Cálculo 2 - Capítulo 2.2 - Limites e continuidade Capítulo 2.2 - Limites e continuidade 2.2. - Domínio e imagem 2.2.3 - Continuidade 2.2.2 - Limites Limites são a base do Cálculo Diferencial e Integral de funções de diversas variáveis tanto quanto o eram para o Cálculo com funções de uma variável. Veremos aqui como formaliar e generaliar o conceito de ite aprendido antes com o intuito de aplicá-lo à definição de derivadas parciais, que será feita no Capítulo 2.4. 2.2. - Domínio e imagem O domínio de uma função f() de uma variável é um intervalo ou conjunto de intervalos dos números reais. De modo semelhante, o domínio de uma função de duas variáveis, f(,), é uma região ou um conjunto de regiões do espaço R 2 e o domínio de uma função de três variáveis, f(,,), é uma região ou conjunto de regiões do espaço R 3. Como todas essas funções levam pontos do plano ou do espaço a coordenadas de um eio, que correspondem a pontos da reta dos reais, a imagem de qualquer uma delas será um conjunto de intervalos dos números reais. 0 f f(0) 0 f f( 0, 0 ) R R R 2 0 R w 0 f f( 0, 0, 0 ) 0 0 R 3 R Vamos, agora, eplicar melhor o que são o R 2 e o R 3, começando pelos números reais, que são o conjunto numérico base do Cálculo. A característica dos números reais que torna possível a idéia de ites é que, próimo a um número real, é sempre possível encontrar um outro número real distinto dele, por menor que seja essa distância. Isto torna possível aproimar-se o quanto for necessário de um certo número real sem, no entanto, alcançá-lo. O conjunto R 2 é conseguido a partir do conjunto dos números reais através do produto cartesiano R 2 = R R. Esse produto contrói pares ordenados (,), onde e pertencem a R. Sendo assim, o conjunto R 2 é dado por R 2 = {(,), R}. Isto significa que R 2 está associado ao conjunto de todos os pontos de um plano, do mesmo modo que R está associado ao conjunto de todos os pontos de uma reta.
Cálculo 2 - Capítulo 2.2 - Limites e continuidade 2 De modo semelhante, o conjunto R 3 é dado por R 3 = (R R) R, o que significa que R 3 = {(,,),, R}. O conjunto R 3 está associado ao conjunto de todos os pontos do espaço. De modo semelhante, podemos ter um conjunto R n, dado por R n = {(, 2,, n ), 2,, n R}. Estabelecidos o que são os conjuntos R 2 e R 3, podemos agora voltar à questão aos domínios e imagens de funções baseadas nesses conjuntos. O domínio e a imagem de uma função de diversas variáveis também são determinados pelo tipo de função. Os eemplos a seguir mostram a determinação de domínios e imagens de algumas funções. Eemplo : determine o domínio e a imagem da função f(,) = 2 + 2. Solução: o domínio dessa função é o espaço R 2 = {(, ), R}, pois ela é válida para quaisquer valores reais de e ; a imagem é R + = { R 0}, pois f(, ) só assume valores positivos ou o valor nulo. Eemplo 2: determine o domínio e a imagem da função f(,) = 3 2. Solução: o domínio dessa função é o espaço R 2, pois ela é válida para quaisquer valores reais de e ; a imagem é R, pois a função corresponde a um plano infinito, que varre todos os valores do eio. Eemplo 3: determine o domínio e a imagem da função f(,) = +. Solução: esta função só é válida para + 0, o que corresponde ao conjunto R 2 com eceção da reta =, isto é, D(f) = { (, ) R 2 }. A função f(, ) nunca assume o valor ero, pois para isso a soma + deveria ser infinita, o que não corresponde a números reais (o infinito não é um número real). Portanto, Im(f) = R = { R 0}. As três primeiras funções mostradas nesses eemplos são representadas a seguir. Note os domínios dessas funções e os gráficos dessas funções. A terceira função não eiste sobre a reta = pois ela atinge valores infinitos quando se aproima dessa reta. --- --- 5.0 4.0 f(,) = 2 + 2 --- --- 5.0 4.0 f(,) = 3 2 Eemplo 4: determine o domínio e a imagem da função f(,) = 4 2 2. Solução: esta função só é válida para - 4 2 2 0 2 2 4 2 + 2 4, - - - - - - - - f(,) = + o que corresponde ao interior do círculo de raio 2 centrado em (0, 0), incluindo sua borda. Portanto, podemos escrever D(f) = { (, ) R 2 2 + 2 4 }. Como f(, ) só pode assumir valores positivos ou nulos, mas com um valor máimo em (, ) = (0, 0) dado por f(0, 0) = 4 = 2, sua imagem é dada por Im(f) = [0, 2].
Cálculo 2 - Capítulo 2.2 - Limites e continuidade 3 O domínio da função do eemplo 3 e o gráfico desta são mostrados nas duas figuras a seguir. 2 2 0 2 2 D(f) = { (, ) R 2 2 + 2 4 } --- --- - - f(,) = 4 2 2 Eemplo 5: determine o domínio e a imagem da função f(,) = Solução: esta função só é válida para 4 2 2. 4 2 2 > 0 2 2 > 4 2 + 2 < 4, o que corresponde ao interior do círculo de raio 2 centrado em (0, 0), com a eclusão da sua borda. Portanto, podemos escrever D(f) = { (, ) R 2 2 + 2 < 4 }. A função f(, ) só pode assumir valores positivos, com um valor mínimo em (, ) = (0, 0) dado por f(0, 0) = =, de modo que a sua imagem é dada por { 4 2 Im(f) = [0, ) = R }. 2 O domínio da função do eemplo 4 e o gráfico desta são mostrados nas duas figuras a seguir. A linha tracejada indica que a borda da figura não fa parte do domínio. Note que a função cresce indefinidamente conforme o seu domínio se aproima da circunferência de raio 2 centrada em (0,0). 2 2 0 2 2 D(f) = { (, ) R 2 2 + 2 < 4 } --- f(,) = --- - - 4 2 2 Eemplo 6: determine o domínio e a imagem da função f(,,) = 3. Solução: esta função é válida para todos os valores de e de reais, mas só é válida para 0. Portanto, seu domínio fica D(f) = { (,, ) R 3 0 }, o que corresponde à parte superior do espaço R 3, incluindo o plano. A função f(,, ) pode ser qualquer valor real, de modo que sua imagem é dada por Im(f) = R. Eemplo 7: determine o domínio e a imagem da função f(,) = ln( 2 + 2 ). Solução: esta função só é válida para 2 + 2 > 0, o que corresponde ao eterior do círculo de raio 0 centrado em (0, 0), isto é, todos os pontos do espaço, com eceção de (0, 0) e ecluindo sua borda. Portanto, o domínio fica D(f) = { (, ) R 2 2 + 2 > 0 }. A função f(, ) pode assumir qualquer valor real. Portanto, Im(f) = R. Uma representação do domínio da função do eemplo 4 e do seu gráfico são mostrados nas duas figuras a seguir. A linha tracejada indica que a borda da figura não fa parte do domínio. Note que a função cresce indefinidamente conforme o seu domínio se aproima da circunferência de raio 2 centrada em (0,0).
Cálculo 2 - Capítulo 2.2 - Limites e continuidade 4 2 2 0 2 2 D(f) = { (, ) R 2 2 + 2 0 } --- --- - - - f(,) = ln( 2 + 2 ) O último eemplo apresenta um fenômeno importante, que é ter como domínio toda uma região menos um ponto e sua borda. Isto implica que todos os pontos imediatamente adjacentes a (0, 0) também não faem parte do domínio da função. Essa eceção da borda tem a ver com a idéia de ite para funções de mais de uma variável, que será vista na seção seguinte. No entanto, a discussão do que é uma borda de uma determinada região do espaço envolve conceitos mais avançados, que serão vistos mais tarde. 2.2.2 - Limites Para uma função f() de uma variável, dier que o ite de f() quando a é igual a um certo número L significa que, se tomarmos números cada ve mais próimos de = a, não importando por qual lado, a função f() se aproimará cada ve mais de L, até que, se pudéssemos nos aproimar indefinidamente de = a, teríamos f() = L. O eemplo a seguir ajuda a refrescar a memória. Eemplo : estime, por meio de aproimações sucessivas, o ite 0 sen. Solução: na tabela a seguir, faemos aproimações sucessivas de 0, obtendo os valores dados pela segunda linha da tabela. Note que, em = 0, a função não eiste e que, vindo da esquerda (números menores que 0) ou da direita (números maiores que 0), o ite é o mesmo. 0, 0, 0 0, 00 0 0, 00 0, 0 0, f() 0, 8447 0, 998334 0, 999983 0, 99999983 0, 99999983 0, 999983 0, 998334 0, 8447 sen Portanto, podemos dier que =. 0 Eemplo 2: estime, por meio de aproimações sucessivas, o ite 0. Solução: na tabela a seguir, faemos aproimações sucessivas de 0, obtendo os valores dados pela segunda linha da tabela. Note que, em = 0, a função não eiste e que, vindo da esquerda (números menores que 0) ou da direita (números maiores que 0), os ites não são os mesmos. 0, 0, 0 0, 00 0 0, 00 0, 0 0, f() 0 00 000 000 00 0 Neste caso, diemos que não eiste o ite procurado. Para funções de duas variáveis, quando queremos calcular um ite, devemos eplicitar as coordendas ( 0, 0 ) desse ite, de modo que escrevemos f(,) (,) ( 0, 0 ) para significar o ite de f(,) quando (,) ( 0, 0 ). No caso de funções de duas variáveis, podemos chegar próimo a um determinado ponto ( 0, 0 ) de várias formas diferentes. Os dois eemplos a seguir mostram
Cálculo 2 - Capítulo 2.2 - Limites e continuidade 5 formas de se tentar chegar a um ite usando aproimações sucessivas. Eemplo 3: estime, por meio de aproimações sucessivas, o ite (,) (0,0) sen ( 2 + 2 ) 2 + 2. Solução: na tabela a seguir, faemos aproimações sucessivas de 0 e de 0. O ite é estimado de diversas direções, obtendo os valores dados pela tabela (esses valores estão arredondados até a quarta casa decimal), com arredondamento na quarta casa decimal. Note que, em (, ) = (0, 0), a função não eiste e que, vindo de qualquer um dos lados, o ite é o mesmo. \ 0, 0, 0 0 0, 0 0, 0, 4546 0, 8384 0, 844 0, 845 0, 844 0, 8384 0, 4546 0, 0, 8384 0, 9999, 0000, 0000, 0000 0, 9999 0, 8384 0, 0 0, 844, 0000, 0000, 0000, 0000, 0000 0, 844 0 0, 845, 0000, 0000, 0000, 0000 0, 845 0, 0 0, 844, 0000, 0000, 0000, 0000, 0000 0, 844 0, 0, 8384 0, 9999, 0000, 0000, 0000 0, 9999 0, 8384 0, 4546 0, 8384 0, 844 0, 845 0, 844 0, 8384 0, 4546 sen( 2 + 2 ) Portanto, podemos dier que (,) (0,0) 2 + 2 =. É importante frisar que a função nunca chega realmente a esse valor. Na tabela, somente temos, 0000 como uma aproimação de um 0 seguido de um número muito grande de noves. Eemplo 4: estime, por meio de aproimações sucessivas, o ite 2 2 (,) (0,0) 2 + 2. Solução: na tabela a seguir, faemos aproimações sucessivas de 0 e de 0. O ite é estimado de diversas direções, obtendo os valores dados pela tabela, com arredondamento na quarta casa decimal (os valores sem vírgulas são eatos). Note que, em (, ) = (0, 0), a função não eiste e que o valor ite muda, dependendo da direção de onde se vem. \ 0, 0, 0 0 0, 0 0, 0 0, 9802 0, 9998 0, 9998 0, 9802 0 0, 0, 9802 0 0, 9802 0, 9802 0 0, 9802 0, 0 0, 9998 0, 9802 0 0 0, 9802 0, 9998 0 0, 0 0, 9998 0, 9802 0 0 0, 9802 0, 9998 0, 0, 9802 0 0, 9802 0, 9802 0 0, 9802 0 0, 9802 0, 9998 0, 9998 0, 9802 0 Portanto, diemos que o ite pedido não eiste. Os gráficos das funções dos eemplos 3 e 4 são feitos a seguir, de modo a facilitar a visualiação do processo de ite. -4.0--- -4.0--- -4.0--- -4.0--- - - - -
Cálculo 2 - Capítulo 2.2 - Limites e continuidade 6 2.2.3 - Continuidade Relembrando o caso de funções de uma variável real, uma função f() é contínua em = 0 quando f( 0 ) eistir, o f() eistir e f() = f( 0 ). De modo semelhante, podemos dier que uma função f(,) é 0 0 contínua em ( 0, 0 ) se f( 0, 0 ) eistir, o f(,) eistir e f(,) = f( 0, 0 ). (,) ( 0, 0 ) (,) ( 0, 0 ) De um modo geral, podemos enunciar a definição a seguir. Definição - Dada uma função f(,, n ) é contínua em ( 0,, n0 ) se f( 0,, 0n ) eistir, f(,, n ) eistir e f(,, n ) = f( 0,, 0n ). (,, n) ( 0,, n0 ) (,, n) ( 0,, n0 ) Eemplo : verifique se f(,) = sen (2 + 2 ) 2 + 2 é contínua em (0,0). sen( 2 + 2 ) Solução: como já foi visto na seção anterior, (,) (0,0) 2 + 2 =. No entanto, f(, ) não é definida em (0, 0). Portanto, a função não é contínua nesse ponto. Eemplo 2: verifique se f(,) = 2 2 Solução: como já foi visto na seção anterior, ponto. 2 é contínua em (0,0). + 2 (,) (0,0) 2 2 2 não eiste. Portanto, a função não é contínua nesse + 2 A continuidade de uma função, se conhecida de antemão, pode ser usada para calcular um ite dela, como mostram os eemplos a seguir. Eemplo 3: calcule ( + 2). (,) (,2) Solução: a função f(, ) = + 2 corresponde a um plano no espaço, que é uma figura contínua. Portanto, ( + 2) = f(, 2) = + 2 2 = 5. (,) (,2) Eemplo 4: calcule (,) (,) (2 + 2 ). Solução: a função f(, ) = 2 + 2 corresponde a um parabolóide no espaço, que é uma figura contínua. Portanto, (,) (,) (2 + 2 ) = f(, ) = ( ) 2 + 2 = + = 2. Do mesmo modo que para funções de uma variável real, se uma função de n variáveis reais é contínua em todos os pontos do seu domínio, então ela é simplesmente chamada contínua, sem especificar em que pontos. Ficamos por aqui com a nossa discussão sobre ites e continuidade. No capítulo a seguir, construiremos o conceito de derivada a funções de diversas variáveis.
Cálculo 2 - Capítulo 2.2 - Limites e continuidade 7 Espaço R 2 : {(,) R, R}. Resumo Espaço R n : {(,, n ) R,, n R}. Domínio e imagem: o domínio de uma função f de diversas variáveis é o conjunto de todos os pontos onde ela é definida; sua imagem é o conjunto de todos os pontos aos quais o domínio leva, por meio da função. Limites: o ite de uma função f(,) quando (,) ( 0, 0 ), f(,), é o número (,) ( 0, 0 ) ao qual se chega aplicando f(,) a valores cada ve mais próimos de ( 0, 0 ). Para que o ite eista, esse número tem que ser o mesmo, independentemente de como seja feita a aproimação. Continuidade de uma função de n variáveis reais: dada uma função f(,, n ) é contínua em ( 0,, n0 ) se f( 0,, 0n ) eistir, f(,, n ) eistir e (,, n) ( 0,, n0 ) f(,, n ) = f( 0,, 0n ). (,, n) ( 0,, n0 )
Cálculo 2 - Capítulo 2.2 - Limites e continuidade 8 Eercícios - Capítulo 2.2 Nível Domínio e imagem Eemplo : escreva o domínio e a imagem da função f(,) = e 2 2. Solução: o domínio dessa função é D(f) = R 2, enquanto sua imagem é Im(f) = [0, ], pois a função eponencial só pode assumir valores positivos ou nulos e a função chega a um valor máimo em f(0, 0) =. E) Escreva os domínios e as imagens das funções dadas a seguir. a) f(,) = 4 2 + 4 2, b) f(,) = 2 2 + 3 2, c) f(,) = 9 2 2, d) f(,) = 2 2, e) f(,) = 3 2 2 2, f) f(,) = 4 + 4, g) f(,) = ln( 2 + 2 ), h) f(,) = ln( 2 3 ). Limites Eemplo 2: calcule Solução: (3 (,) (,0) 3 ). (3 (,) (,0) 3 ) = 3 0 0 3 = 0. E2) Calcule os seguintes ites: a) (,) (2,) (2 2 ), b) d) (,,) (0,0,0) ln(2 + 2 + 2 ). (,) (,0) sen, c) (,,) (,0,0) (2 + ln ), Nível 2 E) Verifique se f(,) = sen (2 + 2 ) 2 + 2 é contínua em (0,0). sen ( 2 + 2 ) E2) Verifique se f(,) = 2 + 2, (,) (0,0), é contínua em (0,0)., (,) = (0,0) Nível 3 E) Considere a função CES (Constant Elasticit of Substitution - Elasticidade de Substituição Constante) P(K,L) = A[αK ρ + ( α)l ρ ] /ρ. a) Calcule o ite de = ln P quando ρ 0. (Dica: use a regra de L Hôpital.) b) Mostre que o ite da função CES quando ρ 0 é a função de Cobb-Douglas.
Cálculo 2 - Capítulo 2.2 - Limites e continuidade 9 Respostas Nível E) a) D(f) = R 2, Im(f) = R + = { R 0}. b) D(f) = R 2, Im(f) = R +. c) D(f) = { (, ) R 2 2 + 2 9 }, Im(f) = [0, 3]. d) D(f) = { (, ) R 2 2 + 2 < }, Im(f) = R + = { R > 0}. e) D(f) = R2, Im(f) = R. f) D(f) = R 2, Im(f) = R +. g) D(f) = { (, ) R 2 (, ) (0, 0) }, Im(f) = R. h) D(f) = { (, ) R 2 2 3 > 0 }, Im(f) = R. E2) a) 0, b), c) 0, d). Nível 2 E) Não é contínua em (0, 0), pois f(0, 0) não eiste. E2) Nível 3 É contínua em (0, 0), pois f(, ) = f(0, 0) =. (,) (0,0) E) a) = ln ( AK α L α) ρ 0 [ ( )] b) P = ep(lnp) = ep ln P = ep [ ln ( AK α L α)] = AK α L α. O ite pode ser deslocado ρ 0 ρ 0 ρ 0 para dentro das funções eponencial e logaritmo natural porque elas são contínuas.