Unversdade Estadual do Sudoeste da Baha Departamento de Cêncas Exatas e Naturas 5 - Rotações, Centro de Massa, Momento, Colsões, Impulso e Torque Físca I Ferrera
Índce 1. Movmento Crcular Unformemente Varado;. Movmento Crcular Varado não Unforme; 3. Centro de Massa; 4. Momento lnear; 5. Colsões; 6. Impulso; 7. Le da Conservação do Momento Lnear. 8. Torque; 9. Momento angular; 10. Le da conservação do momento angular.
OBJETIVO GERAL Alcançar um entendmento sobre os concetos e grandezas que envolvem os movmentos rotaconas, centro de massa, momento e le da conservação do movmento, assm como suas expressões, undades de medda e aplcações. 3
MOVIMENTO CIRCULAR UNIFORMEMENTE VARIADO (MCUV) MCUV, apresenta: Trajetóra crcular; Velocdade escalar vara de acordo com v = vo + at, e (a = constante 0); cuja ntensdade = aceleração tangencal (at); Aceleração centrípeta não - nula, pos a velocdade vara em dreção e sentdo Aceleração resultante: a r a t a cp 4
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ENERGIA CINÉTICA DE ROTAÇÃO Devemos tratar um corpo rígdo em rotação como um conjunto de partículas com dferentes velocdades e somar suas energas cnétcas para obter a energa cnétca do corpo como um todo: K 1 m v 1 1 1 1 m v K m v, aqu substtuímos v por, já que v é dferente para todas as partículas e é gual para todas. Sendo v r, temos que: K K 1 1 ² r ² m r ² m... A grandeza entre parênteses é chamado de momento de Inérca: A Energa Cnétca de Rotação fca: I K m r 1 I ² 10
CÁLCULO DO MOMENTO DE INÉRCIA Para um corpo rígdo em rotação com um pequeno número de partículas pode-se usar: I Para um corpo rígdo com um número grande de partículas substtuímos a equação acma por uma ntegral: I r² dm m r O resultado desta ntegral va depender da forma geométrca que possu o corpo. 11
ALGUNS MOMENTOS DE INÉRCIA 1
3º Problema: Em um teste de peças que rão grar a altas rotações, um rotor clíndrco macço de M = 7 Kg e um rao R = 38 cm, que grava em torno de seu exo longtudnal se rompeu quando sua rotação alcançou uma velocdade angular de 14000 rotações por mnuto. Calcule a energa cnétca de rotação lberada na explosão. 13
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4º Problema: Três partículas de massas m1 = 1, kg, m =,5 kg e m3 = 3,4 kg formam um trângulo equlátero de lado a = 140 cm. Onde fca o centro de massa desse sstema? 16
ª Le de Newton para um sstema de partículas Mr v Mv a Ma F F R R CM CM dr dt CM dv dt ma Ma n 1 n 1 n 1 CM m r m v m a Fr = Somatóra de todas as forças externas e nternas que agem sobre o sstema. Pela tercera le de Newton, as forças nternas entre as partículas se anulam. M = É a massa total do sstema para um sstema fechado. a CM = É a aceleração do centro de massa. 17
5º Problema: As três partículas da fgura estão ncalmente em repouso. Cada uma sofre a ação de uma força externa devdo a agentes fora do sstema. Os módulos das forças são: F1= 6,0 N, F=1 N e F3 = 14,0 N. Qual é a aceleração do centro de massa do sstema? 18
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6º Problema: 0
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7º Problema: 3
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8º Problema: 5
Momento e Energa Cnétca em Colsões Nas colsões o momento não vara na ausênca de forças externas. p p f K do sstema pode varar ou não. Colsões Elástcas: K se conserva. Ex: agtação térmca dos átomos de um gás em repouso. Colsões Inelástcas: K não se conserva, parte é convertda em energa térmca, sonora... Ex: Choque entre bola e bastão. Colsões Perfetamente Inelástcas: K não se conserva, parte é convertda em energa térmca, sonora... Ex: Choque entre bastão e massa de modelar. 6
Colsões Inelástcas de uma dmensão Quando duas partículas estão em movmento p p f m1v 1 mv m1v 1 f mv f Colsões Inelástca em duas dmensões p p f exox : m1v 1 m1v 1 f cos exoy : 0 m v sen 1 1 f Uma partícula em repouso 1 1 mv f cos m v sen f 7
Colsões Elástcas de uma dmensão Quando as duas partículas estão em movmento. p p K m v 1 1 p f p f K f m v m v 1 f Colsões Elástcas em duas dmensões K K f exox : m1v 1 m1v 1 f cos exoy : 0 m v sen 1 1 f Uma partícula em repouso 1 1 1 m v mv f cos m v sen f f 8
9º Problema: Um objeto de massa (m) e velocdade (v) em relação a um observador explode em dos pedaços, um com massa três vezes maor que o outro; a explosão ocorre n o espaço sderal. O pedaço de menor massa fca em repouso em relação ao observador. Qual é o aumento da energa cnétca do sstema causado pela explosão, no referencal do observador? 9
Torque Produto vetoral de um força pelo vetor posção em relação à orgem. c r F ab. sen rf. sen rf Undade (N.m) Pela regra da mão dreta o torque está no sentdo postvo do exo z. 30
10º Problema: Na fgura, três forças, todas de módulo,0 N, agem sobre uma partícula. A partícula está no plano xy, em um ponto A dado por um vetor posção r tal que r = 3,0 m e θ = 30º. A força F 1 é paralela ao exo x, a força F é paralela ao exo z e a força F é paralela ao exo y. Quas 3 são os torques, em relação a orgem O, produzdos por essas três forças? 31
Momento Angular Produto vetoral do momento lnear pelo vetor posção em relação à orgem. Undade (J.s) l l l l l r p m( r rmv. sen rp r p p) Pela regra da mão dreta o torque está no sentdo postvo do exo z. 3
11º Problema: A fgura mostra uma vsta superor de duas partículas que se movem com velocdade constante ao longo de trajetóras horzontas. A partícula 1, com um momento de módulo p1 = 5,0 kg.m/s, tem um vetor posção r e 1 passará a 4,0 m do ponto O. A partícula, com momento de módulo p =,0 kg.m/s, tem um vetor posção r e passará a 4,0 m do ponto O. Quas são o módulo e a orentação do momento angular total L em relação ao ponto O do sstema formado pelas duas partículas? 33
ª Le de Newton para Rotações A soma vetoral dos torques que agem sobre uma partícula é gual à taxa de varação no tempo do momento angular da partícula. dl res dt Momento angular para um sstema de partículas dl res dt L l l l l 1 3... n O torque esterno resultante que agem sobre uma sstema de partículas é gual à taxa de varação com o tempo do momento angular do sstema.. 34
1º Problema: Um pngum de massa (m) ca, sem velocdade ncal, do ponto A, a uma dstânca horzontal D da orgem O de um sstema de coordenadas xyz. (O sentdo postvo do exo z é para fora do papel.) a) Qual é o momento angular l do pngum durante a queda, em relação ao ponto O. 35
36 Momento Angular de Um Corpo Rígdo Grando em Torno de Um Exo A soma vetoral dos torques que agem sobre uma partícula é gual à taxa de varação no tempo do momento angular da partícula. I L r m L r r m m v r l L z n z n n n z z 1 1 1 1 )² ( ) (
Le da Conservação do Momento Angular Se o torque externo que agem sobre o sstema é nulo, momento angular se conserva. Sejam quas forem as mudanças que ocorrem dentro do sstema. dl dt L L f 0 L = Constante Para um sstema solado 37
Le da Conservação do Momento Angular Dependendo dos torques externos que agem sobre um sstema, o momento angular do sstema pode ser conservado em uma ou duas dreções, mas não em todas. Se a componente do torque externo resultante que age sobre um sstema ao longo de um certo exo é nula, a componente do momento angular do sstema ao longo desse exo permanece constante, sejam quas forem as mudanças que ocorram dentro do sstema. I f I f 38
13º Problema: Um homem está em pé sobre uma plataforma que gra (sem atrto) com uma velocdade angular 1, rev/s; seus braços estão abertos e ele segura um tjolo em cada mão. O momento de nérca do sstema formado por homem, os tjolos e a plataforma em relação ao exo vertcal central da plataforma é de 6,0 kg.m². Se, ao mover os braços, o homem reduz o momento de nérca do sstema,0 kg.m², determne (a) a nova velocdade angular da plataforma e (b) a razão entre a nova energa cnétca do sstema e a energa cnétca ncal. (c) De onde vem a energa cnétca adconal? 39