uesp UNIVERIDADE ETADUA PAUITA FACUDADE DE ENGENHARIA DE IHA OTEIRA PROGRAA DE PÓ-GRADUAÇÃO E ENGENHARIA ECÂNICA ETIAÇÃO DE RIGIDEZE DE ANCAI DE ROTORE POR ANÁIE DE ENIBIIDADE eoardo Cadro Dssertação apresetada à Facudade de Egehara de Iha otera da Uversdade Estadua Pausta Júo de esquta Fho, como parte dos requstos exgdos para a obteção do títuo de estre em Egehara ecâca Oretador: PROF. DR. uz de Paua do Nascmeto Iha otera, etembro de 4
ETIAÇÃO DE RIGIDEZE DE ANCAI DE ROTORE POR ANÁIE DE ENIBIIDADE EONARDO CADIRON Esta dssertação fo jugada adequada para obteção do títuo de ETRE E ENGENHARIA ECÂNICA a área de cocetração ECÂNICA DO ÓIDO e aprovada em sua forma fa peo Programa de Pós-graduação em Egehara ecâca Prof. Dr. Gberto Pechoto de eo / Coordeador do Curso. COIÃO EXAINADORA: Prof. Dr. uz de Paua do Nascmeto / Oretador Prof. Dr. Káta ucches Cavaca Prof. Dr. Gberto Pechoto de eo
OFERECIENTO A mha famía, por todo apoo e pacêca
v AGRADECIENTO Agradeço ao meu oretador uz de Paua do Nascmeto peo apoo em todos os mometos deste trabaho e peos esametos trasmtdos. Agradeço a FEI UNEP, corpo docete e fucoáros que de aguma forma cotrbuíram para que esse trabaho fosse reazado. Agradeço aos meus coegas de mestrado arceo Braz de Aquo, Gso emos e os demas peo compahersmo e apoo. Agradeço a mha rmã va ara Cadro Rezede peo apoo e pea cosutora.
v UÁRIO CAPÍTUO.... INTRODUÇÃO... Pága CAPÍTUO... 5. APECTO GERAI E DINÂICA DE ROTORE... 5. Itrodução... 5. Veocdades crítcas... 6.3 Ifuêca do Efeto Groscópo com o odeo por Eemetos Ftos... 9.4 stema Rotor-Estrutura uporte-fudação... CAPÍTUO 3... 4 3. ODEAGE ATEÁTICA DE ROTORE... 4 3. Itrodução... 4 3. Equações de movmeto de rotores peo método dos eemetos ftos... 4 CAPÍTUO 4... 9 4. ANÁIE DE ENIBIIDADE DE PARÂETRO... 9 4. Itrodução... 9 4. Aáse de sesbdade da resposta em freqüêca dos sstemas... 9 { } 4.. Determação de ( m, m, c, f )... 4.3 Aáse de sesbdade da resposta moda... 4.3. esbdade da resposta moda de sstemas ão amortecdos... 4.3. esbdade da resposta moda de sstemas amortecdos... 9
v CAPÍTUO 5... 36 5. ÉTODO DE AJUTE DE RIGIDEZ DE ANCAI... 36 5. Itrodução... 36 5. étodo de Ajuste... 36 5.3 Cosderações obre o Programa Computacoa... 4 CAPÍTUO 6... 4 6. PROCEDIENTO EXPERIENTAI... 4 6. Itrodução... 4 6. Rotor de Esaos Expermetas... 4 6.3 Aqusção e processameto de sas... 44 6.4 Equpametos e Istrumetação utzados... 44 6.5 étodo de obteção dos modos de vbração expermetas... 45 6.6 Cosderação sobre a massa das âmas... 48 6.7 Correação dos modos expermetas (AC)... 49 CAPÍTUO 7... 5 7. ANÁIE DO ÉTODO IUAÇÃO TEÓRICA... 5 7. Itrodução... 5 7. Aáse do rotor com dos macas... 5 7.. odeagem matemátca... 5 7.. Rgdez equvaete do exo... 5 7..3 Freqüêcas aturas de referêca... 53 7..4 Resutados das smuações... 54 7.3 Aáse do rotor com três macas... 57 7.3. odeagem atemátca... 57 7.3. Rgdez equvaete do exo... 57 7.3.3 Freqüêcas aturas de referêca... 58 7.3.4 Resutados das smuações... 58
v CAPÍTUO 8... 6 8. ANÁIE DO ÉTODO CO DADO EXPERIENTAI... 6 8. Itrodução... 6 8. Dados expermetas do rotor... 6 8.3 odeo matemátco de ajuste dos macas... 69 8.4 Ajuste das rgdezes do rotor com dos macas... 7 8.5 Ajuste das rgdezes do rotor com três macas... 75 CAPÍTUO 9... 77 CONCUÕE... 77 9. Cocusões Geras... 77 9. ugestões para trabahos futuros... 78 REFERÊNCIA BIBIOGRÁFICA... 79 APÊNDICE I - atrzes das equações de movmeto EF... A -
v ITA DE TABEA Tabea 7. Dscretzação do rotor com dos macas... 5 Tabea 7. Freqüêcas aturas x rgdez dos macas... 54 Tabea 7.3 Resutados da estmação de rgdez baxa maca depedete (x N/m)... 55 Tabea 7.4 Resutados da estmação de rgdez a zoa de trasção (x 5 N/m)... 55 Tabea 7.5 Resutados da estmação de rgdez eevada exo depedete (x 8 N/m)... 56 Tabea 7.6 Resutados da estmação de rgdezes dsttas (x 5 N/m e x 3 N/m)... 56 Tabea 7.7 Dados adcoas da dscretzação do rotor de três macas... 57 Tabea 7.8 Freqüêcas aturas x rgdez dos macas... 58 Tabea 7.9 Resutados da estmação de rgdez baxa maca depedete (x N/m)... 59 Tabea 7. Resutados da estmação de rgdez a zoa de trasção (x 5 N/m)... 59 Tabea 7. Resutados da estmação de rgdezes dsttas (x 5, x 4 e x 3 N/m)... 6 Tabea 7. Resutados da estmação de rgdezes dsttas (x 3, x 4 e x 5 N/m)... 6 Tabea 8. Freqüêcas aturas expermetas do rotor com dos macas, parado... 65 Tabea 8. Freqüêcas aturas expermetas do rotor com dos macas, em movmeto 66 Tabea 8.3 Freqüêcas aturas expermetas do rotor com três macas, parado... 69 Tabea 8.4 Freqüêcas aturas expermetas do rotor com três macas, em movmeto. 69 Tabea 8.5 Eemetos de exo e de dsco do rotor... 7 Tabea 8.6 assas das âmas represetatvas dos macas... 7 Tabea 8.7 Eemetos adcoas do rotor de dos macas... 7 Tabea 8.8 Eemetos adcoas do rotor de três macas... 7 Tabea 8.9 Resutado do ajuste do rotor com dos macas sem rotação... 73 Tabea 8. Ifuêca do efeto groscópo para o rotor de dos macas... 74 Tabea 8. Resutado do ajuste do rotor com três macas sem rotação... 75 Tabea 8. Ifuêca do efeto groscópo para o rotor de três macas... 76
x ITA DE FIGURA Fgura. Dagrama de Campbe Típco... 9 Fgura. Rotor de um dsco e dos macas... Fgura 3. stema deformado composto por exo, dscos e macas... 5 Fgura 5. Fuxograma do agortmo de ajuste do modeo... 39 Fgura 6. Deseho do rotor com meddas em mímetros... 43 Fgura 6. Rotor de aboratóro... 43 Fgura 6.3 Istrumetação para meddas expermetas... 45 Fgura 6.4 Resíduo e Póo... 46 Fgura 6.5 Iustração do método Quadrature Pcg... 48 Fgura 7. Dscretzação do sstema com macas... 5 Fgura 8. FRF do rotor de dos macas com âmas de 5mm, parado... 63 Fgura 8. Parte Rea e Imagára da FRF (Fgura 8.)... 64 Fgura 8.3 Prmero e segudo modos expermetas (Fgura 8.)... 64 Fgura 8.4 FRF do rotor com dos macas, a 5 rpm e âmas de 7,9 mm... 66 Fgura 8.5 FRF do rotor de três macas com âmas de 9,5 mm, parado... 67 Fgura 8.6 Parte Rea e Imagára da FRF (Fgura 8.5)... 68 Fgura 8.7 Prmero, segudo e tercero modos expermetas (Fgura 8.5)... 68 Fgura 8.8 Dscretzação básca do rotor em ós... 7
x ITA DE ÍBOO autovaor Ω ω deomado reação de whr ou sp. Ω veocdade de rotação do rotor ω freqüêca atura do sstema φ desocameto moda termo de um autovetor termo de sesbdade em reação aos autovaores µ desdade por udade de área (X,Y,Z) exo fxo de coordeadas (x,,z) exo móve de coordeadas (Ys, Zs, ΘYs, ΘZs) desocametos reatvos do exo de um poto quaquer do sstema a uma dstâca reatva ao sstema de referêca fxo (s, zs, θs, θzs) desocametos reatvos do exo de um poto quaquer do sstema a uma dstâca reatva ao sstema de referêca móve * cojugado compexo q, q coordeadas geerazadas [C] matrz de amortecmeto [G] matrz groscópca [I] matrz detdade [K] matrz de rgdez [] matrz de trasformação ortogoa [] matrz de massa [Λ] matrz dos autovaores [Φ] matrz dos autovetores {f(ω)} vetor exctação {f(t)} vetor força {(ω)} vetor resposta a parâmetro característco da érca do rotor ACE oftware de aqusção de dados
x ACII Amerca tadard Code for Iformato Iterchage formato de armazeameto de dados baseado em 8 tpos de caracteres C úmero de terações do agortmo de ajuste C úmero de passos varado de a p D dâmetro do dsco d referete ao eemeto de dsco d varáve de dâmetro e dstâca da massa desbaaceada em reação ao cetro geométrco do dsco E móduo de eastcdade e varáve de espessura esp. espessura f fuêca dâmca do cojuto fme de óeo FRF Fução de Resposta em Freqüêca H(ω) fução de resposta em freqüêca I mometo de érca trasversa e j ídces de referêca matrca e j ídces referetes a resposta e a exctação respectvamete e j úmero compexo K ou varáve de rgdez comprmeto dos eemetos de vga varáve de comprmeto m massa tota do sstema AC oda Assurace Crtero Crtéro de correação dos modos de vbração teórcos e expermetas atab oftware de programação do tpo guagem terpretada. m d massa desbaaceada md massa do dsco ID mometo de érca de massa dametra do dsco IP mometo de érca de massa poar do dsco ø dâmetro p úmeros de partes da dvsão de passos p posção do póo
x r fuêca dâmca do rotor r modo de vbração em partcuar R movmetos de rotação R resíduo T trasação to toerâca para autovaores to vaor de refereca para a execução da dvsão de passos σ parte rea do póo p razão a qua uma vbração amortecda deca em amptude
x REUO Neste trabaho são otmzadas rotas computacoas de um método de estmação de rgdez de macas de máquas através de um processo de ajuste de modeo, utzado a aáse de sesbdade. Este método cosste em utzar a aáse de sesbdade dos autovaores com reação à varação da rgdez dos macas de um rotor. A efcáca e a robustez do método são aasadas através de smuações teórcas, bem como através de dados expermetas obtdos de um rotor de rotação varáve e rgdezes dos macas ajustáves. O modeo matemátco de ajuste do sstema é desevovdo peo método dos eemetos ftos e o método de ajuste coverge empregado-se um processo teratvo. Este método de ajuste basea-se a mmzação da dfereça etre autovaores expermetas e autovaores obtdos com o modeo matemátco de ajuste a partr de vaores de rgdez dos macas prevamete adotados. A aáse é feta com o rotor em dversas veocdades de rotação para verfcar a fuêca do efeto groscópo, e em dversas codções de vaores da rgdez dos macas para aasar o método quado apcado em rotores fexíves e em rotores rígdos. O desempeho do método é aasado com resutados teórcos e expermetas.
xv ABTRACT I ths wor, computatoa routes of estmato method of stffess bearg of mache va a mode updatg process are optmzed, usg the sestvt aass. Ths method cossts of usg the egevaue sestvt aass, reatg to the stffess bearg varato of a rotor. The effcac ad the robustess of the method are aazed through the theoretca smuatos, as we as, based o the expermeta data obtaed of a test rotor wth varabe rotatg speeds ad adjustabe bearg stffess vaues. The mathematca mode sstem s deveoped b the fte eemet method ad the method of adjustmet shoud coverge empog a teratve process. The method of adjustmet s based o the mmzato of the dfferece betwee expermeta egevaues ad egevaues obtaed va mathematca mode from prevous adopted stffess bearg vaues. The aass s made b usg the rotor dfferet rotatg speeds order to chec the fuece of the groscopc effect, ad severa codtos of the stffess bearg vaues to aaze the method whe apped o fexbe ad rgd rotors. The performace of the method s aazed through theoretca ad expermeta resuts.
CAPÍTUO. INTRODUÇÃO Os modeos matemátcos são utzados para smuar e fazer predções do comportameto vbratóro dos sstemas dâmcos. Quado os modeos são empregados a otmzação de sstemas, a detecção de fahas ou mesmo durate o processo de ajuste de um modeo, exste um partcuar teresse em se obter reações etre as varações dos parâmetros do sstema (massa, rgdez e amortecmeto) e seu comportameto moda ou sua reposta devdo às váras exctações. Neste mometo, a aáse de sesbdade tem sdo utzada com grade teresse para predzer a tedêca do comportameto do sstema com as varações de seus parâmetros, ZIOCH (987). Para reazar smuações cofáves é ecessáro desevover modeos bem ajustados para represetar damcamete os sstemas reas e mutos pesqusadores têm demadado esforços para desevover métodos robustos de ajuste de modeos (mode updatg). Em gera, os ajustes de modeos são fetos em termos de parâmetros represetatvos da massa, e prcpamete, da rgdez do sstema. Na recete pubcação de ZHANG et a (), é apresetado um método de ajuste com o objetvo de reduzr a dfereça etre as freqüêcas aturas cacuadas e as meddas. O método basea-se o prmero termo da sére de Taor de autovaores com respeto à sesbdade de agus parâmetros estruturas a ser ajustado, e produzu resutados muto satsfatóros. UN et a () também apresetam um método de ajuste de modeos empregado a aáse de sesbdade, e a dfereça etre o modeo aaítco e o expermeta é mmzado automatcamete peo agortmo dos mímos quadrados. O ajuste de modeos também tem despertado grade teresse o processo de detecção e ocazação de fahas em sstemas, e este caso, a rgdez desempeha um pape muto mportate vsto que mutas fahas resutam em uma varação da rgdez do sstema. Neste setdo, pode-se ctar os trabahos de HEINAN (996), de KOATKA e RICE (999) e de DE e RÓZ (), cujos métodos de detecção de fahas utzam a aáse de sesbdade dos parâmetros modas do sstema com reação à varação de rgdez e de massa. A detfcação de rgdez e o ajuste de modeos tem sdo empregados, em grade parte, em estruturas metácas, como, por exempo, o trabaho de CUNHA et a (999), que apcam um agortmo de detfcação das propredades de rgdez de materas compostos utzados em
pacas metácas. Um outro trabaho teressate de detfcação de rgdez de reforços apcados em estruturas é apresetado por GEA e UO (999), ode a detfcação é feta através de um processo de otmzação de mútpos autovaores. Em ambos artgos, os autores também utzaram a aáse de sesbdade de parâmetros os agortmos de ajustes. Uma outra apcação de grade teresse o ajuste de modeo é a detfcação de rgdez de macas de sstemas rotatvos. Nas máquas rotatvas, os vaores da rgdez dos macas são dfíces de serem determados e ão são ecotrados dretamete a teratura, vsto que são fução do tpo de maca, da veocdade de rotação da máqua, das característcas do ubrfcate ou do roameto empregado, da estrutura suporte do maca e da fudação. Etretato, os outros parâmetros dâmcos da máqua podem ser estmados com uma precsão satsfatóra a partr de seu projeto (deseho) e de formações do usuáro ou do costrutor. A estmação da rgdez dos macas é muto mportate quado se pretede desevover um modeo matemátco com uma boa precsão para represetar damcamete o sstema, e sabe-se que sso somete é possíve com a quatfcação precsa de todos os parâmetros dâmcos, ART et a (), INHA et a () e CAVACA e TADEO (3). Agus trabahos de detfcação de rgdez de macas têm sdo pubcados, mas, em gera, a comprovação dos métodos de ajuste é feta através de smuações teórcas, outros ão cuem o efeto groscópo o modeo a ser ajustado e utzam dados expermetas com o sstema sem rotação. Aém dsso, os exempos umércos apresetados ormamete são apcados a sstemas com macas fexíves. abe-se que quado os vaores de rgdez dos macas são eevados, suas sesbdades com reação à resposta moda do sstema são muto pequeas e acarretam uma stabdade o método de ajuste, dfcutado a covergêca para a soução. Um trabaho teressate de detfcação de rgdez dos suportes dos macas de um rotor é apresetado por U e HUANG (997), cujo ajuste do modeo é feto de forma teratva e empregado a aáse de sesbdade da matrz de receptâca. Apresetam resutados mportates, mas ão utzam dados expermetas como base para o ajuste. Outros artgos smares também já havam sdo pubcados por RAJAN et a (986), CAINI et a (987) e KRAU et a (987). Neste trabaho fo reazada uma otmzação as rotas computacoas de um método de estmação de rgdez de macas de máquas rotatvas e de ajuste de modeos matemátcos. Para aasar o fucoameto e a robustez do método de ajuste foram obtdos resutados através de smuações teórcas e resutados com base em dados expermetas de um rotor de aboratóro. Aasou-se a robustez do método para estmar rgdez de macas fexíves e de macas
3 extremamete rígdos, ode a covergêca para a soução é sempre mas dfíc. Aém dsso, aasou-se a covergêca do método com a trodução do efeto groscópo o modeo de ajuste, sso para verfcar a mportâca desse feômeo quado se busca estmar as rgdezes dos macas de rotores em operação, stuação em que todos os efetos dâmcos sobre o rotor e sobre seus macas estão presetes, portato, coduzdo a uma estmação mas reasta. Neste cotexto, a aáse do método com o rotor grado fo reazada cosderado váras veocdades de rotação. Para obter dados que pudessem coduzr a cocusões mas crterosas, aasou-se o método de ajuste tomado o rotor com dos e com três macas com rgdezes varadas. No capítuo deste trabaho é apresetada a fudametação teórca da dâmca de rotores. A abordagem fo apeas trodutóra, com êfase o efeto groscópo e suas mpcações sobre a dâmca dos rotores, mostrado como esse efeto pode ser troduzdo em um modeo de rotor. A teora para a obteção das equações de movmeto para o desevovmeto de modeos matemátcos de rotores é apresetada o capítuo 3, ode utzou-se o método dos eemetos ftos cosderado o sstema axssmétrco com macas sotrópcos. Uma ateção especa fo dada à soução do probema de autovaor e autovetor quado o efeto groscópo é troduzdo o modeo devdo à grade mportâca desse efeto a aáse do comportameto do método de ajuste para o sstema em movmeto. O capítuo 4 apreseta a aáse de sesbdade de parâmetros de sstemas utzado uma aproxmação peo prmero termo da sére de Taor. Tem como poto de partda a abordagem feta por ZIOCH (987) e procede ao desevovmeto das equações das dervadas para se chegar às sesbdades quado se tem pequeas varações os termos das matrzes das equações de movmeto do sstema. Aém da aáse de sesbdade das característcas modas em reação à varação de rgdez, também é apresetado o desevovmeto da sesbdade da resposta em freqüêca cosderado a varação de outros parâmetros aém da rgdez. O método de ajuste de modeos e de estmação de rgdez de macas é apresetado o capítuo 5, ode o agortmo de ajuste cosste a soução de um sstema de equações eares que é resovdo de forma teratva. O fuxograma do agortmo de ajuste e os detahes das rotas computacoas mpemetadas também são dscutdos este capítuo. O rotor de aboratóro para a aqusção dos dados expermetas, os equpametos, os sesores e os codcoadores para aqusção e aáse de sas de vbração são detahados o capítuo 6. Aém dsso, apreseta-se o método utzado para a extração dos modos de vbração expermetas do rotor a partr do evatameto das fuções de resposta em freqüêca, e o
4 crtéro AC para comparar os modos de vbração expermetas com os modos teórcos do modeo ajustado. No capítuo 7 é feta uma aáse do fucoameto e da robustez do método de ajuste através de smuações teórcas. O efoque prcpa fo a avaação do método para estmar rgdezes dos macas em codções extremas, sto é, para estmar macas bem fexíve, ode as varações as freqüêcas aturas do rotor são bascamete reacoadas com as varações das rgdezes dos macas (sstema maca depedete), e para estmar macas atamete rígdos, ode as varações as freqüêcas aturas do rotor fcam pratcamete depedetes das característcas do exo (sstema exo depedete). Aém dsso, é feta uma verfcação do processo de covergêca do método para dversas codções cas de rgdez dos macas. A aáse do método de ajuste utzado os dados expermetas do rotor de aboratóro é dscutda o capítuo 8, ode é feta, adcoamete, uma avaação do método para estmar rgdezes do rotor em operação através da trodução do efeto groscópo o modeo de ajuste. Famete, o capítuo 9, são apresetadas as cocusões geras do trabaho reazado e agumas propostas para trabahos futuros.
5 CAPÍTUO. APECTO GERAI E DINÂICA DE ROTORE. Itrodução No estudo de vbrações e dâmca de sstemas mecâcos, a dâmca de rotores ormamete é tratada em um capítuo à parte. Isto ocorre devdo à grade mportâca dos rotores e sua vasta apcação a dústra e às certas partcuardades que a dâmca de rotores apreseta. O termo rotor é apcado, de forma gera, aos sstemas mecâcos rotatvos compostos por um ou mas dscos e um exo que os suportam, apoado em macas. Os dscos podem assumr dferetes formas depededo do sstema aasado, podedo ser desde o cojuto de pás de uma turba até um dsco macço. Os tpos de rotores mas ecotrados as dústras são rotores de bombas cetrífugas de um ou de mútpos estágos, de turbas a gás ou hdráucas, de vetadores, de trem de egreages, etc. A atua tedêca de costrução de máquas rotatvas com maor cocetração de potêca e com veocdades de operação mas eevadas vem tedo como coseqüêca um aumeto cosderáve das forças dâmcas atuado sobre os sstemas. Essa tedêca vem demadado um aumeto os requstos dos projetos para o desevovmeto de máquas mas efcetes, que fucoem vres de probemas de vbrações desejáves e que acacem uma estabdade dâmca satsfatóra. Devdo a sso, aos avaços das téccas de aáse de vbrações e dos métodos aaítcos, foram motvadas mutas pesqusas sobre dâmca de rotores. Procura-se, sobretudo, mehorar a cofabdade dos modeos matemátcos e as téccas computacoas para a smuação dos feômeos dâmcos com uma maor precsão, EHEAN (984) e CHID (993). A aáse da dâmca de rotores se cocetra, sobretudo, a detfcação das característcas dâmcas própras dos sstemas. Uma vez que os sstemas podem estar submetdos a uma grade varedade de forças de exctação, cusve atuado em badas argas de freqüêca, a determação das freqüêcas aturas é de grade teresse. Por sua vez, os modos aturas de vbração teórcos são mportates para predzer as deformações reatvas que ocorrem o exo as freqüêcas aturas e aode estas deformações têm maores amptudes. Outra apcação mportate da dâmca de rotores é obter a amptude da resposta devda à ação
6 das prcpas forças que atuam o sstema. A predção da amptude da resposta com precsão requer uma correta dscretzação matemátca do sstema, a determação exata das característcas dâmcas dos macas e seus suportes e um cohecmeto das característcas das forças atuates e os potos de apcação das mesmas.. Veocdades crítcas Uma veocdade crítca se caracterza quado uma força de exctação atua com uma freqüêca cocdete com uma das freqüêcas aturas do rotor. A força de exctação tem orgem em aguma massa desbaaceada o rotor que atua a freqüêca gua à freqüêca de rotação. Para uma aáse de veocdades crítcas, cosdere um rotor smétrco smpes composto por um exo apoado sobre macas rígdos em suas extremdades, sobre o qua está fxado um dsco cotedo uma massa desbaaceada. Cosdere também que toda massa do rotor esteja cocetrada o poto ode o dsco está fxado. Assm, a equação de movmeto do rotor é dada pea equação, AANNE e FERRARI (998), mq& aωq& q mdeω se Ωt (.) mq& aωq& q mdeω cosωt (.) ode: m massa tota do sstema, e dstâca da massa desbaaceada em reação ao cetro geométrco do dsco, rgdez do exo o poto ode a massa do rotor é cosderada, m d massa desbaaceada, Ω veocdade de rotação do rotor, q, q coordeadas geerazadas, q&, q& dervada prmera das coordeadas geerazadas o tempo t, q& &, q& & dervada seguda das coordeadas geerazadas o tempo t, a parâmetro característco da érca do rotor.
7 Admtdo-se o rotor com vbração vre, as equações (.) e (.) resutam: m q& aωq& q (.3) m q& aωq& q (.4) Estas equações podem ser escrtas a forma matrca como segue: m q&& Ω m q&& a a q& q& q q (.5) O segudo termo do ado esquerdo da equação (.5) possu uma matrz, a qua mutpcada por Ω, expressa o efeto groscópo do rotor. Admtdo uma soução harmôca para a equação (.5) da forma, Q e q rt ; rt q Qe (.6 a;b) e troduzdo estas equações a equação (.5), resuta o sstema de equações homogêeas, mr aω r aω r Q mr Q (.7) A soução trva, Q Q, ão é de teresse. As souções ão-trvas são assocadas aos vaores que coduzem o determate da matrz da equação (.7) gua a zero. A expasão do determate resutará a equação característca dada por, ( mr ) a Ω r (.8) que pode ser escrto como, ( m a Ω ) r 4 m r (.9)
8 As raízes da equação (.9) são dadas por: 4 Ω a m m Ω a r ω ω (.) 4 Ω a m m Ω a r ω ω (.) ode, m ω (.) sedo, ω r ± j ; ω r ± j (.3 a;b) etão, 4 Ω a m m Ω a ω ω ω (.4) 4 Ω a m m Ω a ω ω ω (.5) Das equações (.4) e (.5) pode-se observar que: ω ω ω < < (.6) Pode-se observar peas equações (.4) e (.5) que para Ω, as freqüêcas aturas são dadas em fução de Ω a, e com sso pode-se costrur um dagrama de Campbe, o qua mostra a varação das freqüêcas aturas devdo ao efeto groscópo, que por sua vez é fução da rotação do rotor e do mometo de érca. A fgura. mostra um dagrama de Campbe
9 típco de um rotor. Observa-se que quado Ω tem-se a freqüêca atura ω, que este caso ustratvo assume o vaor de aproxmadamete 46 Hz. Com a rotação do rotor, ocorre a abertura em duas curvas de freqüêcas, e a medda em que a rotação do rotor aumeta, a freqüêca ω dmu e a freqüêca ω aumeta. A freqüêca atura ω é deomada de precessão retrógrada ( bacward whr ), e este caso o movmeto crcuar do cetro geométrco do rotor gra em setdo oposto ao setdo de rotação do rotor (rotação assícroa). Por sua vez, a freqüêca atura ω é deomada de precessão dreta ( forward whr ), ode o movmeto crcuar do cetro geométrco do rotor gra o mesmo setdo da rotação do rotor (rotação sícroa). 8 7 FN/6 F.5N/6 6 D FW 5 B F(Hz) 4 A C BW 3 3 4 5 6 7 8 9 rpm Fgura. Dagrama de Campbe Típco Os potos A e B correspodem aos potos ode as freqüêcas do rotor em precessão retrógrada e dreta se guaam à freqüêca de rotação do rotor, caracterzado-se, assm, stuações de veocdades crítcas. Os potos C e D correspodem aos potos ode essas freqüêcas se guaam à sub-harmôca da freqüêca de rotação..3 Ifuêca do Efeto Groscópo com o odeo por Eemetos Ftos Cosdere um rotor smétrco smpes costtuído de um exo e um dsco suportado por dos macas coforme mostra a fgura.. O exo tem comprmeto e dâmetro d, e o dsco tem dâmetro D e espessura e. As rgdezes dos macas são represetadas por e. Para esse
rotor admte-se uma modeagem por eemetos ftos, ode o exo é dvddo em dos eemetos de vga guas com rgdez e massa dstrbuídas, e eemeto de dsco é coectado ao ó etre os dos eemetos de vga. Nesta modeagem cosdera-se que o rotor possu dos graus de berdade por ó, sedo um de desocameto o pao da fgura e o outro de rotação em toro do exo, perpedcuar ao pao da fgura. Fgura. Rotor de um dsco e dos macas. A partr desta modeagem pode-se obter a equação para movmeto vre do rotor, cujo procedmeto será vsto com mas detahes o capítuo 3. A equação tem a forma: [ ] q& [ K ] q & (.7) ode q é a coordeada geerazada cotedo o desocameto e a rotação de cada ó, q& & é a dervada de seguda ordem da coordeada geerazada em reação ao tempo, [ ] e [ K ] são as matrzes de massa e rgdez gobas do rotor, respectvamete, as quas são dadas a segur: 6 6 6 4 6 EI 6 4 6 K 3 (.8) 6 8 6 6 6 6 6 4
56 µ 54 4 3 4 3 3 54 3 3 md 54 3 8 3 3 ID 3 3 IP 54 3 56 3 3 4 (.9) ode E é o móduo de eastcdade do matera do exo, I é o mometo de érca trasversa do exo, é o comprmeto dos eemetos de vga que este caso é gua a /, µ é desdade por udade de área do matera do exo, md é a massa do dsco, ID é o mometo de érca de massa dametra do dsco, IP é o mometo de érca de massa poar do dsco e é a reação de sp, que é a reação etre a prmera freqüêca atura e a freqüêca de rotação do sstema. Aasado-se os eemetos da matrz de massa, equação (.9), verfca-se que o efeto groscópo atua sobre a dâmca do sstema em fução da rotação do rotor e de seu mometo de érca de massa poar. O efeto groscópco pode ser comparado a um erjecmeto do rotor devdo à dmução do eemeto da matrz de massa goba que cotem o termo reacoado com a reação de sp. No trabaho de GREEN (948), ee apreseta um estudo sobre a veocdade crítca de rotores fexíves para város íves de efeto groscópco. O autor cta ada que o efeto groscópo deve ser troduzdo a modeagem de rotores quado o dâmetro do dsco for cosderavemete maor que o dâmetro do exo, porém sem ctar qua a reação etre os dâmetros para ta cosderação..4 stema Rotor-Estrutura uporte-fudação A modeagem de máquas rotatva evove ão apeas o exo rotor, mas também os macas, a estrutura suporte (pedesta) e a fudação, os quas são subsstemas fexíves. Assm, a smuação do comportameto dâmco do rotor deve-se evar em cota a teração etre todos os seus compoetes. Para resover esse probema, uma metodooga atuamete empregada é através do método das coordeadas mstas com modeos desevovdos peo método das mpedâcas mecâcas (BONEO e BRENNAN, ; KANG et a., ). Neste caso chega-se à segute equação de movmeto do sstema:
[ rr ] [ rf ] [ ] [ ] fr ff && xr && x f [ Crr ] [ Crf ] [ C ] [ C ] fr ff x& x & r f [ Krr ] [ Krf ] xr Fr [ K ] [ K ] x F fr ff f f (.) Na equação (.) os termos com subscrto r represetam a fuêca dâmca do rotor apeas, equato que os termos com subscrto f represetam a fuêca dâmca do cojuto fme de óeo, estrutura suporte e fudação referda o poto de coexão com o exo rotor. Os termos com subscrtos cruzados represetam o acopameto etre os dos subsstemas em questão. Para apcar o método das coordeadas mstas é ecessáro obter as característcas modas do cojuto que compõem os compoetes do maca do rotor, e tas característcas podem ser dfíces de se obter depededo do sstema aasado ou mesmo da precsão requerda. Os coefcetes de rgdez e de amortecmeto do fme de óeo podem ser determados em fução da veocdade de rotação do sstema para cada maca em partcuar, assocado a sua geometra e à vscosdade do óeo. Para obter esses coefcetes é ecessáro resover a equação de Reods. É uma equação dfereca parca que, a partr do tpo de maca e da vscosdade do ubrfcate, pode ser resovda para uma determada carga, uma dstrbução de pressão e uma espessura do fme de óeo, em fução da rotação (CHID, 993; EADER, 987). Etretato, os métodos para a resoução da equação de Reods ão são adequados para determar os coefcetes de rgdez e de amortecmeto de rotores com baxas veocdades de rotação. Aém das característcas do fme de óeo, a eastcdade das estruturas suportes dos macas exercem uma fuêca cosderáve sobre o comportameto dâmco dos rotores. As estruturas suportes comportam-se como eemetos eástcos eares e pratcamete ão possuem característcas de amortecmeto. A determação exata da rgdez dos suportes pode ser uma tarefa muto compcada tedo em vsta que os suportes, em gera, são formados por um cojuto de eemetos eástcos compexos. Aém dsso, deve-se ter em cota os vaores de rgdez das fudações, as quas ada depedem do tpo de soo em que estão fxadas, UTECHT (983). Na prátca, a detfcação da rgdez de macas com estruturas compexas ou mesmo de rotores de grade evergadura evovedo dados expermetas (por exempo, de udades hdreétrcas), pode ser abordada cosderado uma rgdez equvaete represetatva da rgdez do fme de ubrfcate, da estrutura suporte e fudação (ZHANG et a., ; UN et a., ). No método de detfcação de rgdez de maca que se apreseta este trabaho, Capítuo 5, também se faz esta cosderação, tomado uma rgdez equvaete para os macas dos rotores.
3 A rgdez dos suportes dos macas é o fator de maor fuêca a determação das veocdades crítcas dos rotores. Em gera, quato maor for a rgdez dos suportes, maores serão as veocdades crítcas. Em uma curva de veocdades crítcas de um rotor versus a rgdez dos seus macas pode-se verfcar três regões. Na regão ode a rgdez dos macas é baxa (reatva à rgdez do exo), as veocdades crítcas do sstema são quase que teramete depedetes da rgdez dos macas, e a curva tem uma cação ascedete acetuada. Na regão ode a rgdez dos macas são comparáves à rgdez do exo, tato a geometra do exo quato a rgdez dos macas cotrbuem para a determação das veocdades crítcas. Na regão ode os macas toram-se muto rígdos, o sstema é dto ser depedete do exo porque varações a rgdez dos macas ão fuecam as freqüêcas aturas sgfcatemete, apeas a geometra do exo tem fuêca sobre as freqüêcas (curva de patamar costate).
4 CAPÍTUO 3 3. ODEAGE ATEÁTICA DE ROTORE 3. Itrodução Os modeos matemátcos têm sdo uma ferrameta mportate para o estudo do comportameto dâmco de rotores, prcpamete em stuações ode há grades dfcudades de se pratcar uma aáse expermeta apurada. O desevovmeto de modeos matemátcos para rotores pode ser feto utzado dferetes métodos, como por exempo, o método por mútpos corpos, o método das matrzes de trasferêca e o método dos eemetos ftos, PETE e ECKIE (963) e NEON (979). A utzação do método dos eemetos ftos para a resoução de probemas dâmcos tem tomado posção de destaque as útmas décadas, em vrtude do avaço tecoógco dos computadores dgtas. Este fo o método empregado este trabaho para o desevovmeto do modeo matemátco do rotor para aáse expermeta. O modeo matemátco através do método dos eemetos ftos pode reproduzr o comportameto moda do rotor com uma precsão satsfatóra mesmo utzado eemetos ftos smpes. Assm, este trabaho o modeo fo desevovdo utzado eemetos de dsco rígdo, eemetos de vga eástca e eemetos de moa (rgdez cocetrada). Nos eemetos de dsco rígdo podem ser troduzdos os efetos das massas e dos mometos de érca (poar e dametra), bem como o efeto groscópo. A eastcdade e a massa dstrbuída do exo são troduzdas o modeo através de eemetos de vga. 3. Equações de movmeto de rotores peo método dos eemetos ftos A fgura 3. mostra um sstema composto por rotores motados em um exo em seu estado deformado. O sstema de coordeadas (X,Y,Z) é fxo e o (x,,z) se move segudo uma rotação ωt ao redor do exo X, sedo ω a veocdade de whr. Esta veocdade é defda como a veocdade de rotação do pao formado pea curvatura do exo fexoado e a coordeada que passa peo cetro dos macas, sedo que o exo gra em toro de seu cetro de rotação.
5 Fgura 3. stema deformado composto por exo, dscos e macas. Os desocametos (Ys, Zs, ΘYs, ΘZs) de um poto quaquer do sstema a uma dstâca reatva ao sstema de referêca fxo, podem ser trasformados em seus desocametos correspodetes (s, zs, θs, θzs) do sstema móve através de uma trasformação ortogoa, NEON e cvagh (976). { } [ ]{ p} q (3.) ode, Ys Zs ΘYs ΘZs {} q { p} s zs ; (3.) θs θzs [ ] cosωt seωt seωt cosωt cosωt seωt seωt cosωt (3.3) Dferecado a equação (3.) duas vezes, obtêm-se: {} q & [ ]{ p} [ ]{ p& } ω (3.4)
6 ( ω ) ω[ ]{ p& } {} q & [ ]{ && p} { p} (3.5) ode: [ ] seωt cosωt cosωt seωt seωt cosωt cosωt seωt (3.6) e cosderarmos apeas o efeto de um dsco rígdo do sstema, a equação de movmeto pode ser obtda a partr do equacoameto da eerga cétca deste dsco. A expressão de eerga quado usada a equação de AGRANGE, EIROVITCH (97), resuta a segute equação para uma rotação costate Ω do sstema, d ([ ] [ ]){ q& } [ ]{ d Ω G d q& d } { Q d } T d R & (3.7) ode, [] e [G] são as matrzes massa e groscópo, respectvamete. Os subscrtos T e R são referetes aos movmetos de trasação e de rotação, respectvamete, e o sobrescrto d é referete ao eemeto de dsco. No vetor { Q d } pode-se cur todas as forças exteras atuado o dsco. Itroduzdo as equações (3.4) e (3.5) a equação (3.7) e pré-mutpcado por [ ] T, obtém-se: d d d d d d d ([ T ] [ ]){ && R p } ω { ( [ ˆ T ] [ ˆ R ]) [ G ]}{ p& } d ω {[ ] [ ] Gˆ }{ d p d } { Ρ d } ( ) [ ] T d R (3.8) A equação (3.8) é a de movmeto do dsco em reação às coordeadas móves. O termo Ω ω é deomado reação de whr ou sp. A equação de um eemeto de exo é obtda a partr da eerga cétca e poteca devda à eastcdade do eemeto. Da mesma forma, troduzdo as expressões de eerga a equação de agrage, obtêm-se: e ([ ] [ ]){ q& } [ ]{ } [ e Ω G e q& e K e ]{ q e } { Q e } T e R & (3.9)
7 [ ] T ubsttudo as equações (3.), (3.4) e (3.5) a equação (3.9) e pré-mutpcado por, obtêm-se: e e e e e e ([ T ] [ ]){&& R p } ω{ [ ˆ T ] ( )[ G ]}{ p& } e e {[ K ] ω ([ ] ( )[ ])}{ p e } { Ρ e } T e R (3.) a qua é a equação de um eemeto de exo em reação ao sstema de coordeadas móves. O movmeto de um maca fexíve, em sua forma mas smpes, pode ser represetado o sstema fxo de referêca pea equação, m m m [ ]{ q } { Q } K (3.) e o maca for cosderado sotrópco e desacopado pode ser escrta a forma, etão a equação de movmeto o sstema de referêca móve fca: m m [ I ]{ p } { Ρ } (3.) ode é o coefcete de rgdez do maca e [ I ] é uma matrz detdade. A equação goba de movmeto do sstema descosderado o amortecmeto, represetada o sstema fxo de referêca, é obtda através da composção dos termos das equações (3.7), (3.9) e (3.) através de um arrajo matrca. Assm, pode-se escrever a equação goba de movmeto da segute forma, [ ]{ q& } [ ]{ } [ s Ω G s q& s K s ]{ q s } { Q s } & (3.3) Da mesma forma, tomado as equações (3.8), (3.) e (3.), se obtêm a equação gera de movmeto referda ao sstema de coordeadas móves, que tem a forma: s s [ ]{ p } ( [ ˆ ] [ G ]){ } [ ] ([ ] [ ]) s p s K s & ω & ω s Gˆ s s T { }{ p s } { Ρ s } & (3.4)
8 O probema de autovaor e autovetor pode ser resovdo a partr da forma homogêea da equação (3.4). edo os macas sotrópcos, é sufcete cosderar apeas um pao de movmeto para a defção dos modos de vbração do sstema. Assm, assumdo uma soução costate { p s } { p }, o probema assocado ao autovaor e ao autovetor é: ( ){ p} s s s [ K ]{ p} ω [ ] [ Gˆ ] (3.5) A equação (3.5) permte determar as freqüêcas aturas e os modos de vbração reatvos ao sstema móve para cada vaor da reação de whr. Para a determação dessas característcas modas utzou-se, a soução da equação (3.5), o método de Jacob geerazado, BATHE (996). As matrzes das equações de movmeto são apresetadas o apêdce.
9 CAPÍTUO 4 4. ANÁIE DE ENIBIIDADE DE PARÂETRO 4. Itrodução Os sstemas mecâcos podem ser modeados por um cojuto de equações matemátcas e os modeos em gera são utzados para smuar ou fazer predção do comportameto vbratóro da máqua. Um teresse partcuar é obter reações etre os vaores dos parâmetros dos sstemas e seu comportameto. Normamete os parâmetros dtam um comportameto, porém ees podem varar rapdamete em fução do fucoameto da máqua. Neste cotexto, a aáse de sesbdade de parâmetros tem grade teresse para predzer a tedêca deste comportameto com as varações dos parâmetros dâmcos dos sstemas, HARP e BROOK (888); NAECZ e WICHER (988). A aáse de sesbdade pode ser reazada sobre a resposta em freqüêca e sobre a resposta moda do sstema. utos métodos foram pubcados por ADEAN e HAFTKA (986) e por UTTER et a (988). Neste trabaho será utzado um método o qua as sesbdades são cacuadas a partr da sére de Taor, ZIOCK (987). 4. Aáse de sesbdade da resposta em freqüêca dos sstemas Cosdere o sstema vbratóro com graus de berdade, com amortecmeto vscoso e exctado por uma força harmôca, cujo movmeto é descrto pea equação (4.). A sesbdade da resposta em freqüêca dcará quato a resposta rá varar date das varações dos parâmetros do sstema, para cada freqüêca de exctação, NACIENTO (995). [ ]{} [ ]{ } [ ]{ } { } { } ω & C & K f ( t) f (ω) e t & (4.) Nesta equação [], [C] e [K] são as matrzes de massa, amortecmeto e rgdez, respectvamete. O vetor {f(t)} é o vetor força. A reação etre a resposta {(ω)} e a exctação {f(ω)}, para o sstema é dada por:
{ ( ω) } [ G( ω) ] { f ( ω) } (4.) ode a matrz de [G(ω)] é obtda em fução das matrzes da equação de movmeto do sstema, e pode ser escrta a forma: [ G( ω )] [ K ] ω [ ] ω[ C] (4.3) sedo ω a freqüêca de exctação e. As equações (4.) e (4.3) mostram que a resposta do sstema é um vetor fução das matrzes de massa, amortecmeto, rgdez e do vetor força. Assm, escrevedo a expasão da sére de Taor, cosderado somete o termo de prmera ordem, obtêm-se: { ( m,, c, f )} { ( m,, c, f } m{ ( m,, c, f }( m m) c{ ( m,, c, f } { ( m,, c, f }( ) { ( m,, c, f }( f f ) f ( c c) (4.4) Os termos { ( m,, c f }, { ( m,, c f }, { ( m,, c f } e { ( m,, c f } m, c,, são os f, vetores de sesbdades da resposta em reação aos seus respectvos parâmetros. Os traços sobrescrtos dcam vaores cas dos parâmetros do sstema. { } 4.. Determação de ( m m,, c, f ) O vetor de sesbdade m pode ser obtdos dferecado-se a equação (4.) com respeto ao parâmetro massa, resutado em: m ( ) G( ω) { ( ω) } [ G( ω) ] { f ( ω) } m [ ] [ G( ω) ]{ ( ω) } [ G( ω) ] { f ( ω) } m m (4.5) Itroduzdo a equação (4.3) a [ G( ω) ] m [ G( ω) ] [ K ] ω [ ] ω[ C] m m, resuta: ( ) ω [ ] ω [ J ] (4.6) m m
ode [ J m] é uma matrz que possu todos os seus eemetos guas a zero, exceto o eemeto da posção, j correspodete à posção do termo da matrz de massa que está varado, assumdo o vaor gua a. Em prcípo todos os eemetos da matrz [ ] podem varar, e a matrz [ J m] cotém formação de quas eemetos da matrz [ ] estarão varado. abe-se, também, que este caso a { f ( ω) } m. Portato, supodo que se deseja verfcar a sesbdade da resposta com reação à varação do termo m da matrz [ ], etão a partr da equação (4.6) obtêm-se: { ( ω) } ω [ G( ω) ] [ J ]{ ( ω) } (4.7) m m Fazedo o verso da matrz [G(ω)] obtêm-se a matrz [H(ω)], que é ormamete deomada de matrz fução de resposta em freqüêca. Desevovedo a equação (4.7), resuta: m H H H H H H ω ω (4.8) O H H H { ( )} m H H ω ω (4.9) H { ( )} De forma gera, para um termo quaquer m j, a equação (4.9) tora-se: mj H j H j ω ω (4.) H j { ( )} Assm, os termos da sesbdade da resposta em freqüêca do sstema devdo a uma varação de massa, para uma coordeada oda, pode ser cacuada pea equação:
mj ω H (4.) j Com um desevovmeto agébrco aáogo, pode-se, também, obter as sesbdades da resposta em freqüêca do sstema com reação à varação de amortecmeto, de rgdez e da exctação, de acordo com as equações, cj ωh (4.) H (4.3) j H (4.4) f 4.3 Aáse de sesbdade da resposta moda 4.3. esbdade da resposta moda de sstemas ão amortecdos Cosdere agora um sstema ão amortecdo com graus de berdade, cuja equação de movmeto é descrta a forma: [ ]{ & } [ K ]{ } & (4.5) Admte-se, também, que a determação das característcas própras do sstema, os modos de vbração sejam ormazados, tas que produzam: T T [ Φ ] [ ][ Φ] [ I ] ; [ Φ] [ K][ Φ] [ Λ] (4.6 a; b) ode [ Φ ] é a matrz dos autovetores, [ Λ ] é a matrz dos autovaores e [I] uma matrz detdade. Cosderado que se deseja determar as sesbdades dos autovaores e dos autovetores do sstema com reação às varações dos parâmetros massa e rgdez, e se estas varações são
3 pequeas, etão pode-se escrever uma expasão em sére de Taor com apeas os termos de prmera ordem, ou seja: ( m, ) ( m, ) ( m, )( ) ( m, )( m m) Λ Λ Λ Λ (4.7 a) m ( m, ) ( m, ) ( m, )( ) ( m, )( m m) Φ Φ Φ Φ (4.7 b) m ode as dervada parcas em reação à Φ e Λ são matrzes de sesbdade e os traços sobrescrtos dcam vaores cas dos parâmetros. As sesbdades dos parâmetros modas em reação à varação de rgdez podem ser obtdas peas segutes expressões de dervadas: [ Λ] j [ Φ] j j j j [ Φ] [ Φ][ ] j j j [ Λ] dag[,, ], (4.8) (4.9) Dferecado a equação (4.6 a) em reação a um parâmetro de rgdez quaquer, obtêmse: T [ Φ] [ ][ ] [ ] T [ ] [ ] [ ] T [ ] [ Φ] j Φ Φ j Φ Φ j (4.) Uma vez que a dervada parca da matrz [] com respeto à quaquer parâmetro rgdez resuta ua e troduzdo a equação (4.8) a equação (4.), tem-se: j T T T j [ ] [ Φ] [ ][ Φ] [ Φ] [ ][ Φ][ ] (4.) que de acordo com a equação (4.6 a), chega-se a smpfcação da equação (4.), ou seja: j T [ ] [ ] j (4.)
4 De maera aáoga, dferecado a equação (4.6 b) em reação à rgdez, tem-se: T [ Φ] [ ][ ] [ ] T [ K] [ ] [ ] T [ ] [ Φ] [ Λ] j K Φ Φ j Φ Φ K j j (4.3) e troduzdo a equação (4.8), resuta em: j T T T j [ ] [ Φ] [ K ][ Φ] [ K ] [ Φ] [ K ][ Φ][ ] Λ ˆ (4.4) j j e, famete, utzado a equação (4.6 b), pode-se smpfcar a equação (4.4) para: j T j [ ] [ Λ] [ K ] [ Λ][ ] Λ ˆ (4.5) j j j j [ ][ Λ] [ Λ][ ] [ K ] Λ ˆ (4.6) j j ode, [ ] [ Φ] [ K] [ Φ] T Kˆ j (4.7) j [ Φ] O T ; [ Φ] O (4.8 a;b) Para se determar a sesbdade de um eemeto partcuar da matrz de rgdez [K], ode este eemeto tem ídces e j, os termos da equação (4.5) podem ser cacuados da segute forma:
5 [ ] [ ] [ ] Φ Φ ˆ O T K (4.9) [ ] K ˆ O (4.3) [ ][ ] Λ O O (4.3) [ ][ ] Λ O (4.3) [ ][ ] Λ O (4.33) [ ][ ] [ ][ ] ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) Λ Λ O (4.34) A equação (4.6) é a soma das equações (4.3) e (4.34). Assm, cosderado os termos que estão a dagoa da (4.6), pode-se, etão, escrever as expressões:
6 j j (4.35) e, tomado os termos que estão fora da dagoa da equação (4.6), obtêm-se: ( ) ( ) j j (, j,,,, K, ; ) (4.36) Os termos da matrz de sesbdade dos autovaores com respeto às rgdezes são obtdos através da equação (4.35). Por sua vez, os termos da matrz de sesbdade dos autovetores com respeto às rgdezes são obtdos peas equações (4.8) e (4.36). As sesbdades dos parâmetros modas com reação às varações de massa do sstema podem ser obtdas de maera aáoga, ou seja: [ Λ] m j [ Φ] m m j j m j mj [ Φ] [ Φ][ ] mj mj mj [ Λ] dag[,, ], (4.37) (4.38) Dferecado a equação (4.6 a) em reação à massa m j e utzado a equação (4.37), tem-se: mj T T [ ] [ ] [ ][ ] [ ˆ T mj Φ Φ ] [ Φ] [ ][ Φ][ ] (4.39) mj A partr da equação (4.6 a) pode-se smpfcar a equação (4.39), resutado em:
7 mj T mj [ ] [ ] [ ˆ ] (4.4) mj ode, [ ] [ Φ] [ ] [ Φ] T ˆ mj (4.4) m j Dferecado a equação (4.6 b) em reação à massa m j e troduzdo as equações (4.37) e (4.4), tem-se: mj T T T mj [ ] [ Φ] [ K ][ Φ] [ Φ] [ K ][ Φ][ ] [ Λ] (4.4) mj mj T mj [ ] [ Λ] [ Λ][ ] [ Λ] (4.43) mj mj [ ][ Λ] [ Λ][ ] [ ][ Λ] [ Λ] mj mj ˆ (4.44) mj Na aáse de sesbdade de um termo partcuar da matrz de massa [] ocazado em e j, a equação (4.4) fca: [ ] [ ] T Φ [ Φ] ˆ m (4.45) O e, mutpcado os autovetores resuta em: [ ˆ ] m O (4.46)
8 A partr dos termos que estão a dagoa das matrzes da equação (4.4) pode-se obter as segutes expressões: m m m mj j (4.47) Desevovedo os termos que estão a dagoa das matrzes da equação (4.44), pode-se determar as expressões: m m m mj j (4.48) Famete, a partr dos termos que estão fora da dagoa das matrzes da equação (4.44), pode-se obter as segutes expressões: ( ) ( ) mj m m j ; m m (, j,,,, K, ; ) (4.49) A matrz de sesbdade dos autovaores devdo às varações de massa o sstema pode ser obtda utzado-se a equação (4.48). Por sua vez, a matrz de sesbdade dos autovetores devdo às varações de massa pode ser obtda através das equações (4.37), (4.47) e (4.49).
9 4.3. esbdade da resposta moda de sstemas amortecdos Cosdere a vbração de um sstema amortecdo com graus de berdade descrta pea segute equação de movmeto: [ ]{ & ( t) } [ C] { & ( t) } [ K ]{ ( t) } { f ( t) } & (4.5) A soução do probema de autovaor e autovetor é obtda cosderado a soução homogêea da equação (4.5), ou seja, [ ]{ & ( t) } [ C] { & ( t) } [ K ]{ ( t) } & (4.5) Cosderado que a matrz [ ] seja postva defda e utzado a guadade, [ ]{ ( t) } [ ]{ & ( t) } & (4.5) etão, pode-se escrever a equação para o sstema amortecdo a forma de espaço-estado, [ ] [ ] [ C] [ ] & [ ] & [ ]&& [ C] & [ K ] && & [ ] [ K] & (4.53) Reescrevedo a equação (4.53) em uma forma compacta, resuta, [ ]{ x} [ B]{ x} A & (4.54) Os modos de vbração do sstema amortecdo podem ser ormazados ta que: T T [ Φ ] [ A][ Φ] [ I ] ; [ Φ] [ B][ Φ] [ Λ] (4.55 a; b)
3 Cosderado que se quera determar a sesbdade dos parâmetros modas com a varação de massa, de amortecmeto e de rgdez, etão para pequeas varações dos parâmetros, pode-se escrever a sesbdade como uma expasão em sére de Taor tomado apeas os termos de prmera ordem, Λ Φ ( m,, c) Λ( m,, c ) mλ( m,, c )( m m ) cλ( m,, c )( c c ) m,, c )( ) ( m,, c) Φ( m,, c ) mφ( m,, c )( m m ) cφ( m,, c )( c c ) m,, c )( ) (4.56) (4.57) A determação da sesbdade de um termo m da matrz de massa [] pode ser reazada cosderado: [ Φ] m [ Λ] m m m m m [ Φ] [ Φ][ ]; [ ] (,,,,),, K m m m [ Λ] dag[,, ], (4.58) (4.59) Por outro ado, dferecado a equação (4.55 a) com reação à massa, tem-se: T [ Φ] [ ][ ] [ ] T [ A] [ ] [ ] T [ ] [ Φ] m A Φ Φ m Φ Φ A m (4.6) ubsttudo as equações (4.58) a equação (4.6), tem-se: T T T [ ] [ Φ] [ A][ Φ] [ Φ] [ A][ Φ][ ] [ Φ] [ A] [ Φ] T m m (4.6) m e, troduzdo a equação (4.55 a), resuta em:
3 [ ] [ ] [ ] m m T m A ˆ (4.6) ode, [ ] [ ] [ ] [ ] Φ Φ T m m A Â (4.63) A equação de movmeto a forma espaço-estado produz matrzes de ordem x, e por coseqüêca, a matrz moda também deverá possur esta ordem. Assm a matrz dos autovetores, quado se trabaha com a otação espaço-estado, pode ser escrta a forma: [ ] Φ (4.64) [ ] Φ T (4.65) Desevovedo a equação (4.63) resuta: [ ] m A ˆ (4.66)
3 Desevovedo a equação (4.6), resuta: m m m m m m m m m m m m m m m m m m s s s s s s s s s s s s s s s s s s (4.67) Cosderado os termos que estão a dagoa das matrzes da equação (4.67), obtêm-se: ( ),,, K m (4.68) Dferecado a equação (4.55 b) com respetos a um termo m da matrz de massa, obtêm-se: [ ] [ ][ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] T T T m m B m B B m Λ Φ Φ Φ Φ Φ Φ (4.69) e, troduzdo as equações (4.55b) e (4.6) a equação (4.69), resuta: [ ] [ ][ ] [ ][ ] [ ] [ ][ ] Λ Λ Λ Λ m m m m A B m ˆ ˆ (4.7) ode, [ ] [ ] [ ] [ ] Φ Φ T m m B Bˆ (4.7) Desevovedo os termos das matrzes da equação (4.7), resutam:
33 [ ] m B ˆ (4.7) [ ][ ] [ ][ ] ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) Λ Λ m m m m m m m m s s s s s s (4.73) [ ][ ] Λ m A ˆ (4.74) Cosderado apeas os termos que se ecotram a dagoa da equação (4.7), obtêmse as segutes expressões: 3 m m 3 ( ) m,,, 3 K (4.75) Por outro ado, cosderado os termos que estão fora da dagoa da equação (4.7), pode-se obter a segute equação: ( ) ( ) ( ) m m,,,,, K (4.76)
34 Agora, para se determar a sesbdade da resposta moda em reação a um termo quaquer m j da matrz de massa [], procede-se de forma aáoga, sto é: [ Φ] m j [ Φ][ ]; [ ], (,,, K, ) mj mj (4.77) [ Λ] mj mj mj dag(,, K ) m j, (4.78) Dferecado a equação (4.55 a) em reação a um eemeto quaquer m j da matrz de massa tem-se: ode, T [ ] [ ] [ Aˆ ] mj (4.79) mj mj [ ] [ Φ] [ A] [ Φ] T Â mj (4.8) m Desevovedo a matrz [ Â mj ] e substtudo-a a equação (4.79) e em seguda tomado os termos que ecotra-se a dagoa, obtêm-se: j (,,, ) mj j K (4.8) De forma aáoga, dervado a equação (4.55b) com reação ao eemeto m j, têm-se: [ Λ] m j [ Λ][ ] [ ][ Λ] [ B ] [ Aˆ ][ Λ] mj mj ˆ (4.8) mj mj ode, [ ] [ Φ] [ B] [ Φ] T Bˆ mj (4.83) m j Dos termos da dagoa da equação (4.79), se obtêm a equação:
35 (,,, ) mj 6 j K (4.84) Por outro ado, dos termos ão dagoas das matrzes da equação (4.8), obtêm-se: mj ( )( ) ( ) (,,, K, ) j j, (4.85) As sesbdades dos parâmetros modas de um sstema amortecdo em reação às varações de amortecmeto ou de rgdez podem ser obtdas adotado um procedmeto aaítco smar ao desevovmeto executado para a obteção das sesbdades com reação às varações de massa.
36 CAPÍTUO 5 5. ÉTODO DE AJUTE DE RIGIDEZ DE ANCAI 5. Itrodução Na modeagem matemátca dos sstemas mecâcos rotatvos, os vaores da rgdez dos macas são ormamete dfíces de serem detfcados e ão são ecotrados dretamete a teratura, uma vez que depedem do tpo de maca, da veocdade de rotação do exo, do ubrfcate, da estrutura suporte do maca, etc. Por outro ado, os outros parâmetros dâmcos do modeo podem ser estmados com uma precsão satsfatóra a partr do projeto do sstema e de formações adcoas do costrutor ou do usuáro. Neste capítuo apreseta-se um método para ajustar os vaores de rgdez dos macas de rotores a partr de uma modeagem matemátca do mesmo. Com os dados do modeo, apca-se a aáse de sesbdade dos autovaores e o processo de ajuste ocorrerá com base em resutados expermetas obtdos do rotor. Como já cometado aterormete, este trabaho se adotará para cada maca uma rgdez equvaete represetatva do cojuto dos eemetos que o compõem, ou seja, represetatva da rgdez do fme de ubrfcate (o caso de macas hdrodâmcos), da rgdez do suporte (pedesta) e da fudação. 5. étodo de Ajuste Cosdere que se deseja estmar os vaores de rgdez dos macas de um sstema rotatvo rea. Desevove-se um modeo matemátco para esse sstema adotado-se vaores cas para a rgdez dos macas. Com sso pode-se determar os autovaores teórcos (,,..., N), sedo N o úmero de macas do sstema que se deseja estmar e cacuam-se as sesbdades desses autovaores com reação a cada rgdez,. Em outras paavras, cacua-se a sesbdade de cada rgdez sobre os autovaores utzado a equação (4.35) do capítuo ateror. Cosdere também que fo reazada uma aáse moda expermeta o rotor e obtdas as prmeras freqüêcas aturas de fexão do mesmo. Assm, os autovaores expermetas podem ser determados como segue: