Álgebra Linear e Geometria Analítica Engenharia Electrotécnica Escola Superior de Tecnologia de Viseu wwwestvipvpt/paginaspessoais/lucas lucas@matestvipvpt 007/008 Álgebra Linear e Geometria Analítica Resolução de Sistemas pelo Método de Eliminação de Gauss Matrizes Método de Eliminação de Gauss-Jordan Cálculo da Inversa de uma Matriz 5 Matrizes Elementares e de Permutação 6 Factorizações LU e LDU 7 Matrizes Simétricas, Hermíticas e Ortogonais
Resolução de Sistemas pelo Método de Eliminação de Gauss Exemplo () Eliminação de Gauss: x + x + x = x + x + x = x + x + x = E E E +E x + x + x = x + x = 0 x + x = 5 E +E x + x + x = x + x = 0 5x = 5 Substituição de variáveis (de baixo para cima): x = x = x = (ESTV) Álgebra Linear e Geometria Analítica 007/008 / 65 Resolução de Sistemas pelo Método de Eliminação de Gauss Matriz Uma matriz de ordem m n é uma expressão constituída por m n elementos (entradas) a, a,, a mn dispostos em m linhas e n colunas da seguinte forma: a a a a,n a n a a a a,n a n a a a a,n a n a m, a m, a m, a m,n a m,n a m a m a m a m,n a mn Notação abreviada: a matriz pode representar-se abreviadamente por [a ij j n i m ou [a ij ou (a ij ) (ESTV) Álgebra Linear e Geometria Analítica 007/008 / 65
Resolução de Sistemas pelo Método de Eliminação de Gauss Exemplo ( - Notação matricial) x + x + x = x + x + x = x + x + x = x x x Matriz dos coeficientes do sistema: A = Matriz coluna dos termos independentes: b = x Matriz coluna das variáveis: X = x x O sistema em notação matricial representa-se por AX = b (ESTV) Álgebra Linear e Geometria Analítica 007/008 5 / 65 Resolução de Sistemas pelo Método de Eliminação de Gauss Exemplo ( - Notação matricial - cont) Matriz ampliada do sistema: [A b = Matriz em escada de linhas Uma matriz em escada de linhas é uma matriz tal que por baixo do primeiro elemento não nulo de cada linha da matriz, e por baixo dos elementos anteriores da mesma linha, todas as entradas são nulas Pivô Primeiro elemento não nulo de cada linha de uma matriz em escada de linhas (ESTV) Álgebra Linear e Geometria Analítica 007/008 6 / 65
Resolução de Sistemas pelo Método de Eliminação de Gauss Operações na eliminação de Gauss de uma matriz A A matriz A transforma-se numa matriz em escada de linhas por meio de operações do seguinte tipo: substituição de uma linha pela sua soma com o produto de um número por outra linha; troca de linhas; multiplicar uma linha por um número diferente de zero (se a matriz for ampliada) Variáveis básicas e não básicas (livres) As variáveis básicas são as correspondentes às colunas que têm pivô na matriz em escada de linhas As variáveis não básicas (livres) são as correspondentes às colunas que não têm pivô na matriz em escada de linhas (ESTV) Álgebra Linear e Geometria Analítica 007/008 7 / 65 Resolução de Sistemas pelo Método de Eliminação de Gauss Característica de uma matriz A A característica de uma matriz A, car(a), é por definição a característica da matriz em escada de linhas obtida através da eliminação de Gauss de A Numa matriz em escada de linhas, a característica da matriz é igual ao número de pivôs, ou seja, ao número de linhas não nulas (ESTV) Álgebra Linear e Geometria Analítica 007/008 8 / 65
Resolução de Sistemas pelo Método de Eliminação de Gauss Exemplo ( - Passos da eliminação de Gauss, partindo da matriz ampliada) L L L +L 0 0 0 5 L +L 0 0 0 0 5 5 Classificação do sistema: Possível determinado Variáveis básicas: x, x e x Variáveis livres: não tem car(a)= (ESTV) Álgebra Linear e Geometria Analítica 007/008 9 / 65 Resolução de Sistemas pelo Método de Eliminação de Gauss Classificação de sistemas AX = b Determinado car(a) =car([a b) = n Possível car(a) =car([a b) Indeterminado de grau k(k 0) car(a) =car([a b) < n, ou seja, car(a) =n k Impossível car(a) < car([a b) n -número de variáveis, o mesmo é dizer, número de colunas da matriz A Sistema Homogéneo AX = 0 O sistema homogéneo AX = 0 é sempre possível - admite pelo menos a solução X = 0 (ESTV) Álgebra Linear e Geometria Analítica 007/008 0 / 65
Resolução de Sistemas pelo Método de Eliminação de Gauss Exemplo () x y + v = x 6y + z + v = 0 6x 7y + z + 5v = 0 6 0 6 7 5 L +L L L 0 0 8 0 L L 0 0 8 0 0 0 0 car(a)= < car([a b) = Sistema Impossível (ESTV) Álgebra Linear e Geometria Analítica 007/008 / 65 Resolução de Sistemas pelo Método de Eliminação de Gauss Exemplo () y + z + 5v = x y + z + v = 0 x + y + v = 0 5 0 0 L 0 0 0 5 L +L 0 0 0 5 L L 0 0 0 0 car(a)= car([a b) = < n = Sistema Possível Indeterminado (grau de indeterminação ) Variáveis básicas: x, y e z Variáveis livres: v (ESTV) Álgebra Linear e Geometria Analítica 007/008 / 65
Resolução de Sistemas pelo Método de Eliminação de Gauss Exemplo ( - cont) Matriz em escada de linhas: O sistema dado é equivalente a Substituição de variáveis: x = 5+5v y = 6 6v z = + v, v R 0 0 0 0 x + y + v = y + z + v = z + v = (ESTV) Álgebra Linear e Geometria Analítica 007/008 / 65 Resolução de Sistemas pelo Método de Eliminação de Gauss Exercício O Pedro é aluno do o ano do curso de Eng Electrotécnica da ESTV e está matriculado em Análise Matemática I (AMI), Álgebra Linear e Geometria Analítica (ALGA), Programação de Computadores (PC), Física Geral (FG) e Desenho Electrotécnico (DE) O Pedro consegue estudar em média à: segunda: 0 horas de AMI, hora de PC, hora de ALGA, de FG e de DE; terça: horas de AMI, 0 horas de ALGA e de PC, hora de FG e hora de DE; quarta: hora de AMI, hora de ALGA, hora de PC, 0 horas de FG e hora de DE; quinta: hora de AMI, hora de PC, 0 horas de ALGA e de DE, hora de FG; sexta: 0 horas de AMI, de PC e de FG, hora de ALGA e hora de DE (ESTV) Álgebra Linear e Geometria Analítica 007/008 / 65
Resolução de Sistemas pelo Método de Eliminação de Gauss Exercício (cont) O Pedro pretende determinar o número de horas que tem estudar de cada disciplina de forma que à segunda estude 0 horas, à terça 0 horas, à quarta 0 horas, à quinta 0 horas e à sexta 0 horas Formule o problema como um sistema de equações lineares Escreva o sistema na forma matricial e resolva-o usando o método de eliminação de Gauss (ESTV) Álgebra Linear e Geometria Analítica 007/008 5 / 65 Matrizes Matrizes Especiais Matriz linha Uma matriz linha ou vector linha é uma matriz do tipo n Exemplo: A = [ 0 5 Matriz coluna Uma matriz coluna ou vector coluna é uma matriz do tipo m Exemplo: A = 0 (ESTV) Álgebra Linear e Geometria Analítica 007/008 6 / 65
Matrizes Matrizes Especiais Matriz quadrada Uma matriz quadrada de ordem n é uma matriz do tipo n n [ Exemplos : A = B = 0 0 5 6 Diagonal secundária Diagonal principal Matriz rectangular Uma matriz rectangular é uma matriz do tipo m n em que m n [ Exemplo : A = 0 (ESTV) Álgebra Linear e Geometria Analítica 007/008 7 / 65 Matrizes Matrizes Especiais Matriz triangular Uma matriz triangular é uma matriz quadrada em que são nulos os elementos situados para um dos lados da diagonal principal Exemplos : A = 0 0 0 Matriz triangular superior A = 0 0 0 5 0 Matriz triangular inferior (ESTV) Álgebra Linear e Geometria Analítica 007/008 8 / 65
Matrizes Matrizes Especiais Matriz Diagonal Uma matriz diagonal é uma matriz quadrada em que são nulos todos os elementos situados fora da diagonal principal Exemplo: A = 0 0 0 0 0 0 Matriz identidade A matriz identidade é uma matriz diagonal constituída por uns na diagonal principal Denota-se por I n Exemplos: I = 0 0 0 0 I = [ 0 0 (ESTV) Álgebra Linear e Geometria Analítica 007/008 9 / 65 Matrizes Matrizes Especiais Matriz nula A matriz nula é uma matriz constituída por apenas elementos nulos Denota-se por O m n Sem = n pode representar-se por O n Exemplos: O = 0 0 0 0 0 0 0 0 0 O = [ 0 0 0 0 0 0 O conjunto de todas as matrizes m n com entradas em R designa-se por M m n (R) O conjunto de todas as matrizes m n com entradas em C designa-se por M m n (C) (ESTV) Álgebra Linear e Geometria Analítica 007/008 0 / 65
Matrizes Matrizes Especiais Matriz transposta Seja A M m n (K), K = R ou K = C A matriz transposta de A =[a ij, do tipo m n, é dada por A T =[a ji, do tipo n m Exemplo: 0 T = 0 [ 5 0 T = 5 0 (ESTV) Álgebra Linear e Geometria Analítica 007/008 / 65 Matrizes Operações com Matrizes Igualdade de matrizes Duas matrizes são iguais se forem do mesmo tipo e se tiverem elementos homólogos iguais Exemplo: A = [ x, B = [ 5, C = [ 5 0 Se x = 5 então A = B Não existe valor para x de forma que A = C, uma vez que A e C não são do mesmo tipo (ESTV) Álgebra Linear e Geometria Analítica 007/008 / 65
Matrizes Operações com Matrizes Adição de matrizes Dadas matrizes A =[a ij e B =[b ij do tipo m n, a sua adição éa matriz soma de tipo m n dada por: A + B =[a ij + b ij Exemplo: A = 0 0 7 0, B = 5 0 5 A + B = 5 7 0 5 (ESTV) Álgebra Linear e Geometria Analítica 007/008 / 65 Matrizes Operações com Matrizes Propriedades da adição de matrizes Sejam A, B e C matrizes de tipo m n Então: A + B = B + A; (A + B)+C = A +(B + C); Existe uma matriz nula, O m n, tal que O m n + A = A + O m n = A; Para cada matriz A =[a ij, existe a matriz A =[ a ij tal que A +( A) = A + A = O (ESTV) Álgebra Linear e Geometria Analítica 007/008 / 65
Matrizes Operações com Matrizes Multiplicação de um escalar por uma matriz O produto de um escalar α (real ou complexo) por uma matriz A =[a ij do tipo m n é a matriz m n dada por: αa =[αa ij Exemplo: [ 6 0 8 = [ 0 (ESTV) Álgebra Linear e Geometria Analítica 007/008 5 / 65 Matrizes Operações com Matrizes Propriedades da multiplicação escalar Sejam A e B duas matrizes do mesmo tipo e α e β dois escalares Então: α(a + B) =αa + αb; (α + β)a = αa + βa; α(βa) =(αβ)a; A = A; Para cada matriz A, existe a matriz A =( )A, tal que A +( A) =O (ESTV) Álgebra Linear e Geometria Analítica 007/008 6 / 65
Matrizes Operações com Matrizes Multiplicação de matrizes Se A é uma matriz de tipo m r e B é uma matriz de tipo r n então o produto AB é uma matriz do tipo m n cujos elementos são determinados da seguinte forma: o elemento da linha i e coluna j de AB obtém-se da linha i de A e da coluna j de B através da soma do produto dos correspondentes elementos Notação abreviada: AB =[ r a ik b kj k= (ESTV) Álgebra Linear e Geometria Analítica 007/008 7 / 65 Matrizes Operações com Matrizes Exemplo [ 6 0 [ 6 0 0 7 5 = [ 6 ( )+(6 )+(0 5) =6 0 7 5 = [ ( )+( )+( ) = (ESTV) Álgebra Linear e Geometria Analítica 007/008 8 / 65
Matrizes Operações com Matrizes Exemplo (cont) [ 6 0 0 7 5 = [ 7 0 8 6 ( )+( 0)+( ) = ( ) ( )+( 7) =7 ( )+( )+( 5) =0 ( )+(6 0)+(0 ) =8 ( ) (6 )+(0 7) = ( )+(6 )+(0 ) = (ESTV) Álgebra Linear e Geometria Analítica 007/008 9 / 65 Matrizes Operações com Matrizes Observações: Só é possível efectuar o produto AB seonúmero de colunas de A for igual ao número de linhas de B A m r iguais B r n = AB m n O produto de matrizes não é comutativo [ [ 0 0 0 Exemplo: A =, B = 0 [ [ 0 0 0 0 AB =, BA = 0 0 0 (ESTV) Álgebra Linear e Geometria Analítica 007/008 0 / 65
Matrizes Operações com Matrizes Propriedades da multiplicação de matrizes A(BC) =(AB)C, para quaisquer matrizes A m n, B n p e C p q ; A(B + C) =AB + AC, para quaisquer matrizes A m n, B n p e C n p ; (A + B)C = AC + BC, para quaisquer matrizes A m n, B m n e C n p ; (αa)b = α(ab), para quaisquer matrizes A m n e B n p ; (αa)(βb) =(αβ)(ab), para quaisquer matrizes A m n e B n p ; AI = A e IB = B, para quaisquer matrizes A m n e B n p eemque I n n é a matriz identidade de ordem n; AO = O e OB = O, para quaisquer matrizes A m n e B n p eem que O n n é a matriz nula de ordem n (ESTV) Álgebra Linear e Geometria Analítica 007/008 / 65 Matrizes Exercício (s) Defina a matriz A do tipo cujos elementos a ij satisfazem a condição: { sei + j é par a ij = 0 caso contrário Considere as matrizes: A = C = [ 0 5, D = 0 5 0, B = [ 0 (ESTV) Álgebra Linear e Geometria Analítica 007/008 / 65
Matrizes Exercício ( - cont) Calcule (quando possível): (a) (BA T C) T ; (b) (B)C + B; (c) B T (CC T A T A); (d) ( AC) T + 5D T (ESTV) Álgebra Linear e Geometria Analítica 007/008 / 65 Método de Eliminação de Gauss-Jordan Resolução de Sistemas pelo Método de Eliminação de Gauss-Jordan A resolução de um sistema pelo método de Gauss-Jordan compreende as fases: Eliminação de Gauss da matriz ampliada do sistema (Só interessa passar à fase seguinte se o sistema for possível); A partir da matriz em escada de linhas obtida em, chegar a uma matriz em que: por baixo e por cima dos pivôs, todas as entradas sejam nulas; os pivôs sejam iguais a (multiplicação de cada linha não nula da matriz pelo inverso do número que é pivô dessa linha (ESTV) Álgebra Linear e Geometria Analítica 007/008 / 65
Método de Eliminação de Gauss-Jordan Exemplo x + x + x = x + x + x = x + x = Fase 0 L 0 L L L +L 0 0 L L 0 0 0 5 5 (ESTV) Álgebra Linear e Geometria Analítica 007/008 5 / 65 Método de Eliminação de Gauss-Jordan Exemplo (cont) Fase 0 0 0 5 5 5 L 0 0 0 L +L L L 0 0 0 0 0 0 L L 0 0 0 0 0 Solução x = x = 0 x = (ESTV) Álgebra Linear e Geometria Analítica 007/008 6 / 65
Cálculo da Inversa de uma Matriz Cálculo da Inversa de uma Matriz Matriz invertível A matriz quadrada A de ordem n diz-se invertível se existir uma matriz quadrada B de ordem n tal que AB = I e BA = I Nesse caso, B diz-se a inversa de A e representa-se por A Matriz singular e matriz não singular Seja A uma matriz quadrada de ordem n A diz-se singular se car(a) < n A diz-se não singular se car(a) =n (ESTV) Álgebra Linear e Geometria Analítica 007/008 7 / 65 Cálculo da Inversa de uma Matriz Propriedades: Uma matriz quadrada A de ordem n é invertível se e só seénão singular; Seja A uma matriz invertível, então: A inversa é única (A ) = A (A ) T =(A T ) Se A e B são matrizes quadradas de ordem n tais que AB = I então BA = I; Se A e B são matrizes quadradas de ordem n e invertíveis então AB também é invertível, tendo-se (AB) = B A ; Generalizando: Se A, A,,A n são matrizes quadradas da mesma ordem, todas invertíveis, então o produto A A A n é invertível, tendo-se (A A A n ) = A n A A (ESTV) Álgebra Linear e Geometria Analítica 007/008 8 / 65
Cálculo da Inversa de uma Matriz Aplicação do Método de Gauss-Jordan ao Cálculo da Inversa de uma Matriz Método: [ A I [ I A eliminação de Gauss-Jordan Exemplo Calcular a inversa de A = [ 5 7 [ 0 5 7 0 (ESTV) Álgebra Linear e Geometria Analítica 007/008 9 / 65 Cálculo da Inversa de uma Matriz Exemplo (cont) [ 0 5 7 0 L 5 L [ 0 0 5 L [ 0 0 5 L L [ 0 0 5 L [ 0 7 0 5 A = [ 7 5 (ESTV) Álgebra Linear e Geometria Analítica 007/008 0 / 65
Cálculo da Inversa de uma Matriz Exercício (s) Determine a matriz A tal que: 0 6 9 A = 5 5 Determine todos os valores reais de a, b e c para os quais A = 0 é invertível a b c (ESTV) Álgebra Linear e Geometria Analítica 007/008 / 65 5 Matrizes Elementares e de Permutação Matrizes Elementares Matriz elementar é uma matriz quadrada que se obtém da identidade substituindo o elemento nulo situado na linha i e coluna j por α Denota-se por E ij (α) ou E ij Exemplos Matrizes elementares de ordem : E ( ) = 0 0 0 E (5) = 0 0 0 5 Matrizes elementares de ordem : E () = 0 0 0 0 0 0 0 E ( ) = 0 0 0 0 0 0 0 (ESTV) Álgebra Linear e Geometria Analítica 007/008 / 65
5 Matrizes Elementares e de Permutação O efeito de multiplicar E ij (α) por uma matriz qualquer A é substituir a linha i de A pela soma com a linha j multiplicada pelo escalar α Seja A = L L L m, tem-se E ij(α) A = E ij (α) L L j L i = L L j L i + αl j L m L m Na eliminação de Gauss, cada operação elementar da forma A A L i +αl j pode ser traduzida por E ij (α) A = A (ESTV) Álgebra Linear e Geometria Analítica 007/008 / 65 5 Matrizes Elementares e de Permutação Exemplo Efectuar a operação elementar 0 } {{ } A L +L 0 } 0 {{ } A equivale a efectuar o produto 0 0 0 0 0 } 0 {{ }} {{ } E () A = 0 } 0 {{ } A (ESTV) Álgebra Linear e Geometria Analítica 007/008 / 65
5 Matrizes Elementares e de Permutação As matrizes elementares são invertíveis e tem-se ( Eij (α) ) = Eij ( α) Exemplos 0 0 0 = 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 = 0 0 0 0 0 0 0 (ESTV) Álgebra Linear e Geometria Analítica 007/008 5 / 65 5 Matrizes Elementares e de Permutação Propriedade do produto de matrizes elementares O produto de matrizes elementares por ordem crescente do índice das colunas E (α ) E (α ) E (α ) E m (α m ) {z } coluna E (α ) E (α ) E m (α m ) {z } coluna E m,m (α m,m ) {z } coluna m é igual à matriz identidade substituindo cada elemento da posição ij por α ij, ou seja, à matriz: 0 0 α 0 α α 0 0 α α α 0 6 7 5 α m α m α m α m Exemplo 0 0 0 {z } E () 5 0 0 0 {z } E () 5 0 0 0 5 {z } E ( ) = 0 5 (ESTV) Álgebra Linear e Geometria Analítica 007/008 6 / 65
5 Matrizes Elementares e de Permutação Matrizes de Permutação Matriz de permutação é uma matriz cujas linhas são todas as linhas da identidade colocadas por uma ordem qualquer A matriz P ij resulta da matriz identidade por troca da linha i pela linha j Exemplos Matrizes de permutação de ordem : P = 0 0 0 0 P = 0 0 0 0 P = 0 0 0 0 Matrizes de permutação de ordem : P = 0 0 0 0 0 0 0 0 Q = 0 0 0 0 0 0 0 0 (ESTV) Álgebra Linear e Geometria Analítica 007/008 7 / 65 5 Matrizes Elementares e de Permutação O efeito da multiplicação de uma matriz de permutação P ij por uma matriz qualquer A é trocar a linha i com a linha j de A Seja A = L L L m, tem-se P ij A = P ij L L i L j L m = Na eliminação de Gauss, cada operação do tipo troca de linhas A Lij A pode ser traduzida por P ij A = A L L j L i L m (ESTV) Álgebra Linear e Geometria Analítica 007/008 8 / 65
5 Matrizes Elementares e de Permutação Exemplo Efectuar a operação 0 } {{ } A L } 0 {{ } A equivale a efectuar o produto 0 0 0 0 } 0 {{ 0 } P 0 } {{ } A = } 0 {{ } A (ESTV) Álgebra Linear e Geometria Analítica 007/008 9 / 65 5 Matrizes Elementares e de Permutação As matrizes de permutação são invertíveis e tem-se P = P T Exemplos 0 0 0 0 = 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 = 0 0 0 0 0 0 0 0 (ESTV) Álgebra Linear e Geometria Analítica 007/008 50 / 65
6 Factorizações LU e LDU Factorização LU Exemplo A = 5 L L L L 0 0 5 {z } A Das propriedades das matrizes elementares, tem-se A = E ( ) E ( ) A L +L 0 0 0 5 5 {z } U Portanto, U = E () A U = E () E ( ) E ( ) {z } B A U = BA B U = B B {z } I A A = B {z} L U (ESTV) Álgebra Linear e Geometria Analítica 007/008 5 / 65 Exemplo (cont) 6 Factorizações LU e LDU L = B =[E () E ( ) E ( ) =[E ( ) [E ( ) [E () = E ()E ()E ( ) = 0 5 Os elementos que estão abaixo da diagonal principal são os simétricos dos multiplicadores -, - e, utilizados na eliminação de Gauss Então, A = LU A = 0 5 0 0 0 5 {z } {z } L U 5 (ESTV) Álgebra Linear e Geometria Analítica 007/008 5 / 65
6 Factorizações LU e LDU Em geral, se A é uma matriz m n e U é a matriz em escada de linhas que resulta da eliminação de Gauss de A, ao longo da qual não houve troca de linhas, então A = LU onde L é a matriz m m que se obtém da matriz identidade substituindo, para cada operação elementar L i + αl j feita ao longo da eliminação de Gauss, a entrada nula da linha i e da coluna j pelo simétrico do multiplicador, isto é, por α A quadrada No caso particular de A ser uma matriz quadrada, a matriz U resultante da sua eliminação de Gauss é triangular superior Como L é triangular inferior, a decomposição LU de A é o produto de duas matrizes triangulares, por isso se designa de factorização triangular de A (ESTV) Álgebra Linear e Geometria Analítica 007/008 5 / 65 6 Factorizações LU e LDU Factorização LDU Obtém-se da factorização LU, decompondo a matriz U no produto de uma matriz D, com uma matriz que também se designa por U, onde: D é uma matriz m m diagonal cujos elementos da diagonal principal são os pivôs da eliminação de Gauss ou zero no caso de não haver pivô; U é uma matriz m n obtida após eliminação de Gauss, dividindo cada linha pelo respectivo pivô Exemplo A = LDU A = A = LU A = 0 5 0 0 0 5 {z } {z } L U 0 5 0 0 0 0 5 5 {z } {z } {z } L D U 5 0 0 0 5 (ESTV) Álgebra Linear e Geometria Analítica 007/008 5 / 65
6 Factorizações LU e LDU Factorização PA = LU ou PA = LDU A eliminação de Gauss de uma matriz A pode ser feita: sem troca de linhas factorização LU ou LDU de A com troca de linhas factorização LU ou LDU de PA Se A é uma matriz m n e U é a matriz em escada de linhas que resulta da eliminação de Gauss de A, ao longo da qual houve troca de linhas, então PA = LU onde P é a matriz m m de permutação correspondente às trocas de linhas A factorização PA = LU ou PA = LDU pode ser resumida pelos seguintes passos: Fazer a eliminação de Gauss à matriz A Determinar a matriz P que é igual ao produto à esquerda das matrizes P ij, à medida que forem aparecendo Calcular a matriz PA Fazer a eliminação de Gauss à matriz PA (sem trocar linhas) de modo a obter a factorização PA = LU ou PA = LDU (ESTV) Álgebra Linear e Geometria Analítica 007/008 55 / 65 6 Factorizações LU e LDU Exemplo A = P = P = 0 0 0 0 PA = 5 L L L L 5 PA = PA = LU PA = PA = LDU A = 0 0 0 0 0 0 0 5 L L L L 0 0 5 L 5 0 0 0 0 0 0 5 5 = 5 = U 0 0 0 {z } {z } L U 0 0 5 0 0 0 0 5 5 0 0 0 5 = U {z } {z } {z } L D U 5 5 (ESTV) Álgebra Linear e Geometria Analítica 007/008 56 / 65
7 Matrizes Simétricas, Hermíticas e Ortogonais Matriz simétrica e matriz anti-simétrica Seja A M n n (K), K = R ou K = C A diz-se simétrica se A t = A A diz-se anti-simétrica se A t = A Exemplos A = A = 5 5 7 0 5 0 5 0 Matriz simétrica Matriz anti-simétrica (ESTV) Álgebra Linear e Geometria Analítica 007/008 57 / 65 7 Matrizes Simétricas, Hermíticas e Ortogonais Propriedades da transposição de matrizes Sejam A M m n (K), K = R ou K = C, eα um escalar (A t ) t = A; (A + B) t = A t + B t ; (AB) t = B t A t ; (αa) t = αa t ; Se A é invertível, então A t é invertível, tendo-se (A ) t =(A t ) ; (A k ) t =(A t ) k (ESTV) Álgebra Linear e Geometria Analítica 007/008 58 / 65
7 Matrizes Simétricas, Hermíticas e Ortogonais Matriz conjugada Seja A M m n (C) A matriz conjugada de A =[a ij, do tipo m n, é dada por A =[a ij, onde a ij denota o conjugado de a ij Exemplo: A = i + i + i 0 0 + i 5i A = + i i i 0 0 i 5i (ESTV) Álgebra Linear e Geometria Analítica 007/008 59 / 65 7 Matrizes Simétricas, Hermíticas e Ortogonais Propriedades da conjugação de matrizes Sejam A M m n (C) e α C A = A; A + B = A + B; AB = A B; αa = αa; Se A é invertível, então A é invertível, tendo-se A = A ; A k = A k (ESTV) Álgebra Linear e Geometria Analítica 007/008 60 / 65
7 Matrizes Simétricas, Hermíticas e Ortogonais Matriz transconjugada Seja A M m n (C) A matriz transconjugada de A =[a ij, do tipo m n, é dada por A =[a ji, do tipo n m Notação: A = A H =(A) t = A t Exemplo: A = i + i + i 0 0 + i 5i A = i 0 + i i i 0 5i (ESTV) Álgebra Linear e Geometria Analítica 007/008 6 / 65 7 Matrizes Simétricas, Hermíticas e Ortogonais Propriedades da transconjugação de matrizes Sejam A M m n (C) e α C (A ) = A; (A + B) = A + B ; (AB) = B A ; (αa) = αa ; Se A é invertível, então A é invertível, tendo-se (A ) =(A ) ; (A k ) =(A ) k (ESTV) Álgebra Linear e Geometria Analítica 007/008 6 / 65
7 Matrizes Simétricas, Hermíticas e Ortogonais Matriz hermítica e matriz anti-hermítica Seja A M n n (C) A diz-se hermítica se A = A A diz-se anti-hermítica se A = A Exemplos A = A = i + i + i 6 i 0 0 + i + i 0 + i + i 0 Matriz hermítica Matriz anti-hermítica (ESTV) Álgebra Linear e Geometria Analítica 007/008 6 / 65 7 Matrizes Simétricas, Hermíticas e Ortogonais Matriz ortogonal Uma matriz A quadrada de ordem n diz-se ortogonal se AA t = I e A t A = I ou A for invertível e A t = A Exemplo: A = 0 0 0 0 (ESTV) Álgebra Linear e Geometria Analítica 007/008 6 / 65
7 Matrizes Simétricas, Hermíticas e Ortogonais Exercício (s) Determine os valores de a, b e c para os quais: a b + c a + b + c A = 5 a + c é simétrica 0 7 A = 0 a + bi bi + i 0 + i i + i c é anti-hermítica (ESTV) Álgebra Linear e Geometria Analítica 007/008 65 / 65