ANÁLISE BAYESIANA DA CONFIABILIDADE DE ITENS SUBMETIDOS A TESTES DE DEGRADAÇÃO

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1 ANÁLISE BAYESIANA DA CONFIABILIDADE DE ITENS SUBMETIDOS A TESTES DE DEGRADAÇÃO Rodolfo Romualdo da Slva Insttuto Mltar de Engenhara (IME) Pça Gen Tbúrco 80 Urca Ro de Janero RJ CEP (romu@skydome.com.br) Nél Mara Costa Mattos, DC Insttuto Mltar de Engenhara (IME) Pça Gen Tbúrco 80 Urca Ro de Janero RJ CEP (nel@leblon.me.eb.br) Abstract The current context of global competton requres that products have extremely hgh relablty, even after longs perods of operaton tme. Thus, t s dffcult to assess relablty wth tradtonal lfe tests that record only falure tme. Degradaton tests, n turn, can be used for determnaton of the lfetmes of the products before falures occur. Ths work presents an applcaton of the use of stochastc smulaton to perform Bayesan nferences to evaluate relablty of tens submtted to degradaton tests. Key words: degradaton data, stochastc smulaton, Bayesan nference. 1. Introdução O termo confabldade fo utlzado por muto tempo como um ndcador do aspecto qualtatvo do desempenho de um produto, equpamento ou software. Entretanto, com o passar do tempo, reconheceu-se a mportânca da medda precsa da falha. Assm, confabldade transformou-se em um conceto quanttatvo. Sob dversos aspectos a medda da confabldade de um produto tem mpacto na satsfação do consumdor. A compra de um produto de maor confabldade pode resultar em um custo total de utlzação menor. Um produto de menor confabldade necesstará de ntervenções mas freqüentes para manutenção, cujos gastos poderão anular a vantagem ncal de um custo de aqusção mas baxo. O produto em manutenção pode anda acarretar prejuízos sgnfcatvos para o usuáro se dsto resultar perda de faturamento. Atualmente, a análse da confabldade consste na predção do tempo para falhar, na estmação dos tempos médos e medanos de falha, ou mas genercamente, no ajustamento de um modelo paramétrco para a dstrbução do tempo de vda do produto. Exstem dferentes procedmentos que permtem a coleta de dados e possbltam a análse da confabldade dos produtos. Entre esses podem ser ctados os Testes de Vda (TV), que consstem em se colocar um certo número de tens sob funconamento e regstrar o tempo de vda de cada um deles ou o número de tens que falham em ntervalos de tempo. Com o advento de novas tecnologas e processos de fabrcação, é comum que os produtos operem sem falha durante longos períodos de tempo. Nesses casos, faz-se uso de esquemas de censura e Testes de Vda Acelerados (TVA). Mesmo com esses procedmentos às vezes as falhas não ocorrem e tem-se como alternatva, a utlzação dos Testes de Degradação (TD). Nesses testes, é avalada a queda do desempenho ao longo do tempo, estmando-se os tempos de falha.

2 Para analsar a confabldade dos produtos e fazer nferêncas, são utlzados métodos estatístcos, através das abordagens clássca ou Bayesana. A abordagem clássca utlza somente os dados de operação ou de teste do tem para avalar o desempenho do produto, enquanto a abordagem Bayesana permte combnar esses dados com outras nformações relevantes já dsponíves. A orgem dessas nformações pode estar em dados de testes já realzados, dados de operação em dferentes ambentes, experêncas pessoas e resultados expermentas em tens smlares. Este trabalho se lmta à analse sob o enfoque Bayesano. Uma das maores dfculdades para a utlzação da abordagem Bayesana consste na solução de ntegras para as quas não exste solução analítca exata. Métodos aproxmados analítcos podem ser utlzados, porém podem se tornar nefcentes pela exgênca de grandes amostras. Com o progresso da Computação a partr dos anos 70, os métodos de aproxmação baseados em smulação (métodos de Monte Carlo), especalmente os de Monte Carlo va Cadeas de Markov (MCCM), passaram a ser amplamente utlzados na nferênca Bayesana, consttundo uma poderosa alternatva para aproxmar ntegras. Assm, dentro do contexto apresentado de desenvolvmento de produtos com requstos de alta confabldade em mercados altamente compettvos, com restrções de tempo e recursos fnanceros para testes, e do aperfeçoamento de ferramentas computaconas, propõe-se neste trabalho apresentar a aplcação de métodos de smulação estocástca, para a análse da confabldade sob enfoque Bayesano, em tens de produtos manufaturados, utlzando dados obtdos em testes de degradação. A segur, no Tópco, serão consderados aspectos da modelagem para testes de degradação, no Tópco 3 têm-se concetos báscos e fundamentos teórcos de métodos de smulação estocástca para a análse Bayesana da confabldade. Para lustrar a teora, no Tópco 4, uma aplcação numérca é apresentada e no Tópco 5, têm-se as conclusões.. Estudo da Degradação em Produtos Manufaturados.1 Dados de Degradação Em alguns estudos de confabldade, é possível medr a degradação físca como uma função do tempo. Em outras aplcações a degradação físca real não pode ser observada dretamente, mas meddas da degradação do desempenho do produto podem ser dsponíves. Ambos tpos de dados são genercamente referencados como dados de degradação. A modelagem da degradação do desempenho pode ser útl mas pode ser complcada, pos o desempenho pode ser afetado por mas de um processo de degradação. Dependendo da aplcação, os dados de degradação podem estar dsponíves contnuamente ou em pontos específcos no tempo. A prncpal vantagem da utlzação dos dados de degradação é possbltar a aqusção de mas nformações sobre a confabldade de um produto que os dados de tempo de falha tradconas, em aplcações com pouca ou nenhuma falha.. Degradação e Falha Estmatvas do tempo de falha de produtos submetdos a processos de degradação podem ser obtdas por meo do estudo da degradação ao longo do tempo. A fgura 1 mostra exemplos de três processos de degradação dspostos em gráfco: lnear, convexo e côncavo. Os dados de degradação estão dspostos ao longo do tempo formando o gráfco e a lnha horzontal representa o nível crítco (D f ) em que as falhas acontecem.

3 degradação D f nível de falha côncavo lnear convexo.3 Modelo Geral de Degradação tempo Fgura 1: Possíves formas de curvas de degradação. Segundo a modelagem apresentada por Meeker (1998), consdere uma amostra de n bens ou produtos, seleconada para o estudo da degradação ao longo do tempo t. A medção da degradação é realzada em m nstantes ndependentes e dscretos. A degradação observada, y j, de uma undade amostral no tempo t j é: onde D = D( t, β ) y = j D j + ε j, = 1,..., n, j = 1,..., m, (1) j j β 1,..., k é o camnho real de degradação da undade amostral até o tempo t j e ε j ~ Normal( 0, σ ε ) é o desvo resdual. O conjunto de valores ( β 1,..., β k ) é um vetor de k parâmetros desconhecdos que vara para cada undade amostral..4 Avalação da Dstrbução do Tempo de Falha O estabelecmento de um modelo específco para a degradação e seu nível crítco (D f ) pode defnr a dstrbução do tempo de falha de um produto. Seja F(t) a função de dstrbução acumulada da varável T que representa o tempo de falha do produto. Em geral, F(t) pode ser escrta como função dos parâmetros do modelo de degradação ( β 1,..., β k ). Assm, se um produto falha no tempo t, quando atnge o nível crítco (D f ), então: Pr [ ] ( T t) = F( t) = Pr D( t,,..., β ) β 1. () k D f Em alguns casos é possível reconhecer uma forma paramétrca para a dstrbução de T, entretanto na grande maora das aplcações é necessáro avalar F(t) com métodos de smulação. 3. Análse Bayesana da Confabldade A nferênca Bayesana permte organzar e nclur formalmente nformações já exstentes sobre as quantdades de nteresse (parâmetros), através de uma dstrbução a pror, levando a nferêncas a posteror, sto é, nferêncas sobre os parâmetros obtdos após a ncorporação dos dados à análse. Utlzando a notação apresentada em (1) e uma vez observado o vetor y, a manera de se combnar o conhecmento a pror com a nformação dos dados é através da densdade a posteror do parâmetro β, que va teorema de Bayes pode ser escrto como:

4 ( β ) ( β ) π ( β ) π 1 L 0, (3) onde π 1 (β) é a densdade conjunta a posteror dos parâmetros desconhecdos β ; π 0 (β) é a dstrbução a pror de β e L(β) é a função de verossmlhança. A partr de π 1 (β) devem ser encontradas as densdades margnas a posteror dos parâmetros e das quantdades de nteresse, por exemplo, o tempo médo de falha, e a confabldade para tempos fxados. Um maor aprofundamento sobre a teora de análse da confabldade sob enfoque Bayesano pode ser encontrado em Martz e Waller (198) e Clarott e Lndley (1988). 3.1 Métodos de Smulação As densdades margnas a posteror são encontradas va ntegração. Quando não há solução analítca exata para as ntegras, uma alternatva é o uso de métodos aproxmados, va smulação estocástca. Nesse caso são geradas amostras das densdades a posteror de cada parâmetro e a partr destas são obtdas as nformações desejadas. Nos métodos baseados em smulação, a qualdade dos resultados não depende do número de observações. Esses métodos fornecem aproxmações que serão tão melhores quanto maor for o número de valores gerados. Logo, a únca restrção para que seja atngdo qualquer nível de precsão desejada é o custo computaconal. Com o progresso da computação, essa restrção se torna cada vez menos relevante. Isso faz com que, embora seja mas dfícl controlar os erros cometdos sob o ponto de vsta teórco, torne-se cada vez mas atraente, do ponto de vsta de aplcações prátcas, a utlzação de métodos baseados em smulação estocástca. Exstem dferentes métodos de smulação estocástca, entretanto não faz parte do escopo deste trabalho apresentá-los de forma detalhada. Podem ser ctados o método de ntegração de Monte Carlo e os métodos de reamostragem - rejeção ou acetação e rejeção (von Neumann, 1951 e Rpley, 1987), rejeção adaptatvo (Glks e Wld, 199), reamostragem ponderada ou amostragem e reamostragem por mportânca (Rubn, 1988 e Smth e Gelfand, 199). Também fazem parte dos métodos de smulação estocástca os métodos de Monte Carlo va Cadea de Markov (MCCM), que serão abordados de forma mas detalhada nas seções 3. e 3.3. Para um estudo amplo dos métodos de smulação estocástca, sugere-se a publcação de Gamerman (1997). 3. Métodos de Monte Carlo va Cadea de Markov (MCCM) Glks et al. (199) e Gelman et al. (1997) abordam o estudo da metodologa de MCCM para fazer nferêncas sob o enfoque Bayesano. O método MCCM é essencalmente uma ntegração de Monte Carlo utlzando cadeas de Markov. De forma geral, a ntegração de Monte Carlo estma o valor esperado médo da população utlzando amostras das dstrbuções a posteror. O método MCCM gera essas amostras executando uma cadea de Markov claramente conttuída por um longo tempo. A manera usual de consttur essas cadeas é por meo do amostrador de Gbbs (Geman e Geman, 1984) e do algortmo de Metropols e Hastngs (1970). 3.3 Implementação Spegelhalter et al. (000), desenvolveram o programa WnBUGS, uma versão nteratva para ambente Wndows do programa BUGS (Bayesan nference Usng Gbbs

5 Samplng). O WnBUGS realza a análse Bayesana de modelos estatístcos complexos utlzando técncas de MCCM. O programa WINBUGS assume um modelo de probabldade completo, onde as quantdades desconhecdas são tratadas como varáves aleatóras. Constró a densdade conjunta a posteror dos parâmetros π 1 (β), defnda sobre todas as quantdades observadas (dados) e não observadas (parâmetros e dados perddos). Utlza técncas de smulação va Cadeas de Markov, especalmente o amostrador que gera teratvamente amostras das densdades condconas completas dos parâmetros, densdades estas obtdas dretamente de π 1 (β). A versão 1.3 do programa WINBUGS está dsponível para download em 4. Aplcação Meeker (1998, p. 43), apresenta o resultado de um teste de degradação realzado para acompanhar o desempenho de um laser, desenvolvdo por uma empresa. Observa-se que, com a degradação do produto, a corrente elétrca necessára é aumentada para manter a ntensdade lumnosa orgnal, até o momento da falha. O teste fo realzado com 15 undades ndependentes, testadas à temperatura de 80 C. A varável resposta do teste é o aumento percentual de corrente elétrca necessára para manter a ntensdade lumnosa orgnal. Foram realzadas 1 medções ndependentes, em cada undade testada, ao longo do tempo, consderando-se que no tempo T = 0 não há degradação. Consdera-se que o nível crítco de degradação (D f ) é atngdo quando o aumento percentual de corrente elétrca chega a 10%. A fgura apresenta o gráfco, gerado no programa Mcrosoft Excel versão 000, com os 17 dados de ncremento percentual obtdos no teste descrto, para cada um dos 15 tens testados. Observa-se que se trata de um modelo de degradação lnear. Incremento (%) Tempo (h) Df Fgura : Dados obtdos em teste de degradação. 4.1 Modelagem onde Suponha que a varável degradação (y j ), em (1) seja dada por: ( Dj,σ ) = α + β x + ε e ε ~ N ( 0, σ ) yj ~ Normal, =1,,..., 15, j=1,,..., 17, (4) D j j.

6 Neste exemplo, serão consderados, para efeto de análse, dos modelos dstntos. No modelo 1, dspõe-se de 15 regressões ndependentes e foram assumdas as seguntes dstrbuções a pror não nformatvas: ~ N ( 0, 10 ) α, ~ N ( 0, 10 ) β, σ ~ gama nversa( 10,10 ). No modelo, dspõe-se de 15 regressões, porém consderou-se uma herarqua nos parâmetros que relaconam essas retas e foram assumdas as seguntes prors não nformatvas: α N α, β N β, ~ ( g σ α ), ~ ( g σ β ), ~ N ( 0, 10 ) α g, β ~ N ( 0, 10 ) g, σ ~ gama nversa( 10,10 ), ~ gama nversa( 10,10 ) α σ. Em ambos os modelos os tempos de falha (TF) de cada tem, são dados por: TF () β α = 10. (5) Consderando-se um modelo Webull para os tempos de falha, e assumndo-se prors não nformatvas para os parâmetros tem-se que: β TF ~ Webull( α,β ) 3 ( 10 ) 3 3 α ~ gamma, 10, ( ) 3 ~ gamma 10, 10 β. () 4.3 Resultados A função de confabldade R(t) é dada por: () R t = e β αt. (7) Utlzando a modelagem apresentada na Seção 4., mplementada no Wnbugs1.3, foram obtdos os resultados apresentados na tabela 1. Nas colunas 3 e 4, têm-se os tempos estmados de falha, TF, em horas, pelos modelos 1 e respectvamente. Na coluna 1 são apresentadas as estmatvas obtdas por Meeker (1998), usando a abordagem clássca. ITEM TEMPOS ESTIMADO DE FALHA - TF (h) MEEKER MODELO 1 MODELO Tabela 1: Tempo estmado de falha (TF), em horas, para cada componente.

7 A partr dos tempos estmados de falha e consderando a proposção (), um modelo Webull para o tempo de falha TF do produto (conforme sugerdo por Meeker, 1998), fo possível estmar os parâmetros α e β e a função de confabldade a posteror do produto, R(t), para os modelos 1 e, formulada em (7). A Fgura 3 apresenta os gráfcos dessas funções e também a tabela com os valores estmados da confabldade do produto para os tempos t = 1000, 000,..., h, para cada um dos modelos consderados. Confabldade (%) Modelo 1 99,91 98, ,8 5,7 4,79 7,3 1,4 0,598 0,0544 Modelo 99,89 98,3 91,8 75,3 48,5 1,45 5,971 1,147 0,07 0,053 Tempo (h) Fgura 3: Confabldade do produto após t horas segundo o modelo 1 e o modelo. 5. Conclusões Este trabalho apresentou uma aplcação dos métodos de smulação estocástca para análse da confabldade (tempo estmado de falha e confabldade ao longo do tempo) em tens submetdos a TD, consderando duas modelagens dstntas. Os resultados obtdos foram comparados aos de Meeker (1998) que utlzou a abordagem clássca. Os métodos de MCCM mplementados no programa WnBUGS1.3, permtram fazer nferêncas sob o enfoque Bayesano para os dos modelos apresentados, demandando para tal um tempo computaconal nferor a dos mnutos. O modelo consdera a nformação de que todos os tens são orundos da mesma população e por essa razão deve ser utlzado. Essa nformação é ncluída através de uma herarqua nos parâmetros, e consttu uma sofstcação do modelo que acarreta um aumento da dmensão do espaço de parâmetros. Apesar dsso, não houve aumento sgnfcatvo do tempo computaconal requerdo.. Bblografa - CLAROTTI, C. A., LINDLEY, D. V. Accelerated Lfe Testng and Expert Opnon n Relablty. Amsterdam: North-Holland, GAMERMAN, D. Markov Chan Monte Carlo-Stochastc Smulaton for Bayesan Inference. Chapman & Hall, p. - GELMAN, A., RUBIN D. et al. Bayesan Data Analyss. England: Chapman & Hall, p. - GEMAN, S., GEMAN, D. Stochastc Relaxaton-Gbbs Dstrbutons and the Bayesan Restoraton of Images. IEEE Transactons on Pattern Analyss and Machne Intellgence,, p , GILKS, W. R., SPIEGELHALTER, D. J. et al. Markov Chan Monte Carlo n Practce. London: Chapman & Hall, p.

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