e: A HISTÓRIA E APLICAÇÃO DE UM NÚMERO

e: A HISTÓRIA E APLICAÇÃO DE UM NÚMERO Ismaete Maria de Sousa Cuha Uiversidade Católica de Brasília RESUMO Este trabalho é um estudo sobre o Número e, que mostra o seu surgimeto em três épocas distitas. A primeira a atiguidade que os matemáticos já coheciam esse úmero e sua utilidade. A seguda o século XVII com o surgimeto da costrução do logaritmo. E fialmete com a iveção do cálculo diferecial e itegral o século XVIII. O trabalho mostra algumas características iteressates desse úmero, como sua irracioalidade e algus eemplos com sua aplicação. Palavras-chave: História da Matemática, O Número Irracioal e.. INTRODUÇÃO Ao logo do curso de Liceciatura em Matemática, tem se otado que grade parte das disciplias ão eplora a História da Matemática, que é tão importate, porque uma breve oção da história pode fazer com que o aluo teha um melhor aproveitameto as disciplias, pois, com isso ele vai saber como surgiu determiado assuto e para que ele serve. Eistem vários motivos para isso, sedo que um deles o modo esotérico e seco com que o tema é esiado. Temos a pretesão de sobrecarregar ossos estudates com fórmulas, defiições, teoremas e demostrações, mas raramete mecioamos e evolução histórica desses fatos, deiado a impressão de que eles foram etregues á humaidade como os Dez Madametos, por alguma autoridade divia. A história da Matemática é uma boa maeira de corrigir essa impressão. (Maor,994). Este fato também acotece com o Número Irracioal e, pois, apredemos a utilizá-lo sem um embasameto teórico adequado, ou seja, sem ter um cohecimeto de sua origem e de sua aplicação. Isso pode iflueciar o desempeho do aluo, como também a visão do que é a Matemática e para que ela serve. Ele só aprede como utilizá-la, e isso ão é suficiete, porque tem que ser um cojuto, saber utilizar e para que serve determiado assuto. Há vários fatores que cotribuem para que isso acoteça. Um deles é que as disciplias têm muitos coteúdos para serem eplorados e, às vezes ão é possível fazer as aplicações, coisa que é tão essecial a Matemática. Um outro fator é a falta de eploração por parte dos livros (autores). Assim, este estudo pretede cotribuir para o embasameto teórico e aplicações do úmero e, preechedo as lacuas eistetes os livros, possibilitado ao aluo um melhor aproveitameto as disciplias que se utilizam desse úmero. Fazedo um estudo sobre Liceciada do Curso de Matemática da Uiversidade Católica de Brasília. E-mail: ismaete@pop.com.br

esse úmero, pesquisado sua origem e aplicação os vários ramos do cohecimeto. Eplicitado o grau de importâcia que represeta a Matemática. Mostrar a sua Irracioalidade, a sua abragêcia e suas propriedades os coteúdos que o evolve. Idicado aplicações em vários ramos da Matemática.. HÍSTÓRICO DO NÚMERO e.. O Surgimeto do e a Atiguidade As origes do e ão são tão claras, mas há idícios de que já era cohecido pelos matemáticos pelo meos meio século ates da iveção do cálculo. Uma eplicação é de que teria aparecido primeiro ligado a uma fórmula para o cálculo de juros compostos. Alguém ão se sabe quem ou como, deve ter otado que se um capital P é composto de vezes por ao, durate t aos, a uma taa aual de juros r e se permitirmos que aumete sem limites, a soma do diheiro S, obtida a partir da fórmula S = P ( + r/) t. O limite parece se aproimar de,78. Fato que, provavelmete mais uma observação eperimetal do que uma dedução matemática assombrou os matemáticos o iício do século XII, pois a oção de limite ão era cohecida. Eemplo: Para um determiado capital P de valor R$, for composto vezes por ao, durate um ao sobre uma taa de juros de % ao ao. No fial qual será a soma S sedo que aumete sem limites A Quadro ilustra algus resultados. Capital - P Nº de vezes - Tempo - t Juros - r Soma - S 45.688687 9.733346 35.788 8.776998 5.76575 35.746 45.759736 65.76388 65.7744596 465.7798866 565.78477 65.78545 65.7869 65.78938 65.789884 65.788997 Quadro Represetação de algus resultados da fórmula S = P ( + r/) t... Surgimeto do e o Logaritmo Joh Napier (55-67) foi um lorde escocês, homem muito culto e cohecedor das matemáticas da época. Evolveu-se a procura de um sistema que facilitasse a multiplicação de seos, mais tarde estedida a quaisquer úmeros. Esse trabalho estedeu-

se por mais de vite aos, ates de publicar seus resultados. Napier publicou sua obra em 64 o Mirifici Logarithmorum Caois Descriptio (Descrição da Maravilhosa Regra dos Logaritmos) que causou grade surpresa e etusiasmo, porque se tratava de técicas simplificadoras de resolução de problemas de cálculo umérico, problemas estes relacioados com o desevolvimeto do comércio e do progresso da avegação e pricipalmete astroomia. Para miimizar o uso das frações decimais, que ão era tão cohecida a época, Napier fez o que fazemos hoje quado dividimos um quilometro em mil metros, ele dividiu a uidade um grade úmero de subuidades, cosiderado cada uma como uma ova uidade. Napier chegou perto de descobrir o úmero /e defiido como limite de ( /) quado tete ao ifiito. A sua defiição de logaritmo equivale à equação N = 7 ( -7 ) L, etão o epoete L é o logaritmo de N. Se dividirmos N e L por 7, a equação se tora L 7 7 7 7 7. E 7 N 7 é um valor muito próimo de /e. A pricípio ele chamou seus ídices de potêcias Números Artificiais, mas, mais tarde fez a composição de duas palavras gregas: logos (ou razão) e arithmos (ou úmeros). A obra de Napier evolvia de forma ão eplícita o úmero que hoje se desiga por e. Napier ão se apercebeu da importâcia do Número e só um século depois, com o desevolvimeto do cálculo, se veio a recohecer o papel relevate de tal úmero..3. O Surgimeto do e o Cálculo Algus autores afirmam que o cálculo foi ivetado por Isaac Newto e por Gottfried Wilhelm Leibiz durate a década de 665-675, mas a idéia cetral por trás do cálculo retrocede até a época dos atigos gregos. Arquimedes de Siracusa teria sido um dos primeiros a usar o coceito de limite para cálculo de áreas e volumes de várias formas plaas e sólidas. A realização de Arquimedes foi um marco a história da matemática e ficou cohecido como o Método da Eaustão. O Método da Eaustão chegou muito perto do cálculo itegral. Os gregos, apesar de terem obtido cohecimeto ão chegaram a desevolver o cálculo porque ão tiham o coceito de ifiito e ão possuíam uma boa liguagem da álgebra. A idéia de ifiito para os gregos era cosiderada um tabu e por isso era difícil aceitar o fato de que uma soma ifiita de úmeros possa covergir para um úmero fiito, ou seja, para um limite. Defiimos e como o úmero para o qual l e =. E queremos mostrar o e como um limite de lim. Se f() = l, etão a derivada de f é dada por f () = /; logo f () =. Vamos aplicar a defiição de derivada para ecotrar f (). Temos que: f f f ' lim

Uma vez que f () =, obtemos De maeira que l lim l l lim l lim l l lim lim lim e Eemplo: A série de potêcias (.3.).! Para quais valores de é covergete Para série dada, u! (.3.) e u (.3.3).! Aplicado o teste da razão, u! lim lim. lim u! (.3.4). Logo, a série de potêcias dada é absolutamete covergete para todos os valores de. Agora vamos mostrar que para todos os valores reais de 3 e (.3.5).!! 3!! Teste da Razão: Seja u uma série ifiita dada para a qual todo u é ão-ulo. Etão, (i) se lim L,a série dada é absolutamete covergete; u u u u u (ii) se lim L ou se lim, a série dada é divergete; u (iii) se lim, ehuma coclusão quato à covergêcia pode ser tirada do teste. u u

Como foi mostrado a série de potêcias é absolutamete covergete para todos os! valores de. Assim, se f for um fução defiida por f() = (.3.6)! o domíio de f será o cojuto de todos os úmeros reais; isto é, o itervalo de covergêcia será (-, + ). Do Teorema (o teorema e a demostração está em aeo), segue que para todos os valores reais de temos f ' (.3.7).! Uma vez que, isso pode ser escrito como:!! f ' f ' (.3.8).!! Das igualdades (.3.8) e (.3.7), f () = f() para todos os valores reais de. Assim sedo, a fução f satisfaz a equação diferecial 3 dy y (.3.9) d a qual, pelo Teorema (o teorema e a demostração está em aeo), tem como solução geral y = Ce. Logo para alguma costate C, f() = Ce. De (.3.7), f() =. Portato, C = ; assim, f() = e. 3. NOMENCLATURA Este úmero é deotado por e em homeagem ao matemático suíço Leohard Euler (77-783), um dos primeiros a estudar as propriedades desse úmero. A paião de Euler pela matemática era tão forte que o levava, em um úico dia, a escrever vários trabalhos com uma matemática iovadora e egehosa, levado-o a uma de suas maiores realizações que foi o desevolvimeto do método dos algoritmos cuja fialidade era lidar com problemas aparetemete isolúveis. Suas cojeturas são ousadas, ão hesitado em sugerir questões difíceis, sem apresetar, porém, idicações quato ao meio de atacá-las. De 77 a 783 Euler esteve ocupado aumetado os cohecimetos dispoíveis em quase todos os ramos da matemática pura e aplicada, dos mais elemetares aos mais avaçados. Escrevia a liguagem e otação que usamos hoje, pois ehum outro foi tão grademete resposável pela forma da matemática do ível uiversitário de hoje quato Euler, o costruidor de otações mais bem-sucedido em todos os tempos. Em 77 ele havia estado ocupado com eperiêcias sobre disparo de cahões e uma eposição mauscrita de seus resultados, usava a letra e mais de uma dúzia de vezes para represetar a base do sistema de logaritmos aturais. O coceito por trás desse úmero era 3 Equação Diferecial é uma equação que relacioa uma fução e suas derivadas

bem cohecido desde a iveção dos logaritmos. Um século ates, o etato, ehuma otação padroizada para ele se torou comum. Numa carta a Goldbach, em 73 Euler ovamete usou a letra e para aquele úmero cujo logaritmo hiperbólico =. Este apareceu impresso pela primeira vez a Mechaica de Euler de 736. Essa otação, sugerida talvez pela primeira letra da palavra epoecial, logo se torou padrão. 4. O NÚMERO e É IRRACIONAL Os Números Irracioais são aqueles que ão se pode epressar como fração de úmeros iteiros, cuja represetação decimal é sempre ifiita e ão-periódica, que pode ser obtida por aproimações sucessivas. Eemplo: O úmero irracioal logo,4,5 logo,4, 5,4,44,44,4 logo,4, 4,45 logo,44, 45,443 logo,44, 443 e assim por diate. Ates de demostrar que e é irracioal é ecessário rever algus coceitos. A seqüêcia cujo termo geral é a!!! (4.) é crescete e limitada, pois a! 3 (4.). Cosideremos a seqüêcia cujo termo geral é b = ( + /) = [( +)/]. Pela fórmula do biômio:. b!!.! 3!! (4.3) Logo b é uma soma de parcelas positivas, o úmero de parcelas cresce com. Portato a seqüêcia (b ) é crescete e b < a. Segue-se que b < 3 para todo N. Afirma-se que lim b = lim a = e, quado > p vale b p.!! p (4.4) Fiado arbitrariamete p N e fazedo a desigualdade acima obtem-se lim b! p! a p. (4.5).

Como esta desigualdade vale para todo p N, segue-se que lim b lim a e. p p Mas já vimos que b < a para todo N. Logo lim b lim a. O que prova que lim b = e. Escreveremos e = lim b, esse úmero é uma das costates mais importates da Aálise Matemática. E está o itervalo de < e 3, o dado a seguir mostra valor epresso com 4 dígitos: e, 7888845945353687473566497757 4.. Demostração da Irracioalidade do e: Gráfico - Represetação gráfica da fução f para > Cosiderado o úmero e como a soma de uma seqüêcia ifiita de termos, temos: e (4.6).!! Vamos admitir que e fosse um úmero racioal. Etão e = p/q, ode p, q N, são primos etre si. De (4.6) segue-se p. (4.7). q!! q! j q j! Agora, faremos uma estimativa do segudo membro de (4.7):.!!! (4.8). j q j q q q q q q q A epressão etre parêtese o último membro de (4.8) é uma série geométrica da forma r, a qual para r, tem soma igual a r/( r). Usado esse fato em (4.8) obtemos: j q j! q! q (4.9).

Voltado a (4.7) com a estimativa (4.9) temos: p (4.) q!! q! q! q e daí p q!. (4.). q!! q! q Agora, observe (4.). O termo do meio é iteiro, pois q! cacela todos os deomiadores das frações aí presetes. Mas isso é impossível, pois sedo /q a epressão (4.) diria que o termo médio é um iteiro positivo estritamete meor que. O absurdo provém da hipótese feita iicialmete que e fosse um úmero racioal. Logo e é irracioal. 5. O NÚMERO e É TRANSCENDENTE A solução da equação poliomial da forma a + a - - +... + a + a =, ode os coeficietes a i com i =,,..., são racioais. Essas soluções são chamadas de úmeros algébricos. Eemplos: a) Toda equação da forma q p =, ode p e q são racioais tem como solução = p/q que é um úmero algébrico. b) A solução da equação tem como solução os úmeros algébricos ±. Os Números Trascedetes são aqueles que ão podem ser raízes de poliômios de coeficietes racioais, ou seja, os úmeros que ão são algébricos são chamados de trascedetal, um termo cuhado por Euler para descrever úmeros como o e e p, que pareciam trasceder (ir além) os métodos algébricos. Em cotraste com os Números Irracioais, cuja descoberta surgiu de um problema a geometria, os primeiros úmeros trascedetais, foram criados com o objetivo de mostrar que tais úmeros eistiam. Quado este objetivo foi alcaçado, a ateção se voltou para o e e p, que já eram cohecidos e já tiham demostrado sua irracioalidade. Joha Heirich Lambert (78 777) provou que e ão pode ser solução de uma equação quadrática com coeficietes iteiros, o que ão foi suficiete para mostrar que era trascedete, ou seja, provar que e ão é solução de ehuma equação poliomial com coeficietes racioais. A trascedêcia do e foi mostrada por Charles Hermite (8-9), que foi publicada em 873 em um esaio de mais de trita págias. A Trascedêcia de e foi um desafio aos matemáticos até o século XIX. Em 873, o matemático fracês C. Hermite marcou época ao demostrar a trascedêcia de e, em uma série de otas publicadas o Comptes Redus de Académie des Scieces de Paris. A demostração origial de Hermite sofreu simplificações sucessivas por matemáticos famosos como Jorda (88), Markhoff (883), Rouché (883), Weierstrass (885), Hilbert (893). Hurwitz (893) e Veble (94), etre outros. (Figueiredo, ) A demostração da Trascedêcia do úmero e ão é fácil e evolve vários coceitos do Cálculo e da Álgebra Modera. Ela está como sugestão de eercícios o livro Números

Irracioais e Trascedetes (Djairo Guedes de Figueiredo p. 9). E a demostração completa está o livro Álgebra Modera (Herstei p. 7) que evolve vários teoremas, e coteúdos que está fora do alcace deste trabalho. Deio como sugestão para próimos trabalhos uma pesquisa especifica sobre a Trascedêcia do Número e. 6. ALGUMAS APLICAÇÕES O úmero e aparece a resolução de equações em que as icógitas aparecem em epoete. É importate em quase todas as áreas do cohecimeto: ecoomia, egeharia, biologia, sociologia. Uma aplicação em Juro composto: Se P reais são depositados em uma cota com uma taa aual de juro de r (em forma decimal), qual é o motate ao térmio de um ao A resposta depede do úmero de r vezes que o juro é composto, de acordo com a fórmula A, ode é o úmero de composições por ao. A tabela abaio dá o motate para um depósito de R$, a 8%, para vários períodos de composição. Freqüêcia da composição por ao, Saldo (reais), A,8 Aualmete, = A P R$8,,8 Semestralmete, = A P R$8, 6 Trimestralmete, = 4,8 A P 4 4 R$8,43 Mesalmete, = Diariamete, = 365,8 A P 365,8 A P 365 R$83, R$83,8 Quadro Represetação de algus resultados da fórmula A = P( + /). Pode parecer estraho que, quado aumeta, o motate A teda para um limite, coforme idicado o desevolvimeto a seguir. Nele, façamos = r/. Etão, quado, e temos:

r r lim r Pe. r r r Substituir A lim P Plim P r/ por Este limite é o motate após um ao de composição cotíua. Assim, para um depósito de R$, a 8%, composto cotiuamete, o motate ao fim do ao seria A = e,8 83,9. Determiação do Motate de uma Cota Uma pessoa está criado um fudo para o filho recém-ascido. Para isso, deposita R$5., em uma cota, que só deve ser liberada quado o filho completar 8 aos. Compare os saldos os seguites casos. a) 6%, composto cotiuamete Como a fórmula do composto cotiuamete é,6 8 A 5.e rt A Pe, temos: R$73.66,99 b) 6%, composto trimestralmete Como o composto vezes por ao é t r A P, temos: 8.6 A 5. 4 4 R$477.63,6 c) %, composto cotiuamete rt Como a fórmula do composto cotiuamete é A Pe, temos:,8 A 5.e R$5.4,87 d) %, composto trimestralmete Como o composto vezes por ao é t r A P, temos: Com os resultados obtidos, percebemos que há uma difereça grade etre os motates (A) a 6% e a %. Lei do Crescimeto e Decaimeto Epoecial Se y é uma gradeza cuja taa de variação em relação ao tempo é proporcioal à kt quatidade presete em um istate arbitrário t, etão y é da forma y Ce, ode C é o valor iicial e k é a costate de proporcioalidade. O crescimeto epoecial é idicado por k >, e o decaimeto epoecial por k <. Demostração: Como a taa de variação de y é proporcioal a y, podemos escrever 4 8. A 5. R$47.93,7 4

dy dt ky Vê-se que kt y Ce é uma solução desta equação; difereciado para obter kt kt e fazedo a substituição temos que: kce h Ce ky dy dt. dy dt kt kce Um modelo de Crescimeto Populacioal Numa pesquisa, uma população de determiado iseto está crescedo de acordo com a lei de crescimeto epoecial. Após 3 dias, há isetos, e após 6 dias, há 5 isetos. Quatos isetos haverá após 8 dias kt Como a fórmula do Crescimeto Epoecial é y Ce, quado k >, ode t é o tempo, y uma gradeza de taa de variação em relação ao tempo, C é o valor iicial e k é a costate de proporcioalidade. Sabemos que y = quado t = 3 e y = 6 quado t = 6. Levado os dados o modelo kt y Ce, vem: Ce 3k e 6 Ce 6k. Par resolver em relação à k, resolvemos primeiro em relação a C a primeira equação, levado resultado a seguda equação. Ce e Como k l 3, 5493, obtemos C 38, 497. Assim, o modelo de,5493 e 3,5493t crescimeto epoecial é y 38,497e. Isto implica que, após 8 dias, a população é Aalisado uma Cateária 6 C 3k e l 3 k 6 Ce 8,5493 y 38,497e 3. isetos. Quado um fio telefôico é distedido etre dois postes, toma a forma de uma curva em U chamada Cateária é dada pela fução: y m e e, m m (m é a massa e é a distâcia)., 3 3é o modelo de um fio telefôico distedido etre dois postes separados por uma distâcia de 6 metros (y e em metros). Mostre que o poto mais baio o fio está a meio camiho etre os dois postes. Quado o fio cai etre os dois postes 6 6 Por eemplo, a fução: y 3 e e 3k k l 3 6 6 6 6 A derivada da fução é y' 3 e e e e. 6 6 Para achar os potos críticos, igualamos à derivada a zero. 6k k 6 e 3k e 6k

6 e 6 e igualar a derivada a zero 6 6 e e multiplicar ambos os membros por 6 e 6 e 6 somar e a ambos os membros a b se e e, etão a = b 6 6 = - multiplicar ambos os membros por 6 = somar a ambos os membros = dividir ambos os membros por Para determia quato o fio cai etre os dois postes, comparamos sua altura em cada poste com a altura o poto médio. e 3 6 3 6 e 67, metros 6 6 y 3 7 e e metros e 3 6 3 6 e 67, metros y 3 6 y 3 7 Logo, o fio cai cerca de 7,7 metros. 7. CONSIDARAÇÕES FINAIS altura o poste esquerdo altura o poto médio altura o poste direito O objetivo deste trabalho foi alcaçado mostrado de forma clara e precisa sobre o Número e, sua eistêcia e sua aplicação. O mais importate deste trabalho foi a apredizagem cietífica de como coletar iformações em vários livros e depois por os assutos em forma croológica e de fácil etedimeto. Elaborar um trabalho desse ível requer muitas horas de pesquisa, mas valeu apeas. Quado me decidi pelo assuto sabia que ão seria fácil, porque eu ão cohecia praticamete ada sobre ele, vim saber que ele eistia e apreder apeas a utilizá-lo a uiversidade. Não sabia em o que era um Número Trascedete. Quado pesquisava sobre o assuto fui preechedo algumas lacuas que ficaram durate o decorrer do curso. Na realização deste percebi o quato é importate ates de esiar algum coteúdo, seja ele qual for, a oção de história, pois é através dela que temos a oção do quato é importate apreder e saber utilizar o que está sedo esiado. O que fiz foi apeas o começo, o poto de partida para ovas pesquisas. Espero que este se tore um poto de apoio para ovos trabalhos sobre esse úmero que é tão fasciate. REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS IEZZI, Gelso; DOLCE, Osvaldo; MURAKAMI, Carlos. Fudametos de Matemática Elemetar: Logaritmos. São Paulo: Atual Editora, 8ª edição, 993. MAOR, Eli. e: A História de um Número. Tradução: Jorge Calife. Rio de Jaeiro: Editora Record, 3. FIGUEIREDO, Djairo Guedes de. Números Irracioais e Trascedetes. Rio de Jaeiro: Sociedade Brasileira de Matemática SBM, 3ª edição,. GIOVANNI, José Ruy; BONJORNO, José Roberto. Matemática Um: Cojutos, Fuções e Trigoometria. São Paulo: FDT, 99. LEYHOLD, Louis. O Cálculo com Geometria Aalítica Um. Tradução: Cyro de Carvalho Patarra. São Paulo: Editora Harbra Ltda, 3ª edição, 994. LEYHOLD, Louis. O Cálculo com Geometria Aalítica Dois. Tradução: Cyro de Carvalho Patarra. São Paulo: Editora Harbra Ltda, 3ª edição, 994.

LIMA, Elo Lages. Aálise Real, Volume. Istituto Nacioal de Matemática Pura e Aplicada IMPA: Rio de Jaeiro, 7ª edição, 4. BOYER, Carl B.. História da Matemática. Tradução: Elza F. Gomide. São Paulo: Editora Edgard Blücher Ltda, ª edição, 996. LARSON, Rolad E.; HOSTETLER, Robert P.; EDWARDS, Bruce H.. Cálculo com Aplicações. Tradução: Alfredo Alves de Farias. Rio de Jaeiro: LTC, 4ª edição,998. THOMAS, George B.; FINNEY, Ross L.;WEIR, Maurice D.; GIORDANO, Frak R.. Cálculo, Volume. Tradução: Paulo Boschcov. São Paulo: Addiso Wesley, ª edição,3. LANG, Serge. Estruturas Algébricas. Rio de Jaeiro: Ao Livro Técico S.A. 97. HERSTEIN, I. N.. Álgebra Modera. Méico: Editora F. Trillas S.A., 97. WHITE, A. J.. Aálise Real: uma Itrodução. Tradução: Elza F. Gomide. São Paulo: Edgar Blücher, 973. Joh Napier. Dispoível em: <http://www.educ.fc.ul.pt/icm/icm99/icm7/apier.htm >acesso em: 4 de ovembro de 4. Fução Epoecial. Dispoível em: <http://pessoal.sercomtel.com.br/matemática/médio/epolog/espoec.htm> acesso em: 4 de ovembro de 4. Fução Epoecial. Dispoível em: <http://www.epoete.com.br/professores/kalike/estudo/epoeciais.htm> acesso em: 4 de ovembro de 4. Euler. Dispoível em:<http://users.hotlik.com.br/marielli/matematica/geiomat/euler.htm> acesso em: 4 de ovembro de 4. A História do Número Trascedetal. Dispoível em:<http://www.umote.br/ews/56.asp >acesso em: 6 de ovembro de 4. Algus são mais irracioais que outros... Dispoível em: < http://www.educ.fc.ul.pt/icm/icm99/icm7/categori.htm >acesso em: 6 de ovembro de 4. Números irracioais. Dispoível em: < http://www.educ.fc.ul.pt/icm/icm99/icm7/umirro.htm> acesso em: 6 de ovembro de 4. O Número e (Número de Neper). Dispoível em: < http://www.educ.fc.ul.pt/icm/icm99/icm7/umeroe.htm> acesso em: 6 de ovembro de 4.

ANEXO

Teorema : Seja c uma série de potêcias cujo raio de covergêcia é R >. Etão, se f for a fução defiida por f() = c f () eistirá para todo o itervalo aberto (- R, + R), sedo dada por f () = c Demostração: Seja qualquer úmero o itervalo aberto (-R, R). Etão < R. Selecioamos um úmero tal que < < R. Como < R, c é covergete. Logo, lim c. Assim, se tomarmos =, eistirá um úmero N >, tal que se > N, etão c. Seja M o maior dos úmeros c c, c,, c N, N. Etão c M para todo iteiro positivo (3.). Agora c c c... De (3.) e da equação aterior M c (3.). M Se o teste da razão for aplicado à série etão lim u lim. lim, 3 (3.3) u. Assim sedo, a série (3.3) é absolutamete covergete; logo de (3.) e do teste da comparação, segue que a série c também é absolutamete covergete. Como é qualquer úmero em (-R, R), segue que se o raio de covergêcia de c for R, etão R R. Para complemetar a demostração precisamos mostrar que R ão pode ser maior do que R. Vamos supor que R > R e seja um úmero tal que R < < R. Como > R segue que c é divergete (3.4). Como > R, segue que c c c e assim, do teorema 3, for qualquer iteiro positivo, é absolutamete covergete. Além disso, c c c c (3.5) será covergete se. Dessa desigualdade, da afirmação (3.5) e do teste de comparação, segue que c é covergete. Logo, a

série c é covergete, o que cotradiz o resultado (3.4). Assim sedo, a hipótese de que R > R é falsa. Logo, R ão pode ser maior do que R; e como foi mostrado que R R., segue que R = R, o que prova o teorema. Teorema : Supoha que y seja uma fução cotíua de t com y > para todo t. Além disso, dy ky ode k é uma costate e y = y quado t =. Etão y = y e kt. d Demostração: Se o tempo for represetado por t uidades e se y uidade represetar o dy total da quatidade presete em qualquer istate, etão ky ode k é uma costate e d y > para todo t. Se y cresce com o aumeto de t, etão k > e temos a lei de crescimeto atural. Se y decresce quado t aumeta etão k < e temos a lei do decaimeto atural. Se por defiição y for um iteiro positivo, vamos supor que y possa ser um úmero real qualquer para que y seja uma fução cotiua de t. Vamos supor um modelo matemático evolvedo a lei de crescimeto ou decaimeto atural e a codição dy iicial de que y = y quado t =. A equação diferecial é ky. Separado as d dy variáveis, obtemos kdt. Itegrado, teremos y dy kt c c kt k dt l y kt c y e y e. e y. Tomado e c kt = C temos y Ce, kt e como y é positivo, podemos omitir as barras de valor absoluto, restado assim y Ce. Como y = y quado t =, obtemos C = y. Etão, y = y e kt. Teorema 3: Seja c uma costate ão-ula. (i) Se a série u for covergete e sua soma for S, etão a série cu também será covergete e sua soma será c. S. (ii) Se a série u for divergete, etão a série cu também será divergete. Demostração: Seja S a -ésima soma parcial da série A -ésima soma parcial da série u for covergete, etão eiste o Assim sedo, a u. Etão, S = u + u +... + u. cu é c(u + u +... + u ) = c S. Prova de (i): Se a série lim s e será S. Logo, lim cs c lim s c.s. cu é covergete e sua soma é c.s. Prova de (ii) Se a série u for

divergete, etão ão eistirá lim s. Supoha que a série cu seja covergete. Etão lim cs eiste. Como s = cs /c, segue que lim s deve eistir, o que é uma cotradição. Portato, a série lim s lim cs lim c c cs cu é divergete.. Logo, Teste da Comparação: Seja (i) Se u uma série de termos positivos. v for uma série de termos positivos que sabemos ser covergetes e se para todo iteiro positivo, etão u será covergete. u v (ii) Se w for uma série de termos positivos que sabemos ser divergetes e se para todo iteiro positivo, etão u será divergete. u w