rof.: nastáco nto Gonçalves lho
Introdução Nem sempre é possível tratar um corpo como uma únca partícula. Em geral, o tamanho do corpo e os pontos de aplcação específcos de cada uma das forças que nele atuam devem ser consderados. Supõe-se que a maora dos corpos consderados em mecânca elementar são rígdos, sto é, as deformações reas são pequenas e não afetam as condções de equlíbro ou de movmento do corpo. Este capítulo descreve o efeto de forças eercdas em um corpo rígdo e como substtur um dado sstema de forças por um sstema equvalente mas smples. ara tanto, são mportantes os seguntes concetos: momento de uma força em relação a um ponto momento de uma força em relação a um eo momento devdo a um bnáro ualquer sstema de forças atuando em um corpo rígdo pode ser substtuído por um sstema equvalente composto por uma únca força atuando em um dado ponto e um bnáro. 3-2
orças Eternas e orças Internas orças atuando em corpos rígdos são dvddas em dos grupos: - orças Eternas - orças Internas orças eternas são mostradas em um dagrama de corpo lvre. Se não for contrabalanceada, cada uma das forças eternas pode mprmr ao corpo rígdo um movmento de translação ou de rotação, ou ambos. 3-3
rncípo da Transmssbldade: orças Equvalentes rncípo da Transmssbldade - s condções de equlíbro ou de movmento de um corpo não se modfcam ao se transmtr a ação de uma força ao longo de sua lnha de ação. OBSERVÇÃO: na fgura ao lado e são forças equvalentes. ara o camnhão ao lado, o fato de mudar o ponto de aplcação da força para o para-choque trasero não altera o seu movmento e nem nterfere nas ações das demas forças que nele atuam. O prncípo da transmssbldade nem sempre pode ser aplcado na determnação de forças nternas e deformações. 3-4
roduto Vetoral de Dos Vetores O conceto de momento de uma força em relação a um ponto é mas faclmente entenddo por meo das aplcações do produto vetoral. O produto vetoral de dos vetores e é defndo como o vetor V que satsfa às seguntes condções: 1. lnha de ação de V é perpendcular ao plano que contém e. 2. ntensdade de V é V sen 3. dreção e o sentdo de V são obtdos pela regra da mão dreta. rodutos vetoras: - não são comutatvos, - são dstrbutvos, - não são assocatvos, 1 2 1 2 S S 3-5
ona rodutos Vetoras: Componentes Retangulares 3-6 rodutos vetoras de vetores untáros: 0 0 0 roduto vetoral em termos de componentes retangulares: V V
omento de uma orça em Relação a um onto Uma força é representada por um vetor que defne sua ntensdade, sua dreção e seu sentdo. Seu efeto em um corpo rígdo depende também do seu ponto de aplcação. O momento de uma força em relação a um ponto O é defndo como O r O vetor momento O é perpendcular ao plano que contém o ponto O e a força. ntensdade de O epressa a tendênca da força de causar rotação em torno de um eo drgdo ao longo de O. r sen d O O sentdo do momento pode ser determnado pela regra da mão dreta. ualquer força que tem a mesma ntensdade, dreção e sentdo de, é equvalente a ela se também tem sua mesma lnha de ação e portando, gera o mesmo momento. 3-7
omento de uma orça em Relação a um onto Estruturas bdmensonas têm comprmento e largura, mas profunddade despreível e estão suetas a forças contdas no plano da estrutura. O plano da estrutura contém o ponto O e a força. O, o momento da força em relação a O, é perpendcular ao plano. Se a força tende a grar a estrutura no sentdo anthoráro, o vetor momento aponta para fora do plano da estrutura e a ntensdade do momento é postva. Se a força tende a grar a estrutura no sentdo horáro, o vetor momento aponta para dentro do plano da estrutura e a ntensdade do momento é negatva. 3-8
Teorema de Vargnon O momento em relação a um dado ponto O da resultante de dversas forças concorrentes é gual à soma dos momentos das váras forças em relação ao mesmo ponto O. r r r 1 2 1 2 O teorema de Vargnon torna possível substtur a determnação dreta do momento de uma força pela determnação dos momentos de duas ou mas forças que a compõe. 3-9
ona Componentes Retangulares do omento de uma orça 3-10 O O momento de em relação a O, r r O,
ona Componentes Retangulares do omento de uma orça 3-11 omento de em relação a B: r B B / r r r B B B B B / B B B B
ona Componentes Retangulares do omento de uma orça 3-12 ara estruturas bdmensonas: Z O O B B B B B B
Componentes Retangulares no Espaço Com os ângulos entre e os eos, e temos, cos cos cos cos cos cos cos cos 2-13 cos é um vetor untáro ao longo da lnha de ação de e cos, cos e cos são os cossenos que orentam a lnha de ação de.
ona Componentes Retangulares no Espaço 2-14 dreção de uma força é defnda pelas coordenadas de dos pontos, em sua lnha de ação. 2 2 2 1 1 1,, e,, N d d d d d d d d d d d d d d d d N d 1 e lga vetor que 1 2 1 2 1 2
2-15
roblema Resolvdo 3.1 Uma força vertcal de 450 N é aplcada na etremdade de uma alavanca que está lgada ao eo em O. Determne: a) o momento da força em relação a O; b) a força horontal aplcada em que gera o mesmo momento; c) a força mínma aplcada em que gera o mesmo momento; d) a posção de uma força vertcal de 1.080 N para que ela gere o mesmo momento; e) se alguma das forças obtdas nas partes b, c e d é equvalente à força orgnal 3-16
roblema Resolvdo 3.1 a) O momento em relação a O é gual ao produto da força pela dstânca perpendcular entre a lnha de ação da força e O. Como a força tende a grar a alavanca no sentdo horáro, o vetor momento aponta para dentro do plano que contém a alavanca e a força. O d O d 60 cmcos 60 450 N0,3 m 30 cm O 135 N m 3-17
roblema Resolvdo 3.1 b) ara a força horontal aplcada em que gera o mesmo momento tem-se, d O 60 cm d 135 N m 0,52 m 135 N m 0,52 m sen 60 52 cm 259,6 N 3-18
roblema Resolvdo 3.1 c) força mínma aplcada em que gera o mesmo momento deve atuar a uma dstânca perpendcular é máma de O, ou sea, quando é perpendcular a O. d O 135 N m 0,6 m. 135 N m 0,6 m 225 N 3-19
roblema Resolvdo 3.1 d) ara determnar o ponto de aplcação de uma força vertcal de 1.080 N que gera o mesmo momento em relação a O temos, O 135 N m d OB cos 60 d 1.080 N d 135 N m 1.080 N 12,5 cm 0,125 m OB 25 cm 3-20
roblema Resolvdo 3.1 e) Embora cada uma das forças nas letras b), c) e d) gere o mesmo momento que a força de 450 N, nenhuma tem sua mesma ntensdade, dreção e sentdo, ou sua mesma lnha de ação. ortanto, nenhuma das forças é equvalente à força de 450 N. 3-21
roblema Resolvdo 3.4 SOLUÇÃO: O momento da força eercda pelo fo é obtda a partr do produto vetoral, r C Uma placa retangular é sustentada pelos suportes e B e por um fo CD. Sabendo que a tração no fo é 200 N, determne o momento em relação a da força eercda pelo fo no ponto C. 3-22
roblema Resolvdo 3.4 SOLUÇÃO: r C r r C C r 200 N 200 N 0,3m 0,08 m r r C C 0,3 m 0,24 m 0,32 m 120 N 96 N 128 N D D 0.5 m 0,3 0 0,08 120 96 128 7,68 Nm 28,8 Nm 28,8 Nm 3-23
ona roduto Escalar de Dos Vetores 3-24 O produto escalar de dos vetores e é defndo como escalar resultado cos rodutos escalares: - são comutatvos, - são dstrbutvos, - não são assocatvos, 2 1 2 1 ndefndo S rodutos escalares em termos de componentes cartesanas: 0 0 0 1 1 1 2 2 2 2
roduto Escalar de Dos Vetores: plcações Ângulo entre dos vetores: cos cos roeção de um vetor sobre um dado eo: OL cos proeção de sobre o eo OL cos cos OL ara um eo defndo por um vetor untáro: OL cos cos cos 3-25
ona roduto Trplo sto de Três Vetores 3-26 roduto trplo msto de três vetores: escalar resultado S Os ses produtos trplos mstos que podem ser formados com S, e têm o mesmo valor absoluto, mas não necessaramente o mesmo snal, S S S S S S S S S S S S S nalsando o produto trplo msto tem-se,
omento de uma orça em Relação a um Dado Eo omento O de uma força aplcada no ponto em relação a um ponto O: r O O momento OL em relação a um eo OL é a proeção do momento O sobre esse eo, ou sea, OL O r omentos de em relação aos eos coordenados: 3-27
omento de uma orça em Relação a um Dado Eo omento de uma força em relação a um eo arbtráro: BL B r B r r r B B O resultado é ndependente do ponto B escolhdo sobre o eo dado. 3-28
roblema Resolvdo 3.5 Um cubo sofre a ação de uma força conforme mostrado. Determne o momento de : a) em relação a b) em relação à aresta B c) em relação à dagonal G do cubo. d) Determne a dstânca perpendcular entre G e C. 3-29
ona roblema Resolvdo 3.5 3-30 omento de em relação a : a a a a r r 2 2 2 2 a 2 omento de em relação a B: a B 2 2 B a
ona roblema Resolvdo 3.5 3-31 omento de em relação à dagonal G: 1 1 1 6 2 3 1 2 3 1 3 a a a a a a a r r G G G G 6 a G
roblema Resolvdo 3.5 Dstânca perpendcular entre G e C: 2 0 1 0 11 ortanto, é perpendcular a G. 3 6 G a 6 d d a 6 3-32
omento de um Bnáro Duas forças e - de mesma ntensdade, lnhas de ação paralelas e sentdos opostos formam um bnáro. omento do bnáro: r rb r rb r r sen d O vetor que representa o momento do bnáro é ndependente da escolha da orgem dos eos coordenados, sto é, trata-se de um vetor lvre que pode ser aplcado a qualquer ponto produndo o mesmo efeto 3-33
omento de um Bnáro Dos bnáros terão momentos guas se 1 d1 2d 2 os dos bnáros estverem em planos paralelos, e os dos bnáros tverem o mesmo sentdo ou a tendênca de causar rotação na mesma dreção. 3-34
de Bnáros Consdere dos planos 1 e 2 que se nterceptam, cada um contendo um bnáro. 1 r 1 no plano 1 r no plano 2 2 s resultantes dos vetores também formam um bnáro. r R r 1 2 elo teorema de Vargnon, r 1 r 2 1 2 2 soma de dos bnáros é um bnáro de momento gual à soma vetoral dos momentos dos dos. 3-35
Bnáros odem Ser Representados por Vetores Um bnáro pode ser representado por um vetor gual em ntensdade, dreção e sentdo ao momento do bnáro. Vetores que representam bnáros obedecem à le de a de vetores. Vetores bnáros são vetores lvres, ou sea, o ponto de aplcação não é relevante. Vetores bnáros podem ser decompostos em componentes vetoras. 3-36
Substtução de uma Dada orça por uma orça em O e um Bnáro Não se pode smplesmente mover uma força para o ponto O sem modfcar sua ação no corpo. aplcação de duas forças de mesma ntensdade e sentdos opostos em O não altera a ação da força orgnal sobre o corpo. s três forças podem ser substtuídas por uma força equvalente e um vetor bnáro, sto é, um sstema força-bnáro. 3-37
Substtução de uma Dada orça por uma orça em O e um Bnáro ara mover a força de para um ponto dferente O deve-se aplcar naquele ponto um vetor bnáro dferente O r O ' Os momentos de em relação a O e a O estão relaconados. O' r ' r s r s s O ara mover o sstema força-bnáro de O para O deve-se somar ao sstema o momento da força aplcada em O em relação a O. 3-38
ona omento de uma força
ona omento de um Bnáro
ona omento de um Bnáro
roblema Resolvdo 3.6 SOLUÇÃO: Introdumos no ponto duas forças de 90 N com sentdos opostos, produndo 3 bnáros para os quas os componentes dos momentos são faclmente calculados. lternatvamente, pode-se calcular os momentos das quatro forças em relação a um únco ponto arbtráro. O ponto D é uma boa escolha pos apenas duas das forças geram momento naquele ponto. Determne os componentes do bnáro únco equvalente aos dos bnáros mostrados. 3-42
roblema Resolvdo 3.6 Introdumos no ponto duas forças de 90 N com sentdos opostos. Os três bnáros podem ser representados pelos três vetores bnáros, 135 N0,45 m 60,75 N m 90 N0,30 m 27 N m 90 N0,225 m 20,25 N m 60,75 Nm 27 Nm 20,25 Nm 3-43
roblema Resolvdo 3.6 lternatvamente, calculamos a soma dos momentos das quatro forças em relação a D. Somente as forças em C e E geram momento em relação ao ponto D. D 0,45 m 135 N 0,225 m 0,30 m 90 N 60,75 Nm 27 Nm 20,25 Nm 3-44
Sstema de orças: Redução a uma orça e um Bnáro Um sstema de forças pode ser substtuído por um sstema força-bnáro equvalente atuando em um dado ponto O. s forças e os vetores bnáros podem ser substtuídos por uma força resultante e um vetor bnáro resultante, R R r O O sstema força-bnáro em O pode ser movdo para O com a soma do momento de R em relação à O, R R s R O' O Dos sstemas de forças são equvalentes se eles podem ser redudos a um mesmo sstema força-bnáro. 3-45
Casos artculares de Redução de um Sstema de orças Se a força resultante e o bnáro em O forem mutuamente perpendculares, o sstema pode ser substtuído por uma únca força que atua ao longo de uma nova lnha de ação. O sstema força-bnáro resultante para um sstema de forças será mutuamente perpendcular se: 1) as forças forem concorrentes, 2) as forças forem coplanares, ou 3) as forças forem paralelas. 3-46
Casos artculares de Redução de um Sstema de orças O sstema de forças coplanares é redudo a um sstema força-bnáro que consste R em R e O, que são mutuamente perpendculares. O sstema pode ser redudo a uma únca força movendo-se a lnha de ação de R até que seu momento em relação a R O se torne O. Em termos de componentes retangulares, R R R O 3-47
roblema Resolvdo 3.8 SOLUÇÃO: a) Calculamos a força resultante para as forças mostradas e o bnáro resultante para os momentos das forças em relação a. ara a vga acma, redua o sstema de forças dado a (a) um sstema forçabnáro equvalente em, (b) um sstema força bnáro equvalente em B, e (c) a uma força únca ou resultante. Observação: Como as reações de apoo não estão ncluídas, esse sstema não manterá a vga em equlíbro. b) Encontramos um sstema forçabnáro em B equvalente ao sstema força-bnáro em. c) Determnamos o ponto de aplcação para a força resultante de tal forma que seu momento em relação a sea gual ao bnáro resultante em. 3-48
roblema Resolvdo 3.8 SOLUÇÃO: a) Calculamos a força e o bnáro resultantes em. R 150 N 600 N 100 N 250 N R 600 N R r 1,6 600 2,8 100 4,8 250 R 1880 Nm 3-49
roblema Resolvdo 3.8 b) Encontramos um sstema força-bnáro em B equvalente ao sstema força-bnáro em. força fca nalterada pelo movmento do sstema força-bnáro de para B. R 600 N O bnáro em B é gual ao momento em relação a B do sstema força-bnáro encontrado em. R R B rb R 1880 N m 4,8 m 600 N 1880 N m 2880 N m 1000 Nm R B 3-50
roblema Resolvdo 3.10 SOLUÇÃO: Determnamos os vetores posção relatvos traçados do ponto até os pontos de aplcação das váras forças. Decompomos as forças em componentes retangulares. Três cabos estão presos ao suporte, como lustrado. Substtua as forças eercdas pelos cabos por um sstema força-bnáro equvalente em. Calculamos a força resultante, R Calculamos o bnáro resultante, r R 3-51
roblema Resolvdo 3.10 SOLUÇÃO: Determnamos os vetores posção relatvos em relação a : rb 0,075 0,050 m rc 0,075 0,050 m r 0,100 0,100 m D Decompomos as forças em componentes retangulares : B 700 N re B 75 150 50 re B 175 0,429 0,857 0,289 300 600 200 N C B D 1000 Ncos 45 cos45 707 707 1200 Ncos60 cos30 600 1039 N N 3-52
roblema Resolvdo 3.10 Calculamos a força resultante: R 300 707 600 600 1039 200 707 R 1607 439 507 N Calculamos o bnáro resultante: R r r 0,075 0 0,050 30 45 B r C r D B c D 300 0,075 707 0,100 600 600 0 0 0,050 707 0,100 1039 200 0 0 17,68 163,9 R ( 30 Nm) (17,68 Nm) (118,9 Nm) 3-53