Cpitulo - Niveleto. Objetivo Este cpítulo foi itroduzido est postil co o objetivo de proover o iveleto de lgus luos que teh dificulddes e álgebr. Portto, o luo que ão sete dificuldde est áre d teátic está dispesdo de estudá-lo. É bo lebrr que igué está dispesdo do uso d teátic o seu di--di, qulquer que sej su áre de tução. Iroicete, os que is sofre co teátic são justete queles que ch que ão vão precisr del, e fução dos crgos que exerce. Portto, preder u íio de teátic, pode sigificr eos dores de cbeç o seu di--di. Este cpítulo irá trtr de lgus ssutos que são siples, s ecessários. Cso o luo ecessite de is bse pr preder os ssutos seguites, é ecessário que busque co urgêci uls prticulres, equto os estudos estão pes o coeço.. Frções As frções são u outr for de se represetre s divisões, ou sej, trvés do uso dels pode-se idicr e quts prtes o iteiro foi dividido, e desss prtes, o quto lgué recebeu, vedeu, deu, etc. A tbel bixo ostr lgus exeplos de frção. Frção O iteiro foi dividido e... Algué recebeu, vedeu,... / prtes prtes 7/ prtes 7 prtes /6 6 prtes prtes 7/6 6 prtes 7 prtes / prtes prtes Observção: os dois últios exeplos prece estrhos porque qutidde de prtes qul o iteiro foi dividido é eor do que o quto foi recebido (ou vedido,...). Coo se explic tis frções? Pese u pouco! U frção é copost de dois teros, o uerdor e o deoidor, que são equivletes o dividedo e divisor, respectivete, u operção de divisão, coo ostr o esque bixo: uerdor deoidor divisor 0,7 quociete dividedo
Mecâic Básic Aplicd U exeplo prático de frção ecotr-se etrologi, is especificete, o siste de edids iglês e que u polegd é dividid e 6 prtes. Assi, eor edid d polegd é de /6. O siste étrico possui coo eor edid o ilíetro. Este, por su vez, é déci prte do cetíetro. Isto é, u cetíetro é dividido e 0 prtes. E cd prte correspode u ilíetro. Est é u ds vtges do siste étrico, pois cd uidde de edid é subdividid e 0 prtes, e ssi por dite, cd ov uidde de edid eor. Sugestão: pegue u régu, tre ou fit étric e lise s eores divisões e vej o quto els correspode e relção à ior divisão is iedit. Por trtr-se de u divisão, u frção, quto ior o deoidor, eor será o vlor que el represet. Exercício : Lei s edids bixo e frções de cetíetro e e : Exercício : Lei s edids bixo e frções de polegd: Cetro Federl de Educção Tecológic do Espírito Sto
Cpitulo - Niveleto Exercício : Clcule s frções bixo: ) U bolo cust R$ 0,00, quto cust ¾ dele? b) Qutos litros equivle ¼ de u cix d águ de 000 litros? c) c correspode que frção de u etro? d) correspode que frção de u etro? e) 00 correspode que frção de u kilôetro?.. Redução de frções As frções pode coter e seus teros, uerdor e deoidor, vlores que possue divisores cous, de tl odo que els poss ser siplificds. U vez que els sofrere sucessivs siplificções, poto de cotere e seus teros pes úeros prios etre si, etão, els são dits irredutíveis. A tbel bixo ostr lgus frções sus fors irredutíveis. Frção Divisores cous For irredutível 9 : : 6 6 6: 6: 9 0 6 9 e 0 : 9 6 : 9 : : Observção: tto o uerdor quto o deoidor d frção são divididos pelo eso úero, coo por exeplo, prieir frção cujos teros são divididos por três. Est operção ão fet o vlor d frção porque isso equivle dividi-l por, que é o eleeto eutro tto d ultiplicção quto d divisão. Deste odo, 9/ ou / represet o eso úero, poré de eirs diferetes. Observção: etrologi, qudo os úeros são expressos o siste iglês, utiliz-se frções de polegd, poré for reduzid d frção. Por exeplo, Cetro Federl de Educção Tecológic do Espírito Sto
Mecâic Básic Aplicd Você já viu lgu chve 6/6? E u chve /? N verdde, s dus frções ci represet o eso úero, sedo que últi é for reduzid d prieir. E lgus csos, qudo os úeros são uito grdes, é iportte ftorr tto o uerdo quto o deoidor pr sber se eles possue divisores cous, e ssi reduzir frção. Exercício : Reduz s frções bixo: ) b) c) 0 d) 6 e) 0 f) 6 g) 9.. Frções Mists As frções ists são fors de represetr vlores frcioários iores que o iteiro. Por exeplo, lgus tubos de revestieto de poço de petróleo possue diâetros de sete polegds e ei, ou de doze polegds e três oitvos. Ests frções são represets do seguite odo: 7 ou 7 ou id 7 As frções ists são represetds por u prte iteir e u prte frcioári. Els pode ser covertids su for ordiári, e d ordiári pr ist. Por exeplo, ( 7 ) + 9 7. Pr trsforr frção ist e frção ordiári: ultiplic-se prte iteir pelo deoidor d frção e so-se o resultdo d ultiplicção co o uerdor d frção. Este resultdo é dividido pelo deoidor d frção. A rzão deste procedieto é siples porque 7 iteiros são iguis 6/, que diciodos / result e 9/. Pr coverter u frção ordiári e ist, reliz-se os esos pssos, poré e orde ivers, ou sej, divide-se o uerdor pelo deoidor; o quociete dest divisão represetrá prte iteir, o resto represetrá o uerdor e o divisor será o deoidor d prte frcioári. Por exeplo: Cetro Federl de Educção Tecológic do Espírito Sto
Cpitulo - Niveleto 9-6 divisor 7 quociete Resto A frção ist será: 7 Percebe-se o exeplo terior represet u úero ior que o iteiro porque o uerdor é ior que o deoidor. Exercício : Covert s frções ordiáris e ist e vice-vers: ) b) 7 c) d) 7 e).. Adição e subtrção Pr se coseguir sor ou subtrir frções é fudetl que els estej represetds de tl for que possu o eso deoidor. Por exeplo, coo se pode sor / co /? Neste cso, fz-se ecessário, ecotrr eor úero que sej últiplo cou dos deoidores ds frções e questão. Ou sej, deve-se ecotrr o MMC (Míio Múltiplo Cou) dos deoidores. O cálculo do MMC cosiste e ftorr os úeros e questão e ficr co os ftores cous de iores expoetes e os ão cous. O cálculo do MDC (Máxio Divisor Cou), por su vez, cosiste e ftorr queles úeros e ficr co os ftores cous de eores expoetes. Exeplo : qul o MMC e o MDC etre 6 e 60? O prieiro psso cosiste e ftorr os úeros 6 e 60, coo ostr tbel bixo. Núero Ftores Núero Ftores 6 60 6 0 90 7 7 7 Cetro Federl de Educção Tecológic do Espírito Sto
Mecâic Básic Aplicd Assi, 6 7 e 60 Portto, pel defiição terior, o MMC etre 6 e 60 é 7 0. Portto, pel defiição terior, o MDC etre 6 e 60 é. Exeplo : Clculr 7 + 6 9 60 Pr resolver ess so, é ecessário clculr o MMC etre 6 e 60. Aproveitdo o resultdo terior, escreve-se s frções de tl for que teh o eso deoidor. Repre que 0 6 0. Se prieir frção o deoidor foi ultiplicdo por 0, logo, o seu uerdor tbé será ultiplicdo por 0. Por outro ldo, 0 60 7, ou sej, o deoidor d segud frção foi ultiplicdo por 7, portto, o seu uerdor tbé será ultiplicdo por 7. Ests operções estão deostrds s equções bixo: 7 0 97 + 0 0 0 0 + 0 7 0 Coo 7 é u úero prio, portto ão te coo siplificr is o resultdo ci. Portto, quele resultdo já é for reduzid d frção. Você sbe o que é u úero prio, e o que são úeros prios etre si? Exercício 6: Clcule s frções bixo, escrevedo-s for reduzid: ) 7 7 + b) c) + + d) 6 6 0 0 0 0 e) 0 0 +.. Multiplicção de frções A ultiplicção de frções é is siples ds operções que se pode relizr co frções, pois bst ultiplicr uerdor de u co o uerdor d outr e o deoidor de u co o deoidor d outr. Exeplo : 6 Observção: ultiplicção ci foi tod coo exeplo pel su siplicidde, pois se sbe que,, e que,, ssi coo. Reduzido equção ci obté-se: Cetro Federl de Educção Tecológic do Espírito Sto 6
Cpitulo - Niveleto 6 : : Exercício 7: Efetue s ultiplicções bixo: ) 0 b) 7 c) d) 6 e) Exercício : Efetue s ultiplicções bixo: ) 0 00 b) 7 7 7 c) 600 7 7 0 d) 6 7 Observção: pr resolver os produtos ci é is produtivo ftorr os teros de cd frção, e, e seguid ir siplificdo seus teros. Outr solução é dividir u úero qulquer do uerdor por, e, e seguid u outro uero qulquer do deoidor por. Equto sobrre úeros pres os uerdores e deoidores repit este psso. E seguid verific se há teros os uerdores e deoidores que sej divisíveis por. Depois repete-se estes pssos pr, 7,, etc, té que se obteh for reduzid d frção. Exeplo : clculr 0 00 Dividido por : 00 : 0 : 0 Aid sobrr úeros pres os uerdores e deoidores, portto, divide-se ovete por. Assi, : 0 : 0 Repre que há u úero pr o uerdor, s ão o deoidor, portto, ão se divide equção ci por. O próxio psso é verificr se há úero divisíveis por o uerdor e o deoidor o eso tepo. No uerdor ão há úeros divisíveis por. Portto, deve-se verificr se há úeros divisíveis por. dividido os uerdores e deoidores por, obté-se: : 0 : Repre que id há úeros divisíveis por. os uerdores e deoidores, portto, repete-se operção. Assi, : 0 : 0 0 Cetro Federl de Educção Tecológic do Espírito Sto 7
Mecâic Básic Aplicd Novete, id há úeros divisíveis por. Pr siplificr os pssos, dividese tbé s frções por, ou sej, : : 0 : : Este critério de ultiplicção é uito siples, s deve se ter cuiddo pr ão se fzer cálculo errdo!!! Este critério, lé de siples, é iportte, porque os cocursos públicos ou privdos ão se us clculdor, e uito eos celulr!!!.. Divisão de frções Pr se dividir u frção por outr, procede-se ultiplicdo prieir pel segud ivertid. Qul rzão deste procedieto? E prieiro lugr, é iportte lebrr que divisão é o iverso d ultiplicção. Por outro ldo, o se iverter segud frção, ivertedo-se tbé operção (de divisão pr ultiplicção), equção ão se lter. Respod: o que sigific o iverso do iverso? Exeplo : clcule : 0 Coo explicdo teriorete, : 0 0 0 0 6 6 Exercício 9: Clcule s divisões bixo siplificdo s frções sepre que possível: ) 6 : 7 b) 0 00 : 7 7 c) 9 : d) e) + f) 0 Cetro Federl de Educção Tecológic do Espírito Sto
Cpitulo - Niveleto. Frções e Grdezs Físics Muits grdezs d físic que são usds o osso di--di são defiids por frções, coo por exeplo: velocidde que é express e k/h, /s ou /i; pressão que é express e kgf/c ou N/ ou id lbf/pol ; vzão que é express e /h, /s ou l/h, etc. Portto, o se trsforr u grdez físic de u uidde pr outr, trblh-se operdo frções, or ultiplicdo-s, or dividido-s. Por exeplo, trsfore-se 0/s e k/h. Ou sej, 0/s são qutos k/h? Sbe-se que: k000 e h600s. Etretto, o que se quer é trsforr e k e segudo e hor. Etão, se E se Assi, k 000 h 600 k 0 0 000 s h 600 k 000 k 000 Pel regr d divisão de frções, iverte-se segud frção, ultiplicdo- pel prieir. Ou sej, k 600 0 0 0 s 000 h s k 7 h Exercício 0: Coverter s grdezs bixo e outrs uiddes de edid: ) /s e k/h b) k/h e /s c) 0kgf/c e kgf/ d) 0kgf/c e N/ e) /s e /h f) /s e /h Ddos: 000 kgf0n c 00 0000c Ode: - Litro Kgf Kilogr-forç N - Newto Cetro Federl de Educção Tecológic do Espírito Sto 9
Mecâic Básic Aplicd. Núeros deciis Os úeros deciis correspode o cojuto dos úeros reis, ou sej, o cojuto de tudo quilo que pode ser ecotrdo turez. É u clsse de úeros is coplex, porque serve pr cotr ou edir coiss ou objetos que pode ser iores ou eores que u iteiro, e u pouco is coplexo que do que s frções, porque dão u ior precisão o que se edir ou cotr. À edid que o hoe foi evoluido, evoluír tbé os cojutos uéricos. Por exeplo, pr cotr qutidde de peçs produzids por u idústri durte u di, utiliz-se os úeros Nturis, fil de cots, ão existe ei peç. Ms pr u coercite que desej veder frções de u queijo ou de u bolo, ele fz uso dos úeros Rciois (que são s frções estudds teriorete). Ou sej, ele pode dividir u peç e vários pedços e veder cd pedço seprdete. Assi cd pedço é u frção dquele iteiro. E pr edir coprieto e diâetro de peçs? Os úeros deciis, por su vez, represet u espécie de frção e que u iteiro pode ser divido e 0, 00 ou 000 prtes, e ssi por dite. Por exeplo, Medid Ao ser divido e Cd prte é etro 00 prtes cetíetro etro.000 prtes ilíetro kilôetro.000 prtes etro kilôetro.000.000 ilíetro O que sigific u peç edir,? Respost: sigific que peç é ior que u etro, e que o istrueto de edição cosegue edir té u cetésio de etro. Neste cso for edidos cetésios lé de u etro, correspodete à porção restte d peç. Cetro Federl de Educção Tecológic do Espírito Sto 0
Cpitulo - Niveleto O que sigific u peç edir,? Respost: sigific que peç é ior que u etro, e que o istrueto de edição cosegue edir té u ilésio de etro. Neste cso for edidos ilésios lé de u etro, correspodete à porção restte d peç. NOTA: o úero de css deciis, ou sej, o úero de lgrisos depois d vírgul, sigific e quts prtes o iteiro foi dividido. Logo, quto is css deciis possuir u edid, elhor será su precisão. Assi,, é u vlor is preciso que,. N tbel bixo ecotr-se lgus edids, sus leiturs e sus fors frcioáris. Repre que todos os vlores são be próxios us dos outros. O que ud é precisão de cd leitur. Vlor Css deciis Prte decil, décios, cetésios,7 7 ilésios,7,7,7 6 7 décios de 7 ilésio 0. 000 7 7 cetésios de ilésio 00. 000 7 7 ilioésios 000. 000 For frcioári Leitur 0 iteiros e décios iteiros e cetésios 00 7 iteiros e 7 ilésios 000 iteiros e 7 décios de ilésio iteiros e 7 cetésios de ilésio iteiros e 7 ilioésios Alisdo-se s prtes deciis de cd edid ci, percebe-se que os vlores são uito próxios etre si. Isto pode ser is be observdo, coprdo-se terceir edid co segud, ou sej, 7 7 :0 0,7 000 000 :0,7 00 Cetro Federl de Educção Tecológic do Espírito Sto
Mecâic Básic Aplicd Observe que,,7 00 O resultdo ci ostr o pricípio do rredodeto de úeros deciis. Exercício : trsfore os úeros deciis bixo e frções irredutíveis. 00 ) 0, b) 0,0 c), d) 0,0, e),:0,. Potecição A potecição é u eio teático utilizdo pr represetr, de for siplificd, quts vezes u úero é ultiplicdo por ele eso. Por exeplo, 6 6 (o úero é ultiplicdo por ele eso seis vezes) 7 (o úero é ultiplicdo por ele eso três vezes) Deste odo, u potêci é represetd, de odo geerlizdo, coo: Ode, b b potêci bse expoete O expoete pode ser u úero : turl iteiro egtivo rciol positivo rciol egtivo.. Propriedde Fudetl Observe que ( ) ( ) Assi, de odo gerl, Logo, + Pr o produto de potêcis de es bse, coserv-se bse e so-se os expoetes. Cetro Federl de Educção Tecológic do Espírito Sto
Cpitulo - Niveleto Est propriedde cotiu vledo qudo há vários ftores, por exeplo:... p + + +... + p Por outro ldo, qudo u potêci é ultiplicd por el es, váris vezes, diz-se que se te u potêci de potêci. Por exeplo: ( ) Deste odo, potêci de potêci é u cso especil de produto de potêcis de es bse, e que os expoetes são iguis pr tods s bses. Exercício : Coplete seqüêci bixo. Repre que há u seqüêci lógic. ) 6 b) c) 6 7 6 9 6 0 0 0 Assi, tod potêci co bse diferete de zero, elevd zero, é igul u. Ou sej, 0, ode 0.. Potêci co expoete egtivo Exercício : Seguido lógic do exercício terior, coplete o qudro bixo: ) b) 7 c) 6 9 6 0 0 0 - - - - - - - - - - - - - - - Cetro Federl de Educção Tecológic do Espírito Sto
Mecâic Básic Aplicd Cetro Federl de Educção Tecológic do Espírito Sto Seguido idéi d propriedde fudetl, observe o seguite cálculo: 0 + Logo, Isoldo -, te-se: 0, co Por est rzão diz-se que - é o iverso de... Divisão de Potêcis Coo coseqüêci do tópico terior pode-se defiir, gor, divisão de potêcis de es bse. Ou sej :. s, : Do pricípio d divisão de frções, Efi, + ) ( : Ou id, : Exeplo 6: ) 9 b) c) 6 6
/.- )('' $$ Cpitulo - Niveleto Exercício : Clcule s potêcis co expoetes iteiros. ) b) (-) c) (-) 6 d) 6 - e) "!# f) "!#.. Potêcis co Expoete Rciol U for de eteder potêcis co expoetes rciois é plicr propriedde fudetl. Ou sej, observe seguite ultiplicção: +. Assi, / é u úero que elevdo o qudrdo é igul. Portto riz qudrd de é /, ou sej, Geerlizdo, defie-se:, pois & % ( ) co rel positivo e,,,... Pode-se observr tbé que: ( ) ( ). Portto, A prtir do resultdo ci, defie-se que: Exeplo 7: ) b) c) ( ) ( ) d) f).-/ 7, + 7, + 0, e) 9 9 9 9 Cetro Federl de Educção Tecológic do Espírito Sto
Mecâic Básic Aplicd NOTA: Não existe riz pr de u úero rel egtivo, por exeplo: e 6. Isto é is be evidecido qudo se elev o sil egtivo o expoete pr e questão, ou sej, ( ), e, pois, s ão ( ) 6, e 6 6, pois 6, s ão Portto, ão existe riz pr os úeros sugeridos os exeplos teriores, pois o sil egtivo elevdo u expoete pr result o sil positivo. Por outro ldo, já existe riz ipr de u úero rel egtivo. Por exeplo:,. Fzedo o iverso d rdicição pode-se cofirr o que foi dito, ou sej: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) O sil egtivo elevdo u expoete ipr result o sil egtivo. NOTA: Ests rízes egtivs citds teriorete, pouco provvelete precerão e cálculos d ecâic vistos est postil. Portto, cso els preç é porque houve lgu erro de álgebr do luo. Exercício : Clcule s potêcis bixo: 7 ) b) 0 c) d) ( 7) e) ( ) 6 Cetro Federl de Educção Tecológic do Espírito Sto 6
Cpitulo - Niveleto.6 Notção Cietífic (Potêci de 0) N físic, e is especificete ecâic, que é áre de iteresse dest postil, há lgus úeros que são uito grdes ou uito pequeos, por exeplo: ) Tesão de ruptur de u ço ABNT 00: 00MP 00.000.000 P b) desliheto de u eixo: 0,0 pr cd 00 Ao se trblhr co estes úeros escritos de odo orl é icoveiete porque qudo eles são ultiplicdos ou divididos por outros úeros, eles se tor id iores ou eores. Portto eles pode ser escritos coo u úero ultiplicdo por u potêci de bse 0. Por exeplo: ) 00 00 0 - - b) 0,00 0,0 0, 0 0000 0 É iportte ter e ete coo se escreve os úeros bse 0, pr se escrever u úero e otção cietífic. A seguir serão ostrdos lgus úeros escritos e potêci de bse 0. Procure crir u regr etre os zeros que prece o úero represetdo pel potêci e o expoete dquel potêci. - 0 0 0 0 ou 0, 0 0 0 00 ou 0, 0 0 00 0.000 ou 0, 00 0 000 0 0.000 ou 0, 000 0 0.000 0 00.000 ou 0, 0000 0 00.000 0 6.000.000 ou 0, 00000 Bsedo tbel ci procure crir u étodo pr trsforr úeros deciis e potêci de 0 e vice-vers, porque ele será útil pr os cálculos dos probles propostos est postil. Efi, otção cietífic é d is d eos, que escrever u úero utilizdo potêci de 0, de tl odo que tes d vírgul se teh pes u lgriso diferete de zero. Por exeplo: Cetro Federl de Educção Tecológic do Espírito Sto 7
Mecâic Básic Aplicd 0,00 0 0000 0 Este úero, ebor estej escrito e potêci de 0, ão está escrito e otção cietífic, porque tes d vírgul há dois lgrisos (,0). Deste odo, o correto será,0 -, coo ostr o cálculo bixo: - - -,0 0,00,0 - Pr fis de cálculos, é suficiete que os úeros sej escritos pes bse 0, ão ecessitdo que sej escritos e otção cietífic. Exercício 6: Escrev e otção cietífic os seguite úeros: ) 0.000 b) 0,0 c) 0,000000 d) 7.000.000.000 e) 00 Exercício 7: Resolv s frções bixo, utilizdo potêci de 0 ou otção cietífic. ) 0.000 0 b).000.00 0.000 t s,960 0 c) ( ) Tepo que luz gst pr chegr à Terr. Cetro Federl de Educção Tecológic do Espírito Sto