1 1 2π. Área de uma Superfície de Revolução. Área de uma Superfície de Revolução

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1 UNIVERSIDADE DO ESTADO DE MATO GROSSO CAMPUS UNIVERSITÁRIO DE SINOP FACULDADE DE CIÊNCIAS EXATAS E TECNOLÓGICAS CURSO DE ENGENHARIA CIVIL DISCIPLINA: CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL I Ára d uma Suprfíc d Rvolução. Introdução Vamos comçar com algumas suprfícs smpls. A ára da suprfíc latral d um clndro crcular com rao r altura h é tomada como A = rh porqu podmos nos magnar cortando o clndro dsnrolando-o para obtr um rtângulo com as dmnsõs r h, como na fgura abao. Prof.: Rogéro Das Dalla Rva Ára d uma Suprfíc d Rvolução. Introdução.Introdução.Rsolução d Emplos Da msma manra, podmos tomar um con crcular com a bas d rao r a gratrz l, cortálo ao longo da lnha pontlhada na fgura a sgur achatá-lo para formar o stor d um círculo com rao l ângulo cntral θ = r/l.. Introdução. Introdução Uma suprfíc d rvolução é formada quando uma curva é grada ao rdor d uma rta. Essa suprfíc é a frontra latral d um sóldo d rvolução. Qurmos dfnr a ára da suprfíc d rvolução d manra qu la corrsponda à nossa ntução. S a ára da suprfíc for A, podmos pnsar qu para pntar a suprfíc sra ncssáro a msma quantdad d tnta qu para pntar uma rgão plana com ára A. Sabmos qu, m gral, a ára d um stor d um círculo com rao l ângulo θ é A = l θ Assm, nss caso a ára é r θ l A = l = l = rl 3

2 . Introdução. Introdução Qu tal suprfícs d rvolução mas complcadas? S sgurmos a stratéga qu usamos com o comprmnto d arco, podmos apromar a curva orgnal por um polígono. Quando ss polígono é grado ao rdor d um o, l cra uma suprfíc mas smpls, cuja ára da suprfíc s aproma da ára da suprfíc ral. Tomando o lmt podmos dtrmnar a ára ata da suprfíc. Pla smlardad d trângulos tmos o qu rsulta m l l + l = r r r l = r l + r l ou r r l = r l 7 0. Introdução. Introdução A suprfíc apromadora, ntão, consst m faas, cada qual formada pla rotação d um sgmnto d rta ao rdor d um o. Para dtrmnar a ára da suprfíc, cada uma dssas faas pod sr consdrada como uma porção d um con crcular, como mostrado na fgura a sgur. Como rsulta m A = r r l + rl [ ] A = rl + r l ou A = rl ond 8 r = r + r é o rao médo da faa. Introdução. Introdução A ára da faa (ou tronco d um con), com gratrz l raos supror nfror r r, rspctvamnt, é calculada pla subtração das áras dos dos cons: A = r l + l r l A = r r l + rl 9 Agora aplcamos ssa fórmula à nossa stratéga. Consdr a suprfíc mostrada na fgura a sgur, obtda pla rotação da curva y = f(), a b, ao rdor do o, ond f é postva tm uma drvada contínua.

3 . Introdução. Introdução (a) Suprfíc d rvolução Portanto, a ára da suprfíc pod sr rscrta como + y A = rl = P P y (b) Faa d apromação 3. Introdução. Introdução Para dfnr sua ára d suprfíc, dvdmos o ntrvalo [a, b] m n subntrvalos com os trmos 0,,, n larguras guas a, como fzmos para dtrmnar o comprmnto d arco. S y = f( ), ntão o ponto P (, y ) stá sobr a curva. A part da suprfíc ntr - pod sr apromada tomando-s o sgmnto d rta P - P grando-o ao rdor do o. Rlmbrando a aula antror * P P = + f ond * é algum númro m [ -, ]. Quando é pquno, tmos y = f( ) f( * ) também y - = f( - ) f( * ), uma vz qu f é contínua. 7. Introdução. Introdução O rsultado é uma faa (um tronco d con) com gratrz rao médo l = P P r = r + r Portanto y + y P P * * f ( ) + f ( ) ntão uma apromação para a ára da suprfíc complta d rvolução é: n * * lm f + f n = 8 3

4 . Introdução. Introdução Essa apromação torna-s mlhor quando n, rconhcndo a prssão antror como uma soma d Rmann para a função S a curva é dscrta como = g(y), c y d, ntão a fórmula para a ára da suprfíc torna-s tmos [ ] g( ) = f ( ) + f ( ) b d S = y + dy dy a n b * * ( ) + ( ) = + [ ] lm f f f ( ) f ( ) d n = a 9. Introdução. Introdução Portanto, no caso ond f é postva tm uma drvada contínua, dfnmos a ára da suprfíc obtda pla rotação da curva y = f(), a b, ao rdor do o como b [ ] S = f ( ) + f ( ) d a Ou, d forma altrnatva, as fórmulas antrors podm sr rsumdas smbolcamnt usando-s a notação para o comprmnto d arco dada na aula antror. S = y ds Pla rotação ao rdor do o y, a fórmula da ára da suprfíc s torna S = ds 0 3. Introdução. Introdução Com a notação d Lbnz para as drvadas, ssa fórmula torna-s b S = y + d d a ond, como antrormnt, podmos usar d ds = + d ou ds = + dy d dy

5 . Introdução. Rsolução d mplos Essas fórmulas podm sr lmbradas pnsando-s m y ou como a crcunfrênca d um círculo traçada plo ponto (, y) na curva grada ao rdor do o ou do o y, rspctvamnt. Tmos dy = ( ) ( ) = d S = y ds S = ds (a) Rotação ao rdor do o (b) Rotação ao rdor do o y 8. Rsolução d mplos. Rsolução d mplos Emplo : A curva y = é um arco do círculo + y =. Dtrmn a ára da suprfíc obtda pla rotação dss arco ao rdor do o. (A suprfíc é uma porção d uma sfra d rao, conform mostra a fgura a sgur). Portanto: S = y + d d S = + d + S = d 9. Rsolução d mplos. Rsolução d mplos S = d S = ] [ ] S = () ( ) =

6 . Rsolução d mplos. Rsolução d mplos Emplo : O arco da parábola y = d (, ) para (, ) é grado ao rdor do o y. Dtrmn a ára da suprfíc rsultant. 3 Substtundo u = +, tmos du = 8. 8 S = + d 8 Quando =, u =, quando =, u = S = u du = u = u 3 S = ( 7 7 ) 3. Rsolução d mplos. Rsolução d mplos Solução : dy = = d y Solução : d = y = dy y 3 3. Rsolução d mplos. Rsolução d mplos Portanto: Portanto: S = + d d d S = + dy dy S = + ( ) d S = + d 33 S = y + dy y S = y + dy y 3

7 . Rsolução d mplos. Rsolução d mplos y + S = y dy y S = y y + dy y S = y + dy Altrnatvamnt, a ára da suprfíc dv sr lgramnt maor qu a ára d um tronco d um con com as msmas bordas supror nfror S = rl = (,) ( 0) 9,80 S = , Rsolução d mplos. Rsolução d mplos Substtundo u = + y, tmos du = dy. S = y + dy Quando y =, u =, quando y =, u = 7. S = S = u du ( 7 7 ) 38 Emplo 3: Dtrmn a ára da suprfíc grada pla rotação da curva y =, 0, ao rdor do o.. Rsolução d mplos. Rsolução d mplos Para vrfcar nossa rsposta no Emplo, vja pla fgura abao qu a ára da suprfíc dv sr próma à ára d um clndro crcular com a msma altura rao na mtad ntr o rao supror o nfror da suprfíc. S = (,) (3) 8,7 S = ,8 Solução: dy y = = d 39 7

8 . Rsolução d mplos Portanto: S = y + d d 0 S = + ( ) d 0 S = + d 0 3. Rsolução d mplos Substtundo u =, tmos du = d. Quando = 0, u =, quando =, u =. S = + u du Lmbrando qu: u a a + u du = a + u + ln u + a + u + C. Rsolução d mplos S = + u du 0 0 S = + + ln + + S = + + ln + + S = + + ln + + ln + 8