Computação, Universidade de São Paulo - USP, Caixa Postal 668, CEP , São Carlos, SP, Brasil.

USO DE MÉTODOS BAYESIANOS EM TESTES DE VIDA ACELERADOS ASSUMINDO A DISTRIBUIÇÃO WEIBULL-EXPONENCIADA E O MODELO LEI DE POTÊNCIA INVERSA Denlton da Slva VIEIRA 1 Jorge Alberto ACHCAR 1 Vcente Garbay CANCHO 2 RESUMO: Neste artgo, exploramos o uso de técncas de Monte Carlo va Cadeas de Markov MCMC) para desenvolver uma análse Bayesana para testes de vda acelerados consderando a dstrbução Webull-exponencada e o modelo da le de potênca nversa. Assumndo dados com censura de tpo II, consderamos uma análse clássca e uma análse Bayesana assumndo densdades a pror nformatvas para os parâmetros do modelo, onde obtemos a densdade predtva para uma observação futura e propomos um crtéro que pode ser usado em problemas de controle de qualdade. Ilustramos a metodologa com um exemplo numérco. PALAVRAS-CHAVE: Dstrbução Webull-exponencada; testes de vda acelerados; densdades predtvas; MCMC. 1 Introdução Um teste de vda acelerado TVA) de um produto é comumente usado para reduzr o tempo de teste e os custos operaconas. O teste é realzado submetendo-se as undades em teste a condções de estresse mas severas que as de uso normal. Por exemplo, se as falhas por corrosão ocorrem sob temperatura e umdade sob condções normas, então o mesmo tpo de corrosão acontecerá mas rapdamente em um ambente úmdo sob temperatura elevada. Exstem város métodos para a 1 Departamento de Estatístca, Unversdade Federal de São Carlos - UFSCar, CEP 13565-905, São Carlos, SP, Brasl. E-mal: densnog@yahoo.com.br / achcar@power.ufscar.com.br 2 Departamento de Matemátca Aplcada e Estatístca, Insttuo de Cêncas Matemátcas e de Computação, Unversdade de São Paulo - USP, Caxa Postal 668, CEP 13560-970, São Carlos, SP, Brasl. E-mal: garby@cmc.usp.br Rev. Mat. Estat., São Paulo, v.24, n.2, p.17-36, 2006 17

condução de um teste acelerado. O método mas smples tanto do ponto de vsta físco quanto da análse e nferênca estatístca e que será adotado, é conhecdo como teste acelerado de estresse constante Nelson, 1990). Esse teste acelerado envolve a escolha de város níves de um ou mas tpos de varável estresse, e daí se executa um teste de vda de estresse constante para cada uma das combnações dos níves de estresse. Os resultados obtdos nas condções aceleradas são extrapoladas para as condções normas de uso. Uma análse paramétrca de dados de TVA depende em grande parte do modelo escolhdo para a dstrbução do tempo de vda e a relação dos parâmetros com a varável de estresse. Para a relação parâmetroestresse, exstem alguns modelos empírcos comumente usados em engenhara, tas como o modelo de Arrhenus, Eyrng e de Potênca Inversa. Procedmentos para nferêncas com essa formulação são dscutdos em Nelson 1990), Mann; Schafer e Sngpurwalla 1974). Normalmente, na ndústra de componentes manufaturados, tas como semcondutores, é usado um TVA para determnar a confabldade dos produtos produzdos e para verfcar se o processo em uma lnha de produção está sob controle. Por exemplo, os engenheros de qualdade com o obetvo de mnmzar o custo e o tempo do expermento, consderam uma amostra aleatóra de componentes em que todas as undades são submetdas a teste com níves de estresse, V = V 1,...,V k ), mas severos do que os usuas durante um período fxo de tempo Y. Eles verfcam que a lnha de produção está sob controle se a proporção de undades na amostra é menor do que uma quantdade especfcada, por um procedmento baseado em um teste de hpóteses. Freqüentemente, os engenheros da qualdade precsam encontrar o nível adequado de estresse e o período de tempo necessáro para o teste de vda acelerado. Neste artgo é consderada a dstrbução Webull-exponencada Mudholkar; Srvatava e Fremer, 1995) para os tempos de vda dos componentes, a Le de Potênca nversa para a relação parâmetro-estresse. Assumndo um esquema de censura do tpo II, sto é, o número de observações completas é fxado e a densdade a pror nformatva para os parâmetros do modelo é a Webull-exponencada - Le de Potênca Inversa, determnamos a dstrbução de uma observação futura no nível de estresse V e com essa dstrbução é construído um planeamento de TVA que pode ser usado em controle de qualdade. Na Seção 2, descreveremos o modelo Webull-exponencada-Le de Potênca Inversa. Na Seção 3, apresentaremos o procedmento de estmação de máxma verossmlhança e dscutremos um teste de aderênca para o modelo Webull - Le de Potênca Inversa e para o modelo exponencal-le de Potênca nversa que são casos partculares do modelo Webull-exponencada. Na Seção 3, dscutremos o procedmento de nferênca bayesana do modelo Webull-exponencada - Le de Potênca Inversa e obtemos a densdade predtva de uma observação futura a partr da qual construímos um planeamento de teste de vda para ser usado no controle de qualdade. Um exemplo na Seção 5 lustra a metodologa apresentada. 18 Rev. Mat. Estat., São Paulo, v.24, n.2, p.17-36, 2006

2 Modelo Webull-exponencada le de potênca nversa Sea T 0 uma varável aleatóra que representa o tempo de vda de um componente com função de densdade Webull-exponencada, ft p,θ,λ ) = pθλ [1 exp λ t) p )] θ 1 exp[ λ t) p ]λ t) p 1, t 0 1) onde p > 0, θ > 0 são os parâmetros de forma e λ > 0 é o parâmetro de escala sob o nível de estresse Le de Potênca Inversa, sto é, λ = V β α 2) onde α e β são parâmetros desconhecdos tas que α > 0, < β < e V denota o -ésmo nível de estresse. Esse modelo será chamado Modelo Webullexponencada-Le de Potênca Inversa WE - PI). Como casos partculares, podemos obter o modelo exponencal - Le de Potênca Inversa E - PI) quando p = 1, θ = 1 e quando θ = 1 temos o modelo Webull-Le de Potênca Inversa W - PI). Alternatvamente a relação entre o parâmetro de escala e nível de estresse dada em 2) pode ser representado pela relação, λ = exp β 0 + β logv )), sendo < β 0 = logα) <. A le de potênca nversa consderada neste artgo é adequada para modelar o efeto de uma varável estresse em mutas aplcações ndustras por exemplo, voltagem). Outras formas paramétrcas para modelar o efeto da varável de estresse também poderam ser consderados ver por exemplo, Nelson, 1990). A função de sobrevvênca para T, defnda por St p,θ,λ ) = PT t), é dada por St p,θ,λ ) = 1 [1 exp λ t) p )] θ. 3) A função rsco de T, defnda por ht p,θ,λ ) = ft p,θ,λ )/St p,θ,λ ), é obtda pela expressões 1) e 3) e dada por ht p,θ,λ ) = pθλ [1 exp λ t))] θ 1 exp λ t) p )λ t) p 1 [1 1 exp λ t) p )) θ ] 4) O modelo Webull-exponencada WE) apresenta funções de rsco do tpo bathtub banhera ), unmodal e monótona, sto é, ht p,θ,λ ) é ) monótona crescente se p 1 e pθ 1, ) monótona decrescente se p 1 e pθ 1, ) forma de bathtub se p > 1 e pθ < 1 e v) unmodal se p < 1 e pθ > 1. As monotoncdades em ) e ) são estrtas exceto para a dstrbução exponencal correspondente a p = θ = 1. A Fgura 1, mostra alguns casos especas da função rsco 4). Rev. Mat. Estat., São Paulo, v.24, n.2, p.17-36, 2006 19

ht) 0.00 0.02 0.04 0.06 0.08 0.10 0.12 0.14 0 20 40 60 80 100 t WE0,5;0.5;0.01) WE5;0,1;0.01) WE0,6;12;0.25) WE4;4;0.0125) Fgura 1 - Funções de rsco do modelo Webull-exponencada WEp,θ,λ)). As propredades da dstrbução WE foram estudadas em detalhe por Mudholkar e Hutson 1996), Nassar e Essa 2003) e Nadaraah e Gupta 2005). Aplcações da dstrbução WE em análse de dados de confabldade e de sobrevvênca podem ser encontradas em Mudholkar; Srvatava e Fremer 1995). Cancho; Bolfarne e Achcar 1999) apresentam análse clássca e bayesana dos modelos regressão Webull-exponencada com dados censurados e Cancho e Bolfarne 2001) apresentam o modelo de mstura Webull-exponencada para análse de dados de sobrevvênca com fração de cura. 3 Análse clássca do modelo Webull-exponencada le potênca nversa Consdere um TVA com esquema de censura de tpo II com k níves de estresse V, = 1,...,k, sto é, o expermento termna quando r falhas são observadas entre as n undades colocadas em teste no -ésmo nível de estresse. Temos t 1,t 2,...,t r observações não-censuradas e n r observações censuradas guas a t r. A função de verossmlhança para os parâmetros do modelo WE - PI, γ = p,θ,α,β) T, dado o conunto de observações, é dada por: 20 Rev. Mat. Estat., São Paulo, v.24, n.2, p.17-36, 2006

Lγ D) θ r p r α pr k r r =1 =1=1 [ k r 1 exp =1=1 k t ) p 1 exp 1 k r [ k 1 1 exp =1 t p )] θ 1 t p r )] θ n r ) t p =1=1 5) onde D é o conunto de todas as observações e r = k r representa o número total de falhas observadas. Os Estmadores de Máxma Verossmlhança EMV) para p, θ, λ, α, e β são valores que maxmzam a função de verossmlhança em 5), o que equvale a maxmzar o logartmo da função de verossmlhança, lγ D) = loglγ D)), dada por, =1 k k r lγ D) r logp) rp logα) + βp r logv ) + p 1) logt ) 6) 1 k r =1=1 +r logθ) + =1 k r t p + θ 1) log =1=1 [ k n r )log 1 =1 =1=1 1 exp 1 exp t p r ) t p ) ] θ Equvalentemente, os EMV resultam da solução do sstema de equações Sγ) = 0, com Sγ) = lγ D) p, lγ D) θ, lγ D) α, lγ D) β ). Inferêncas para γ = p,θ,λ,α,β) T podem ser obtdas da dstrbução normal assntótca para os EMV ˆγ = ˆp, ˆθ, ˆλ, ˆα, ˆβ) T Cox e Hnkley, 1974), sto é, ˆp, ˆθ, ˆα, ˆβ) N p,θ,α,β),i 1 ˆp, ˆθ, ˆα, ˆβ) ) 7) onde Iˆp, ˆθ, ˆα, ˆβ) é a matrz de nformação observada. O teste de aderênca do modelo Webull contra a classe de alternatvas rrestrtas é complexo. Contudo, restrngndo para o modelo WE podemos usar a estatístca da razão de verossmlhança Cox e Hnkley, 1974) para testar a adequabldade do submodelo Webull Le Potênca Inversa W - PI). A hpótese nula, H 01 : θ = 1 corresponde ao submodelo Webull e H 02 : θ = p = 1 correspondente ao submodelo exponencal Le de Potênca Inversa do modelo ). Rev. Mat. Estat., São Paulo, v.24, n.2, p.17-36, 2006 21

WE - PI). Se uma destas hpóteses ou ambas são reetadas na classe da famíla WE os submodelos são questonáves. A estatístca da razão de verossmlhança para testar a adequabldade do W - PI, sto é, H 01 : θ = 1 contra H 01 : θ 1, é dada por, Λ 1 = 2 l α w, β w, p w,θ = 1 D) lˆα, ˆβ, ˆp, ˆθ D) ) 8) onde α w, β w e p w são os EMV dos parâmetros do W - PI e ˆα, ˆβ, ˆp e ˆθ são os EMV dos parâmetros WE - PI. Sob H 01, Λ 1 tem-se dstrbução qu-quadrado com um grau de lberdade para tamanhos amostras sufcentemente grandes. Smlarmente para testar a adequabldade do modelo exponencal, a estatístca da razão de verossmlhança é dada por: Λ 2 = 2 l α e, β e,p = 1,θ = 1 D) lˆα, ˆβ, ˆp, ˆθ D) ), 9) onde α e e β e são os EMV dos parâmetros exponencal Le de Potênca Inversa. Sob a hpótese H 02 : θ = p = 1, Λ 2 tem-se dstrbução qu-quadrado com 2 graus de lberdade para tamanhos amostras sufcentemente grande. 4 Análse bayesana do modelo WE le potênca nversa Como fo dscutdo na seção anteror, a dstrbução dos EMVs somente são conhecdas assntotcamente, tornando-se assm um problema séro uma vez que em geral, trabalha-se com amostras não muto grandes. Um procedmento alternatvo que pode contornar esse problema é o uso de métodos bayesanos. O uso de métodos bayesanos, além de ser uma alternatva de análse, permte anda a ncorporação de conhecmento a pror por meo de uma densdade a pror que sea nformatva. Caso não exsta conhecmento a pror, ou sea dfícl expressá-lo, consdera-se densdades a pror não nformatvas. Para representar o grau de conhecmento sobre os parâmetros α, β, p e θ, consderamos as seguntes dstrbuções a pror: α Γa 1,b 1 ), 10) β Nµ,σ 2 ), p Γa 2,b 2 ), θ Γa 3,b 3 ), onde Γa,b ) denota uma dstrbução Gama com méda a /b e varânca a /b 2, Nµ,σ 2 ) denota uma dstrbução Normal com méda µ e varânca σ 2, e a, b, = 1,2,3 e µ, σ 2 são constantes fxadas, baseadas na nformação a pror de um especalsta e da análse prelmnar dos dados. Assumndo ndependênca entre os parâmetros, a densdade a pror conunta para α, β, p e θ é dada por: πα,β,p,θ) α a1 1 p a2 1 θ a3 1 exp αb 1 pb 2 θb 3 1 β µ)2 2σ2 ) 11) 22 Rev. Mat. Estat., São Paulo, v.24, n.2, p.17-36, 2006

Combnando 5) e 11), a densdade a posteror conunta de α, β, p e θ é dada por, πα,β,p,θ D) k r r =1 =1=1 k t ) p 1 α a1 pr 1 p a2+r 1 θ a3+r 1 exp αb 1 pb 2 θb 3 1 β µ)2 2σ2 exp 1 k r t p =1=1 [ k r 1 exp =1=1 [ k 1 1 exp =1 t p )] θ 1 t p r )] θ ) n r ) onde D denota o conunto de dados observados. Observe que a densdade a posteror conunta 12) não é uma densdade padrão, portanto só podemos avalar as densdades a posteror margnas por meo de métodos de aproxmação, tas como o método de Laplace Terney e Kadane, 1986) ou usando métodos de smulação de Monte Carlo va Cadeas de Markov MCMC), tas como Gbbs samplng Casela e George, 1992), Metropols Hastngs Chb e Greenberg, 1995) e o método de amostragem por reeção adaptatva Glks e Wld, 1992), usada comumente na amostragem Gbbs. Nesta análse consderamos os métodos de smulação por serem de smples mplementação computaconal. Para obtermos uma amostra a posteror das densdades margnas de α, β, p e θ, fazemos uso do algortmo de Gbbs Samplng que se basea em sucessvas gerações das dstrbuções condconas a posteror de πα β,p,θ,d), πβ α,p,θ,d), πp α,β,θ,d), πθ α,p,β,d). Da densdade a posteror conunta dada em 12) podemos mostrar que as densdades condconas a posteror para o algortmo de Gbbs são dadas por πα β,p,θ,d) α a1 pr 1 exp αb 1 1 k r [ k r 1 exp =1=1 [ k 1 1 exp =1 t p )] θ 1 t p r )] θ t p =1=1 n r ) 12), 13) Rev. Mat. Estat., São Paulo, v.24, n.2, p.17-36, 2006 23

πβ α,p,θ,d) exp k r =1 1 β µ)2 2σ2 exp 1 k r ) k =1 [ k 1 1 exp =1 r =1 t p r [ t p =1=1 1 exp )] θ n r ) t p )] θ 1, 14) πp α,β,θ,d) α pr p a2+r 1 k exp pb 2 1 k r [ k r 1 exp =1=1 t p =1=1 [ k 1 1 exp =1 r r =1 =1=1 t p k t ) p 1 )] θ 1 15) t p r )] θ n r ) e πθ α,β,p,d) θ a3+r 1 exp θb 3 ) [ k r 1 exp V )] βp t p θ 1 =1=1 [ k 1 1 exp =1 t p r )] θ n r ). 16) Observe que as densdades dadas em 13), 14), 15) e 16) não são conhecdas e precsamos usar o algortmo de Metropols Hastngs para gerar amostras para α, β, p e θ. Alternatvamente, podemos usar o Algortmo Reeção Adaptatva ARS) para gerar amostras para α, β, p e θ. O algortmo ARS está mplementada no software BUGS Spegelhalter; Best e Glks, 1997). 24 Rev. Mat. Estat., São Paulo, v.24, n.2, p.17-36, 2006

4.1 Densdade predtva para uma observação futura A densdade predtva para uma observação futura em T n+1), onde n = k n =1 é o número de observações em teste, consderando um nível de estresse V é dada por ver, por exemplo, Press, 1989), f t n+1) t,ṽ) = f t n+1) λ,p,θ)πα,β,p,θ D)dαdpdθdβ = Ef t n+1) α,β,p,θ) 17) onde πα,β,p,θ t,ṽ) é a dstrbução a posteror conunta de α, β, p e θ dada por 12) e f t n+1) λ,p,θ) é dada em 1) com λ = V β α. A ntegral em 17) não tem uma solução analítca. Neste caso podemos usar métodos aproxmados de ntegração, tas como o método de Laplace Terney e Kadane, 1986); métodos de ntegração numérca ou usando métodos de smulação de MCMC. Como caso especal, suponha que temos S amostras Gbbs geradas da dstrbução a posteror para α, β, p e θ, sto é, {α s),β s),p s),θ s) ),s = 1,...,S, }; uma estmatva de Monte Carlo de 17), é dada por: ˆf t n+1) D) = 1 S S p s) θ s) V β s=1 s) α s) V βs) exp t n+1) α s) V βs) t n+1) α s) p s) V βs) 1 exp t n+1) α s). p s) p s) 1 θ s) 1. 18) 4.1.1 Densdade predtva consderando θ = 1, p e β conhecdos Quando θ = 1 em 5), a função de verossmlhança para α, p e β dado o conunto de observações é dada por, Lα,β,p D) onde A p) = r =1 k ) pr r r =1 k r t p 1 =1=1 exp 1 k í =1 A p) ) 19) t p + n r )t p r. Observe que 19) é função de verossmlhança do modelo Webull Le de Potênca, onde o parâmetro de escala λ = V β α muda Rev. Mat. Estat., São Paulo, v.24, n.2, p.17-36, 2006 25

a cada nível de estresse. Consderando que p e β em 19) são conhecdos, pode-se mostrar que a densdade a pror de Jeffreys Box e Tao, 1973) para α é dada por πα) 1 α. Combnando a densdade a pror não-nformatva de Jeffreys e 19) encontramos que a densdade a posteror para α com p e β conhecdos dada por: πα D) = Usando o resultado + 0 α pr+1) exp + 0 α pr+1) exp k 1 α p =1 1 x p+1) e ax α dx = 1 α a p α a função densdade a posteror para α é dada por, k α p =1 Γ p α ) A p) ) A p) dα 20) ), 21) πα D) = [ k p =1 ] r A p) Γr) exp 1 k =1 α pr+1) A p) ). 22) por, Com θ = 1, em 1) a função densdade de T n+1) dado os parâmetros é dada f t n+1) λ,p) = pλ tn+1) λ ) p 1 exp tn+1) λ ) p ), 23) que é função de densdade da dstrbução Webull com parâmetro p e λ = V β α. Como dscutdo anterormente supondo que β e p em 23) são conhecdos, a função densdade predtva para uma observação futura em um nível do estresse V, é dada por, f t n+1) D) = [ r [ t n+1) p ] r C t p 1 n+1) C p + p t p 1 n+1) ] r+1 t n+1) > 0. 24) onde C = k A p). A função de densdade em 24) é a densdade da dstrbução de Pareto. =1 26 Rev. Mat. Estat., São Paulo, v.24, n.2, p.17-36, 2006

De 24) pode-se demonstrar que o valor esperado para T n+1) é dado por, [ k ] r A p) E =1 T n+1) D) = r 1) t p 1 r > 1 25) n+1)p, e sua varânca é dada por, V ar T n+1) D) = k ) 2 r A V β + d =1 r 1) 2 r 2)V 2βp t 2p 2, r > 2. 26) n+1)p2 4.2 Uso da densdade predtva em controle de qualdade Podemos usar a densdade predtva f t n+1) D) para formular procedmentos em controle de qualdade em testes de vda acelerados. Normalmente, engenheros de qualdade seleconam amostras aleatóras de cada lote de componentes manufaturados para verfcar se o processo em uma lnha está sob controle. Para mnmzar o custo e o tempo do expermento, eles consderam undades em teste de vda com altos níves de estresse V por um período de tempo fxo, Y. Usando a densdade predtva 17) e consderando uma probabldade 1 γ, pode-se encontrar valores de Y, tal que PrT n+1) > Y D) = 1 γ, sto é, PrT n+1) > Y D) = Y ft n+1) D)dt n+1) = 1 γ. 27) Como a equação 27) não tem uma solução analítca, podemos obter valores de Y por meo de um método numérco por exemplo, o método de quadratura Gausana) ou usando o método da composção ver, por exemplo, Tanner e Wong, 1987), onde 1 γ é fxado. No caso com θ = 1 e β e p conhecdos, a densdade predtva para uma observação futura é dada em 24). Nesse caso a equação em 27) resulta em, PrT n+1) > Y D) = Y r C t p n+1) + C ) r pt p 1 n+1) ) r+1 dt n+1) = 1 γ 28) onde C = k A p). Resolvendo a ntegral dada 28), encontramos, =1 C ) r 1 Y p + C ) r = 1 γ 29) A partr de 29), é possível então determnar os valores de Y e V. Assm, Rev. Mat. Estat., São Paulo, v.24, n.2, p.17-36, 2006 27

fxando-se um nível V de estresse o período de tempo Y a ser consderado no teste de vda acelerado é dado por: [ C[1 1 γ) 1 r ] Y = 1 γ) 1 r ] 1 p 30) fxando-se o período de tempo Y de aplcação do teste de vda acelerado fxo, nível de estresse V a ser consderado é dado por: V = [ C 1 1 γ) 1 r+c 1 γ) 1 r Y p ] 1 βp 31) Encontrados os valores de Y e V tas que, PrT n+1) > Y D) = 1 γ sea satsfeto, e defnndo π = PrT n+1) Y D), podemos colocar m undades novas para serem testadas no nível de estresse, V, e observar seus tempos de sobrevvênca durante um período fxo de tempo Y e consderar o teste de hpóteses, H 0 : π γ lote aprovado na nspeção por amostragem) contra H 1 : π > γ lote não aprovado na nspeção por amostragem) supondo que o número x de falhas observadas no período de tempo Y, no nível de estresse V, na amostra de tamanho m, tenha uma dstrbução Bnomal, sto é, X Bnm,π ). Sea W o número de componentes que falharam W m) durante o teste. Se m é grande m 30) então temos, W N { mπ ;mπ 1 π ) }, e um crtéro de controle da qualdade pode ser baseado no teste de hpótese usual, sto é, o lote não será aprovado na nspeção por amostragem se Z z α, onde Z = W mπ mπ 1 π ) N {0,1}, e α é o nível de sgnfcânca e z α é tal que PrZ z α ) = α. 5 Aplcação Para lustrar a metodologa apresentada anterormente consderamos o conunto de dados completos sem censuras ntroduzdo por Nelson 1990) Tabela 3.1, p.129). Os dados referem-se ao tempo de ruptura de um tpo de solamento de fludos sob város níves de voltages kv). Na Tabela 1, apresentamos algumas meddas descrtvas desse conunto de dados. Esses dados foram analsados com uma perspectva clássca por Nelson 1990), consderando a dstrbução Webull para o tempo de vda e a le de potênca nversa para a varável de estresse. 28 Rev. Mat. Estat., São Paulo, v.24, n.2, p.17-36, 2006

Tabela 1 - Estatístcas descrtvas dos dados de tempo de ruptura de um tpo de solamento de fludos Níves de voltage V ) n Méda Medana Desvo padrão 26 3 1.303,00 1.579,50 1.183,43 28 5 356,22 110,29 422,93 30 11 75,78 43,40 71,91 32 15 41,16 13,95 59,79 34 19 14,36 6,50 18,88 36 15 4,61 2,58 6,63 38 8 0,92 0,73 0,72 5.1 Análse clássca Para os dados de Nelson 1990) Tabela 1), austando o modelo paramétrco Webull-exponenca Le de Potênca Inversa, as estmatvas de máxma verossmlhança EMV) foram obtdas maxmzando-se o log-verossmlhança dada em 6) e utlzando a sub-rotna MaxBFGS do aplcatvo Ox. As EMV dos parâmetros dos modelos WE - PI são dadas por ˆα = 5,993 10 27 3,54914 10 28 ), ˆβ = 17,6541,6483), ˆp = 0,600830,19344), ˆθ = 1, 62660, 99458). Cada valor entre parênteses ao lado das estmatvas representa a raz quadrada do correspondente elemento dagonal de I 1 ˆα, ˆβ, ˆp, ˆθ) onde Iα, β, p, θ) é a matrz de nformação observada. Se admtrmos normaldade assntótca para a dstrbução dos EMV, I 1 ˆα, ˆβ, ˆp, ˆθ) corresponde à estmatva da matrz de covarânca assntótca, e pode ser utlzada para obter nferêncas sobre os parâmetros. A estatístca da razão de verossmlhança para testar H 01 : θ = 1 em 8) resultou em Λ 1 = 0,71147, com valor estmado de p-valor gual 0,599, ndcando um auste adequado do Modelo Webull Le de Potênca Inversa. As estmatvas de máxma verossmlhança desvo padrões assntótcos) dos Modelos Webull Le de Potênca Inversa foram dadas por, ˆα = 1,4548 10 28 8,17524 10 28 ), ˆβ = 17, 7301, 6068) e ˆp = 0, 776560, 068346). A estatístca da razão de verossmlhança para testar H 01 : θ = 1;p = 1 em 9) resultou em Λ 2 = 10,15177 2 graus de lberdade) com uma estmatva do p-valor< 0,007, que ndcou um auste nadequado do Modelo Exponencal Le de Potênca Inversa para o conunto de dados de Nelson 1990). 5.2 Análse Bayesana Modelo Webull-exponencada Le de Potênca Inversa Para analsarmos os dados de Nelson 1990) descrtos anterormente, com uma perspectva Bayesana, ncalmente é consderando o modelo Webull-Exponencada Rev. Mat. Estat., São Paulo, v.24, n.2, p.17-36, 2006 29

Le de Potênca Inversa 1) com λ = exp β 0 + β logv )) e densdade a pror dada em 10), com β 0 = logα) N0,10 6 ), β N0,10 6 ), p Γ0,1,0,1) e θ Γ0,1,0,1). Com essa escolha foram geradas duas cadeas paralelas cada uma com 220.000 terações; montorou-se a convergênca da amostras Gbbs usando o método de Gelman e Rubn 1992) que utlza a técnca de análse de varânca para determnar se mas terações são necessáras. Para cada parâmetro as 20.000 prmeras terações foram descartadas para elmnar o efeto dos valores ncas, em seguda foram tomadas amostras de 20 em 20 totalzando uma amostra fnal de tamanho 20.000. O amostrador de Gbbs fo mplementado usando o aplcatvo Wnbugs. Na Tabela 2, reportamos o resumo a posteror dos parâmetros do modelo untamente com os resultados da estmatva dos fatores de redução de escala potêncal ˆR Gelman e Rubn, 1992), para todos os parâmetros. Observamos valores bastante próxmos de um, o que ndca que as cadeas convergram. Tabela 2 - Sumáro a posteror para o Modelo Webull-exponencada Le de Potênca Inversa Parâmetros Méda Medana D.P Int. Cred. 95%) ˆR β 0 64,94 64,85 5,413 55,31 ; 76,32) 1,017 β 1 18,00 17,97 1,506 15,36 ; 21,2) 1,001 p 0,603 0,575 0,194 0,003588 ; 1,062000) 1,001 θ 2,151 1,693 1,611 0,03713 ; 6,528) 0,993 Na Fgura 2, temos as densdades a posteror margnas aproxmadas para o modelo de regressão Webull-Exponencada Le de Potênca Inversa consderando os 20.000 pontos amostras gerados. Modelo Webull Le de Potênca Inversa Como fo anterormente observado, o modelo WE - PI em 1) com θ = 1 é o modelo Webull Le de Potênca Inversa W - PI). Para analsar os dados de Nelson 1990), consderamos agora o modelo W - PI, em que, como no caso da análse do modelo WE - PI, o parâmetro de forma p é suposto constante e o parâmetro de escala muda com o nível de estresse por meo da relação Le de Potênca Inversa), λ = exp β 0 + β logv )). Consderando as densdades a pror para os parâmetros do modelo W - PI, com, β 0 = logα) N0,10 6 ), β N0,10 6 ) e p Γ0,1,0,1), com essa escolha geramos duas cadeas separadas de Gbbs, cada uma com 120.000 terações e utlzamos o método de Gelman e Rubn 1992) para verfcar a convergênca das cadeas. Para cada parâmetro as 20.000 prmeras terações foram descartadas para elmnar o efeto do valores ncas e daí foram tomadas amostras de 10 em 10 o que totalza uma amostra fnal de tamanho 20.000. As quantdades a posteror de nteresse obtdas a partr das amostras seleconadas são dadas na Tabela 3, onde observamos que os fatores de redução 30 Rev. Mat. Estat., São Paulo, v.24, n.2, p.17-36, 2006

Densty 0.00 0.02 0.04 0.06 Densty 0.00 0.10 40 50 60 70 80 90 beta_0 10 15 20 25 beta_1 Densty 0.0 1.0 2.0 Densty 0.0 0.2 0.4 0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0 p 0 5 10 15 20 θ Fgura 2 - Densdades margnas a posteror aproxmadas dos parâmetros do modelo Webull-exponencada le de potênca nversa. potencal são menores de 1.1 ˆR < 1.1), ndcando a convergênca das amostras geradas. Tabela 3 - Sumáro a posteror para o modelo Webull le de potênca nversa Parâmetros Méda Medana D.P. Int. Cred. 95%) ˆR β 0 65,11 65,1 4,675 0,3207 ; 74,58) 0,9916 β 1 17,8 17,8 1,337 15,33 ; 20,51) 0,9959 p 0,7656 0,7636 0,06817 0,6376 ; 0,9025) 1,0001 Na Fgura 3, temos as densdades margnas a posteror aproxmadas consderando os 20.000 pontos amostras gerados. Para comparar o auste dos modelos Webull-Exponencada Le de Potênca Inversa 1) e Webull Le de Potênca Inversa, aos dados de Nelson1990), usamos alguns crtéros Bayesanos exstentes, como o crtéro BIC Bayes Informaton Crteron) e o crtéro DIC Devance Informaton Crteron) ver, Spegelhalter; Best e Glks, 2002). Na Tabela 4, reportamos a estmatva do BIC e do DIC baseada nas amostras Gbbs de cada modelo. As estmatvas do BIC e DIC, ndcam que o modelo Webull Le de Potênca Inversa se austa melhor aos dados de Nelson1990). Rev. Mat. Estat., São Paulo, v.24, n.2, p.17-36, 2006 31

Densty 0.00 0.04 Densty 0.00 0.06 0.12 50 60 70 80 10 15 20 25 beta_0 beta_1 Densty 0 1 2 3 4 5 6 0.5 0.7 0.9 p Fgura 3 - Densdades margnas a posteror aproxmadas dos parâmetros do modelo Webull le de potênca nversa. Podemos chegar a mesma conclusão ao observar o ntervalo de credbldade do parâmetro θ no modelo WE - PI, pos contém o valor θ = 1. Tabela 4 - Crtéros BIC e DIC Modelo BIC DIC Webull Le de Potênca Inversa 608,196 607,000 Webull-exponencada Le de Potênca Inversa 612,962 608,500 Uso de densdade predtva em controle de qualdade Aplcando o procedmento descrto na Subseção 4.2, mostramos na Fgura 4, as densdades predtvas aproxmadas para uma observação futura Y n+1), consderando os níves de estresse V = 26,28,30,32,34,36,38. A aproxmação é baseada no método de composção, sto é, com as 20.000 amostras a posteror dos parâmetros do modelo WE - PI, geramos para cada nível de estresse, uma amostra predtva de tamanho 20.000; com essa amostra obtemos uma aproxmação das 32 Rev. Mat. Estat., São Paulo, v.24, n.2, p.17-36, 2006

densdades predtvas de uma observação futura. Na Tabela 5 apresentamos uma estmatva para Y n+1) dada em 27) consderando 1 γ = 0,90. Tabela 5 - Valores de Y para V fxo com 1 γ = 0,90, consderando o modelo WE - PI V 26 28 30 32 34 36 38 Y n+1) 882,1 224,8 63,55 19,78 6,616 2,399 0,9109 Densty 0.000 0.004 0.008 26 28 Densty 0.00 0.04 0.08 30 32 0 200 600 1000 0 20 40 60 80 Y_n+1) Y_n+1) Densty 0.0 0.4 0.8 34 36 Densty 0.0 1.0 2.0 38 0 2 4 6 8 10 0 1 2 3 4 5 6 Y_n+1) Y_n+1) Fgura 4 - Densdade predtva para uma observação futura para níves de estresse, V = 26,28,30,32,34,36,38. Usamos a densdade predtva dada em 27) com θ = 1 e β e p conhecdos para determnar V e Y, para o problema de controle de qualdade. Neste caso assumndo β = 17,73 e p = 0,77656, na Tabela 6, apresentamos os valores de Y dados em 30) para valores fxos de V, com 1 γ = 0,90. Os valores de V dada em 31) para valores fxos de Y é reportado na Tabela 6. Esses resultados podem ser de grande nteresse para os engenheros de qualdade. Por exemplo, se o nteresse é verfcar se os componentes de um determnado lote estão sob controle, consderando uma probabldade de sobrevvênca após Y gual a 0.90, e temos para o expermento Y = 50 undades de tempo pela Tabela 6); o expermento deve ser realzado a um nível de estresse Rev. Mat. Estat., São Paulo, v.24, n.2, p.17-36, 2006 33

Tabela 6 - Valores de Y e V com 1 γ = 0,90, consderando o W - PI com β e p conhecdos V fxo Y fxo V Y Y V 26 65,50115 10 28,90754 28 17,60413 30 27,17069 30 5,18044 50 26,39904 32 1,64975 100 25,38689 34 0,56313 200 24,41355 36 0,20440 300 23,86157 38 0,07837 500 23,18390 V = 25,38689 kv). Smlarmente, suponha que por questões técncas somente é possível testar os componentes em V = 32 kv); pela Tabela 6, deve-se conduzr o expermento até Y = 1,64975 undades de tempo. Em ambos expermentos deve-se submeter m undades ao nível de estresse V, no período fxo de tempo Y e observar a proporção de undades que falham, p. Se p 0,10, o lote está sob controle; do contráro, está fora de controle. Conclusões Consderando a dstrbução Webull-exponencada para os tempos de vda, podemos observar que o uso de métodos bayesanos em teste de vda acelerados podem ser de grande nteresse prátco na análse do modelo Le de Potênca Inversa. O procedmento bayesano é baseado em métodos de Monte Carlo va cadeas de Markov MCMC), a mplementação do método é smples, não exge um conhecmento computaconal avançado e as nferêncas obtdas são bastante precsas e torna-se uma boa alternatva aos métodos clásscos usuas. Também, usando a densdade predtva de uma observação futura desenvolvemos um procedmento para o controle de qualdade de um lote de componentes que tem grande aplcabldade em ndústras de váras áreas. VIEIRA, D. S.; ACHCAR, J. A; CANCHO, G. V. Use of bayesan methods n accelerated lfe tests assumng an exponentated-webull dstrbuton and a power nverse law model. Rev. Mat. Estat., São Paulo, v.24, n.2, p.17-36, 2006. 34 Rev. Mat. Estat., São Paulo, v.24, n.2, p.17-36, 2006

ABSTRACT: In ths paper, we explored the use of Chans Markov Monte Carlo MCMC) technques to develop a Bayesan analyss for accelerated lfe tests consderng the Webull-exponentated dstrbuton. Assumng type II censored data, we consdered a classc analyss and a Bayesan analyss assumng nformatve prors for the parameters of the model, where we obtaned the predctve densty for a future observaton and proposed a crteron that can be used n qualty control problems. We llustrated the methodology wth a numerc example. KEYWORDS: Exponentated-Webull dstrbuton; accelerated lfe tests; predctve denstes; MCMC. Referêncas BOX, G. E. P.; TIAO, G. C. Bayesan nference statstcal analyss. New York: Addson-Wesley, 1973. 588p. CANCHO, G. V.; BOLFARINE, H. Modellng the presence of mmunes by usng the exponentated-webull model. J. Appl. Stat., Abngton, v.28, p.659-71, 2001. CANCHO, G. V.; BOLFARINE, H.; ACHCAR, J. A. A Bayesan analyss for the Exponentated-Webull dstrbuton. J. Appl. Stat. Sc., New York, v.8, n.4, p.227-242, 1999. CASELLA, G.; GEORGE, E. I. Explanng the Gbbs Sampler. Am. Stat., Washngton, v.46, p.167-174, 1992. CHIB, S.; GREENBERG, E. Understandng the Metropols-Hastng algorthm. Am. Stat., Washngton, v.49, n.4, p.327-335, 1995. COX, D. R.; HINKLEY, D. V. Theoretcal statstcs. Chapman and Hall, 1974, 519p. GELMAN, A.; RUBIN, D. B. Inference from teratve smulaton usng mul- tple sequences wth dscusson). Stat. Sc., Hayward, v.7, p.457-511, 1992. GILKS, W. R.; WILD, P. Adaptve reecton samplng for Gbbs samplng. J. R. Stat. Soc. Ser. C, London, v.41, p.337-338, 1992. MANN, N. R.; SCHAFER, R. E.; SINGPURWALLA, N. D. Methods for statstcal analyss of relablty and lfe data. New York: Wley, 1974. 576p. MUDHOLKAR, G. S.; HUTSON, A. D. The exponentated Webull famly: some propertes and a flood data applcaton. Commun. Stat. Theory Meth., New York, v.25, p.3059-3083, 1996. MUDHOLKAR, G. S.; SRIVATAVA, D. K.; FREIMER, M. The exponentated Webull famly: a reanalyss of the bus-motor falure data. Techonometrcs, Washngton, v.37, p.436-445, 1995. NADARAJAH, S.; GUPTA, A. K. On the moments of the exponentated Webull dstrbuton. Commun. Stat. Theory Meth., New York, v.34, p.253-256, 2005. Rev. Mat. Estat., São Paulo, v.24, n.2, p.17-36, 2006 35

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