um zro duplo para a = =, como a = - < 0, concluímos: { } f ( ) < 0, f ( ) = 0, s = 00 A rprsntação gráfica da função f() = a + + c, quando = 0, vm confirmar a ddução algérica. = f() > 0 f() > 0 f() < 0 f() < 0 = 98 3 o caso: > 0 Da forma canônica, tmos: ( ) a a a a a a Lmrmos qu a fórmula qu dá as raízs d uma quação do sgundo grau é: a f ( ) = a + a + + + = ± a = isto é a + = a 0 Emplos o ) f ( ) = + aprsnta = ( ) 4 = 0 ntão f() tm um zro duplo para a = =, como a = > 0, concluímos: { } f ( ) > 0, f ( ) = 0, s = 99 fica vidnt qu a forma canônica s transforma m: + a f = a = a a a ( ) ( ) ( ) O sinal d a. f() dpnd dos sinais dos fators ( ) ( ). Admitindo <, tmos qu: 0 7

I) s <, tmos: < 0 < < a f ( ) a ( ) ( ) 0 = > < 0 + - - Isso significa qu: ) O sinal d f() é o sinal d a para todo, tal qu <, ou > ; ) O sinal d f() é o sinal d -a para todo, tal qu < <. Em rsumo: = = < < < > f() tm o sinal d a f() tm o 0 sinal d -a 0 f() tm o sinal d a 03 06 II) s < <, tmos: O gráfico da função f() = a + + c, quando > 0, vm confirmar a ddução algérica. > 0 < < a f ( ) a ( ) ( ) 0 = < < 0 + + - f() > 0 f() > 0 f() < 0 f() > 0 f() < 0 f() < 0 04 07 III) s >, tmos: > 0 > > a f ( ) a ( ) ( ) 0 = > > 0 + + + Emplos o ) f ( ) = 6 aprsnta = ( ) 4 ( 6) = 5 > 0 ntão f() tm dois zros rais distintos: 5 + + 5 = = = = = = 3 a a 05 08 8

. Inquação do º grau, como a = > 0, concluímosqu: f ( ) > 0, para < ou > 3 f ( ) = 0, para = ou = 3 f ( ) < 0, para < < 3 09 S a 0, as inquaçõs a + + c > 0, a + + c < 0, a + + c 0 a + + c 0 são dnominadasinquaçõs do o grau. Rsolvr, por mplo, a inquação a + + c > 0 é rspondr à prgunta: ist ral tal qu f() = a + + c sja positiva? A rsposta a ssa prgunta s ncontra no studo do sinal d f(), qu pod, inclusiv, sr fito através do gráfico da função. Assim, no nosso mplo, dpndndo d a d, podmos tr uma das sis rspostas sguints:. Inquação do º grau Emplos o ) f ( ) = + 3 + aprsnta a > 0 > 0 a > 0 = 0 a > 0 < 0 = 3 4 ( ) = 5 > 0 logo f() tm dois zros rais distintos: S = { R / < ou > } = S = { / } S =R 3 + 5 + 3 5 = = = = = = a 4 a 4 = 0 a < 0 > 0 S = { R / < < } a < 0 = 0 S = a < 0 < 0 S = 3. Inquação do º grau, como a = - < 0, concluímosqu: Ercício 36: Rsolvr a inquação + > 0. f ( ) < 0, para < ou > f ( ) = 0, para = ou = f ( ) > 0, para < < 4 9

. Inquação do º grau. Inquação do º grau Ercício 37: Rsolvr a inquação + 0. Ercício 40: É dada a função ( 9 5 ) ( ) = + Dtrminar: a) os pontos d intrscção do gráfico da função com o io das ascissas. ) o conjunto dos valors d para os quais 0. 5 8. Inquação do º grau. Inquação do º grau Ercício 38: Rsolvr a inquação - + 3 + 0. Ercício 4: Rsolvr m R as inquaçõs 4 + 5 a) = > 0 3 + 3 6 ) = + 7 0 6 9. Inquação do º grau. Inquação do º grau Ercício 39: Rsolvr m R as inquaçõs ( ) ( ) a) 6 + > 0 3 ) 6 + 3 0 Ercício 4: Rsolvr as inquaçõs a)4 < 4 )4 5 + 4 < 3 6 + 6 < + 3 4 7 0 0

. Inquação do º grau Ercício 43: Rsolvr os sistmas d inquaçõs ) + > 3 < 0 a 0 ) + 0 4 8 + 3 0. Inquação do º grau Ercício 44: Rsolvr m R as inquaçõs 4 a) + 8 9 < 0 4 ) 3 + 4 < 0