MSc Alexdre Estácio Féo Associção Educciol Dom Bosco - Fculdde de Egehri de Resede Cix Postl: 8.698/87 - CEP: 75-97 - Resede - RJ Brsil Professor e Doutordo de Egehri efeo@uifei.edu.br Resumo: Neste trblho presetmos o método chmdo de Elimição de Guss pr resolução de sistems lieres. Esse método é utilizdo obteção dos vlores do vetor {x}, determição d sigulridde d mtriz do sistem e, filmete, elborção de estrtégi de pivotmeto, utilizd pr miimizr o erro reltivo de determids situções. Tmbém um exemplo resolvido pr melhor visulizção do método será presetdo o fil do trblho. O lgoritmo de elimição de Guss é o método mis usdo pr resolver sistems de equções lieres. Trt-se de um sistem com um seqüêci de pssos elemetres, que trsformm o sistem iicil, Axb, um outro, Uxc, em que su resolução é mis fácil; o etto, mbos são equivletes, pois têm o mesmo cojuto de soluções. Esses pssos elemetres trduzem-se trvés de: Troc d ordem ds equções; Multiplicção de mbos os membros de qulquer ds equções por um elemeto rel ão ulo; e substituição de um ds equções pel su som com outr equção do sistem. Vle ressltr que um progrm foi desevolvido em MtLb, pr solucior os sistems de equções propostos. Plvrs-Chve: Elimição de Guss, Sistems Lieres, Mtlb. INTRODUÇÃO Segudo Souz (), o lgoritmo de elimição de Guss é o método mis usdo pr resolver sistems de equções lieres. Trt-se de um sistem com um seqüêci de pssos elemetres, que trsformm o sistem iicil, Ax b, um outro, Ux c, em que su resolução é mis fácil; o etto, mbos são equivletes, pois têm o mesmo cojuto de soluções. Esses pssos elemetres trduzem-se trvés de: i) Troc d ordem ds equções; ii) Multiplicção de mbos os membros de qulquer ds equções por um elemeto rel ão ulo; iii) Substituição de um ds equções pel su som com outr equção do sistem. Vle ressltr que um progrm foi desevolvido em MtLb pr solucior os sistems de equções propostos. OBJETIVOS Desevolver progrmção em MtLb; Apreder um ovo método pr resolução de Sistems lieres; Elborção de um progrm com método direto de Elimição de Guss que resolv os sistems propostos. DESENVOLVIMENTO Cosideremos o sistem Axb, em que A é um mtriz qudrd x. II Simpósio de Excelêci em Gestão e Tecologi SEGeT 5
x b x b Sedo ssim, podemos dizer que o objetivo pricipl do método proposto cosiste em elimir os elemetos ij, i>j, de form obter um sistem equivlete com um mtriz trigulr superior. Tedo um mtriz trigulr, bst plicr substituições sucessivs pr chegrmos à solução pretedid. Etão, o método cosiste em pssos, ode costruímos elemetos ij (k+) prtir dos elemetos ij (k), cosiderdo ij () como mtriz iicil. () Psso k Se o pivot é Ms se, etão, tem que se efetur troc de lihs., etão: Elimição Pr k,..., - Pr i k +,..., m ik ik ik Pr i, j k +,..., ( k+ ) m ij ik ik ik Pr i k +,..., ( k+ ) b b m b i i ik k Dest form, o fil dos pssos, obteremos o sistem trigulr superior equivlete: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) x b ( ) b ( ) x b O qul poderemos resolver, fcilmete, por substituição scedete: () II Simpósio de Excelêci em Gestão e Tecologi SEGeT 5 4
( ) b x Pr k,..., Pr j k +,..., x k ( b k kj x j ) Armzedo os coeficietes m ik, podemos obter um ftorizção d mtriz A seguite form: ( ) ( ) ( ) ( ) m A LU m m ( ) L U () Isto pr cso ão sejm efetuds trocs de lihs. Cso existm trocs de lihs, ftorizção é d form PALU, qul P é um mtriz de permutção. Ao resolver o sistem, obteremos: LUx Pb (4) Teorem Será ftorizção ALU, qul L é um mtriz trigulr iferior com digol pricipl uitári, e U é um mtriz trigulr superior, obtid de form úic, se os pivots verificrem. Número de Operções Alisemos, gor, qul o úmero de operções (+- ou */) evolvido resolução de um sistem. Ftorizção d mtriz Em cd Psso k: Cálculo dos m ik k divisões --- correspodetes um totl de ( k) operções. Cálculo dos ij (k) divisões --- correspodetes um totl de ( k) operções. Cálculo de b (x) Em cd Psso k: k multiplicções e subtrções correspodetes um totl de ( k) operções. Substituição k k k II Simpósio de Excelêci em Gestão e Tecologi SEGeT 5 5
No totl, teremos: + k k k ( + ) multiplicções e divisões k ( ) subtrções. Como ( k) ( ) e tmbém ( k) ( )( ) 6 k k. Dest form, obteremos Tbel : Tbel Aálise d Complexidde dos Algoritmos Etps Soms e Multiplicções Subtrções e Divisões ( )( ) 6 ( ) Ftorizção Cálculo b ( ) ( ) ( ) Substituição ( +) ( ) TOTAL ~ ~ Dest form, podemos dizer que é fácil verificrmos sucessão do úmero totl de operções, o cosiderrmos um dimesão d mtriz elevd, que é, ssitoticmete, equivlete /. Normlmete, como o tempo de cálculo é muito superior um multiplicção ou divisão, cosidermos pes que, ssitoticmete, o método de elimição de Guss evolverá / operções (*,/). Este vlor é bstte reduzido se comprdo com o úmero de operções que seri ecessário efetur se resolvêssemos o sistem pel Regr de Crmer (esse cso, terímos ~ (+)! operções, o que, por exemplo, pr correspoderi efetur ~ 4.. de operções (*,/) o ivés de ~ 4 pelo método de Elimição de Guss). Pesquis de pivot Tl como qudo o pivot é ulo (isto é, ), devemos efetur um troc de lihs, se o seu vlor for próximo de zero. Cso ão sej efetud troc de lihs ou colus, os erros de rredodmeto (surgidos ftorizção d mtriz) podem provocr grdes erros os resultdos. De form equivlete, devemos efetur troc de lihs ou colus qudo houver um grde desequilíbrio de grdezs os elemetos d mtriz e cso o pivot for pequeo fce os resttes elemetos (porque, dividido, será equivlete que ele sej próximo de zero). Pr cotorr este problem de estbilidde uméric, usmos s seguites estrtégis seguir. Pesquis prcil de pivot Ocorre ormlmete por lihs. Em cd psso k d elimição de Guss, trocmos lih k com lih r, ode r é tl que: rk mx,..., { i k } (5) ik Vle ressltr que est estrtégi é utilizd pes o cso de k r. Pesquis totl de pivot II Simpósio de Excelêci em Gestão e Tecologi SEGeT 5 6
Em cd psso k d elimição de Guss, troc-se lih k com lih r, e colu k com colu s, ode r, s são tis que: rk mx,..., { i k } (6) ik Vle ressltr que est estrtégi é utilizd pes o cso de k r ou k s. Exemplo RESOLVIDO Cosidere o sistem represetdo seguir: 4 x x 4 x Pr represetr tods s mudçs, vmos formr um mtriz com dus prtes: ª será mtriz dos coeficietes e ª será o vetor dos termos idepedetes: B 4 4 Note que est mtriz se chm mtriz umetd. Todos os pssos serão relizdos sobre B, poupdo tempo e simplificdo seguite otção: Psso Com m / /, zerremos o elemeto d posição (,), ou sej: 4 4 / 5 / 4 4 Psso Com m / 4/, zerremos o elemeto d posição (,): 4 4 / 5 / / 5 / 4 / / 5 / Psso Com m /, zerremos o elemeto d posição (,): Etão, mtriz fil será: Resultdo em: 4 4 / 5 / / 5 / / / 5 / 8 4 B ' 5 / 8 x / 8 Voltdo à peúltim lih B', teremos: II Simpósio de Excelêci em Gestão e Tecologi SEGeT 5 7
D ª lih, vem: / x / x 5 / x ; + e como ( 7 ) + ( ) x ; x. x + x + 4 x e x 5, x A solução fil é dd pelo vetor: x + + ; x X 5 CONCLUSÕES Neste trblho presetmos o lgoritmo pr resolução de sistems lieres usdo o método d Elimição de Guss. Deste modo, soluciomos o sistem lier proposto, trvés de um progrm desevolvido em MtLb. Percebemos que trvés deste método podemos trsformr um mtriz qulquer em um mtriz trigulr superior, tordo, ssim, resolução do sistem bem mis simples. BIBLIOGRAFIA CUNHA, M. C. C. (), Métodos uméricos, Editor Uicmp, Cmpis-SP, ed., 8p. FREITAS, DANIEL, S., INE, Deprtmeto de iformátic e de esttístic, UFSC, http://www.if.ufsc.br/~st/ LIMA Jr, J.J. (4), Nots de uls, Métodos Mtemáticos pr Sistems Mecâicos, MPF/MCC, UNIFEI RUGGIERO, M. A. G. (996), Cálculo Numérico: Aspectos teóricos, Ed., Mkro Books, São Pulo SANTOS, V. R. B. (974), Curso de Cálculo Numérico, ed., Livros técicos e Cietíficos Editor S.A., 55p. SANTOS, V. R. B. (977), Curso de Cálculo Numérico, Livros Técicos e Cietíficos Editor, Rio de Jeiro-RJ, ed. Reimpressão, 76p. SOUZA, M.J.F, Deprtmeto de computção,ufop, http://www.decom.ufop.br/prof/mrco II Simpósio de Excelêci em Gestão e Tecologi SEGeT 5 8