Lista de Exercícios 2 - Gabriel Mendes (1º Ano)

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1 seja de 72cm 2, calcule o comprimento dolado do quadrado maior. Lista de Exercícios 2 - Gabriel Mendes (1º Ano) Quadriláteros Notáveis 1. O perímetro de um losango é 80cm. Se uma de suas diagonais é o triplo da outra, qual a medida da diagonal maior? 7. Um estudante fez a seguinte afirmação: Um trapézio que tem dois ângulos consecutivos é isósceles. Este estudante acertou? Em caso positivo, mostre a afirmação e em caso negativo dê um contra-exemplo. 8. (Fuvest) Na figura, os quadrados ABCD e EFGH têm, ambos, lado L e centro O. Se EP=1, então L é: 2. Obtenha o perímetro de um losango cujas diagonais medem 2cm e 4cm. 3. Os ângulos internos de um quadrilátero medem 3x-45º, 2x+10º, 2x+15º e x+20º. O menor ângulo mede? a) 90º c) 46º e) 80º b) 65º d) 105º 4. (FGV) Na figura a seguir, ABCD é retângulo e AMCN é um losango. Determine a medida do segmento NB sabendo que AB=2AD=20cm. a) 2/( 2-1) c) 2/2 b) 2/( 3-1) d) 2 e) 2/( 2-1) 9. (Fuvest) No quadrilátero ABCD da figura abaixo, E é um ponto sobre o lado AD tal que oângulo ABE mede 60º e os ângulos EBC e BCD são retos Sabe-se ainda que AB=CD= 3 e BC =1. Determine a medida de AD. 5. (Unifesp) Em um paralelogramo, as medidas de dois ângulos consecutivos estão na razão 1:3. O ângulo menor desse paralelogramo é: a) 45º c) 55º e) 65º b) 50º d) 60º 6. (Unicamp) O quadrilátero formado unindo-se os pontos médios dos lados de um quadrado é também um quadrado. a) Faça um figura e justifique a afirmação acima. b) Supondo que a área do quadrado menor 10. Um trapézio retãngulo é um quadrilátero convexo plano que possui dois ângulos retos, um ângulo agudo α e um ângulo obtuso β. Suponha que, em um tal trapézio, a medida o ângulo β seja cinco vezes a medida do ângulo

2 α. a) Calcule a medida de α em graus. b) Mostre que o ângulo formado pelas bissetrizes de α e β é reto. 11. (Fuvest) Um trapézio retângulo tem bases 5 e 2 e altura 4. O perímetro desse trapézio é: a) 13 c) 15 e) 17 b) 14 d) (Fuvest) No retângulo a seguir, o valor em graus de α+β é: 15. Em um paralelogramo ABCD, AB=2x+1, BC=3x+4, CD=9, AD=y+1. Calcule os valores de x e y. 16. A figura abaixo mostra o trapézio ABCD. Sabendo que P, Q, R e S são os pontos médios das diagonais AC e BD e dos lados BC e AD, respectivamente, determine as medidas de SP, PQ e QR (o desenho está fora de escala). a) 50º c) 120º e) 220º b) 90º d) 130º 13. Considerando que S e R são os pontos médios dos lados correspondentes do trapézio ABCD abaixo, determine x e y (Dica: lembre do teorema da base média dos triângulos) 17. Em um losango, uma das diagonais faz um ângulo de 50º com um de seus lados. Os ângulos internos desse losango medem: a) 50º e 40º c) 110º e 70º e) 90º e 90º b) 120º e 60º d) 100º e 80º Pontos Notáveis num Triângulo 18. Um ponto P equidista dos vértices de um triângulo ABC. O ponto P é: a) O baricentro do triângulo ABC b) O incentro do triângulo ABC c) O circuncentro do triângulo ABC d) O ortocentro do triângulo ABC e) Nenhuma das anteriores 14. Sabe-se que a base média de um trapézio é a soma da base maior com a base menor divindo o resultado por 2. A base média de um trapézio mede 60cm e a base menor é igual a 3/7 da base maior. A medida dessas bases é, em cm, respectivamente: 19. Qual dos pontos notáveis de um triângulo pode ser um de seus vértices? a) Baricentro b) Incentro c) Ortocentro d) Circuncentro e) Nenhum a) 90 e 40 c) 84 e 36 e) 86 e 37 b) 74 e 23 d) 92 e 46

3 20. Quais pontos notáveis de um triângulo nunca se posicionam externemente em relação a sua região triangular? a) Baricentro e Ortocentro b) Incentro e Circuncentro c) Baricentro e Circuncentro d) Incentro e Ortocentro e) Baricentro e Incentro 21. (Unitau) O segmento da perpendicular traçada de um vértice de um triângulo à reta suporte do lado oposto é denominado: 25. Na figura abaixo, I é o incentro do triângulo ABC. Sendo AB=9cm, AC=12cm e BC=7cm, calcule a razão AI/DI. a) Mediana c) Bissetriz e) Base b) Mediatriz d) Altura 22. (Fuvest) Um triângulo ABC tem ângulos A=40º e B=50º. Qual é o ângulo formado pelas alturas relativas ao vértice A e B desse triângulo? a) 30º c) 60º e) 120º b) 45º d) 90º 23. (Ufpi) No triângulo ABC (figura abaixo), os lados AB e AC medem respectivemente 5cm e 7cm. Se O é o incentro do triângulo ABC e o segmento MN é paralelo a BC então o perímetro do triângulo AMN é: 26. Qual a distância entre o circuncentro e o baricentro de um triângulo retângulo cujos catetos medem 5cm e 12cm? (Dica: lembre-se do acontece nos triângulos retângulos inscritos em uma circunferência). 27. Seja ABC um triângulo isósceles, com AB=AC. Seja I o incentro desse triângulo. Se AI = 3cm e a distância de I até BC é 2cm, determine a medida do lado BC. 28. Em um triângulo equilátero podemos determinar a altura deste triângulo pela expressão h=(l 3)/2 onde L é o lado deste triângulo. Assim, responda as seguintes perguntas: a) 8 c) 10 e) 12 b) 9 d) Na figura abaixo, AB=AC e O é o incentro do triângulo ABC e o ângulo BÔC é o triplo do ângulo Â. Então a medida de  é: a) 18º c) 24º e) 15º b) 12º d) 36º a) Mostre que o raio da circunferência inscrita no triângulo pode ser calculado pela expressão r = (L 3)/6. (Dica: lembre-se que em um 2 triângulo equilátero todos os centros são o mesmo). b) Mostre que o raio da circunferência circunscrita ao triângulo pode ser calculado pela fórmula R = (2L 3)/3. c) Mostre que a área de um triângulo equilátero pode ser calculada pela fórmula A = (L 3)/4. (Dica: lembre-se que a área de

4 um triângulo é dada por base vezes a altura dividido por 2). 29. Utilize o exercício anterior para calcular os raios das circunferências inscrita e circunscrita, a altura e a área de um triângulo equilátero cujo lado mede 6 cm. Teorema de Tales e Semelhança 32. (FGV) Na figura, ABC é um triângulo com AC=20cm, AB=15cm e BC=14cm. Sendo AQ e BP bissetrizes interiores do triângulo ABC, o quociente QR/AR é igual a: 30. Para a instalação de luz elétrica no quarteirão de um loteamento, serão colocados quatro postes, A, B, C e D, como indica a figura abaixo. Sabendo-se que as laterais do terreno são paralelas e a distância AD corresponde a 180m, é certo afirmar que a distância entre os postes A e B corresponde a: a) 0,3 c) 0,4 e) 0,5 b) 0,35 d) 0, (Mack) Na figura temos r//r e s //s. Então, para todo valor a>1 o valor da abcissa x é: a) 50m c) 54m e) 58m b) 52m d) 56m 31. Na figura a seguir, ABCD é um retângulo e PQ é a bissetriz interna do ângulo P do triângulo DPC. Sabe-se que AD=DQe que as medidas estão indicadas em centímetros. Qual é o perímetro do retângulo ABCD? a) 2a c) (a+1) 2 e) a + 1 b) a 2 d) a (Fuvest) Um triângulo ABC tem lados de comprimento AB=5, BC=4 e AC=2. Sejam M e N os pontos AB tais que CM é a bissetriz relativa ao lângulo ACB e CN é a altura relativa ao lado AB. Determinar o comprimento de MN. 35. No triângulo ABC, o lado AC e a mediatriz do segmento BCse encontram no ponto D, e a reta BD é bissetriz e ABC. Se AD=9 e DC=7, qual a área do triângulo ABD?

5 a) 14 c) 28 e) 28 5 b) 21 d) (Fuvest) A sombra de um poste vertical, projetada pelo sol re um chão plano, mede 12m. Nesse mesmo instante, a sombra de um bastão vertical de 1m de altura mede 0,6m. A altura do poste é: a) 6m c) 12m e) 72m b) 7,2m d) 20m 38. (UFRGS) Para estimar a profundidade de um poço com 1,10m de largura, uma pessoa, cujos olhos estão a 1,60m do chão posiciona-se a 0,5m de sua borda. Dessa forma a borda do poço esconde exatamente seu fundo, como mostra a figura abaixo. Com os dados acima, a pessoa conclui que a profundidade do poço é de: a) 3 c) 5 e) 7 b) 4 d) O triângulo ABC tem altura h e base b (ver figura). Nele, está inscrito o retângulo DEFG, cuja base é o dobro da altura. Nessas condições, a altura do retângulo em função de h e b, é dada pela fórmula: a) 2,82m c) 3,30m e) 3,85m b) 3,00m d) 3,52m a) bh/(h+b) c) 2bh/(h+b) e) bh/(h+2b) b) bh/(2h+b) d) bh/2(h+b) 38. (Fuvest) Na figura abaixo, as distâncias dos pontos A e B à reta r valem 2 e 4. As projeções ortogonais de A e B sobre essa reta são os pontos C e D. Se a medida de CD é 9, a que distância de C deverá estar no ponto E, do segmento CD, para que CEA=DEB? 40. (Fuvest) No triângulo acutângulo ABC, a a base AB mede 4cm e a altura relativa a essa base também mede 4cm. MNPQ é um retângulo cujos vértices M e N pertencem ao lado AB, P pertence ao lado BC e Q pertence ao lado AC. O perímetro desse retãngulo em centímetros é:

6 cujo assento tem forma retangular, de comprimento 40cm, apóia-se sobre duas barras iguais de comprimento 60cm (ver figura). Cada barra tem três furos e o ajuste de altura do banco é feito colocando-se o parafuso nos primeiros, segundos ou terceiros furos das barras (ver visão lateral do banco na figura 2). A menor altura que pode ser obtida é: a) 4 c) 12 e) 16 b) 8 d) (Fuvest) Na figura, o triângulo ABC é retângulo em A, ADEF é um quadrado, AB=1e AC=3. Quanto mede o lado do quadrado? a) 36 c) 40 e) 44 b) 38 d) (UEL) Após um tremor de terra, dois muros paralelos em uma rua de uma cidade fcaram ligeiramente abalados. Os moradores se reuniram e decidiram escorar os muros utilizando duas barras metálicas, como mostra a figura abaixo. Sabendo que os muros tem alturas de 9m e 3m, respectivamente, a que altura do nível do chão as duas barras se interceptam? Despreze a espessura das barras. 2 a) 0,7 c) 0,8 e) 0,9 b) 0,75 d) 0, (Fuvest) Na figura abaixo, ABC é um triângulo isósceles e e retângulo em A e PQRS é um quadraddo de lado 2/3. Então a medida do lado AB é: (figura) a) 1 c) 3 e) 5 b) 2 d) (Fuvest) Um banco de altura regulável, a) 1,5m c) 2,00m e) 2,5m b) 1,75m d) 2,25m

7 45. (Fuvest) A figura representa um retângulo ABCD, com AB=5 e AD=3. O ponto E está no segmento CD de maneira que CE=1 e F é o ponto de intersecção da diagonal AC com o segmento BE. Então a área do triângulo BCF vale: os pontos re BA e BC, respectivamente, de modo que a reta PQ seja paralela à reta AC e a área do trapézio APQC seja o triplo da área do triângulo PQB. a) Qual a razão entre as áreas dos triângulos ABC e PQB? b) Determine a razão AB/PB. 48. (Fuvest) Em uma mesa de bilhar, coloca-se uma bola branca na posição B e uma bola vermelha na posição V, conforme o esquema abaixo. Deve-se jogar a bola branca de modo que ela siga a trajetória indicada na figura e atinja a bola vermelha. Assumindo que, em cada colisão da bola branca com a mesa, os ângulos de incidência e de reflexão são iguais, a que distância x do vértice Q deve-se jogar a bola branca? a) 6/5 c) 4/3 e) 3/2 b) 5/4 d) 7/5 46. (Fuvest) Um lateral L faz um lançamento para um atacante A, situado 32m à sua frente em uma linha paralela à lateral do campo de futebol. A bola, entretanto, segue uma trajetória retilínea, mas não paralela à lateral e quando passa pela linha de meio de campoestá a uma distância de 12m da linha que une o lateral ao atacante. Sabendo-se que a linha de meio de campo está à mesma distância dos dois jogadores, a distância mínima que o atacante terá que percorrer para encontrar a trajetória da bola será de: 49. (UFRGS) Considere a figura abaixo. Se os retângulos ABCD e BCEF são semelhantes, e AD=1, AF=2 e FB=x, então x vale: a) 18,8 c) 19,6 e) 20,4 b) 19,2 d) (Fuvest) Num triângulo ABC sejam P e Q a) c) 2 e) 2 b) 1 d) 1+ 2

8 50. (Fuvest) Na figura, ABCD é um quadrado de 6cm de lado, M é o ponto médio do lado DC e A é o ponto médio de PC. Calcule a área do triângulo MDN. Desafios 51. Sejam ABCD um quadrado, E ponto médio de CD e M interior ao quadrado. Sabendo que MAB=MBC=EMB=x, determine x. (Dica: use que, em um triângulo retângulo, a mediana relativa à hipotenusa mede metade da hipotenusa). 53. P é um ponto interior ao quadrado ABCD tal que PA=1, PB=2 e PC=3. Determine APB. 52. Seja ABC um triângulo tal que AB=AC e que BAC=20º, como na figura. Determine CPQ. 54. (Ita) Considere o triângulo ABC, onde AD é a mediana relativa ao lado BC. Por um ponto arbitrário M do segmento BD, tracemos o segmento MP paralelo a AD, onde P é o ponto de intersecção desta paralela com o prolongamento do lado AC (figura). Se N é o ponto de intersecção de AB com MP, podemos afirmar que:

9 a) MN+MP=2BM b) MN+MP=2CM c) MN+MP=2AB d) MN+MP=2AD e) MN+MP=2AC 55. (Olímpiada Mexicana) Na figura, ABC é um triângulo equilátero e lado 3, e a reta PA é paralela à reta BC. Sabendo que PQ=QR=RS, então o comprimento do segmento CS é igual a: a) 1/3 c) 1/5 e) 2 b) 1/4 d) 1 Deixem que o futuro diga a verdade e avalie cada um de acordo com seu trabalho e realizações. O presente pertence a eles, mas o futuro pelo qual eu sempre trabalhei, pertence a mim. Nikola Tesla "So, I'm 40, I'm not married, I don't fly jets, and I don't have a dog?......why does the moon gets orange sometimes?" Disney's The Kid 4 6 Respostas B 4. (5 41)/2 5. A 6. a) Basta desenhar e aplicar o teorema de pitágoras b) 12cm 7. Não. O contra-exemplo fica para vocês pensarem. 8. E a) 30º b) Lembre-se que bissetriz é uma semirreta que divide um ângulo exatamente na metade. 11. E 12. D 13. x=3 e y=4 14. C 15. x=4 e y= SP=QR=6cm e PQ=4cm 17. D 18. C 19. C E 21. D 22. D 23. E 24. D 25. AI/DI= /6 cm Demonstrações. 29. r = 2/2 cm R = 2 cm h = 2/2 cm A = 3/2 30. C ,2 cm 32. C 33. B / D 36. B 37. D 38. A

10 39. D 40. B 41. B 42. B 43. A 44. D 45. B 46. B 47. a) 4 b) x=6/17m 49. A 50. 6cm º º º 54. D 55. D Civil War!!!