Gestão de portfólios: uma proposta de otimização através da média-semivariância

Gestão de portfólios: uma proposta de otimização através da média-semivariâcia Autores CALOS ALBTO OG PINHIO Fudação Viscode de Cairu ALBTO SHIGUU ATSUOTO Uiversidade Católica de Brasília esumo ste artigo aplica a matriz de semivariâcia para ativos e compara as soluções obtidas através da froteira eficiete com base a média-semivariâcia, fudametadas por Ballestero 005, com aquelas soluções derivadas da média-variâcia do modelo de arkowitz 95. A cotribuição de Ballestero 005 a otimização de portfólios se dá através da criação da matriz semivariâcia. Através dela é possível defiir a composição de portfólios com base a miimização da semivariâcia do portfólio abaixo da média sueita à limitação paramétrica do valor médio do portfólio de mercado. Ao cotrário do trabalo realizado por Ballestero 005 que fez uso de iformações de um mercado de ações ipotético com apeas dez ativos, para a pesquisa, foram selecioadas vite e duas ações, costates da carteira teórica do Ibovespa durate os quadrimestres o período de 000 a 004 e, que estiveram presetes em todas as carteiras. Os resultados idicam que as soluções ecotradas pelo modelo de Ballestero 005 defiem portfólios cuos retoros superam os retoros dos portfólios propostos pelo modelo de arkowitz 95 além de superarem também os parâmetros CDI, Ibovespa e Ídice Brasil, o período de aeiro a ovembro de 005, com a vatagem de apresetarem desvios-padrões similares.. Itrodução A aproximação clássica de arkowitz 95 destiada à seleção de portfólios é desevolvida em dois estágios. No primeiro estágio o obetivo é o de defiir uma froteira eficiete de lucratividade-risco de Pareto -V ao miimizar o risco de portfólio sueito a uma limitação paramétrica de lucratividade medida através do valor médio dos retoros de portfólio, ou retoro esperado. No segudo estágio busca-se determiar a utilidade ótima do ivestidor sobre a froteira eficiete com base a teoria de Vo Neuma e orgester 947, especialmete, em relação à maximização da utilidade esperada. Se o primeiro estágio é facilmete executado, o segudo apreseta dificuldades e, desta forma, é meos usado a prática, embora algumas técicas propostas, a exemplo de Kallberg e Ziemba 983 e Ballestero e omero 998 esteam dispoíveis. O problema para o primeiro estágio cosiste em mesurar o risco do ivestimeto. Algumas medidas de risco são baseadas a variâcia e a covariâcia assumido que o ivestidor está iteressado a dispersão dos retoros. Outras medidas estão baseadas a semivariâcia e, segudo Grootveld e Hallerbac 999, computacioalmete são complexas e problemáticas a otimização dos portfólios. Agora, sua utilização é importate porque algus ivestidores podem apresetar aversão especial a retoros abaixo de um valor médio e, desta forma, o uso de uma medida dowside risk tal como a semivariâcia é a mais idicada uma vez que o desvio padrão iterpreta qualquer difereça do retoro médio, acima ou abaixo, como ideseado e a visão de risco dos ivestidores pode estar relacioada a perdas, apeas. m outras palavras, a semivariâcia abaixo do valor médio é uma medida apropriada quado o ivestidor percebe o risco como uma mudaça ou possibilidade de resultados adversos mais do que a dispersão de retoros. A semivariâcia abaixo do valor médio é

defiida como a soma dos desvios quadrados do valor médio cosiderado apeas os desvios abaixo deste valor médio. Isto sigifica que os ivestidores estão iteressados mais em pequeos retoros do que a variabilidade dos resultados. Uma das medidas de risco utilizadas para que possa ser adequada à aversão ao risco ou à fução de utilidade do ivestidor é o mometo parcial iferior de grau- law partial momet LP. Para Nawrocki 99 a medida tem recebido ateção a literatura fiaceira em termos da teoria de precificação de ativos e é coecida como semivariâcia, desde que seu grau sea igual a dois. ais tarde, além de realizar uma revisão da literatura sobre as medidas de semivariâcia, Nawrocki 996 refere-se ao propósito prévio de fazer uso de um ídice de recompesa baseado o mometo parcial iferior LP como um eurístico simples capaz de otimizar portfólios. Comparações das distribuições com base a variâcia e semivariâcia são realizadas por Bod e Satcell 00. O desempeo dos ativos avaliados através de medidas dowside risk é uma parte do trabalo desevolvido por Sortio e Price 994. Porter 974 e Fisbur 977 são outras cotribuições ateriores sobre o uso da semivariâcia. Já o modelo proposto por Ballestero 005 ão tem a iteção de recolocar as aproximações existetes por outras aproximações, uma vez que todas elas podem ser úteis. No etato, a cotribuição do autor para otimização de portfólios dá-se através da criação da matriz semivariâcia. Através dela é possível defiir a composição de portfólios com base a miimização da semivariâcia do portfólio abaixo da média sueita à limitação paramétrica do valor médio do portfólio de mercado. A proposta deste trabalo, portato, é aplicar a matriz de semivariâcia para ações egociadas a Bovespa e comparar as soluções obtidas através da froteira eficiete com base a média-semivariâcia, fudametadas por Ballestero 005, com aquelas soluções derivadas da média-variâcia do modelo de arkowitz 95. m seguida, será verificada a existêcia de coicidêcias de soluções para os dois modelos e avaliar qual dos modelos alcaça os maiores retoros. A pesquisa apreseta uma breve revisão do modelo de Ballestero 005 que ustifica a criação da matriz de semivariâcia. Na seqüêcia, descreve-se a metodologia e os critérios de seleção das ações da amostra. Na peúltima parte do artigo são apresetados os resultados ecotrados. Por último, as cosiderações fiais são apresetadas.. Fudametação Teórica Ballestero 005 cosidera,, como represetates dos vetores dos pesos do portfólio. Desta forma, é a fração de cada ativo o portfólio do ativo t. O propósito será o de formular um modelo de média-semivariâcia quadrática paramétrica com a seguite estrutura: i, Sueito A 0 0 4 para cada ativo t, ao logo da limitação de ão-egatividade, cosiderado que: 3

ou é o peso percetual do ativo t o portfólio, represetado a fração ivestida o ativo t; é o valor médio ou retoro esperado sobre o ativo t; 0 é um parâmetro positivo cosiderado como alvo especificado de retoro esperado, ou sea, o ível de retoro que o ivestidor pretede receber ao ivestir o portfólio; 0 é um parâmetro garatido um ível deseável de diversificação o portfólio; A são os coeficietes a serem determiados a pesquisa desevolvida. O ivestidor está esperado alcaçar o dowside risk a um ível tão baixo quato possível provado que um ível deseável 0 de valor sea alcaçado. Por isso, a medida dowside seria miimizada sobre a codição do valor médio, coforme equação. Levadose em cosideração que a soma dos pesos é igual a, quato meor o parâmetro 0 mais diversificado será o portfólio, uma vez que eum peso de ativo t pode exceder o limite 0. Os coeficietes A serão obtidos mais tarde como fuções dos retoros de ativo. A estrutura apresetada é similar ao modelo de média-variâcia proposto e desevolvido por arkowitz 95 sob codições de diversificação. xistem dificuldades matemáticas em especificar a fução o caso da semivariâcia. De fato, o portfólio de semivariâcia abaixo do valor médio evolve uma fução multivariada com domíio soma e itegração defiida por p p sigificado que o retoro aleatório do portfólio, p é meor que ou igual a seu valor médio p. Se o modelo cocorda com situações discretas, a soma múltipla dos desvios quadrados abaixo da média em termos de probabilidades seria estedida ao domíio - dimesioal, coforme: p p ode os pesos são descoecidos. Um tratameto aálogo é usado o caso de situações cotíuas. Para resolver o problema multivariado, algus pressupostos são ecessários para defiir uma estrutura algébrica tal como a fução prota para ser miimizada através de técicas operacioais. A pesquisa desevolvida por Ballestero 005 foca sobre o caso discreto, embora o autor explique que o modelo possa ser estedido a uma distribuição de probabilidade cotíua. Para isso, o mesmo defie uma variável crítica, defiida por, a aálise fiaceira do portfólio de mercado. m seu trabalo, Ballestero 005 explica que a soma dos retoros dos ativos é estedida a todos os ativos o mercado com pesos em proporções a cada valor de mercado do ativo. Assim, o portfólio de mercado reflete os retoros sobre o mercado de ações como um todo, de forma que a proporção de cada ativo sea igual à participação o mercado como um todo e que o ivestidor cosiga distribuir seus recursos etre o ativo livre de risco e um portfólio que represete as ações egociadas o mercado.. Validade da equação de regressão beta de Sarpe 964 A idéia de regredir o retoro do ativo em relação ao retoro do mercado tem base o trabalo desevolvido por Sarpe 964. Assim, a equação coecida pelos acadêmicos determia que o retoro aleatório de mercado α + + p sobre cada ativo t é relacioado ao retoro aleatório do portfólio. Assim defie-se: ε 5 6 3

ode α e são costates equato que zero ε, ε tato quato covariâcia igual a zero ε,. ε é um erro aleatório com covariâcia igual a O retoro sobre qualquer ativo é uma fução liear de retoro de portfólio do mercado além de um termo de erro aleatório, ε, que é idepedete do mercado. O parâmetro é familiar à aálise fiaceira e é coecido por coeficiete beta. Como uma relação empírica, a equação é defedida a despeito das aproximações de equilíbrio de mercado. O coeficiete beta é defiido pela seguite expressão: cov, σ ode cov, é a covariâcia de retoro sobre o ativo t com o retoro sobre o portfólio de mercado, equato que σ é a variâcia de portfólio de mercado. Na equação 7 o coeficiete represeta a icliação da lia de regressão. sta icliação represeta o comovimeto etre e, ou sea, o co-movimeto etre retoros aleatórios sobre o ativo t e retoros aleatórios sobre o portfólio de mercado. Se o portfólio é suficietemete diversificado o risco específico ou ão sistemático desaparece á que evetos positivos em algumas compaias ofuscam evetos egativos das outras compaias. Assim, para Ballestero 005 a diversificação é imposta por limites legais em muitos mercados de ações, e aida mais, admiistradores deseam selecioar portfólios diversificados. Por isso, os limites da diversificação, coforme a equação 4, são adicioados ao modelo. Se estes limites são removidos, etão os portfólios com poucos ativos podem ão apresetar resultados satisfatórios.. Nível de diversificação para portfólios Para Ballestero 005 um portfólio pode ser colocado a um ível L de diversificação se a seguite codição é satisfeita: max, e L L q, comq q, O autor explica que Q é um limite positivo. Da codição acima, quato maior o ível de diversificação meor o peso maior. Assim, se os valores assumidos por L forem grades L, etão, se ão a codição soma de pesos igual a ão se materia; e se o parâmetro q ao ser fixado ao ível iferior a, a mesma codição ão permaeceria também. A equação 6 que represeta o retoro do ativo pode ser rescrita por: θ + ode e são os retoros esperados do ativo t e o portfólio do mercado, respectivamete. Além do mais: θ α + ε α + ε ode α + ε é o valor médio da variável aleatória α + ε. Aleatório θ tem valor médio igual zero. Assim: θ α + ε α + ε 0 0 7 8 9 0 4

Ao agregar a equação 9 sobre,.., a seguite equação é obtida: θ + θ Assim, o lado direito da equação a variável aleatória % q passa a ser dada por: θ 3 Aleatório θ apreseta valor médio igual a zero. Além disso, sua variâcia tede a zero á que o ível de diversificação tede ao ifiito, ou sea, θ coverge para zero com média quadrada como L. No desevolvimeto de seu trabalo Ballestero 005 exemplifica a equação de semivariâcia de portfólio abaixo do valor médio como igual a: V < t ρ t com a primeira soma é estedida para cada observação t t satisfazedo: O símbolo ρ t represeta a probabilidade da ocorrêcia do eveto t. Se todas as observações t,,..., T são igualmete prováveis, etão ρ t. T Por outro lado, a semivariâcia de portfólio acima do valor médio é defiida por: V > t ρ t a primeira soma é estedida a cada observação > t t satisfazedo: Desta maeira, a soma da semivariâcia de portfólio acima do valor médio com a semivariâcia abaixo do valor médio implica a seguite equação represetativa da variâcia: T V < + V > V t t ρ t Observa-se que as fuções e 3, citadas o iício deste artigo, ustificam a equação represetativa da variâcia... A equação de semivariâcia de portfólio acima do valor médio Já que o ível de diversificação tede ao ifiito a semivariâcia do portfólio tem um limite dado por: 4 5 6 7 8 5

6 > > V V L, lim 9 ode e são os coeficietes beta para os ativos t e t, respectivamete, equato que V > é a semivariâcia do portfólio acima do valor médio de mercado. Da equação iicial 3 e da equação as seguites expressões são obtidas por Ballestero 005: t V ρ θ + > 0 ode a primeira soma do lado direito é estedida para todas as observações em que: 0 > + θ Com base as duas últimas equações tem-se: + + > t t t V ρ ρ θ ρ θ ode cada é estedido a todas as observações que: 0 > + θ 3 Como o obetivo de Ballestero 005 é o demostrar que lim V V L > > o autor examia algus termos relevates as expressões. Desta forma tem-se que: i. Como o ível de diversificação tede ao ifiito, os coeficietes da soma dos betas de a é limitado etre os maiores e meores beta, á que a soma dos pesos é matida igual a. ii. Nas expressões usadas o termo > ão é alterado á que o ível de diversificação tede ao ifiito. iii. Aleatório θ tede a zero á que o ível de diversificação tede ao ifiito. iv. Dado qualquer valor positivo da difereça D >, ão importa o quão pequeo é iferido as observações i. e iii. que a codição da fução 3 matemse uma vez que o ível de diversificação tede ao ifiito. v. Das observações i a iii o limite é dado por: lim, t V L t ρ > 4

.. quação de semivariâcia de portfólio abaixo do valor médio Como o ível de diversificação tede ao ifiito, esta semivariâcia de portfólio tem um limite dado por: lim V < [ V V L, cosiderado que: V é a covariâcia etre o t e os ativos t; e são coeficietes beta para os ativos t e t, respectivamete; V é a semivariâcia de portfólio de mercado acima do valor médio. Primeiro, é ecessário rever que a variâcia do portfólio é expressa por: V V, Ballestero 005 explica que a semivariâcia do portfólio abaixo do valor médio tem o limite defiido por: lim lim V < V V > L L Ao levar as equações 9 e 6 em cosideração, a equação 7 se tora a equação 5. Na prática, a equação 9 pode ser usada como a fução se o ível 0 que garate a diversificação é visto como suficietemete pequeo pelo ivestidor ão profissioal. m outras palavras, a froteira eficiete com base a média-semivariâcia abaixo do valor médio é derivada do modelo de programação quadrática paramétrica: mi, [ V V ] sueito as codição de ão-egatividade. ste modelo é resolvido computacioal através do modelo arkowitz 95. 3. etodologia da pesquisa O trabalo realizado por Ballestero 005 fez uso de um exemplo umérico com iformações de um mercado de ações ipotético com apeas dez ativos. O autor ustifica sua escola por dados ipotéticos afirmado que embora os mercados do mudo real icluam muito mais ativos, sua pesquisa busca auxiliar a aplicação do modelo proposto esclarecedo o processo computacioal. Para pesquisa foram selecioadas vite e duas ações, costates da carteira teórica do Ibovespa durate os quadrimestres o período de 000 a 004, e que estiveram presete em todas. As iformações foram coletadas do baco de dados do coomática. Como defiido a Seção, o portfólio de mercado iclui todos os ativos egociados o mercado, cada um deles com pesos relacioados com a proporção a cada valor de mercado. Desta forma, ao selecioar as ações, adotou-se o ídice Ibovespa como portfólio de mercado. m seu trabalo, Ballestero 005 realizou os seguites passos para defiição do coeficiete beta: a O valor médio do portfólio de mercado é defiido por: ] 5 6 7 7 7

0, ode é o valor médio do ativo t, é o portfólio de mercado,, 0, para dez ativos. Ao cotrário do trabalo de Ballestero 005, o valor médio do portfólio de mercado é defiido a partir da média aritmética dos retoros obtidos através do Ibovespa. Todos os dados uméricos requeridos são dispoibilizados a Tabela. No iício da tabela ecotram-se os retoros médios de cada ação selecioada. b A variâcia do portfólio de mercado σ para Ballestero 005 é defiida por: σ,...,... { V },...,... 9 0 0 ode,...,..., represeta o valor dos pesos do portfólio de mercado; 0 {V } represeta a matriz covariâcia;,...,... é o vetor trasposto dos pesos do portfólio de mercado; 0 No modelo operacioal de Ballestero 005 os dez ativos represetavam o mercado. As vite e duas ações selecioadas ão represetam totalmete o mercado, de forma de que, a variâcia do mercado passa a ser defiida por: σ t ρ t b As covariâcias com o portfólio de mercado são defiidas a equação abaixo. Cada ativo t apreseta uma covariâcia com o portfólio de mercado, defiida por cov,. As dez covariâcias para Ballestero 005 são defiidas por:,...,... { V } 30 0 Pelo mesmo motivo, exposto ateriormete, a covariâcia com o portfólio de mercado passa a ser defiida por: Cov, t t ρ t t d O coeficiete beta é defiido pela equação 7. Os resultados uméricos aparecem o fial da tabela. A semivariâcia do portfólio de mercado acima do valor médio, que tem sido deotado por V t é defiida através de três passos. A saber: Primeiro passo. Os 60 retoros mesais observados para o portfólio de mercado são classificados em dois grupos:. aqueles maiores que o valor médio, ou sea, retoros satisfazedo > ;. aqueles meores que ou igual a ao valor médio. 8 Segudo passo. Para cada retoro satisfazedo > defie-se o desvio quadrático por: 3 8

Terceiro passo. A partir da equação 3 defie-se a semivariâcia de portfólio de mercado acima do valor médio com base: V > 3 60 A soma é estedida a todos os retoros acima do valor médio. Com a iformação umérica á computada, o obetivo da fução 7 do modelo de programação quadrática paramétrica é especificado como segue: mi,...,... 0 { V < },...,... 0 33 9

Tabela atriz de covariâcia para ações e 60 observações mesais aeiro de 000 a dezembro de 004 etoro édio 0,099 0,03096 0,0746 0,0360 0,00893 0,0090 0,068 0,0750 0,00897 0,00939 0,00583 ABV AACUZ BADSCO BASIL CLSC C-ON C-PN CSP-PN LTO-ON LTO-PNB LTOP-PN ABV-PN 0,00506-0,0004 0,0068 0,000 0,0056 0,0085 0,0044 0,0054 0,0080 0,0053 0,0056 AACUZ-PNB -0,0004 0,0048 0,00043 0,0036 0,0068 0,00084 0,00077-0,0008 0,0000-0,0000 0,0007 BADSCO-PN 0,0068 0,00043 0,00688 0,0048 0,0039 0,00439 0,00530 0,00686 0,0057 0,005 0,00699 BASIL-ON 0,000 0,0036 0,0048 0,00887 0,00404 0,00478 0,00566 0,0078 0,00644 0,0060 0,00768 CLSC-PNB 0,0056 0,0068 0,0039 0,00404 0,00835 0,00537 0,0063 0,0099 0,0063 0,00638 0,0098 CIG-ON 0,0085 0,00084 0,00439 0,00478 0,00537 0,0067 0,00694 0,00877 0,00739 0,0068 0,00887 CIG-PN 0,0044 0,00077 0,00530 0,00566 0,0063 0,00694 0,00880 0,0077 0,0096 0,00878 0,0063 CSP-PN 0,0054-0,0008 0,00686 0,0078 0,0099 0,00877 0,0077 0,0507 0,049 0,090 0,0570 LTOB-ON 0,0080 0,0000 0,0057 0,00644 0,0063 0,00739 0,0096 0,049 0,0639 0,0446 0,00 LTOB-PNB 0,0053-0,0000 0,005 0,0060 0,00638 0,0068 0,00878 0,090 0,0446 0,0347 0,0050 LTOPO-PN 0,0056 0,0007 0,00699 0,00768 0,0098 0,00887 0,0063 0,0570 0,00 0,0050 0,035 BA-ON 0,0084 0,009 0,0038 0,00457 0,00436 0,0039 0,0038 0,00798 0,00457 0,00364 0,0068 IPIANGA PT 0,0048 0,0063 0,004 0,00443 0,0056 0,0049 0,00454 0,00684 0,00398 0,0039 0,0066 ITAUBANC-PN 0,0085 0,00055 0,00486 0,00356 0,0090 0,00357 0,0049 0,00548 0,00443 0,0040 0,00490 ITAUSA-PN 0,0083 0,008 0,00494 0,00445 0,0036 0,00375 0,00450 0,00565 0,0046 0,004 0,00559 KLABIN-PN 0,0078 0,0003 0,00403 0,00407 0,0040 0,009 0,00476 0,00667 0,00409 0,00476 0,0063 LIGHT-ON 0,00434 0,0005 0,0066 0,00740 0,003 0,0088 0,0037 0,085 0,00993 0,00903 0,097 PTOB-ON 0,0066 0,00055 0,0033 0,0080 0,0087 0,00305 0,0039 0,0050 0,0044 0,0037 0,00547 PTOB-PN 0,006 0,00053 0,00309 0,0035 0,007 0,00336 0,00360 0,00493 0,0046 0,004 0,00550 SID NAC-ON 0,0087 0,0054 0,00447 0,0053 0,00500 0,0045 0,00574 0,0066 0,00560 0,00548 0,00687 SID TUB-PN 0,007 0,0063 0,00339 0,00406 0,00406 0,0033 0,00369 0,0054 0,0074 0,008 0,0059 SOU. CUZ-ON 0,003 0,0003 0,0059 0,0064 0,0055 0,0093 0,0043 0,0038 0,007 0,004 0,0038 etoro édio 0,00896 Variâcia 0,0058 Semivariâcia Portfólio ercado 0,0077 Cov, 0,0048 0,0005 0,0048 0,0049 0,00479 0,00459 0,00557 0,0086 0,0068 0,00588 0,0086 Coeficiete Beta 0,4707 0,09736 0,93 0,9956 0,90739 0,86954,055,5645,709,365,54675 0

etoro édio 0,0384 0,063 0,046 0,0390 0,0706-0,0098 0,055 0,000 0,04039 0,0444 0,0334 BA SOU. IPIANGA ITAUBANC ITAUSA KLABIN LIGHT PTOB-ON PTOB-PN SID NAC SID TUB CUZ- ABV-PN 0,0084 0,0048 0,0085 0,0083 0,0078 0,00434 0,0066 0,006 0,0087 0,007 0,003 AACUZ-PNB 0,009 0,0063 0,00055 0,008 0,0003 0,0005 0,00055 0,00053 0,0054 0,0063 0,0003 BADSCO-PN 0,0038 0,004 0,00486 0,00494 0,00403 0,0066 0,0033 0,00309 0,00447 0,00339 0,0059 BASIL-ON 0,00457 0,00443 0,00356 0,00445 0,00407 0,00740 0,0080 0,0035 0,0053 0,00406 0,0064 CLSC-PNB 0,00436 0,0056 0,0090 0,0036 0,0040 0,003 0,0087 0,007 0,00500 0,00406 0,0055 CIG-ON 0,0039 0,0049 0,00357 0,00375 0,009 0,0088 0,00305 0,00336 0,0045 0,0033 0,0093 CIG-PN 0,0038 0,00454 0,0049 0,00450 0,00476 0,0037 0,0039 0,00360 0,00574 0,00369 0,0043 CSP-PN 0,00798 0,00684 0,00548 0,00565 0,00667 0,085 0,0050 0,00493 0,0066 0,0054 0,0038 LTOB-ON 0,00457 0,00398 0,00443 0,0046 0,00409 0,00993 0,0044 0,0046 0,00560 0,0074 0,007 LTOB-PNB 0,00364 0,0039 0,0040 0,004 0,00476 0,00903 0,0037 0,004 0,00548 0,008 0,004 LTOPO-PN 0,0068 0,0066 0,00490 0,00559 0,0063 0,097 0,00547 0,00550 0,00687 0,0059 0,0038 BA-ON 0,095 0,00480 0,0088 0,0038 0,005 0,00947 0,0033 0,0056 0,0056 0,0055 0,007 IPIANGA PT 0,00480 0,060 0,00358 0,00406 0,0037 0,00808 0,0036 0,0034 0,0043 0,0050 0,0039 ITAUBANC-PN 0,0088 0,00358 0,00460 0,0043 0,00333 0,00485 0,0065 0,0079 0,00434 0,00309 0,0064 ITAUSA-PN 0,0038 0,00406 0,0043 0,0049 0,00368 0,00534 0,0069 0,0086 0,00467 0,00339 0,0083 KLABIN-PN 0,005 0,0037 0,00333 0,00368 0,000 0,00684 0,0047 0,008 0,0040 0,0047 0,008 LIGHT-ON 0,00947 0,00808 0,00485 0,00534 0,00684 0,0570 0,0040 0,0043 0,0073 0,00745 0,00 PTOB-ON 0,0033 0,0036 0,0065 0,0069 0,0047 0,0040 0,0056 0,00503 0,00300 0,0033 0,000 PTOB-PN 0,0056 0,0034 0,0079 0,0086 0,008 0,0043 0,00503 0,0049 0,0038 0,005 0,0063 SID NAC-ON 0,0056 0,0043 0,00434 0,00467 0,0040 0,0073 0,00300 0,0038 0,07 0,00646 0,0066 SID TUB-PN 0,0055 0,0050 0,00309 0,00339 0,0047 0,00745 0,0033 0,005 0,00646 0,00950 0,00306 SOU. CUZ-ON 0,007 0,0039 0,0064 0,0083 0,008 0,00 0,000 0,0063 0,0066 0,00306 0,0040 etoro édio 0,00896 Variâcia 0,0058 Semivariâcia Portfólio ercado 0,0077 Cov, 0,00508 0,0049 0,00393 0,0043 0,00435 0,00798 0,0036 0,00353 0,0056 0,00434 0,0089 Coeficiete Beta 0,9636 0,9300 0,74454 0,78306 0,84,559 0,68593 0,6683 0,99633 0,8300 0,35878

Da equação 33 deve-se computar a matriz de semivariâcia { V < }, ode: ABV-PN AACUZ- PNB BADSCO- PN BASIL-ON CLSC- PNB CIG-ON CIG-PN CSP-PN LTOB AS-ON LTOB AS-PNB LTOPA ULO-PN 3 4 5 6 7 8 9 0 ABV-PN 0,00444-0,00054 0,0049 0,00089 0,00038 0,0007 0,0007 0,0030 0,008 0,0008 0,00054 AACUZ-PNB -0,00054 0,00479 0,0009 0,00 0,0044 0,0006 0,00048-0,00070-0,000-0,0003 0,00066 BADSCO-PN 3 0,0049 0,0009 0,00458 0,0046 0,006 0,009 0,0063 0,009 0,003 0,0030 0,00308 BASIL-ON 4 0,00089 0,00 0,0046 0,00648 0,0070 0,0054 0,0094 0,00380 0,00343 0,0034 0,00370 CLSC-PNB 5 0,00038 0,0044 0,006 0,0070 0,00607 0,0039 0,00358 0,00599 0,00337 0,00358 0,00593 CIG-ON 6 0,0007 0,0006 0,009 0,0054 0,0039 0,0046 0,0044 0,0050 0,00457 0,0043 0,0055 CIG-PN 7 0,0007 0,00048 0,0063 0,0094 0,00358 0,0044 0,0057 0,0060 0,00584 0,00553 0,006 CSP-PN 8 0,0030-0,00070 0,009 0,00380 0,00599 0,0050 0,0060 0,0830 0,0074 0,00708 0,00900 LTOBAS-ON 9 0,008-0,000 0,003 0,00343 0,00337 0,00457 0,00584 0,0074 0,060 0,0085 0,0069 LTOBAS-PNB 0 0,0008-0,0003 0,0030 0,0034 0,00358 0,0043 0,00553 0,00708 0,0085 0,0004 0,00574 LTOPAULO-PN 0,00054 0,00066 0,00308 0,00370 0,00593 0,0055 0,006 0,00900 0,0069 0,00574 0,0653 BA-ON 0,0058 0,0065 0,0038 0,000 0,0094 0,0059 0,0000 0,0038 0,0045 0,00067 0,0069 IPIANGA PT 3 0,0007 0,0038 0,0086 0,0004 0,009 0,0005 0,0083 0,008 0,00096 0,0005 0,006 ITAUBANCO-PN 4 0,0088 0,00035 0,0098 0,0064 0,0003 0,0078 0,000 0,006 0,000 0,009 0,007 ITAUSA-PN 5 0,008 0,00097 0,0096 0,0043 0,009 0,0087 0,00 0,006 0,0073 0,0069 0,004 KLABIN-PN 6 0,0007 0,0000 0,0095 0,0095 0,0003 0,00093 0,0035 0,0030 0,004 0,00 0,0079 LIGHT-ON 7 0,0037 0,0064 0,0045 0,0035 0,0073 0,0057 0,00595 0,07 0,00504 0,00437 0,080 PTOBAS-ON 8 0,00077 0,00037 0,0050 0,0003 0,005 0,0040 0,009 0,003 0,000 0,006 0,0054 PTOBAS-PN 9 0,00074 0,00035 0,004 0,0043 0,0003 0,0075 0,0065 0,0004 0,0045 0,0006 0,0064 SID NACIONAL-ON 0 0,0057 0,008 0,0096 0,0074 0,0050 0,00 0,0083 0,0095 0,0037 0,004 0,006 SID TUBAAO-PN 0,00064 0,004 0,003 0,0094 0,0099 0,005 0,009 0,0086 0,00007-0,0006 0,0066 SOUZA CUZ-ON 0,00076 0,00003 0,00069 0,007 0,00065 0,0007 0,0038 0,0008 0,000 0,0003 0,00085 Assim, por exemplo, o elemeto 5, CLSC-PNB, AACUZ-PNB apreseta seu valor umérico defiido através da expressão: V5 5 V > 0,0068 0,90739 0,09736 0,0077 0,0044 A miimização da equação 33 está sueita as limitações das fuções, 3 e 4 que é umericamete descrita como segue: 0,099 0,068 0,063 0,000 7 3 9 + 0,03096 + 0,0750 + 0,046 8 + 0,04039 0,00 + 0,0746 + 0,00897 4 0 3 9 + 0,0390 + 0,0444 para + 0,0360 + 0,00939 5 4 0 + 0,0706 + 0,034,,3..., + 0,00893 6 0 5 + 0,0058 + 0,0098 + 0,0090 7 6 + 0,0384 + + + 0,055 Ballestero 005 explica que os portfólios selecioados por fudos mútuos, os stados Uidos, podem ser diversificados até o limite de 5%. Assim, este limite implica a participação percetual máxima do ativo o portfólio. Para a pesquisa adotou-se um limite para diversificação superior à zero para cada ativo com a codição de que a soma das participações dos ativos ão excedam a 00%. 4. esultados obtidos a pesquisa Cada ível 0,, cosiderado como alvo de retoro, coduz a um portfólio eficiete de média-semivariâcia cua participação percetual o portfólio aparecem a tabela e tabela 3. Tabela. Composição das carteiras com base a média-semivariâcia Semivariâcia - odelo Ballestero etoro Alvo CDI,43% IBOV 0,90% IB,59% Participação % ABV-PN 0,8703 0,06897 0,0588 AACUZ-PNB 0,0 0,00000 0,0649 BADSCO-PN 0,345 0,558 0,695 BASIL-ON 0,00000 0,00000 0,00000 8 +

CLSC-PNB 0,359 0,0947 0,76 CIG-ON 0,00000 0,00000 0,00000 CIG-PN 0,00000 0,00000 0,00000 CSP-PN 0,00000 0,00000 0,00000 LTOBAS-ON 0,00000 0,00000 0,00000 LTOBAS-PNB 0,06375 0,4 0,05784 LTOPAULO-PN 0,00000 0,00000 0,00000 BA-ON 0,00000 0,00000 0,00000 IPIANGA PT 0,0386 0,07 0,0399 ITAUBANCO-PN 0,00000 0,00000 0,00000 ITAUSA-PN 0,00000 0,00000 0,00000 KLABIN-PN 0,00000 0,00000 0,00000 LIGHT-ON 0,08754 0,3879 0,05889 PTOBAS-ON 0,00000 0,00000 0,00000 PTOBAS-PN 0,368 0,984 0,379 SID NACIONAL-ON 0,00000 0,00000 0,00000 SID TUBAAO-PN 0,00000 0,00000 0,00000 SOUZA CUZ-ON 0,00000 0,00000 0,00000 Tabela 3. Composição das carteiras com base a média-variâcia Variâcia - odelo arkowitz etoro Alvo CDI,43% IBOV 0,90% IB,59% Participação % ABV-PN 0,7574 0,76 0,848 AACUZ-PNB 0,0649 0,00000 0,06465 BADSCO-PN 0,03 0,00000 0,0544 BASIL-ON 0,00000 0,00000 0,00000 CLSC-PNB 0,347 0,376 0,363 CIG-ON 0,00000 0,00000 0,00000 CIG-PN 0,00000 0,00000 0,00000 CSP-PN 0,00000 0,00000 0,00000 LTOBAS-ON 0,00000 0,00000 0,00000 LTOBAS-PNB 0,003 0,07557 0,069 LTOPAULO-PN 0,00000 0,00000 0,00000 BA-ON 0,00000 0,00000 0,00000 IPIANGA PT 0,00000 0,00000 0,00000 ITAUBANCO-PN 0,00000 0,00000 0,00000 ITAUSA-PN 0,00000 0,00000 0,00000 KLABIN-PN 0,00000 0,00000 0,00000 LIGHT-ON 0,08 0,3536 0,0579 PTOBAS-ON 0,00000 0,00000 0,00000 PTOBAS-PN 0,530 0,9469 0,4583 SID NACIONAL-ON 0,00000 0,00000 0,00000 3

SID TUBAAO-PN 0,00000 0,00000 0,00000 SOUZA CUZ-ON 0,00000 0,00000 0,00000 m adição, a tabela 3 mostra portfólios derivados do modelo arkowitz 95 com o mesmo retoro alvo 0 usados para derivar os portfólios de média-semivariâcia. Deste modo, os resultados de ambos os modelos média-semivariâcia e média-variâcia podem ser facilmete comparados. Isto sigifica que o ivestidor deve alterar a composição das ações coforme a defiição do seu obetivo. Nos ceários as respectivas composições de portfólio são comparadas para três diferetes íveis de retoro alvo esperado, 0 Ibovespa, 0 IB e 0 CDI, todos eles represetado a média dos retoros o período da pesquisa. Observamos que ão existiram coicidêcias de soluções para os dois modelos. O último passo da pesquisa foi o de idetificar se algum dos modelos cosegue o maior retoro com meor risco. Desta forma, após a defiição da composição de cada portfólio, foram calculados os retoros para cada um com base o retoro das ações selecioadas e sua participação percetual, para o período de aeiro a ovembro de 005, coforme Tabela 4. Além destas iformações, o redimeto acumulado e o desvio-padrão do CDI, do Ibovespa e do Ídice Brasil estão dispoíveis para cada um deles. Tabela 4 etoros obtidos o período de aeiro a ovembro de 005. etoro Alvo Usado para Otimização do Portfólio CDI IBOV IB odelo Ballestero 38,6% 6,59% 39,7% Desvio Padrão 6,07% 6,5% 5,90% odelo arkowitz 33,% 8,48% 34,53% Desvio Padrão 6,9% 6,% 6,09% etoro Alvo 7,7%,97% 3,86% Desvio Padrão 0,% 5,68% 5,87% Os portfólios defiidos através do modelo arkowitz 95 com base a médiavariâcia, ao utilizar como parâmetro retoro alvo o CDI e o Ídice Brasil, obtiveram redimetos superiores, o período de aeiro a ovembro de 005, a esses respectivos parâmetros, ão superado apeas o Ibovespa. Já os portfólios defiidos através do modelo de Ballestero 005 com base a média-semivariâcia, ao utilizarem o CDI, o Ibovespa e o Ídice Brasil obtiveram redimetos superiores, o mesmo período de aálise, aos mesmos parâmetros. Quado comparados os dois modelos, as soluções propostas por Ballestero 005 defiem portfólios cuos retoros superam os retoros dos portfólios propostos pelo modelo de arkowitz 95 além de superarem também os parâmetros CDI, Ibovespa e Ídice Brasil, com a vatagem de apresetarem desvios-padrões similares. 5. Coclusões A pesquisa teve o propósito de testar o modelo de programação defiido por Ballestero 005 o qual a fução obetivo a ser miimizada, sueita a cofiametos paramétricos padrão, coduz à froteira eficiete com base a média-semivariâcia. O modelo recai sobre uma base empiricamete testada, qual sea, a diversificação de portfólios e a validade empírica da equação de regressão beta de Sarpe 964 relacioado cada retoro do ativo ao mercado. Desta base, a matriz de semivariâcia do portfólio é derivada através de equações matemáticas, obtedo-se uma fução obetivo quadrática sem recorrer à eurística. Com base o artigo de Ballestero 005 procurou-se aplicar a matriz de semivariâcia para ações egociadas a Bovespa e comparar as soluções obtidas com as soluções derivadas do modelo de arkowitz 95, bem como avaliar os resultados obtidos por cada um desses 4

modelos, tedo como parâmetro três diferetes retoros alvos defiidos para a otimização dos portfólios, a saber, o CDI, o Ibovespa além do IB. Quado comparados os dois modelos etre si e com os parâmetros usados pelos modelos de otimização, as soluções ecotradas pelo modelo de Ballestero 005 defiem portfólios cuos retoros superam os retoros dos portfólios propostos pelo modelo de arkowitz 95 além de superarem também os parâmetros CDI, Ibovespa e Ídice Brasil, o período de aeiro a ovembro de 005, com a vatagem de apresetarem desvios-padrões similares. Já o modelo de otimização proposto por arkowitz 95 ao utilizar os parâmetros CDI, Ibovespa e Ídice Brasil como retoro alvo coseguiu defiir portfólios que superaram apeas os parâmetros CDI e Ídice Brasil, ão superado, etretato, o Ibovespa. Os resultados obtidos em relação à otimização de portfólios são semelates a aqueles relatados em Ballestero 005 embora, este último, as iformações utilizadas são de um mercado de ações fictício. m relação à possibilidade de coicidêcias a composição das participações percetuais dos ativos o portfólios ão foram obtidas coicidêcias de soluções, coforme Ballestero 005, que para sua pesquisa adotou sete diferetes parâmetros de otimização e desses, quatro apresetaram a mesma participação percetual dos ativos a defiição dos portfólios. O autor explica que variâcia e semivariâcia quadrática podem alcaçar valores o mesmo poto. Assim, ficam algus desafios para a próxima pesquisa a defiição da existêcia ou ão de coicidêcias de soluções, através do uso de um maior úmero de parâmetros para otimização dos portfólios. FÊNCIAS BALLSTO,. e OO, C. ultiple Criteria Decisio akig ad its Applicatios to coomic Problems, Bosto: Kluwer Academic Publisers, 998. BALLSTO,. ea-semivariace fficiet Frotier: A Dowside isk odel for Portfolio Selectio. Applied atematical Fiace, v.,., p.-5, 005. BOND, S. A. e SATCHLL, S.. Statistical properties of te sample semi-variace. Applied atematical Fiace,. 9, p. 9 39, 00. FISHBUN, P. C. ea-risk aalysis wit risk associated wit below-target returs. America coomic eview,. 67, p. 6-6, 977. GOOTVLD, H e HALLBACH, W. Variace vs dowside risk: Is tere really tat muc differece? uropea Joural of Operatioal esearc,. 4, p.304-39, 999. KALLBG, J. C. e ZIBA, W. T. Compariso of alterative utility fuctios i portfolio selectio problems. aagemet Sciece,.9, p. 57 76, 983. AKOWITZ, H.. Portfolio selectio. Joural of Fiace, v.7,., p. 77-9, mar. 95. NAWOCKI, D. Optimal algoritms ad lower partial momets: x post results. Applied coomics,. 3, p. 465-470, 99. Portfolio aalysis wit a large uiverse of assets. Applied coomics,. 8, p. 9 98, 996. POT,. B. Semivariace ad stocastic domiace: a compariso. America coomic eview,. 64, p. 00 04, 974. SHAP, W. F. Capital asset prices: a teory of market equilibrium uder coditios of risk. Joural of Fiace,.9, p. 45 44, 964. SOTINO, F. A. e PIC, L. N. Performace measuremet i a dowside risk framework. Joural of Ivestig, p. 59 65, 994. 5

VON NUANN, J. e OGNSTN, O. Te Teory of Games ad coomic Beavior, d ditio, Priceto: Priceto Uiversity Press, 947. 6