As matrzes de covarânca e de coerênca na olarmetra SAR Nlo Sergo de Olvera Andrade, Antono Nuno de Castro Santa Rosa aulo César de Carvalho Fara 3 Comando da Aeronáutca Centro de Lançamento de Alcântara CLA Av. dos Lbaneses, nº 9 rrcal 65056-480 São Luís MA, rasl dop@cla.aer.ml.br Insttuto de Geocêncas Unversdade de rasíla UN Campus Unverstáro Darcy Rbero CE 7090-900 - rasíla DF, rasl nunos@unb.br 3 Departamento de Químca Insttuto ecnológco da Aeronáutca IA raça Mal Eduardo Gomes, 50 Vla das Acácas 8-900 S.J.Campos S, rasl carvalho@ta.br Abstract. ascally, the expressons for the covarance (C) and coherence (R) matrces wll be derved from the vectorzng, appled to the aul and orgeaud bass, of the scatterng matrx (S). It wll also be showed that the outer product of these vectors wth themselves (vector multplcaton wth ts conjugated transposed) yelds to the (C) and (R) matrces, whch fully descrbe the scatterer. alavras-chave: coherence matrx, covarance matrx, coherence vector, covarance vector, aul base, orgeaud base, partally polarzed wave, degree of polarzaton, matrz de coerênca, matrz de covarânca, vetor de coerênca, vetor de covarânca, bases de aul, bases de orgeaud, ondas parcalmente polarzadas, grau de polarzação. 4759
. Introdução Além das matrzes de Mueller ( M ) e de Kennaugh ( ) K, duas outras matrzes, conhecdas como matrz de covarânca do alvo e matrz de coerênca do alvo, podem ser utlzadas para a caracterzação de ondas parcalmente polarzadas. Quando o alvo em estudo apresenta um comportamento determnístco, ou seja, os espalhadores são determnístcos, esses alvos são completamente descrtos por uma matrz de S únca ou por um vetor de espalhamento do alvo. espalhamento ( ) ara as aplcações de Sensoramento Remoto, não é váldo assumr que os espalhadores são puramente determnístcos, vsto que a célula de resolução é maor do que o comprmento de onda utlzado pelo sstema, ou seja, os alvos naturas contêm mutos espalhadores determnístcos espacalmente dstrbuídos, sendo cada um desses espalhadores S. completamente e ndvdualmente representados por uma matrz ( ) Dessa forma, a matrz medda para uma célula de resolução consste de uma superposção coerente das matrzes ndvduas ( S) de todos os espalhadores localzados dentro da célula de resolução. A fm de ldar com a estatístca dos efetos do espalhamento e com a análse dos espalhadores fo ntroduzdo o conceto de matrzes de covarânca e de coerênca do espalhador (Cloude and otter, 996).. As matrzes de Covarânca e de Coerênca do alvo A matrz de espalhamento, também conhecda como matrz de Snclar, dada por () pode ser expressa sob a forma vetoral de (), também chamada de vetor de espalhamento do alvo ou vetor de covarânca do alvo: S S ( S) S k S S S S [ ] vh Uma méda do produto complexo entre os vetores covarânca ( C ). k e k * () () leva à chamada matrz de Embora a matrz ( C ) corresponda à matrz de covarânca para um processo com méda zero, smlar ao speckle, o termo matrz de covarânca é adotado (ao nvés de matrz de correlação) para o caso mas geral em que a méda é dferente de zero Ulaby and Elach (990). Onde o snal * ( C) k k ndca uma méda espacal do conjunto, assumndo-se que o meo espalhador é homogêneo. A matrz ( C ) é Hermtana postva sem-defnda, ou seja, seus autovalores são reas e não negatvos e tem, precsamente, os mesmos elementos da matrz de Kennaugh ( K ) e da matrz de Mueller ( M ), contudo, com dsposções dferentes. (3) 4760
A matrz de covarânca contém todas as nformações necessáras para ldar com um alvo, utlzando-se a convenção SA, em nglês, ackscatter Algnment. Nessa convenção os cálculos de retroespalhamento são realzados utlzando-se um sstema de coordenadas baseado na antena, ou seja, espalhamento no sentdo do retroespalhamento da anda (meddo na antena). A matrz de covarânca é amplamente utlzada para o retroespalhamento radar, ao nvés da matrz de Kennaugh, de uso mas geral. ara o caso em que a matrz de espalhamento é smétrca, ou seja, o teorema da recprocdade é assumdo, o vetor de covarânca é dado por (4) e a matrz de covarânca ( C ) passa a ser uma matrz 3 3. k S S S, (4) onde o multplcador é ntroduzdo para satsfazer a conservação de energa, sob uma transformação de base untára. A explcação da transformação de base untára pode ser verfcada em Andrade, 006. Outra matrz que contém as mesmas nformações que a matrz de Mueller é a matrz de R. Essa matrz fo ntroduzda por Cloude (986) e utlzada na decomposção coerênca ( ) de alvos ncoerentes por (Cloude and otter, 996), podendo ser obtda de forma análoga à matrz de covarânca. k k, (5) ( ) * R onde k é o vetor de espalhamento do alvo ou vetor de coerênca (Cloude, 986), e é dado por: k S+ S S S S+ ( S ), (6) Note que a equação (6) pode ser obtda a partr de: ( A) k k, (7) onde ( A ) corresponde à matrz de expansão, sendo dada por: ( A) 0 0 0 0 0 0 0 0 Observa-se que tanto a matrz de covarânca ( C ) quanto a matrz de coerênca ( R ) são deduzdas a partr de duas vetorzações da matrz de espalhamento, obtendo-se os vetores de covarânca k e de coerênca k, dados por () e (6). Vale notar que a matrz de covarânca e a matrz de coerênca são untaramente smlares (a menos de um fator de escala constante), o que pode ser comprovado por ntermédo da equação (7). As duas matrzes carregam as mesmas nformações, ambas são Hermtanas postvas sem-defndas e ambas têm os mesmos autovalores (que são reas), mas dferentes autovetores (Cloude and otter, 996). O traço de cada uma das matrzes também é o mesmo e fornece a ntensdade total da onda. (8) 476
Enquanto a matrz de covarânca é mas smples do que a matrz de Mueller, a matrz de coerênca não apresenta tal smplcdade. Contudo, o teorema da recprocdade permte uma consderável smplfcação, uma vez que os vetores de covarânca e coerênca fcam reduzdos a três elementos cada um. O uso do vetor de coerênca é preferdo, na lteratura, porque seus elementos têm uma nterpretação físca (reflexão dfusa, nº par de reflexões, nº ímpar de reflexões, etc). 3. Dedução das matrzes de Covarânca e de Coerênca A matrz complexa descreve o processo de espalhamento e contém, portanto, a nformação relatva ao alvo. Ao nvés da notação matrcal, pode-se utlzar um vetor complexo de quatro elementos que contém a mesma nformação que a matrz. ortanto, os vetores de covarânca k e de coerênca k do alvo, são defndos a partr das bases e, conforme apresentado a segur: S S ( S) k raço ( S) [ 0 3] ( a ) k S S S S S e (9) S S ( S) k raço ( S) [ 0 3] ( b) k k k k k S Onde (ase de orgeaud) e (ase de aul) são dadas por: 0 0 0 0 0 0 {,,, },,, 3 4 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 {,,, },,, 3 4 0 0 0 0 S é a soma dos elementos da dagonal dessa matrz. O traço da matrz ( ) A base de aul (), formada pelas matrzes spn de aul, é amplamente empregada na físca da onda espalhada. a apresentada em (9) chega-se ao vetor de covarânca, Desenvolvendo-se a equação ( ) conforme apresentado a segur. (0) () 476
S S raço S ( S) k ( S) S S 0 S 0 º elemento raço raço S 0 0 0 S S 0 0 S º elemento raço raço S 0 0 0 S S 0 0 S 0 3º elemento raço raço S 0 S 0 S S 0 0 0 S 4º elemento raço raço S 0 0 S Assm, o vetor de covarânca fca: k S S S S [ ] vh vh Sendo váldo o teorema da recprocdade, passa-se a ter o vetor de covarânca k com três elementos que smplfca consderavelmente os cálculos. S S ( S) k raço ( S) S S S 0 S 0 º elemento raço raço S S 0 0 S 0 S S 0 0 S º elemento raço raço S S 0 0 0 S S S 0 0 S 0 3º elemento raço raço S S 0 S 0 S S 0 0 0 S 4º elemento raço raço 0 0 S S S Assm, o vetor de covarânca para o caso em que a recprocdade é assumda fca: k S S S S [ ] Contudo, para satsfazer a conservação de energa o multplcador Dessa forma, a equação (5) reduz-se para: k S S S () (3) (4) (5) é ntroduzdo. De forma smlar, desenvolvendo-se a equação ( b ) apresentada em (9) chega-se ao vetor de coerênca. (6) 4763
S S raço S ( S) k ( S) S S 0 S S ºel. raço raço S + 0 S S S 0 S S ºel. raço raço S S 0 S S vh vh ( ) ( ) ( ) ( ) ( S S ) S S 0 S S 3ºel. raço raço S + 0 S ( S S ) ( S S ) S S 0 S S 4ºel. raço raço S S 0 S vh vh (7) Assm, o vetor de coerênca fca: k S + S S S S + S S S ( ) vh vh Como no caso do vetor de covarânca, caso o teorema da recprocdade seja assumdo, o vetor de coerênca passa, também, a ter somente três elementos, conforme desenvolvdo a segur: S S ( S) k raço ( S) S S S 0 S S ºel. raço raço S S + 0 S S S S 0 S S ºel. raço raço S S 0 S S S S 0 S S 3ºel. raço raço S S 0 S S ( ) ( ) ( ) ( ) ( S S ) ( S S ) S S 0 S S 4ºel. raço raço S S 0 S S 4ºel. ( S S) 0 em-se, então, o segunte vetor de coerênca: k [ S+ S S S S] Os fatores em (0) e em (), fatores de normalzação, surgem a partr da restrção de que a norma ao quadrado dos vetores de espalhamento k e k tem que ser gual à energa total retroespalhada (), devendo, anda, ser ndependente da escolha das bases ou. * * k k k k k k k S + S + S + S () ( ) vh (8) (9) (0) 4764
Efetuando-se o produto nterno de () chega-se aos resultados a segur apresentados: S+ S * S S k k k S S S S S + + S+ S vh ( S ) assm, ; ( S S) ( S S) ( S SS SS+ S ); ( ) ( ) + S+ S + S+ S+ e S S S S S+ De forma smlar, S * k k k S S S S S ( ) ( ) + S S+ S S + SS+ SS+ S ( ) ( ) ( ) * * * * vh vh vh S S S ; S S S ; S S S e S S S. Efetuando-se a soma dos resultados apresentados tanto em () quanto em (3) chega-se, em ambos os casos, ao escalar apresentado em (). Realzando, agora, o produto do vetor k por seu conjugado transposto obtém-se a matrz de coerênca, que corresponde a uma representação das propredades de espalhamento do alvo no domíno da potênca. S+ S * S S ( R) k k ( S+ S S S S+ ( S ) ) S+ S vh ( S ). () (3) * k0 k0k k0k k0k 3 * * kk0 k kk kk 3 R k k * kk0 kk k kk3 * k3k0 k3k k3k k 3 Ou seja: ( ) (4) 4765
( R) ( S + S )( S + S ) ( S + S )( S S ) ( S + S )( S + S ) ( S + S ) ( S vh S ) vh ( S S )( S + S ) ( S S )( S S ) ( S S )( S + S vh) ( S S ) ( S ) ( S + S vh)( S + S ) ( S + S vh)( S S ) ( S + S vh)( S + S vh) ( S + S vh) ( S S ) vh ( vh) ( S + S ) ( vh) ( S S ) ( vh) ( S + S vh) ( vh) ( vh) S S S S S S S S S S Assumndo-se o teorema da recprocdade, o vetor de coerênca passa a ser defndo conforme apresentado em (0) e a matrz de coerênca passa a ser uma matrz 3 3, a segur apresentada: S+ S * * ( R) k k S S ( ) S+ S S S S S k0 k0k k0k (5) * * * ( R) k k kk0 k kk kk0 kk k Efetuando-se os cálculos acma, a matrz de coerênca smétrca fca: S + Re( SS ) + S S Im( SS) S SS+ SS * * * ( R) k k S + Im( SS ) S S Re( SS ) + S SS SS SS+ SS SS SS 4 S De forma smlar, o produto do vetor k por seu conjugado transposto conduz a matrz de covarânca ( C ). 4. Conclusão Fo vsto que tanto a matrz de covarânca ( C ) quanto a matrz de coerênca ( R ) são obtdas a partr de duas vetorzações da matrz de espalhamento, ou seja, os vetores de covarânca k e de coerênca k. Comprovou-se, também, que o traço das matrzes ( C ) e ( R ) fornece a energa total da onda e que essas matrzes são obtdas pelo produto nterno dos vetores k e k por seus complexos conjugados. As matrzes obtdas apresentam característcas smlares, a despeto do fato da recprocdade aplcar-se ou não, sendo ambas hermtanas postvas sem-defndas com seus autovalores todos postvos. Referêncas Andrade, N. S. O. Radar de Abertura Sntétca olarmétrco do SIVAM Análse e Aplcações. ese de Doutorado (em fase de escrta). Unversdade de rasíla, Insttuto de Geocêncas, rasíla D.F. 006. Cloude, S. R. Group heory and polarzaton algebra. Optk, v. 75, n., p. 6-36, 986. Cloude, S.R.; otter, E. A revew of target decomposton theorems n radar polarmetry. IEEE ransactons on Geoscence and Remote Sensng, v. 34, n., p. 498 58, 996. Ulaby, F.; Elach, C. Radar polarmetry for geoscence applcatons, Artech House, 990. 364 p. 4766