PROVA DE MATEMÁTICA VESTIBULAR 0 - FGV CURSO DE ECONOMIA Profa. Maria Antônia C. Gouveia QUESTÃO 0 Laura caminha pelo menos km por dia. Rita também caminha todos os dias, e a soma das distâncias diárias percorridas por Laura e Rita em suas caminhadas não ultrapassa km. A distância máxima diária percorrida por Rita, em quilômetros, é igual a (A) 4. (B). (C) 6. (D) 7. (E) 8. Considerando que a distância percorrida por Laura é L km e que Rita percorre por dia R km: + R R 7 que a distância máxima percorrida por Rita deve ser 7km. RESPOSTA: Alternativa D. QUESTÃO 0 Um mercado vende três marcas de tomate enlatado, as marcas A, B e C. Cada lata da marca A custa 0% mais do que a da marca B e contém 0% menos gramas do que a da marca C. Cada lata da marca C contém 0% mais gramas do que a da marca B e custa % mais do que a da marca A. Se o rendimento do produto das três marcas é o mesmo por grama, então, é mais econômico para o consumidor comprar a marca (A) A. (C) C. (E) B ou C, indistintamente. (B) B. (D) A ou B, indistintamente. Considerando que cada lata da marca B custa x moedas, o preço da marca A será,x moedas e o da marca C, (,,x) =,87x moedas. Se a lata da marca A contém 0% menos gramas do que a da marca C e as desta marca contém 0% mais gramas do que a da marca B, considerando como y o peso do conteúdo de cada lata B, o peso da marca C será,y e o da A, (0,9,y) =,y. Preço por grama de cada marca:,x 0 x Marca A: moeda/g,y y. 9 x Marca B: moeda/g y. Marca C:,87x x 0 x moeda/g,y y y. 4 8 Comparando os três valores do grama das três marcas conclui-se que é mais vantajoso para o consumidor comprar o produto de marca B. RESPOSTA: Alternativa B.
QUESTÃO 0 Sejam m e n números reais, ambos diferentes de zero. Se m e n são soluções da equação polinomial x + mx + n = 0, na incógnita x, então, m n é igual a (A). (B). (C). (D). (E).» A soma das raízes é m n m e o produto mn n Sendo m e n números reais, ambos diferentes de zero: m n m n m m m n mn n m n RESPOSTA: Alternativa E.» QUESTÃO 04 Na figura, ABCDEF é um hexágono regular de lado dm, e Q é o centro da circunferência inscrita a ele. O perímetro do polígono AQCEF, em dm, é igual a (A) 4 (C) 6 (E) (B) 4 (D) 4 O perímetro de AQCEF é a soma AQ+QC+CE+EF+FA = = 4 + x. No triângulo CDE aplicando a Lei dos cossenos em relação ao ângulo de 0 : x x cos0 x x 4. Então, o perímetro de AQCEF é RESPOSTA: Alternativa B.
QUESTÃO 0 Um poço cilíndrico circular reto, de profundidade m e diâmetro 6 m, foi escavado por 8 trabalhadores em dias. Admitindo-se sempre proporcionalidade direta ou inversa entre duas das três grandezas envolvidas no problema (volume escavado, número de trabalhadores e dias necessários para o serviço), para aumentar o diâmetro do poço já escavado em mais m, e com 4 trabalhadores a menos, serão necessários e suficientes mais (A) 0 dias. (C) dias. (E) dias. (B) dias. (D) 4 dias. O volume do cilindro externo (de raio 4m) é, em metros cúbicos: V π4 40π. O volume do cilindro interno é, também em metros cúbicos: V0 π π. (Representa a escavação realizada pelo primeiro grupo). O volume da região compreendida entre os dois cilindros é, em metros cúbicos: V V 0 40 π 0 (Representa a escavação a ser realizada pelo segundo grupo). Analisando a relação entre as grandezas: Grupo Grupo VOLUME TRABALHADORES DIAS π 8 0π 4 x 4 7 Logo: x x 8 0 x 9 x RESPOSTA: Alternativa E. QUESTÃO 06 Uma mercadoria é vendida com entrada de R$ 00,00 mais parcelas fixas mensais de R$ 76,00. Sabendo-se que as parcelas embutem uma taxa de juros compostos de 0% ao mês, o preço à vista dessa mercadoria, em reais, é igual a (A).80,00. (C).40,00. (E).460,00. (B).90,00. (D).440,00.
P 76 76 00 P VP VP 00 VP 00 480 400 VP 80,,,, O preço à vista dessa mercadoria é igual a.80 reais. RESPOSTA: Alternativa A. QUESTÃO 07 O total de números naturais de 7 algarismos tal que o produto dos seus algarismos seja 4 é (A) 4. (B) 8. (C). (D) 4. (E) 49. Sabe-se que 4 =. 7.. Os números então, devem ser escritos algarismos, algarismo e algarismo 7. 7! Total de números com 7 algarismos escritos com,,,,, e 7: P7 7 6 4.! RESPOSTA: Alternativa D. QUESTÃO 08 O relógio indicado na figura marca 6 horas e (A) (B) 7 minutos. (C) minutos. (E) minutos. (D) 4 minutos. 4 minutos. 4
A cada 60 min o ponteiro das horas se desloca 0, ou seja a cada min o deslocamento desse ponteiro é de 0,. Logo a cada x min o seu deslocamento é de 0, x = x x α x α.(i) A cada 60 min o ponteiro dos minutos se desloca 60, ou seja a cada min o deslocamento desse ponteiro é de 6. Logo a cada x min o seu deslocamento é de 6 x, de acordo com a figura ao lado, De (I) e (II) tem-se: 60 α 60 α 6x x 6 (II) 60 α 60 60 70 60 α α α 60 α x. 6 RESPOSTA: Alternativa C. QUESTÃO 09 O algarismo da unidade do resultado de!-!+!-4!+!-...+999! é (A) 0. (B). (C). (D). (E) 4. Sendo (n+)! = n(n )!, tem-se: S =!!+! 4!+!...+999! S = (!! +.! 4.! +.4!) 6.! + 7.6!,...,+ 999! S = ( + 6 4 + 0) 6.! + 7.6!... + 999! S = 0 6.! + 7.6!... + 999! Fazendo 6.! + 7.6! 8.7.6! + 9.8.7.6!... + 999! = P tem-se: S = 0 + P. Analisando-se os termos de P, conclui-se que cada um de seus 994 termos são múltiplos de! =0, portanto múltiplos de 0, logo o algarismo das unidades de P é 0. Reescrevendo P: P = 6.!+7.6!... +999! = (999! 998!)+(997! 996!)+...+(9.8! 8.7!)+(7.6! 6.!). Como cada expressão entre parênteses é um número natural, P é um número natural múltiplo de 0. Conclusão: S = 0 + P é um número natural cujo algarismo das unidades é. RESPOSTA: Alternativa B.
Questão 0 Observe a tabela com duas sequências. o termo o termo o termo 4 o termo... Sequência 7... Sequência - -8-6 -40... Sendo S n a soma dos n primeiros termos da sequência, e b n o n-ésimo termo da sequência, então, S n = b n para n igual a ou (A) 6. (B) 9. (C) 8. (D) 4. (E) 46. n.4n 4n.n A sequência é uma P.A. de razão 4, então S n = n n. A sequência é uma P.A. de razão 79, então b n = + (n ). ( 79) = 76 79n. Sendo n um número natural diferente de zero, b n = 76 79n < 0, logo, b n = 79n 76. Considerando, S n = b n, n n 79n 76 0 n RESPOSTA: Alternativa C. Questão 78 78n 76 0 n 6084 608 78 74 n ou n 8 4 4 Três irmãos receberam de herança um terreno plano com a forma de quadrilátero convexo de vértices A, B, C e D, em sentido horário. Ligando os vértices B e D por um segmento de reta, o terreno fica dividido em duas partes cujas áreas estão na razão :, com a parte maior demarcada por meio do triângulo ABD. Para dividir o terreno em áreas iguais entre os três irmãos, uma estratégia que funciona, independentemente das medidas dos ângulos internos do polígono ABCD, é fazer os traçados de BD e DM, sendo (A) M o ponto médio de AB. (B) M o ponto que divide AB na razão :. (C) M a projeção ortogonal de D sobre AB. (D) DM a bissetriz de A. (E) DM a mediatriz de AB. Dˆ B 6
Ao ligar os vértices B e D por um segmento de reta, o terreno fica dividido em duas partes cujas áreas estão na razão :, com a parte maior demarcada por meio do triângulo ABD, logo a área desse triângulo é o dobro da área do triângulo BCD, conforme figura. O terreno deverá ser dividido entre os três irmãos, em partes com áreas iguais. Sendo S ABD = S BCD = S, a estratégia para essa divisão será dividir o triângulo ABD em dois triângulos de área S, e uma das possibilidades é traçar nesse triângulo a mediana relativa ao lado AB. RESPOSTA: Alternativa A. Questão O total de matrizes distintas que possuem apenas os números,,, 4,,...,, 6 como elementos, sem repetição, é igual a (A) (4!) 4 (B) 6.4! (C).6! (D) (6!) (E) 6 6» As matrizes distintas que se podem formar com apenas os números,,, 4,,...,, 6, são dos tipos A 6, B 6, C 8, D 8 e E 44. Em cada um dos tipos os 6 elementos podem permutar entre si um número de vezes igual a 6!. Então o total de matrizes distintas que possuem apenas os números,,, 4,,...,, 6 como elementos, sem repetição, é igual a.6!. RESPOSTA: Alternativa B. Questão O quadrado ABCD está inscrito em uma circunferência de raio r. Marcando-se ao acaso um ponto na região interior dessa circunferência, a probabilidade de que esse ponto esteja na região interior do quadrado ABCD é igual a (A) (B) (C) 4 (D) (E) 7
O quadrado ABCD, inscrito no círculo de raio r é formado por 4 triângulos retângulos (AOB, BOC, COD e DOA), 4 r r logo sua área é SABCD r. A área do círculo é Scírculo r. A probabilidade de que um ponto interior ao círculo esteja na região interior do quadrado ABCD é S ABCD S círculo r r RESPOSTA: Alternativa A. Questão 4 Ao conjunto {, 6, 0, } inclui-se um número natural n, diferente dos quatro números que compõem esse conjunto. Se a média aritmética dos cinco elementos do novo conjunto é igual a sua mediana, então, a soma de todos os possíveis valores de n é igual a (A) 0. (B). (C). (D) 4. (E) 6. ) Se n <, { n,, 6, 0, }, a mediana é 6. ) Se < n < 6, {, n, 6, 0, }, a mediana é 6. ) Se 6 < n < 0, {, 6, n, 0, }, a mediana é n. 4) Se 0 < n <, {, 6, 0, n, }, a mediana é 0. ) Se n >, {, 6, 0,, n }, a mediana é 0. n 6 0 n A média aritmética entre os elementos de { n,, 6, 0, } é n 6 ou n 0 n (não convém pois não é número natural) n n Pode-se ter: n ou n n n 8 n 0 n 8 n 0 A soma dos possíveis valores de n é 8 + 8 = 6 RESPOSTA: Alternativa E. Questão Se sen x + sen y = e cos x + cos y =, então, sec(x y) é igual a (A) (B) (C) (D) (E) 4 8
senx seny cosx cosy sen cos x sen x cos y senx.seny y cosx.cosy cos(x y) cos(x y) sec(x y) RESPOSTA: Alternativa D. Questão 6 (L L (cosx.cosy senx.seny) ) (cosx.cosy senx.seny) Dados os pontos A(0,0), B(,0), C(8,) e D(,8) no plano cartesiano ortogonal, P é um ponto do o quadrante tal que as áreas dos triângulos APB e CPD são, respectivamente, iguais a e 6. Em tais condições, o produto da abscissa pela ordenada de P pode ser igual a (A) 8. (B) 0. (C). (D) 4. (E). Seja P = (m, n) Considerando inicialmente o triângulo APB, no qual os vértices A e B pertencem ao eixo Ox o que se leva a concluir que o lado AB, base do triângulo, está sobre esse eixo e também que a altura desse triângulo é n. bn n Como a área de APB é, n P = (m, ). Sendo 6 a medida da área de CPD: 8 m 8 6 64 m 8m 40 4 m 4 m ou 4 m m 4 ou m P = (4, ) ou P = (,) o produto das coordenadas de P pode ser 0 ou 60. RESPOSTA: Alternativa B. Questão 7 Na figura, ABCD é um quadrado de lado 4 cm, e M é ponto médio de CD. Sabe-se ainda que é arco de circunferência de centro A e raio 4 cm, e é arco de circunferência de centro M e raio cm, sendo P e D pontos de intersecção desses arcos. A distância de P até CB, em centímetros, é igual a 8 (A) 4 9 (B) (C) 4 (D) 0 7 7 (E) 9
Aplicando o Teorema de Pitágoras aos triângulos retângulos AEP e PFM: (4 m) (4 n) ( n) m 4 6 m m n n 8m 8n 4n 6 n 4 m m n 4n 0 m 6 6m 4m 8(m n) 6 4n 0 6 8m 0 m 8m 0 m 8 6 n 4 n RESPOSTA: Alternativa A.» Questão 8 Na figura, AB e AE são tangentes à circunferência nos pontos B e E, respectivamente, e m(bâe) = 60º. Se os arcos têm medidas iguais, a medida do ângulo BÊC, indicada na figura por α, é igual a 4 (A) 0 (B) 40 (C) 4 (D) 60 (E) 80 AB AE (segmentos tangentes ao círculo a partir de um mesmo ponto A). O triângulo ABE é equilátero, então o arco mede 0 e = 40. Como esses três arcos são congruentes, cada um deles mede 80. Assim α = 80 e α = 40. RESPOSTA: Alternativa B. Questão 9 Um prisma reto de base triangular tem área de uma face lateral igual a 0 cm². Se o plano que contém essa face dista 6 cm da aresta oposta a ela, o volume desse prisma, em cm³, é igual a (A) 8. (B) 6. (C) 48. (D) 4. (E) 60. 0
BC = a cm, AB = (0/a) cm, e a altura do triângulo ADE igual a 6cm. Considerando o triângulo ADE como base do prisma e AB a sua altura, o seu volume é: 6a 0 V 60cm, a RESPOSTA: Alternativa E. Questão 0 Um cilindro circular reto de base contida em um plano α foi seccionado por um plano β, formando 0 com α, gerando um tronco de cilindro. Sabe-se que BD e CE são, respectivamente, eixo maior da elipse de centro P contida em β, e raio da circunferência de centro Q contida em α. Os pontos A, B, P e D são colineares e estão em β, e os pontos A, C, Q e E são colineares e estão em α. Sendo BC = m e CQ = m, o menor caminho pela superfície lateral do tronco ligando os pontos C e D mede, em metros, (A) (C) (E) 9 (B) (D) 9 FIGURA Como BF // AE, os triângulos BDF e ABC são retângulos e semelhantes. DF Sendo BF = CE = m, tg0 BF O arcos CE mede: CE = π m DF DF DE. FIGURA Desenvolvendo a superfície lateral do tronco de cilindro tem-se o pentágono BCC B D e o segmento CD é a menor distância entre os pontos C e D: d π 9 d π 9 RESPOSTA: Alternativa D.
Questão O conjunto S contém apenas pontos (x,y) do plano cartesiano ortogonal de origem (0,0). Se um ponto qualquer P pertence a S, então também pertencem a S o seu simétrico em relação à reta y = x, o seu simétrico em relação ao eixo x e o seu simétrico em relação ao eixo y. Se os pontos (0,0), (,0), (0,) e (,) pertencem a S, o menor número de elementos que o conjunto S pode ter é (A) 7. (B) 8. (C). (D) 6. (E) 7. Os simétricos de P = (0, 0) são todos iguais a ele próprio. FIGURA FIGURA Do ponto (, 0) foram gerados outros. Do ponto (0, ) foram gerados outros. FIGURA Do ponto (, ) foram gerados 7 outros. Conclusão: O menor número de elementos que o conjunto S pode ter é 4+++7 =7. RESPOSTA: Alternativa E. Questão Sendo a, b, c, d, e, f, g constantes reais, o gráfico da função polinomial P(x) x ax 4 bx cx e dx f g, com f g, tem intersectos reais distintos com o eixo x, sendo um deles (0,0). Nessas condições, necessariamente (A) a 0. (B) b 0. (C) d 0. (D) e 0. (E) f 0.
Se 4 e P(x) x ax bx cx dx tem intersectos reais distintos com o eixo x, f g sendo um deles (0,0), então zero é uma das suas raízes, portanto o termo independente e de x, 0. f g 4 4 Logo, P(x) x ax bx cx dx P(x) xx ax bx cx d. 4 As raízes do polinômio x ax bx cx d são distintas de zero, logo d 0. RESPOSTA: Alternativa C.» Questão No plano Argand-Gauss estão indicados um quadrado ABCD e os afixos dos números complexos Z 0, Z, Z, Z, Z 4 e Z. Se o afixo do produto de Z 0 por um dos outros cinco números complexos indicados é o centro da circunferência inscrita no quadrado ABCD, então esse número complexo é (A) Z. (B) Z. (C) Z. (D) Z 4. (E) Z. x Considerando como M o centro do quadrado ABCD, M Z0 Zn i i(a bi) i ( a b) (a b)i a b a b 4a 0 a 0 zn a b b b, a b RESPOSTA: Alternativa B. x y, y, B D B D. 0;, z
Questão 4 Tânia e Geraldo têm, cada um, uma urna contendo cinco bolas. Cada urna contém uma bola de cada uma das seguintes cores: azul, verde, preta, branca e roxa. As bolas são distinguíveis umas das outras apenas por sua cor. Tânia transfere, ao acaso, uma bola da sua urna para a de Geraldo. Em seguida, Geraldo transfere, ao acaso, uma bola da sua urna para a de Tânia. Ao final das transferências, a probabilidade de que as duas urnas tenham sua configuração inicial é (A) (B) (C) (D) (E) 6 0 Como as bolas de cada urna são distinguíveis umas das outras apenas por sua cor, a probabilidade de cada uma das bolas que pode ser escolhida ao acaso por Tânia para transferir para a urna de Geraldo é de /. Depois da transferência a urna de Geraldo tem 6 bolas, sendo duas da mesma cor. Geraldo escolhe ao acaso, de sua urna, uma bola para transferir para a urna de Tânia. Para que ao final das transferências, as duas urnas tenham sua configuração inicial, é necessário que a bola escolhida seja da mesma cor da que Tânia havia transferido para a sua urna. Como são 6 bolas, a probabilidade de que esse fato aconteça é:. 6 RESPOSTA: Alternativa B. Questão Com m e n reais, os gráficos representam uma função logarítmica, e seu intersecto com o eixo x, e uma função afim, e seu intersecto com o eixo y. Se (A) 8 f g 0 (B) 4, então m n é igual a (C) (D) 4 (E) 8 4
Pelo gráfico: m log 0 m log m ( ). 00 00 Então f(x) = log x De f g 0 pode-se escrever loga loga loga a 0 0 g 0 n n Logo, m 8 RESPOSTA: Alternativa A. Questão 6 0 0 n 0 g a a, f a 0 0 n No círculo trigonométrico de raio unitário indicado na figura, o arco mede α. Assim, PM é igual a 0. (A) tg α (C) + cos α (E) + cotg α (B) cos α (D) + sen α Sendo α um arco do o quadrante, a abscissa do ponto M é igual ao cosα < 0 e OC =, logo, CM = cosα CM = ( cosα) = + cosα. O triângulo retângulo PMC é isósceles (semelhante ao triângulo COD), logo PM = CM =+ cosα. RESPOSTA: Alternativa C.
Questão 7» Sendo m o maior valor real que x pode assumir na equação analítica (x ) + 4(y + ) = 6, e n o maior valor real que y pode assumir nessa mesma equação, então, m+n é igual a (A) 8. (B) 7. (C) 6. (D) 4. (E). Dividindo os termos da equação (x ) + 4(y + ) = 6 por 6, obtem-se: x y que é equação de uma 6 9 elipse de centro (, ), a = 6 e b =. Sendo m o maior valor real que x pode assumir na equação, m = + 6 = 8. Sendo n o maior valor real que y pode assumir na equação, n = + =. Então m + n = 8 = 6. RESPOSTA: Alternativa C. Questão 8 Se x 4, com x > 0, então x é igual a x x (A) 7 (B) 7 (C) 7 (D) 0 (E) 7 0 Desenvolvendo x x x x x x : x x x x x x x x x x x 0 Sendo x x x x x 66 4 x x 4 6 x 4 x (x 0) RESPOSTA: Alternativa D. Questão 9 A solução da equação log + log + log + 4log4 + +0log0 = logx é 0! (A) (D) 0 (E)!.!.4!....9!!.!.4!....9! 0 0! (B) (C)!.!.4!....9!!.!.4!....9!!!.!.4!....9! 0 6
log + log + log + 4log4 + +0log0 = logx log + log + log + log4 4 + +log0 0 = logx» log( 4 4 0 0 ) = logx x = 4 4 0 0 x 4... 0 4... 0 4... 0 4... 0 0! 0! 0! 0! 0! 0 x 0!... x 0!!!! 4! 9!!!! 4!... 9! RESPOSTA: Alternativa D.... 0 0 0!.!!! 4!... 9! Questão 0 O gráfico de barras indica como informação principal o número de pessoas atendidas em um pronto-socorro, por faixa etária, em um determinado dia. Outra informação apresentada no gráfico, por meio das linhas verticais, é a frequência acumulada. Em virtude de um rasgo na folha em que o gráfico estava desenhado, as informações referentes à última barra, e apenas elas, foram perdidas, como se vê na figura. A média de idade do total de pessoas de 0 a 0 anos que frequentou o pronto-socorro nesse dia foi,4 anos. Nessas condições, na folha intacta do gráfico original, o comprimento da linha vertical posicionada na última barra, que indica a frequência acumulada até 0 anos de idade, em centímetros, era igual a (A) 8,8. (B) 9,6. (C) 0,4. (D),. (E),0. 7
Idade em anos x m FA F x m F 0 4 4 8 6 4 8 8 0 6 0 6 4 0 4 6 6 0 8 x x 0 8x 80 8 0 6 8x 80 Ma,4 96 8x 80,4x,6x 84 x. x Logo, no gráfico original, o comprimento da linha vertical posicionada na última barra, que indica a frequência acumulada até 0 anos de idade, em centímetros, era igual a 0,8cm =,0 cm. RESPOSTA: Alternativa E. 8