alguns belos problemas de matemática discreta

V Bieal da SBM Sociedade Brasileira de Matemática UFPB - Uiversidade Federal da Paraíba 18 a 22 de outubro de 2010 algus belos problemas de matemática discreta rogério ricardo steffeo Neste miicurso serão apresetados e resolvidos algus belos problemas, cuja solução utiliza argumetos elemetares e relativamete simples de Matemática Discreta. Etre os tópicos abordados destacamos: Idução Matemática, Sequêcia de Fiboacci, Recorrêcia, Combiatória, Divisibilidade, Sistemas de Numeração, Pricípio da Casa dos Pombos e Probabilidade. O formato deste miicurso se assemelha com aquele miistrado a III Bieal da SBM em Goiâia, o ao de 2006. Muitos dos problemas abordados surgem em Olimpíadas de Matemática e podem ser uma boa fote para professores estimularem seus aluos a apreder Matemática. Gostaria de agradecer ao professor Eduardo Brietze pela cotribuição com problemas evolvedo idetidades combiatórias. A distribuição das aulas será a seguite: 1 a Aula: Serão abordados problemas que evolvem a Idução Matemática e o Sistema Biário: Torres de Haói, pesagem de moedas uma balaça de dois pratos e quatidade de jogos ecessários para defiir um vecedor um toreio do tipo mata-mata. A partir dos problemas resolvidos, vamos deduzir que todo úmero atural pode ser escrito de modo úico como soma de potêcias de 2 e também apresetar os cartões biários mágicos. 2 a Aula: Apresetaremos vários problemas cuja solução evolve o Pricípio da Casa dos Pombos. Além disso, abordaremos o Paradoxo Gêmeo (problema dos aiversários) e o problema dos Dois Bodes. 3 a Aula: Abordaremos problemas que evolvem a sequêcia de Fiboacci e divisibilidade. Vamos provar que todo úmero atural pode ser escrito de modo úico como soma de termos ão cosecutivos da sequêcia de Fiboacci e com isso apresetamos uma mágica com cartões de Fiboacci. 4 a Aula: Apresetaremos os coceitos básicos de cotagem, utilizado permutações (simples e circulares) e combiações (simples e completas). Algumas fórmulas iteressates de Combiatória evolvedo somas serão deduzidas esta aula. 5 a Aula: Serão resolvidos problemas diversos evolvedo algus tópicos das aulas ateriores. Pré-requisito: ehum. Uisios Uiversidade do Vale do Rio dos Sios, São Leopoldo, RS, Brasil, rogerios@uisios.br

1 1 Problemas Agora daremos iício ao passeio o mudo de belos problemas em Matemática Discreta. Em algus casos ecessitaremos de resultados cohecidos para a resolução das questões propostas. Para quem tiver iteresse a demostração desses, pode cosultar a bibliografia idicada o fial. Começamos com o algoritmo básico da divisão de úmeros aturais e com a represetação posicioal dos aturais em diversos sistemas. Os dois primeiros problemas evolvem sistemas de umeração e o algoritmo da divisão será utilizado a resolução de diversos problemas. O Algoritmo da Divisão Se a e b são úmeros iteiros, com b > 0, etão existem e são úicos os iteiros q e r tais que a bq + r e 0 r < b. Sistemas de Numeração Seja b um úmero positivo com b > 1. Etão todo iteiro positivo pode ser escrito de modo úico a forma c b + c 1 b 1 + + c 2 b 2 + c 1 b + c 0, ode é um iteiro ão egativo, c j é iteiro com 0 c j b 1 para j 0, 1,..., e a 0. Em particular, temos o: Sistema Biário Todo úmero iteiro positivo pode ser escrito de modo úico como soma de potêcias distitas de 2. Problema 1. Os objetivos deste exercício são: (i) Provar o resultado 1 + 2 + 2 2 + + 2 2 +1 1, para todo 1. (ii) Fazer a mágica com os Cartões Mágicos Biários. (iii) Deduzir o seguite resultado: Todo úmero iteiro positivo pode ser escrito de modo úico como uma soma de diferetes potêcias de 2. Um belo problema para deduzir o item (i) acima é o seguite: (a) Num toreio de têis idividual há 2 +1 participates. Sabedo que a disputa é do tipo mata-mata*, quatos jogos são realizados para se defiir o vecedor? *Os jogadores são divididos em grupos de 2, ao acaso, e jogadores de um mesmo grupo jogam etre si. Os perdedores são elimiados e os vecedores são divididos ovamete em grupos de 2 e assim por diate até restar um jogador, que é proclamado campeão. A seguir um problema iteressate para trabalhar a represetação de úmeros aturais o sistema biário: (b) Em um programa de televisão, um cadidato deve respoder 21 pergutas. A primeira perguta vale 1 poto, a seguda 2 potos, a terceira 4 potos, e assim sucessivamete, dobrado sempre. O cadidato respode a todas as pergutas e gaha os potos correspodetes às respostas que acertou, mesmo que erre algumas. Sedo assim, respoda: (b.1) Qual o úmero de potos que o cadidato fará se acertar todas as pergutas? (b.2) Quatas e quais as pergutas o cadidato acertou se o úmero de potos obtidos for igual a 571113?

2 Problema 2. Numa biblioteca há dez estates com muitos livros em cada uma delas. Além disso, dispomos de uma balaça eletrôica(como as que existem em farmácias). Resolva cada uma das situações abaixo: (a) Sabemos que, em ove delas, cada livro pesa 1 g e que, em uma delas, cada livro pesa 1,01 g. Como descobrir, com uma pesagem apeas, qual a estate dos livros de 1,01 g e, em cosequêcia, quais são as estates com os livros de 1g? (b) Em algumas estates, cada livro pesa 1 g e as outras, cada livro pesa 1,01 g, podedo iclusive haver apeas livros de um dos tipos. Como descobrir, com uma pesagem apeas, quais as estates dos livros de 1g? (c) Em algumas estates, cada livro pesa 1 g, em outras 1,01 g e as restates cada livro pesa 1,02 g, podedo iclusive haver apeas livros de um dos tipos. Como descobrir, com uma pesagem, quais as estates dos livros de 1g, de 1,01 g e de 1,02 g? Euciamos agora um dos pricípios mais básicos da Matemática e o teorema da fatoração úica os aturais. Esses resultados serão usados a resolução de diversos problemas. Pricípio Fudametal da Eumeração ou Pricípio Multiplicativo Se uma decisão d 1 pode ser tomada de x 1 maeiras e se, uma vez tomada a decisão d 1, a decisão d 2 puder ser tomada de x 2 maeiras, etão o úmero de maeiras de se tomarem as decisões d 1 e d 2 é x 1 x 2. Mais geralmete, supoha que tehamos que tomar decisões sucessivas d 1, d 2,..., d e se a decião d i puder ser tomada de x i maeiras, etão o úmero de maeiras de tomarmos as decisões d 1, d 2,..., d é x 1 x 2... x. Teorema Fudametal da Aritmética TFA Todo úmero atural 2 pode ser escrito de modo úico a forma p e1 1 pe2 2... pet t, ode p 1 < p 2 <... < p t são úmeros primos e os expoetes e i são iteiros positivos. Uma forma alterativa para o TFA: Todo úmero atural 1 pode ser escrito de modo úico a forma 2 (2m + 1), ode, m são iteiros ão egativos. Duas cosequêcias importates do TFA e do Pricípio Multiplicativo: (a) Se p e1 1 pe2 2... pet t, etão possui (e 1 + 1) (e 2 + 1)... (e t + 1) divisores positivos. (b) Um úmero atural tem quatidade ímpar de divisores positivos se, e somete, se for um quadrado perfeito. O problema a seguir trata da questão da cotagem da quatidade de divisores de um úmero atural. Problema 3. Numa escola há um corredor com 2010 armários umerados de 1 a 2010, iicialmete todos fechados. 2010 aluos umerados de 1 a 2010, passam pelo corredor. O aluo de úmero reverte o estado de todos os armários cujos úmeros são múltiplos de. Por exemplo, o aluo de úmero 4 mexe os armários de úmeros 4, 8, 12,..., abrido os que ecotra fechados e fechado os que ecotra abertos. Ao fial, depois da passagem do 2010 o aluo, quais armários ficarão abertos?

3 Um dos axiomas mais importates a defiição cocisa dos aturais é o: Pricípio de Idução Matemática Sejam 0 um úmero atural e P () uma propriedade referete ao úmero atural 0. Supohamos que: (a) P ( 0 ) é verdadeira; (b) P () implica P ( + 1) para todo úmero atural 0. Etão P () é verdadeira para todo 0. Os problemas abaixo se referem a um jogo bastate iteressate e questões evolvedo a pesagem de moedas. A idução matemática aparece de forma lúdica. Problema 4. (As Torres de Haói) O jogo cosiste em uma base ode estão firmadas três hastes verticais que deomiamos A, B e C e um certo úmero de discos, de diâmetros diferetes, furados o cetro. No começo do jogo os discos estão todos efiados a haste A, em ordem decrescete de tamaho, com o disco meor acima dos demais. O objetivo é mover todos os discos, de A para C, obedecedo às seguites regras: (1) Só é permitido mover um disco de cada vez. (2) Um disco maior uca pode ser posto sobre um disco meor. É fácil ver que é ecessário usar a haste B como itermediária. O problema cosiste o seguite: Qual o úmero míimo de movimetos que precisaremos fazer para alcaçar o objetivo? Sugestão: Verifique quatos movimetos são ecessários quado temos 1 disco, 2, 3, 4 discos e tete ecotrar alguma regularidade. Existem vários sites que tratam do assuto. Para jogar veja, por exemplo: http://www.prof2000.pt/users/pjca/jogos ficheiros/haoi/torre Observação: The Reve s Puzzle: Uma questão iteressate é cosiderar o mesmo problema com 4 hastes A, B, C e D. Iicialmete há discos de diâmetros diferetes, ficados iicialmete a haste A, as codições acima. O objetivo, seguido as duas regras acima, é passá-las para a haste D. Nesse caso as hastes B e C fucioam como itermediárias. Até o mometo ão se cohece o úmero míimo de movimetos para resolver o problema com discos. Há uma cojectura, com cerca de 70 aos, de que o úmero míimo de movimetos ecessários é igual ao úmero de movimetos usados por um algoritmo criado por Frame e Stewart (Cojectura de Frame-Stewart). Problema 5. Seja N, 2. Supoha que você possua moedas de um real, uma das quais é falsa e pesa meos do que uma verdadeira. Você tem uma balaça de dois pratos mas ão tem pesos. A úica forma de pesagem cosiste em por algumas moedas em cada prato e verificar se a balaça está equilibrada. (a) Faça uma tabela com duas coluas. Na primeira colua escreva valores de ( 2, 3, 4,...) e a seguda coloque a quatidade míima de pesages para descobrir a moeda falsa. (b) O que acotece para os seguites valores de : 3, 4, 9, 10, 27, 28? (c) Mostre, por idução em, que se 3, etão pesages são suficietes para achar a moeda adulterada.

4 Problema 6. Supoha que você possua 12 moedas de um real, uma das quais é falsa e tem peso diferete de uma verdadeira(ão sabemos se a falsa pesa mais ou meos que uma verdadeira). Você tem uma balaça de dois pratos mas ão tem pesos. A úica forma de pesagem cosiste em por algumas moedas em cada prato e verificar se a balaça está equilibrada. (a) Mostre que 3 pesages são suficietes para achar a moeda adulterada. (b) Cosegues resolver o mesmo problema com 13 moedas? E com 14 moedas? A importâcia de um resultado matemático pode ser medida pela simplicidade e aplicabilidade. Um dos mais belos exemplos disso é o: Pricípio das Gavetas de Dirichlet ou Pricípio da Casa dos Pombos (PCP) Se + 1 pombos são colocados em casas, etão pelo meos uma casa coterá dois ou mais pombos. Agora euciaremos diversos problemas cuja solução evolve o pricípio acima. Começamos com um que aborda uma questão comum em Matemática: a existêcia. É muito frequete provarmos que determiado objeto matemático(úmero, poto ou fução) existe sem que saibamos exibi-lo cocretamete. O problema a seguir retrata essa questão. Problema 7. Mostre que em João Pessoa há pelo meos duas pessoas com a mesma quatidade de fios de cabelo a cabeça. Agora euciamos três problemas bastate cohecidos e um que apareceu a OBM(Olimpíada Brasileira de Matemática). Problema 8. Prove que se escolhermos mais do que úmeros do cojuto {1, 2,..., 2}, etão dois desses úmeros são primos etre si. Problema 9. Prove que se escolhermos mais do que úmeros do cojuto {1, 2,..., 2}, etão um deles será múltiplo do outro. Problema 10. Seja a 0 um algarismo o sistema decimal. Prove que todo úmero atural tem um múltiplo que se escreve apeas com os algarismos 0 e a. Problema 11. (Primeira Questão da Terceira Fase da OBM de 2008) Vamos chamar de garboso o úmero que possui um múltiplo cujas quatro primeiras casas de sua represetação decimal são 2008. Por exemplo, 7 é garboso pois 200858 é múltiplo de 7 e começa com 2008. Observe que 200858 28694 7. Mostre que todos os iteiros positivos são garbosos.

5 Um resultado que de certa forma geeraliza os dois últimos problemas é o seguite: Problema 12. Sejam A { N : mdc(, 10) 1} e a 1 a 2... a um úmero com algarismos. Agora cosidere o cojuto B {a 1 a 2... a, a 1 a 2... a a 1 a 2... a, a 1 a 2... a a 1 a 2... a a 1 a 2... a,...}. Dado N, seja M() o cojuto dos múltiplos de. Mostre que se x A, etão M(x) B é ifiito. Mais três belos problemas evolvedo o PCP. Problema 13. De 1 o de jaeiro até 31 de outubro de 2009, uma pequea livraria de João Pessoa, que abre todos os dias, vedeu o míimo um livro por dia e um total de 463 livros. Mostre que existiu um período de dias cosecutivos em que foram vedidos exatamete 144 livros. Problema 14. Dados CINCO úmeros reais arbitrários, mostre que existem dois deles, digamos x e y, tais que 0 x y 1 + xy 1. Problema 15. Guilherme teve os olhos vedados e com uma caeta fez 50 potos uma cartolia quadrada com lado igual a 70 cm. Mostre que existem dois potos cuja distâcia é iferior a 15 cm. Um problema iteressate para testar a ituição dos aluos é o seguite: Problema 16. Paradoxo Gêmeo ou Problema dos Aiversários Você está assistido um jogo de futebol e lá pelas tatas surge a seguite questão: - Qual é a probabilidade de que pelo meos dois dos 22 jogadores em campo façam aiversário o mesmo dia (dia e mês)? (*) * É muito provável que você uca teha pesado isso durate uma partida de futebol... Euciamos um problema evolvedo probabilidades e que sempre gera muita discussão. Problema 17. Problema dos Dois Bodes Este problema é ispirado um programa de TV americao cohecido como Let s mae a deal (Vamos fazer um egócio). Nesse show, dá-se ao cocorrete fialista a chace de escolher uma etre três portas. Atrás de exatamete uma das portas, está um prêmio iteressate (um carro, por exemplo); as outras duas portas ocultam prêmios de valor bem iferior (um bode atrás de cada porta, por exemplo). Pede-se ao cocorrete que escolha uma porta. A esta altura, o apresetador do show, Moty Hall, que sabe o que tem atrás de cada porta, mostra ao cocorrete um dos prêmios de meor valor atrás de uma das portas ão escolhidas. Além disso, oferece ao cocorrete a oportuidade de optar pela outra porta fechada. A questão é a seguite: é vatajoso optar pela outra porta ou tato faz?

6 Uma variação do problema aterior é o seguite: Problema 18. Problema dos Dois Bodes com apresetador Preguiçoso Nesse caso quado o cocorrete escolhe iicialmete a porta do carro, o apresetador mostra o bode da porta mais próxima, pois ele é preguiçoso. Como ficam as chaces do cocorrete? A seguir apresetamos dois problemas cuja solução evolve uma famosa sequêcia. Problema 19. Imagie que um prédio de quatro adares deva ser pitado usado-se uma cor para cada adar. Sabedo que as cores utilizadas podem ser verde e amarelo e que adares cosecutivos ão poderão ser pitados de amarelo, de quatas maeiras é possível fazer a pitura deste prédio? E se o prédio tiver adares? Problema 20. Uma escada tem 5 degraus. De quatas maeiras podemos chegar ao topo, subido um ou dois degraus de cada vez? E se a escada tiver degraus? Cosideremos a seguite variação da sequêcia de Fiboacci F 1 1, F 2 2 e F F 1 + F 2, para 3. Problema 21. Sequêcia de Fiboacci e o Número de Ouro Os objetivos deste exercício são: (i) Provar os seguites resultados para a sequêcia defiida acima: F 1 + F 3 + + F 2 1 F 2 1. F 2 + F 4 + + F 2 F 2+1 1. F 1 + F 2 + + F 10 11F 7. (ii) Deduzir o seguite resultado: Mostre que todo úmero iteiro positivo pode ser escrito de modo úico como soma de termos ão cosecutivos da sequêcia F. (iii) Fazer a mágica com os Cartões Mágicos de Fiboacci. (iv) Fazer a mágica da soma dos 10 primeiros termos de uma sequêcia de FIboacci. Uma aplicação iteressate e surpreedete da sequecia de Fiboacci aparece o problema abaixo. Problema 22. Um cojuto de úmeros positivos tem a propriedade do triâgulo, se tiver três elemetos distitos que são os comprimetos dos lados de um triâgulo. Cosidere os cojutos de iteiros positivos cosecutivos da forma {4, 5, 6,..., }, em que todos os subgrupos de dez elemetos têm a propriedade de triâgulo. Qual é o maior valor possível de? Lembre a Codição de Existêcia de um Triâgulo: Três úmeros reais positivos a, b, c são lados de um triâgulo se, e somete se, a < b + c, b < a + c e c < a + b.

7 Agora apresetaremos um problema que evolve uma sequêcia que ão é tão famosa que a de Fiboacci, mas que coduzirá a um parete próximo do úmero de ouro. Problema 23. Sequêcia de Padova-Perri e o Número de Plástico Um carteiro etrega cartas para dezeove casas, umeradas de 1 a 19, uma certa rua de Campia Grade. Até hoje em ehum dia ele etregou cartas para casas cosecutivas, mas dadas três casas cosecutivas, sempre havia carta para uma delas. De quatas maeiras diferetes isso pode ocorrer? F +1 A sequêcia de Fiboacci está relacioada com o úmero de ouro: lim 1 + 5 1, 6180339887498948... + F 2 De modo semelhate temos a sequêcia de Padova que é defiida por P 0 P 1 P 2 1 e P P 2 + P 3, para 3. A sequecia de Perri tem a mesma relação de recorrêcia, mas P 0 3, P 1 0, P 2 2. Essas sequêcias estão relacioadas com o úmero de plástico: lim + P +1 P 3 1 2 + 69 18 + 1 69 3 2 1, 3247179572447460... 18 É possível mostrar que a sequêcia P satisfaz a equação de recorrêcia P +1 P + P 4. Um fato cohecido é que o úmero de ouro é a solução positiva da equação poliomial X 2 X 1 0. Por outro lado, também é possível provar que o úmero de plástico é a úica solução real das equações poliomiais X 3 X 1 0 e X 5 X 1 0. Agora vamos abordar os pricipais coceitos evolvedo cotagem em Aálise Combiatória. Começamos com a seguite questão: Permutações simples: De quatos modos podemos ordear em fila objetos? Resposta: O úmero de permutações simples de objetos distitos, ou seja, o úmero de ordes em que podemos colocar objetos é P!. Uma geeralização desse resultado é o seguite: Permutações com repetição: O úmero de modos que podemos colocar em fila objetos, ode 1 são iguais a! a 1, 2 são iguais a a 2,..., r são iguais a a r é igual a P (; 1, 2,.., r ) 1! 2! r!. Outra perguta importate é: Combiações simples: De quatos modos podemos selecioar objetos distitos etre objetos distitos dados? Resposta: O úmero de combiações simples de tomados a, ou seja, o úmero de subcojutos com elemetos de um cojuto de elemetos é igual a C ( )!!( )!, 0. Observação: Seja A {a 1, a 2,..., a } um cojuto com elemetos. É fácil ver que a cada subcojuto B de A, com elemetos, 0, correpode um subcojuto, o complemetar de B em relação a A, com elemetos. Portato segue que: ( ) ( ), para todo 0.

8 Mais dois resultados importate: O úmero de soluções iteiras positivas da equação x 1 + x 2 + + x r m é dado por C r 1 m 1. Combiações Completas: O úmero de soluções iteiras ão egativas da equação x 1 + x 2 + + x r m é dado por CRr m Cm+r 1 Cm m+r 1. Defiição:(segudo dicioário Aurélio) Aagrama é uma palavra ou frase formada pela trasposição das letras de outra palavra ou frase. Aagrama: do grego aa voltar ou repetir + graphei escrever. Um exemplo cohecido é o ome da persoagem Iracema, aagrama de América, o romace de José de Alecar. Agora algus problemihas: Problema 24. Um úmero é dito peroba se possui pelo meos dois dígitos vizihos com a mesma paridade. Quatos úmeros perobas de cico dígitos existem? Problema 25. No campeoato iterplaetário de futebol, cada vitória vale três potos, cada empate vale um poto e cada derrota vale zero poto. Um resultado é uma vitória, empate ou derrota. Sabe-se que o Laoicareti ão sofreu ehuma derrota e tem 16 potos, mas ão se sabe quatas partidas esse time jogou. Quatas sequêcias ordeadas de resultados o Laoicareti poderia ter obtido? Represetado vitória por V, empate por E e derrota por D, duas possibilidades por exemplo, são (V,E,E,V,E,V,V,E) e (E,V,V,V,V,V). Problema 26. Quatos são os aagramas da palavra PERIGOSA em que as quatro vogais aparecem em ordem alfabética? (As quatro vogais ão precisam ficar em posições cosecutivas.) Problema 27. Quatos são os aagramas da palavra CARAGUATATUBA? Dessas quatas começam por vogal? A seguir vamos mostrar que o úmero de combiações completas pode ser ecotrado usado-se um diagrama de ruas e quadras. Problema 28. Para r, m 1 fixados, cosidere mais uma vez a perguta: de quatas maeiras pode-se expressar x 1 + x 2 + x 3 + + x r m, ode os x i são iteiros ão egativos? Por exemplo, de quatas maeiras pode-se escrever x 1 + x 2 + x 3 4? Algumas possibilidades são: 1+3+04, 0+1+34, 1+2+14, etc. Já euciamos ateriormete a resposta para esta questão, mas é possível usar um diagrama de ruas e quadras para resolver este problema. Cada maeira de escrever x 1 + x 2 + x 3 + + x r m pode ser visualizada como uma trajetória, cada x i represetado o úmero de passos para cima. Por exemplo,

9 A A O 1 + 2 + 1 4 x 1 1 x 2 2 x 3 1 O 1 + 3 + 0 4 x 1 1 x 2 3 x 3 0 (a) Cote desta maeira o úmero de diferetes soluções da equação x 1 + x 2 + x 3 + x 4 7, ode cada x i é iteiro ão egativo. (b) Quatas diferetes combiações de moedas de 1, 5, 10, 25 e 50 cetavos pode um cofriho coter, sabedo que ao todo ele cotém 20 moedas? Mais algus problemas... Problema 29. Esmeralda, a digitadora, tetou digitar um úmero de seis algarismos, mas dois algarismos ão apareceram (a digitadora deve ter se esquecido ou as teclas ão fucioaram). O que apareceu foi 20046. Quatos são os úmeros de sete algarismos que ela pode ter tetado digitar? Problema 30. Dizemos que uma palavra Q é quase-aagrama de outra palavra P quado Q pode ser obtida retirado-se uma letra de P e trocado a ordem das letras restates, resultado em uma palavra com uma letra a meos do que P. Um quase-aagrama pode ter setido em algum idioma ou ão. Por exemplo, RARO, RACR e ARCO são quase-aagramas de CARRO. Quatos são os quase-aagramas da palavra PALAVRA que começam com A? Problema 31. De quatas maeiras podemos colocar, em cada espaço abaixo, um etre os algarismos 4, 5, 6, 7, 8, 9, de modo que todos os seis algarismos apareçam e formem, em cada membro, úmeros de dois algarismos que satisfazem a dupla desigualdade? > >. Problema 32. Cico amigos, Araldo, Beraldo, Ceraldo, Deraldo e Eraldo, devem formar uma fila com outras 30 pessoas. De quatas maeiras podemos formar esta fila de modo que Araldo fique a frete de seus 4 amigos? (Os amigos ão precisam ficar em posições cosecutivas.)

10 Problema 33. A fábrica Delícias Paraibaas produz 8 tipos de trufas: Açaí (A), Brigadeiro (B), Caju(C), Damasco(D), Goiaba(G), Morago(M), Nozes(N) e Passas (P). Essas trufas são vedidas em caixas com 20 uidades. (a) Sabedo que é possível ecotrar caixas com um úico sabor ou sortido, quatas caixas diferetes podem existir? (b) Sabedo que em cada caixa há pelo meos uma trufa de cada tipo, quatas caixas diferetes podem existir? (c) Sabedo que em cada caixa há pelo meos três trufas de brigadeiro, quatas caixas diferetes podem existir (d) Sabedo que cada caixa cotém o míimo três e o máximo sete trufas de caju, quatas caixas diferetes podem existir? Observação Nos ites (c) e (d) ão é ecessário que haja todos os tipos as caixas. Problema 34. (Oitava Questão da OBM Sêior de 1992) Em um toreio de xadrez cada jogador disputou uma partida com cada um dos demais participates. A cada partida, havedo o empate, cada jogador gahou 1/2 poto; caso cotrário, o vecedor gahou 1 poto e o perdedor 0 potos. Participaram homes e mulheres e cada participate coquistou o mesmo úmero de potos cotra homes que cotra mulheres. Mostre que o úmero total de participates é um quadrado perfeito. Agora iiciamos uma lista de problemas evolvedo somas em combiatória. Daremos soluções combiatórias e outras utilizado, por exemplo, o biômio de Newto. Começamos com um resultado clássico. Problema 35. O objetivo desta questão é provar de duas maeiras diferetes a idetidade ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) + + + + 2. 0 1 2 0 (a) Demostração combiatória: Cosidere um cojuto com elemetos. Primeiro determie a quatidade de subcojutos desse cojuto. Depois calcule a quatidade de subcojutos com ehum elemeto, com um elemeto, com dois elemetos,..., com 1 elemetos, com elemetos. Compare os resultados obtidos. (a) Aplique o Biômio de Newto para a expressão ( 1 + x ). Faça x 1. Problema 36. O objetivo deste exercício é dar duas demostrações diferetes para a idetidade ( ) 2 1. 1 (a) Demostração combiatória: Cosidere o cojuto de todas as possíveis comissões tedo uma pessoa desigada para presidete, que se pode formar a partir de um cojuto de pessoas (uma comissão pode ter um úmero qualquer de pessoas, de 1 a ). Cote este cojuto de comissões de duas maeiras diferetes e compare os resultados. Um método é, depois de escolhida a comissão, escolher o presidete etre seus membros. Outro é escolher primeiro uma pessoa para ser o presidete e depois escolher o restate da comissão. Use o Problema 35. ( ) (b) Cosidere o biômio de Newto (1 + x) x, derive em relação a x e depois faça x 1. 0

11 Problema 37. O objetivo deste exercício é dar duas demostrações diferetes para a idetidade ( ) 2 ( + 1)2 2. 1 (a) Demostração combiatória: Cosidere o cojuto de todas as possíveis comissões tedo uma pessoa desigada para presidete e uma para secretário, podedo a mesma pessoa acumular os dois cargos, que se pode formar a partir de um cojuto de pessoas (uma comissão pode ter um úmero qualquer de pessoas, de 1 a ). Cote este cojuto de comissões de duas maeiras diferetes e compare os resultados. Um método é, depois de escolhida a comissão, escolher o presidete e o secretário etre seus membros. Outro é escolher primeiro uma pessoa para ser o presidete, uma pessoa para secretário e depois escolher o restate da comissão. Use o Problema 35. (b) Tome a expressão (1 + x) 0 derive mais uma vez em relação a x e faça x 1. ( ) x, derive em relação a x, depois multiplique a expressão obtida por x, A questão abaixo é cosequêcia imediata das duas ateriores, mas pode ser provada de forma idepedete. Problema 38. O objetivo deste exercício é dar duas demostrações diferetes para a idetidade ( ) ( 1) ( 1)2 2. 2 (a) Demostração combiatória: Cosidere o cojuto de todas as possíveis comissões tedo uma pessoa desigada para presidete e outra para vice-presidete, que se pode formar a partir de pessoas (portato as comissões vão coter ao meos 2 pessoas). Cote essas comissões de 2 maeiras diferetes e compare os resultados. Um método é, depois de escolhida a comissão, escolher o presidete e o vice-presidete etre seus membros. Outro é escolher primeiro uma pessoa para ser o presidete e outra para vice-presidete e escolher depois o restate da comissão. Use o Problema 35 e a mesma ideia da questão aterior. (b) Tome a expressão (1 + x) 0 ( ) x, derive duas vezes em relação a x e depois faça x 1. Problema 39. Prove a idetidade ( ) 2 1 1 ( ) 2. 1 (a) Demostração combiatória: Dados um cojuto de homes e mulheres, cote de duas maeiras diferetes todas as comissões de pessoas com um homem escolhido para ser o presidete da comissão. [ ( ] ( ) (b) Utilizado o biômio de Newto: Cosidere a igualdade (1 + x) (1 + y) )x y j, j derive em relação a x, faça y x e, fialmete, idetifique o coeficiete de x 1 dos dois lados da igualdade. 0 j0

12 Problema 40. O objetivo desta questão é provar a idetidade de Lagrage Basta mostrar que 0 0 ( )( ) ( ) 2 ( 0 ( ) 2 + 0 )( ) + ( ) 2 + 1 ( )( ) + 1 1 ( ) 2 + + 2 ( ) 2 ( )( ) + + 2 2 ( ) 2. ( )( ) 0 ( ) 2. (a) Cosidere o problema de formar comissões de pessoas a partir de um grupo de homes e mulheres. Cote essas comissões de duas maeiras diferetes: primeiro diretamete e depois dividido em casos, coforme o úmero de mulheres que a comissão cotém. Comparado os resultados, obteha ova demostração de (3). (b) Aplique o Biômio de Newto a ambos os lados da igualdade ( 1 + x ) 2 ( 1 + x ) ( 1 + x ). Comparado a expressão do coeficiete de x de ambos os lados, obteha a idetidade acima. Em seguida use a simetria dos úmeros combiatórios para deduzir a idetidade de Lagrage. O problema aterior é uma cosequêcia imediata do exercício abaixo, ode usamos a otação X para desigar a quatidade de elemetos de um cojuto X. Problema 41. O objetivo desta questão é dar três demostrações diferetes para o fato de que sempre que r e m r, vale a seguite idetidade (Covolução de Vadermode), descoberta pelo matemático Alexadre-Théophile Vadermode o século XVIII. ( ) + m r ( 0 )( m r ) + ( )( ) m + 1 r 1 ( )( ) m + + 2 r 2 (a) Demostração combiatória: Cosidere um grupo com homes e m mulheres. Calcule, de duas maeiras diferetes, a quatidade de comissões de tamaho r possíveis de serem formadas. (b) Demostração utilizado o Biômio de Newto: Cosidere (1 + x) +m (1 + x) (1 + x) m, expada os três biômios e compare o coeficiete de x r os dois lados da igualdade. ( r )( m 0 ) (c) O objetivo deste item é mostrar uma maeira diferete de provar a mesma idetidade acima usado um diagrama de ruas e quadras. Para simplificar, só se pede que você faça um caso particular. No diagrama de quadras e ruas abaixo, cosidere todos os camihos (de míima distâcia) de O para A (a figura, camihos ido sempre para cima ou para a direita) e cote-os dividido em casos, de acordo com o poto ode cruzam a diagoal com os potos marcados com quadrados, correspodedo às esquias cuja distâcia de O é 8 quadras. Cosiderado todos os casos possíveis, obteha um caso particular da idetidade da questão aterior. (d) Novamete, dividido todos os camihos (de míima distâcia) de O para A em casos, de acordo com o poto em que cruzam a diagoal de potos circulados, obteha uma igualdade similar à obtida a parte (a).

13 A O Uma idetidade bem iteressate surgida uma olimpíada chiesa é a que euciamos a seguir. Lembramos que x deota o úico iteiro tal que x < + 1. Problema 42. (Olimpíada Chiesa 1994) Prove a idetidade utilizado um raciocíio combiatório ( ) 2 + 1 ( )( ) 2. ( ) /2 0 A idetidade a seguir é cohecida como idetidade combiatória de Fermat. Problema 43. Foreça um argumeto combiatório para estabelecer a idetidade: ( ) i ( ) i 1. 1 Problema 44. Foreça um argumeto combiatório para estabelecer a idetidade: ( ) 2 i i ji ( j )( j i ), i. Problema 45. Cosidere o laçameto de um dado vezes e seja S a soma dos valores obtidos os laçametos. Seja x i o resultado obtido o i-ésimo laçameto. Mostre que o úmero de soluções da equação x 1 +x 2 + +x S, com 1 x i 6, é igual a S 6 ( )( ) S 6 1 ( 1). 1 0

14 Problema 46. Um fazedeiro que dispõe de R$ 60.000,00 pretede gastar essa importâcia a compra de cavalos e bois. Sabedo que cada cavalo custa R$ 700,00 e cada boi R$ 650,00, obteha uma equação diofatia que modele este problema. (a) Quatas e quais são as soluções desse problema? (b) Qual o úmero de bois e cavalos que ele deve comprar se quiser comprar a maior quatidade de aimais? Problema 47. Sejam a e b iteiros positivos relativamete primos. Mostre que a equação ax + by c tem soluções iteiras ão egativas para todo c > ab a b. E se c ab a b? Problema 48. (a) Um dado perfeito tem as faces marcadas com 1,1,2,2,3,3. O dado vai ser laçado duas vezes. Qual a probabilidade de que a soma dos resultados seja par? (b) E se o dado for laçado vezes e começar a crescer, o que acotece com esta probabilidade? Sugestão: começar a calcular a probabilidade os casos 3, 4, 5 e fazer uma cojectura. Os dois problemas abaixo são de aálise, mas resolvi acrescetá-los pois acho muito iteressates. Problema 49. Sabemos que a série harmôica + 1 1 diverge. Agora cosideremos o cojuto A 9 { N : ão possui o algarismo 9 a sua represetação decimal}. Mostre que a série A 9 1 coverge e que 8, 1 A 9 1 81. Agora um problema que geeraliza o aterior. Problema 50. Seja A i { N : ão possui o algarismo i a sua represetação decimal. Mostre que:.} (a) A série A i 1 coverge. (b) A série A i 1 p coverge se, e somete se, p > log 10 9.

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