Trabalho e Energa Podemos denr trabalho como a capacdade de produzr energa. Se uma orça eecutou um trabalho sobre um corpo ele aumentou a energa desse corpo de. 1 OBS: Quando estudamos vetores vmos que este dos tpos de produtos vetoras: o produto escalar e o produto vetoral. Vmos também, que o produto escalar entre dos vetores resulta em um escalar e que o produto vetoral entre dos vetores resulta em um vetor. Denmos o trabalho realzado pela orça sobre uma partícula como o produto escalar da orça pelo deslocamento. F d Undade SI: 1N.m ou joule (J) No estudo de partículas atômcas é convenente o uso da undade ev. 1eV = 1,6 1-19 J
Trabalho: Movmento Undmensonal com Força Constante F F d Fd d Fd cos F d Eemplo: A gura abao mostra dos jovens empurrando um core por uma dstânca de 9, m em lnha reta na dreção do eo postvo. A orça F 1 eercda pelo jovem 1 é de 4N e az um ângulo de 3 o para bao a partr da horzontal; a orça F eercda pelo jovem é de N e az um ângulo de 4 o para cma com a horzontal. Calcule o trabalho realzado pelos jovens. Trabalho eecutado pelo jovem 1: Fd N m N o 1= 1 cos3 (4 )(9, )(cos3 ) 187 Trabalho eecutado pelo jovem : F d N m N o = cos 4 ( )(9, )(cos 4 ) 1379 Trabalho total: N F d 1 187N 1379N 349N P F 1
Trabalho realzado por uma orça varável: Caso undmensonal Suponha que a orça atue apenas ao eo e que seu módulo vare com de acordo com a unção F(). Suponha um corpo que se mova na dreção sob a ação dessa orça. Qual é o trabalho realzado por essa orça varável quando o corpo se move desde uma posção ncal até à posção nal? 3 De acordo com a gura (a) ao lado, que o trabalho realzado pela orça F() é: F F 1 1 F N No lmte n1 n, temos F() d O trabalho eecutado pela orça pode ser representado gracamente pela área sombreada sob a curva. Eemplo1: A orça aplcada em um objeto é F = F (/ 1). Encontre o trabalho realzado ao mover o objeto desde = até = 3, por avalação analítca da ntegral. 3 3 3 F 1 d F 1 d F 9 F 3 F 3
Trabalho realzado por uma Mola A orça eercda pela mola é chamada de orça restauradora. Na g. (a) ao lado mostra uma mola no estado relaado, sto é, nem comprmda nem dstendda. Na Fg. (b) o bloco o puado para a dreta, dstendendo a mola. Na g. (c) o bloco o empurrado para a esquerda, comprmndo a mola. A orça da mola é dada por: 4 F kd Epressão conhecda por Le de Hooke em homenagem a Robert Hooke. A constante k é chamada de constante da mola e é uma medda da rgdez da mola. Na gura acma, um eo dos o traçado ao longo do comprmento da mola, com a orgem ( = ) na posção da etremdade lvre quando a mola se encontra no estado relaado. Neste caso a Le de Hooke assume a orma: F k k O trabalho é dado por: ( ) d ( k) d k d ou anda: 1 k ( ) ( trabalho realz ado po r uma mola ) se se Se e se, então: 1 k
Trabalho realzado por uma orça varável: Caso bdmensonal. As epressões para a orça e o deslocamento no caso bdmensonal são: F F ˆ F ˆj e ds d ˆ dy ˆj O produto escalar entre a orça e deslocamento é dado por: y F s ( F ˆ F ˆj ) ( d ˆ dy ˆj ) F d ( ˆ ˆ ) F dy ( ˆ ˆj ) F d ( ˆj ˆ ) F dy ( ˆj ˆj ) y y y Portanto, o trabalho neste caso é dado por: F ds 1 1 5 ( F d F dy) y OBS: esta é uma ntegral de lnha! Eemplo : Uma partcula eetua um deslocamento s m ˆ 5 m ˆj, sobre uma reta. Durante o deslocamento, atua sobre a partícula uma orça constante F 3 N ˆ4 N ˆj. Calcule o trabalho eetuado pela orça e a componente da orça na dreção do deslocamento. O trabalho eetuado pela orça é: F s (3 N ˆ 4 N ˆj ) ( m ˆ 5 m ˆj ) 6 N. m N. m 14 N. m 14J A componente da orça na dreção do deslocamento é dada por: F cos s Já calculamos, agora precsamos calcular o módulo do deslocamento, Portanto; s ( s ) ( s )= (3 m) ( 5 m) 9m y s 9m 5, 38m 14 Nm. F cos F cos, 6N 5,38m
Energa Cnétca e o Teorema Trabalho-Energa Quando orças atuam sobre uma partícula enquanto ela sore um deslocamento, a energa cnétca da partículas vara de uma quantdade gual ao trabalho total total realzado por todas as orças que atuam sobre ela: total K K K Teorema do trabalho energa 6 Demonstração: Caso orça constante. Se a orça é constante pela segunda le de Newton, F ma, a aceleração também será constante. Neste caso podemos usar (sendo o delocamento), logo: R v v as s v v 1 1 F ma m Fs mv mv s 1 A grandeza K mv denomna-se energa cnét da partí ul ca c a: 1 1 mv mv K K K Eemplo 3: Um elétron acelerado num tubo de televsão chega à tela com uma energa cnétca de 1 4 ev. Calcule a velocdade do elétron (Dados: m e = 9,111-31 kg e 1eV = 1,6 1-19 J). 1 K (1, 61 J) K mv v m s m 9,111 kg 15 16,3513 1 / 31 1 6 v 35131 m / s 59, 71 m / s
Prova geral do teorema trabalho-energa Vamos demonstrar o teorema para o caso de uma orça não constante em uma dmensão. dv dv d total FRd mad m d m d dt d dt dv v 1 v m v d m vdv m vdv m v d v v 1 1 total mv mv Potênca: A potênca mede a capacdade de um sstema produzr (ou absorver) energa. Potênca Méda: Nos dá a medda da energa produzda (ou absorvda) num certo ntervalo de tempo t. P t Potênca nstantânea: Nos dá a medda da energa produzda (ou absorvda) num ntervalo de tempo muto pequeno, daí nstantânea. É útl quando queremos acompanhar a produção (ou absorção) de energa de manera precsa. 7 d ds P lm, como d F ds Temos, P F P F v t t dt dt