Lista de exercícios para a P8 Conteúdo: Pontos notáveis do triângulo, quadriláteros e polígonos. Prof. Rafa, Prof. Bill, Prof. Marcelo C. e Marcelo L. Mas antes de começar, atente para as seguintes dicas: 1) Estudar a teoria antes de começar a resolver os exercícios; 2) Comece do mais fácil para o mais difícil. Isso é você quem determina; 3) Leia com atenção cada questão e procure entender, de fato, o enunciado do problema; 4) Trace uma estratégia de resolução e comece a escrever; 5) Ao chegar à uma conclusão, verifique se a resposta condiz com o enunciado do problema. Às vezes, encontramos respostas que são absurdas e que não condizem com a questão; 6) Só depois de tentar várias vezes, verifique o gabarito; Lembre-se: a prática constante previne contra surpresas desagradáveis. Qualquer que seja o objetivo, treine bastante, pois assim, a sorte estará do seu lado. RESUMO TEÓRICO - PONTOS NOTÁVEIS DO TRIÂNGULO Bissetriz é a semi-reta que divide um ângulo do triângulo em duas partes iguais. Mediatriz é a reta perpendicular a um lado do triângulo passando pelo seu ponto médio. Mediana é o segmento de reta que une um vértice ao ponto médio do lado oposto. Altura é o segmento de reta que partindo de um vértice é perpendicular ao lado oposto.
O ponto de encontro das bissetrizes dos ângulos internos do triângulo, denominado de incentro, é equidistante dos lados sendo, portanto, o centro da circunferência inscrita no triângulo. O ponto de encontro das mediatrizes dos lados de um triângulo, denominado de circuncentro, é equidistante dos vértices sendo, portanto, o centro da circunferência circunscrita ao triângulo. O ponto de encontro das medianas, denominado de baricentro por ser o centro de massa do triângulo, está situado a uma distância do vértice igual à 2/3 do comprimento da mediana. As alturas de um triângulo se encontram num ponto denominado de ortocentro.
EXERCÍCIOS PONTOS NOTÁVEIS DE UM TRIÂNGULO 1- Na figura abaixo determine os segmentos que representam mediana, bissetriz e altura, sabendo que BP = PC e BÂN = NÂC. 2- Na figura, med ˆB = 40º, med Ĉ = 60º. Se D é o incentro do triângulo ABC, então x vale: a) 40º b) 120º c) 130º d) 150º e) 100º 3- Na figura abaixo, AD é bissetriz. Calcule a e b:
4- Na figura abaixo, OB é bissetriz de AÔC e OD é bissetriz de CÔE. Calcule x: 5- Na figura, OM é bissetriz de CÔD e med (AÔB) = 120º. Calcule x e y. 6- No triângulo ABC, da figura, AM e CN são medianas que se interceptam em G. Sendo. AG = 10 cm e CN = 18 cm calculex, y e z. 7- (ESAM) O segmento da perpendicular traçada de um vértice de um triângulo à reta do lado oposto é denominada altura. O ponto de intersecção das três retas suportes das alturas do triângulo é chamado: a) Baricentro b) Incentro c) Circuncentro d) Ortocentro e) Mediana
8- (UNITAU) O segmento da perpendicular traçada de um vértice de um triângulo à reta suporte do lado oposto é denominado: a) mediana. b) mediatriz. c) bissetriz. d) altura. e) base. RESUMO TEÓRICO QUADRILÁTEROS Quadrilátero é um polígono com quatro lados. A soma dos ângulos internos de um quadrilátero é 360º. Paralelogramo é o quadrilátero que tem os lados opostos paralelos. Alguns deles recebem nomes especiais: a) - Losango tem os quatro lados congruentes. b) - Retângulo tem os quatro ângulos retos. c) - Quadrado tem os quatro lados congruentes e quatro ângulos retos. d) - Trapézio é um quadrilátero que possui apenas dois lados paralelos. Os lados paralelos são chamados de bases (maior e menor) e a distância entre as bases chama-se altura. Em todo paralelogramo tem-se as seguintes propriedades: 1. - Lados opostos congruentes 2. - Ângulos opostos congruentes 3. - Ângulos consecutivos suplementares (A soma dos ângulos consecutivos vale 180 ) Os trapézios são classificados como: 1. - Isósceles: os lados não paralelos são congruentes; assim como os ângulos da base maior. 2. - Retângulo: tem dois ângulos retos; 3. - Escaleno: os lados não paralelos não são congruentes Perímetro: Soma de todos os lados da figura geométrica
EXERCÍCIOS - QUADRILÁTEROS 1- (MA 092)Classifique cada afirmação em verdadeira (V) ou falsa (F) a) Todo retângulo é um paralelogramo. b) Todo paralelogramo é um retângulo. c) Todo quadrado é um retângulo. d) Todo paralelogramo é um losango. e) Todo quadrado é um losango. 2- Responda: a)como se chamam os trapézios que apresentam dois ângulos internos retos? b)qual é o trapézio que tem os lados não paralelos congruentes? c)qual o nome do paralelogramo cujas diagonais são perpendiculares entre si, mas não são congruentes? 3- Um lado de um paralelogramo é o dobro de outro. Determine as medidas dos lados sabendo que o perímetro é igual a 108 cm. 4- O perímetro de um quadrilátero mede 41 cm. Quanto mede cada lado se as medidas são representadas por x, x + 2, 3x + 1 e 2x -4? 5- Se o comprimento de um retângulo é o triplo de sua largura, calcule o valor do comprimento, sabendo que o perímetro vale 48 cm. 6- No paralelogramo ABCD da figura determine as medidas de x e de y. 7- Dois ângulos opostos de um paralelogramo medem (3x + 25º) e (8x 10º). Calcule as medidas dos ângulos desse paralelogramo. 8- Determine x nos paralelogramos abaixo: 9- Determine a medida dos ângulos indicados.
10- Determine a medida das incógnitas indicadas abaixo. 11- Determine a medida dos ângulos indicados. 12- Determine a medida dos ângulos AGUDOS dos quadriláteros abaixo.
RESUMO TEÓRICO - POLÍGONOS Existem dois critérios: Primeiro critério: Convexos - uma reta qualquer só corta o polígono em dois pontos. Não convexos - uma reta qualquer pode cortar o polígono em mais de dois pontos. Segundo critério: Regulares - os lados e os ângulos são iguais Irregulares- os lados e os ângulos são diferentes Ângulos: Ângulo interno é o ângulo formado por dois lados consecutivos. Ângulo externo é o angulo formado pelo prolongamento de um lado e o lado consecutivo.
Soma dos ângulos internos Num polígono de n lados podemos traçar de um vértice n - 3 diagonais e assim obteremos n - 2 triângulos. A soma dos ângulos internos do polígono será igual à soma dos ângulos interno dos triângulos obtidos ou seja >>>180 o. (n - 2). Ângulo interno Num polígono regular de n lados um ângulo externo é igual à soma dividida por n, da mesma maneira que um ângulo interno é igual à soma dividida por n. Soma dos ângulos externos. Ângulo externo.
Diagonal. Num polígono de n lados podemos traçar de cada vértice n - 3 diagonais. Como temos n vértices poderemos traçar n (n - 3) diagonais, porem desta maneira estamos contando cada diagonal 2 vezes, então o número total de diagonais é igual à metade deste valor. Nomenclatura quanto aos ângulos e lados Exercícios Polígonos 1- Determine a soma das medidas dos ângulos internos e o valor de cada ângulo interno dos seguintes polígonos: a) quadrilátero regular. b) heptágono regular. c) decágono regular. 2- Determine o número de diagonais dos seguintes polígonos: a) pentágono b) eneágono c) dodecágono
3- Qual dos polígonos abaixo tem a soma das medidas dos ângulos internos igual a 1 260º? a) octógono d) dodecágono b) pentadecágono e) quadrilátero c) eneágono 4- Qual o número de diagonais de um octógono. 5- A soma dos ângulos internos de um polígono convexo é de 900. Calcule o número de diagonais desse polígono. 6- Calcular a soma dos ângulos internos e a dos ângulos externos de um decágono. 7- Qual é o polígono convexo cujo soma dos ângulos internos é 1800º? 8- A soma dos ângulos internos de um polígono regular de n lados é 2340º. Determinar n. 9- Ache o polígono convexo cuja soma dos ângulos internos é igual a 1080º. 10- Determine qual o polígono regular cujo ângulo interno mede o triplo do ângulo externo. 11- Um polígono regular tem 9 lados. Encontre: a) o número de diagonais. b) a soma dos ângulos internos c) a medida de cada ângulo interno. d) A soma dos ângulos externos e) A medida de cada ângulo externo. 12- Num polígono regular, um ângulo interno mede 120. Calcule o número de diagonais desse polígono. SUGESTÃO DE EXERCÍCIOS PARA A PG 1- O triângulo abaixo representado é isósceles. Nessas condições o valor de x é: a) 55º b) 60º c) 65º d) 70º e) 90º 2- No triângulo ABC representado abaixo, os segmentos AH e AS são, respectivamente, a altura e a bissetriz interna relativas ao vértice A. A medida do ângulo HÂS é: a) 5º b) 10º c) 15º d) 20º e) 30º 3- No paralelogramo abaixo x e y valem, respectivamente:
a) 70º e 40º b) 70º e 110º c) 40º e 70º d) 140º e 70º e) 140º e 40º 4- As medidas das bases de um trapézio isósceles são 32 cm e 4 cm. Se o perímetro do trapézio é igual a 126 cm, podemos concluir que os lados não paralelos do trapézio: a) medem respectivamente 32 cm e 4 cm b) medem 22,5 cm c) medem 45 cm d) medem 12 cm e) podem ter infinitas possibilidades de medidas 5- Em um paralelogramo, a medida de um ângulo agudo é 2/3 da medida de um ângulo obtuso. Assim, os ângulos desse paralelogramo medem: a) 72º, 72º, 108º e 108º b) 18º, 18º, 162º e 162º c) 20º, 20º, 160º e 160º d) 30º, 30º, 150º e 150º e) 50º, 50º, 130º e 130º 6- O icoságono possui: a) 30 diagonais b) 40 diagonais c) 50 diagonais d) 90 diagonais e) 170 diagonais 7- No triângulo abaixo, AM é mediana relativa ao lado BC. O perímetro do triângulo ABC é: a) 16 cm b) 32 cm c) 104 cm d) 200 cm e) 310 cm 8- No triângulo ABC da figura é dado o ângulo B (100 ) e o ângulo C (30 ). AS é bissetriz e BH é altura. O valor de x é:
a) 65 b) 50 c) 25 d) 55 e) 75 9- O número de diagonais de um dodecágono é: a) 108 b) 54 c) 36 d) 30 e) 24 10- O nome do polígono, cuja soma dos ângulos internos é 2340 é: a) decágono b) dodecágono c) undecágono d) pentadecágono e) icoságono 11- Num triângulo ABC os ângulos internos A e C medem, respectivamente, 80 e 40. A medida do menor ângulo formado pela bissetriz relativa ao ângulo B e a altura relativa ao lado BC, é: a) 10 b) 30 c) 45 d) 60 e) 80 12- Sendo ABCD um retângulo, quais são os valores de x e y na figura abaixo? a) 60 e 30 b) 70 e 20 c) 80 e 10 d) 55 e 35 e) 65 e 25