ET66C - Processos em Engenharia, UTFPR

ET66C - Processos em Engenharia, UTFPR Prof. Alessandro Vargas 1o. sem. 2019

Plano de Curso Objetivo Proporcionar a aquisição de conhecimentos básicos sobre modelagem e simulação de processos físicos. Estes slides são baseados nas notas de aula dos professores P. R. Scalassara e Bruno Augusto Angélico. 2 of 76

Referências Referências Principais: NISE, Norman S. Engenharia de Sistemas de Controle. ed. Rio de Janeiro: LTC, 2002. OGATA, Katsuhiko. Engenharia de Controle Moderno. 3. ed. Rio de Janeiro, LTC, 2000. DORF, Richard C. Sistemas de Controle. 8. ed. Rio de Janeiro: LTC, 2001. D AZZO, John Joachim. Analise e Projeto de Sistemas de Controle Lineares. 2. ed. Rio de Janeiro. Ed. Guanabara Dois SA, 1978. Feedback Control Systems, 4th Edition [Paperback], C.L. Phillips, R. D. Harbor, 3a. ed. GARCIA, Claudio. Modelagem e simulação de processos industriais e de sistemas eletromecânicos. 2. ed. São Paulo: EDUSP, 2005. SOUZA, A. C. Z., PINHEIRO, C. A. M. Introdução à Modelagem, Análise e Simulação de Sistemas Dinâmicos. Rio de Janeiro. Interciência, 2008. 3 of 76

Processo ou sistema físico Exemplo Um processo ou sistema físico pode ser considerado como sendo um equipamento, um aparato físico, um elemento físico qualquer que contenha entrada(s), saída(s) e uma dinâmica interna. Ao alterar-se valor(es) na entrada, após passado algum tempo começa a observar-se alteração na saída. 4 of 76

Modelo para representar sistemas físicos Objetivo Muitas disciplinas do curso de Engenharia tem por objetivo determinar um modelo que representa o melhor possível o comportamento do processo/equipamento/sistema físico, ou seja, desejamos determinar um modelo que garanta y(t) ỹ(t) 0, t 0. Processo u(t) y(t) Modelo ỹ(t) 5 of 76

Modelo para representar sistemas físicos Objetivo O Modelo torna possível simular o comportamento de um processo/equipamento/sistema físico. O Modelo mais usado na graduação em Engenharia é o modelo linear baseado em Equação Diferencial Ordinária (EDO). Uma EDO tem a sua correspondente equivalente no domínimio de Laplace (chamamos comumente de G(s)). Essa disciplina se concentra em estudar o comportamento de G(s). Processo u(t) y(t) Modelo ỹ(t) 6 of 76

Resolução de Equações Diferenciais Ordinárias Exemplo Resolva a equação diferencial abaixo usando TL: d 2 x dt 2 +3dx +2x = 5u(t), dt no qual u(t) representa degrau unitário, e x(0) = 1 e ẋ(0) = 2. Dica: s 2 X(s) sx(0) ẋ(0)+3[sx(s) x(0)]+2x(s) = 5/s Resposta: x(t) = 5 2 3exp( 2t) 5exp( t)+, t 0. 2 7 of 76

Análise Transitória A resposta temporal de um sistema é constituída de duas partes: Resposta transitória: saída do sistema vista desde o princípio até um instante de tempo no qual o sistema se estabiliza numa região de operação. Esse intervalo de tempo transitório geralmente apresenta oscilações amortecidas. Resposta estacionária: comportamento da saída do sistema à medida em que t. Objetivo Determinar o que ocorre com a saída y(t) quando o sistema é submetido a uma determinada entrada-padrão em r(t). r(t) entrada processo G(s) y(t) saída 8 of 76

A entrada-padrão, ou entrada de teste, é uma entrada na forma de impulso, degrau, rampa, parábola ou senóide. Muitas propriedades essenciais de um sistema podem ser determinadas através da resposta correspondente a essas entradas de teste. 9 of 76

Análise de Sistemas de Primeira Ordem Muito utilizados para descrever processos simples, como a velocidade de uma massa, a temperatura de um ĺıquido em um tanque, o nível de um tanque e a tensão num circuito RC série. Possuem função de transferência abaixo, sendo k o ganho e τ a constante de tempo do sistema. T(s) = Y(s) R(s) = k τs +1 10 of 76

Resposta ao impulso unitário Para r(t) = δ(t), tem-se que R(s) = 1. Portanto, Y(s) = k τs +1 y(t) = k τ e t/τ, t 0 11 of 76

Circuito RC V i R C V o O circuito RC é amplamente usado na Eletrônica. Conhecer bem o seu funcionamento é muito importante. É possível provar que (homework) G(s) = V i(s) V o (s) = 1 1+RCs 12 of 76

V i R C V o Exemplo Suponha que R = 1kΩ e C = 1mF. (a) Determine o valor de pico de tensão sobre o capacitor C quando a entrada V i é um pulso. (b) Determine o tempo necessário para que o capacitor apresente uma tensão inferior a 0.15V. Solução: Note que k = 1 e τ = RC = 1. O valor de pico ocorre no instante inicial e é dado por 1/τ = 1V. Relembrando a fórmula y(t) = k τ e t/τ, determine o tempo t a tal que 0.15 = 1e ta. 13 of 76

Resposta ao degrau unitário Y(s) = k τs +1 1 s = = k s k s +(1/τ) y(t) = k ke t/τ, t 0 Note que y(0) = 0 e que y( ) = k. k/τ s(s +1/τ) Quanto menor a constante de tempo τ, mais rápido o sistema responde. A inclinação da reta tangente em t = 0 é k/τ. Para t 4τ, a resposta se mantém a 2% do valor final. 14 of 76

15 of 76

V i R C V o Homework Suponha que R = 1kΩ e C = 0.01mF. Determine o tempo necessário para que um capacitor apresente uma tensão superior a 95% de sua tensão de entrada (tensão de entrada degrau amplitude A). 16 of 76

Análise de Sistemas de Segunda Ordem Exemplos de sistemas com modelos de segunda ordem: posição de uma massa num sistema massa-mola-atrito, deslocamento angular do eixo de um motor DC (modelo simplificado) e carga no capacitor de um circuito RLC série. A forma padrão de um sistema de segunda ordem é dada por onde: T(s) = Y(s) R(s) = ω n : frequência natural não amortecida; ξ: coeficiente de amortecimento; ω 2 n s 2 +2sξω n +ωn 2, ω d = ω n 1 ξ2 : frequência natural amortecida do sistema. Aequaçãocaracterísticaédadapors 2 +2sξω n +ω 2 n, portanto,ocomportamento dinâmico do sistema de 2 a ordem pode ser descrito pelos parâmetros ξ e ω n. 17 of 76

Sistema subamortecido (0 < ξ < 1): Os polos de malha fechada são complexos conjugados e se situam no semiplano esquerdo do plano s. Nesse caso, as raízes da equação característica são: s 1,2 = ξω n ±jω n 1 ξ2 = ξω n ±jω d, E a função de transferência é dada por: Y(s) R(s) = ω 2 n (s +ξω n +jω d )(s +ξω n jω d ) 18 of 76

19 of 76

Especificações da Resposta Transitória para Sistemas Subamortecidos As características de um sistema de controle são geralmente especificadas em termos da resposta transitória a uma entrada degrau. Para sistemas LIT, quando a resposta ao degrau é conhecida, pode-se calcular a resposta a qualquer tipo de entrada. Costuma-se utilizar condição inicial de sistema em repouso. Especificações mais comuns: Tempo de atraso (t d ): tempo necessário para que a resposta alcance metade do seu valor final pela primeira vez. Tempo de subida (t r ): tempo requerido para que a resposta passe de 10% a 90%, ou de 5% a 95%, ou de 0% a 100% do valor final. Para sistemas de 2 a ordem subamortecido, utiliza-se 0% a 100% do valor final. Para sistemas superamortecidos, geralmente considera-se de 10% a 90%. Tempo de pico (t p ): tempo para que a resposta atinja o primeiro pico de sobresinal. 20 of 76

Máximo overshoot (M O ): valor máximo de pico da curva de resposta, medido a partir da unidade. Se o valor da resposta em regime diferir da unidade, utiliza-se a porcentagem máxima de sobresinal (ou ultrapassagem percentual, U.P.): U.P. = y (t p) y ( ) y ( ) 100% Tempo de acomodação ou assentamento) (t s ): tempo necessário para que a resposta permaneça com valores no interior de uma certa faixa ± (usualmente ±2% ou ±5%) em torno do valor final. 21 of 76

22 of 76

Cálculo das Especificações de Transitório As especificações de tempo de subida, tempo de pico, máximo sobresinal e tempo de acomodação podem ser obtidos em função dos parâmetros ξ e ω n. Tempo de subida t r : fazendo-se t = t r na equação da resposta ao degrau do sistema subamortecido, tem-se: ) ξ y(t r ) = 1 = 1 e (cos(ω ξωntr d t r )+ sin(ω dt r ) 1 ξ 2 Como e ξωntr 0, tem-se: 23 of 76 cos(ω d t r )+ ξ sin(ω 1 ξ 2 dt r ) = 0 tan(ω d t r ) = ( t r = 1 ω d tan 1 1 ξ 2 ξ ) ω d ξω n t r = π θ ω d = ω d ξω n

Tempo de pico t p : pode ser obtido derivando-se y(t) em relação a t e igualando o resultado a zero: ] [ ] dy(t) = ξω n e ξω nt p ξ cos(ω d t p )+ dt sin(ω dt p ) 1 ξ 2 Com isso, t=t p +e ξωntp [ω d sin(ω d t p ) ξω n cos(ω d t p )] = 0 ω e ξωntp n sin(ω d t p ) = 0. 1 ξ 2 sin(ω d t p ) = 0 ω d t p = 0, π, 2π, 3π,... Comootempodepicocorrespondeaoprimeiropicodesobresinal,ω d t p = π, tem-se: Lembre-se que ω d = ω n 1 ξ2. 24 of 76 t p = π ω d

Máximo overshoot M O : ocorre em t = t p = π/ω d. Ao supor que o valor final da saída é unitário, verifica-se que: M O = y (t p ) 1 = e ξωn(π/ω d) [ cos(π)+ ] ξ sin(π) 1 ξ 2 Então: = e ξωn(π/ω d) = e ( ξ/ 1 ξ 2 )π ( ) ξπ M O = exp 1 ξ 2 No caso geral de y ( ) 1, calcula-se U.P. Caso o máximo overshoot M O seja conhecido, e deseja-se calcular ξ, então deve-se empregar a formula ξ = ln(m O ) π 2 +ln 2 (M O ) 25 of 76

Tempo de acomodação t s : A resposta transitória permanece sempre dentro de um par de envoltórias com constante de tempo 1/ξω n. Para ω n fixo, t s é função de ξ. Considerando o critério de 2%, tem-se (ω d = ω n 1 ξ2 ): e ξωnt 1 ln (0,02 ) 1 ξ 2 = 0,02 t s(2%) = 1 ξ 2 ξω n Se 0 < ξ < 0,9, pode-se aproximar t s como: t s (2%) 4 ξω n t s (5%) 3 ξω n 26 of 76

Exemplo (Função de Transferência) Encontre a função de transferência E o (s)/e i (s) do seguinte circuito RLC: Aplicando a lei da tensões de Kirchhoff e depois a transformada de Laplace (com condições iniciais nulas), tem-se: L di(t) dt +Ri(t)+ 1 C LsI(s)+RI(s)+ 1 Cs I(s) = E i(s) E o (s) = 1 Cs I(s) I(s) = CsE o(s) i(t)dt = e i (t) e e o (t) = 1 C i(t)dt 27 of 76

Exemplo (continuação) Portanto, LCs 2 E o (s)+rcse o (s)+e o (s) = E i (s) E o(s) E i (s) = 1 LCs 2 +RCs +1 Função de transferência do circuito RLC 1 E o (s) E i (s) = LC s 2 + R L s + 1 LC = ω 2 n s 2 +2ξω n s +ω 2 n 28 of 76

Problema Considere o circuito RLC com L = 1H. Determine o valor dos componentes R e C se um técnico aplica uma entrada degrau de +10V e observa um Máximo overshoot de +2V e um tempo de assentamento (2%) de 0.5 segundos. Solução Pela linearidade de G(s) que representa o circuito RLC, temos que ao aplicar-se um degrau-unitário, o Máximo overshoot seria de 2/10 = 0.2V. 29 of 76

Problema Solução Usamos a fórmula para calcular ξ: ln(m O ) ξ = = π 2 +ln 2 (M O ) ln(0.2) π 2 +ln 2 (0.2) = 0.456 Logo temos do tempo de assentamento que t s = 4 ξω n = 0.2, e portanto ω n = 17.54. Considerando 2ξω n = R/L obtemos R = 16Ω. E considerando ω 2 n = 1/LC obtemos C = 3.25mF. 30 of 76

Exemplo (Elementos em Cascata) Homework: Determine que a função de transferência do circuito acima é E o (s) E i (s) = 1 (R 1 C 1 s +1)(R 2 C 2 s +1)+R 1 C 2 s 31 of 76

Modelagem de Sistemas Elétricos Algumas relações envolvendo componentes elétricos básicos: 32 of 76

Para componentes conectados em série, a impedância total é a soma das impedâncias das componentes. Z equiv = Z 1 +Z 2 +...+Z n Para componentes conectados em paralelo, a inversa da impedância total é a soma das inversas das impedâncias das componentes. 33 of 76 1 Z equiv = 1 Z 1 + 1 Z 2 +...+ 1 Z n

Impedância RC A impedância equivalente resultante de um R em série com C é Z equiv = R + 1 sc = scr +1 sc A impedância equivalente resultante de um R em paralelo com C é 1 = 1 1+sCR +sc = Z equiv R R Z equiv = R 1+sCR 34 of 76

+ Z 1 + V i Z 2 V o A relação entrada-saída do circuito é dada por V o V i = Z 2 Z 1 +Z 2 Homework Elabore um circuito usando apenas resistores e capacitores de modo que V o (s) V i (s) = s +a s +b no qual a e b são constantes que dependem dos resistores e capacitores. 35 of 76

Circuito lead [avanço de fase] R 1 V i C 1 R 2 V o Note que R 1 e C 1 em paralelo resulta em No circuito temos Z 2 = R 2. Z 1 = R 1 1+R 1 C 1 s 36 of 76

R 1 V i C 1 R 2 V o Fazendo as contas vemos que V 0 (s) V i (s) = Z 2 Z 1 +Z 2 = R 2(1+R 1 C 1 s) R 2 (1+R 1 C 1 s)+r 1 = Portanto a = 1 R 1 C 1 b = 1 R 1 C 1 + 1 R 2 C 1 Perceba que a < b. Calcule a fase de V0(s) V i (s) sistema realiza avanço. 37 of 76 s + 1 R 1C 1 s + 1 R 1C 1 + 1 = s +a R 2C 1 s +b e conclua que a < b implica que o

Circuito lag [atraso de fase] Homework Faça a análise do circuito de modo a determinar a e b tal que a > b e V 0 (s) V i (s) = s +a s +b V i R 1 R 2 V o Calcule a fase de V0(s) V i (s) e conclua que a > b implica que o sistema realiza atraso. 1 Dica: a = (R 1+R 2)C 2 e b = 1 R 2C 2. C 2 38 of 76

Circuito lead-lag Homework Faça a análise do circuito de modo a determinar a 1 < b 1 e a 2 > b 2 V 0 (s) V i (s) = (s +a 1)(s +a 2 ) (s +b 1 )(s +b 2 ) V i R 1 R 2 V o Dica: V 0 (s) V i (s) = (s + 1 R 1C 1 )(s + 1 ( ) s 2 1 + R 2C 2 + 1 R 2C 1 + 1 R 1C 1 R 2C 2 ) + 1 R 1C 1R 2C 2 C 1 C 2 39 of 76

Elementos sem Carga em Cascata A função de transferência de dois sistemas sem carga em cascata é a multiplicação das funções de transferência individuais. Essa abordagem considera que a impedância de entrada do segundo sistema é infinita, senão for ocorre o chamado efeito de carga. Para evitar esse efeito, utilizam-se amplificadores de acoplamento (amp-ops). 40 of 76

Amplificadores Operacionais Exemplo (Amplificador Inversor) Impedância de entrada infinita Impedância de saída zero Alto ganho diferencial (K): e 0 = K(e 2 e 1 ) Encontre a função de transferência do circuito com amp-op configuração inversor. 41 of 76

Exemplo (continuação) Como a impedância de entrada é elevada, a corrente de entrada no amplificador é extremamente pequena. Assim, a equação de correntes no nó n é: E i E n Z 1 + E o E n Z 2 = 0 Como o ganho diferencial do amp-op é muito alto, E n 0, portanto: E i Z 1 + E o Z 2 = 0 E o E i = Z 2 Z 1 42 of 76

Exemplo Encontre a função de transferência do circuito com amp-op abaixo. 43 of 76

Homework Encontre a função de transferência de cada circuito. 44 of 76

Exemplo Amplificador diferencial-in diferencial-out: circuito usado como amplificador de Sinais. Mostre que V out = R 1 +R 2 +R 3 V in R 3 45 of 76

Exemplo Amplificador de Instrumentação. Faça R S = R I e R F = R P. Mostre que V out = R ( ) F R1 +R 2 +R 3 V in R I R 3 46 of 76

Homework Considere o circuito com R 1 = R 2 = 0 e R I = R S = 100Ω e R F = R P = 100KΩ. Determine V out /V in. 47 of 76

Homework Considere o circuito com R 1 = R 2 = R 3 = R 4 = 100Ω Determine V out /V in. 48 of 76

Modelagem de Sistemas Mecânicos A tabela seguinte apresenta algumas relações envolvendo componentes mecânicos: 49 of 76

Exemplo Obtenha a função de transferência, X(s)/F(s), para o sistema abaixo. Considerando que a massa está sendo deslocada para a direita, somente a força aplicada aponta para a direita; todas as outras forças impedem o movimento e agem contra ele. O diagrama do corpo livre deste sistema é dado por: 50 of 76

Exemplo (continuação) Logo, M d2 x(t) dt 2 +b dx(t) +Kx(t) = f(t) dt Aplicando a transformada de Laplace, com condições iniciais nulas, tem-se: Ms 2 X(s)+bsX(s)+KX(s) = F(s) Portanto, X(s) F(s) = 1 Ms 2 +bs +K 51 of 76

Sistemas Massa-Mola-Amortecedor u(t): entrada - deslocamento do carro ( u(t) constante) y(t): saída - deslocamento da massa m 52 of 76

Continuação Ou, equivalentemente: ma = F ( m d2 y dy dt 2 = b dt du ) k(y u) dt Aplicando-se Laplace: m d2 y dt 2 +bdy dt +ky = bdu dt +ku ( ms 2 +bs +k ) Y(s) = (bs +k)u(s) Y(s) U(s) = bs +k ms 2 +bs +k 53 of 76

Sistemas Massa-Mola-Amortecedor Acoplados m 1 ẍ 1 = k 1 x 1 k 2 (x 1 x 2 ) b(ẋ 1 x 2 )+u m 2 ẍ 2 = k 3 x 2 k 2 (x 2 x 1 ) b(ẋ 2 x 1 ) 54 of 76

Continuação m 1 ẍ 1 +bẋ 1 +(k 1 +k 2 )x 1 = k 2 x 2 +bx 2 +u Aplicando-se Laplace: m 2 ẍ 2 +bẋ 2 +(k 2 +k 3 )x 2 = k 2 x 1 +bx 1 ( m1 s 2 +bs +(k 1 +k 2 ) ) X 1 (s) = (k 2 +bs)x 2 (s)+u(s) Resolvendo-se: ( m2 s 2 +bs +(k 2 +k 3 ) ) X 2 (s) = (k 2 +bs)x 1 (s) X 1 (s) U(s) = m 2 s 2 +bs +k 2 +k 3 (m 1 s 2 +bs +k 1 +k 2 )(m 2 s 2 +bs +k 2 +k 3 ) (bs +k 2 ) 2 55 of 76

Modelagem de Sistemas Mecânicos Rotativos Função de Transferência de Circuitos Mecânicos Rotativos 56 of 76

Exemplo (Modelagem de Servomotor de Corrente Contínua) Os servomotores DC têm diversas características interessantes como controlabilidade, portabilidade, baixos custos de aquisicão e manutenção e adaptabilidade a vários tipos de sistemas de controle. Considera-se a modelagem do servomotor controlado por armadura (campo constante). 57 of 76

Exemplo (Continuação) Assumindo corrente de campo (i f ) constante, o torque do motor é proporcional à corrente de armadura: T m (s) = K m I a (s) O torque do motor é igual à soma do torque da carga (Js 2 θ(s) +bsθ(s)) e o torque de distúrbio, T d (s). Considerando T d (s) = 0, tem-se: T m (s) = K m I a (s) = Js 2 θ(s)+bsθ(s) A corrente de armadura se relaciona com a tensão de armadura como: V a (s) = (R a +L a s)i a (s)+v b (s), onde V b (s) é a TL da força controeletromotriz gerada, que é proporcional à velocidade do motor, ou seja, V b (s) = K b ω(s) 58 of 76

Exemplo (Continuação) Assim, a corrente da armadura pode então ser escrita como: Então, tem-se: I a (s) = V a(s) K b ω(s) R a +L a s K m V a (s) K m K b ω(s) R a +L a s = s(js +b)θ(s), que pode ser escrita como (note que ω(s) = sθ(s)) K m V a (s) = s[(js +b)(r a +L a s)+k m K b ]θ(s). Assim, a função de transferência θ(s)/v a (s) é dada por: θ(s) V a (s) = K m s[(js +b)(r a +L a s)+k m K b ] 59 of 76

Exemplo (Continuação) Como ω(s) = sθ(s), a função de transferência ω(s)/v a (s) é dada por: ω(s) V a (s) = K m (Js +b)(r a +L a s)+k m K b O diagrama de blocos do modelo motor controlado por armadura é dado por: 60 of 76

Função de Transferência Relação Entrada-Saída Desejamos obter a expressão M(s) = Y(s) R(s) Para obter essa expressão, devemos realizar uma analise de algebra de blocos. Perceba que a relação entre o sinal de realimentação B(s) e o sinal de erro atuante E(s) é 61 of 76 FT de malha aberta = B(s) E(s) = G(s)H(s)

A relação entre o sinal de saída Y(s) e o sinal de erro atuante é chamada de função de transferência do ramo direto, FT de ramo direto = Y(s) E(s) = G(s) A expressão que relaciona a saída Y(s) e a entrada R(s) é obtida como: Y(s) = G(s)E(s) Realizando-se a substituição, tem-se: E(s) = R(s) B(s) = R(s) Y(s)H(s) Y(s) = G(s)[R(s) Y(s)H(s)] Y(s)[1+G(s)H(s)] = G(s)R(s) Portanto, a função de transferência de malha fechada é dada por: Y(s) R(s) = G(s) 1+G(s)H(s) 62 of 76

Diagrama de Blocos Os elementos de um diagrama de blocos são listados a seguir: Seta: representação do sentido do fluxo de sinal. Bloco: operação matemática sobre o sinal de entrada que produz a saída. Normalmente uma função de transferência. Ponto de soma: círculo com o símbolo + que indica uma operação de soma. O sinal do lado externo determina se é realizada soma ou subtração. Ponto de junção: ponto a partir do qual o sinal proveniente de um bloco vai para outros blocos ou pontos de soma. 63 of 76

Propriedades dos Diagramas de Blocos Associação em Cascata (Série): Associação em Paralelo: Realimentação Negativa: 64 of 76

65 of 76

66 of 76

Gráfico de Fluxo de Sinais Consiste em uma rede na qual os nós são conectados por ramos direcionados. Os nós correspondem às variáveis do sistema e um ramo relaciona as variáveis de entrada e saída pela multiplicação por um ganho. Definições Básicas Nó - ponto que representa uma variável. Transmitância - Ganho entre dois nós. Ramo - Segmento direcionado que conecta dois nós aplicando um ganho à variável de entrada. Nó de entrada - Nó que tem somente ramos de saída. Nó de saída - Nó que tem somente ramos que chegam. Nó misto - Nó que possui ambos tipos de ramos. Caminho - Percurso através dos ramos. Malha - Caminho fechado. Malhas que não se tocam - aquelas que não possuem nós em comum. Caminho de avanço - Caminho que inicia em um nó de entrada e termina em um de saída sem passar por nenhum nó mais do que uma vez. 67 of 76

Exemplo 68 of 76

Propriedades dos Gráficos de Fluxo de Sinais 69 of 76

Representação de Sistemas Lineares x 1 = a 11 x 1 +a 12 x 2 +a 13 x 3 +b 1 u 1 x 2 = a 21 x 1 +a 22 x 2 +a 23 x 3 +b 2 u 2 x 3 = a 31 x 1 +a 32 x 2 +a 33 x 3 70 of 76

Representação de Sistemas Lineares 71 of 76

Fórmula de Ganho de Mason P = 1 P k k k P k : ganho do caminho direto de ordem k : determinante do gráfico = 1 a L a + b,c L bl c d,e,f L dl e L f (1 - soma dos ganhos das malhas + soma dos produtos dos ganhos das combinações de duas malhas que não se tocam - mesma coisa para combinações de três malhas +...) k : cofator do k-ésimo caminho direto do gráfico de onde foram removidas todas as malhas que tocam esse caminho. 72 of 76

Exemplo Obtenha a função de transferência de malha fechada C(s)/R(s) usando a fórmula de ganho de Mason. 73 of 76

Exemplo Obtenha a função de transferência de malha fechada C(s)/R(s) usando a fórmula de ganho de Mason. 74 of 76

Homework Obtenha a função de transferência de malha fechada C(s)/R(s) usando a fórmula de ganho de Mason. 75 of 76

Dica de atividades Dica 1. Fazer os Exercícios apresentados no Cap. 9 do livro Sistemas de Controle Modernos - Richard C. Dorf, Robert H. Bishop. 2. Fazer os Exercícios apresentados no livro K. OGATA, Engenharia de Controle Moderno. 76 of 76