Instituto Superior Técnico Departamento de Matem tica SecÁ o de Álgebra e Análise ANÁLISE MATEMÁTICA IV 1 o Teste Cursos: LCI, LEAmb, LEBL, LEGM, LEIC, LEM, LEMat, LEMG, LEQ, LQ Justifique cuidadosamente todas as respostas. Data: 9/10/005, 11h Duração: 1h30m 1. Considere a função complexa definida por f(x + iy) = 3x + xy + iv(x, y). (a) Determine a função v : R R, sabendo que f é inteira e f(i) = i. (b) Determine o valor do integral C f() ( i) d onde C = { C : = } é percorrida uma ve no sentido directo. e (a) Por f ser inteira, u e v são harmónicas conjugadas em R. Então u x = v y Conclui-se que pelo que u y = v x v y = 3 + y v(x, y) = 3y + y + C(x) x = C (x) C(x) = x + k v(x, y) = y x + 3y + k, k R 3x + xy + i(y x + 3y + k) = 3 i( + k), k R
Dado que f(i) = i, teremos k = 3 e finalmente 3 i( + 3) (b) Visto que f é inteira e i int C, podemos aplicar a fórmula integral de Cauchy. Tem-se então que f() ( i) d = πif (i) = πi( u x + i v x ) (0,1) = 10πi C. Obtenha o desenvolvimento em série de potências da função, 4 3 em torno de 0 = i e que converge no ponto = 4i. Indique a região onde o desenvolvimento é válido. A função f é analítica em C \ { 3 }, pelo que admitirá série de Taylor 4 convergente em i < 5 e série de Laurent convergente em i > 5. Visto 4 4 4i pertencer à segunda região, é este o desenvolvimento que pretendemos obter. Assim, e faendo w = i, 4 3 = = w + i 4w w + i 4w + 4i 3 = w + i 4w 4 n w n 1 1 3 4i 4w sendo a igualdade com a série válida porque 3 4i 4w = 5 4 w < 1. = 4 n+1 w + i n 4 n+1 w n+1 4 n+1 ( i) + i se i > 5 n 4 n+1 ( i) n+1 4
3. Calcule o valor do integral [ ( 1)sen ( π ) + e1/ ] d em que = { C : 1 + i = 3} percorrida uma ve no sentido directo. Podemos escrever ( 1)sen ( π ) + e1/ e pela linearidade do integral, tem-se que f() d = f 1 () d + A função f 1 () = = f 1 () + f () ( 1)sen ( π ) f () d é analítica em C \ { : = 1, = k k Z}. Atendendo a que e pelo que Visto 1 1 + 1 i = < 3 1 int k 1 + k i = k 1 + 4k + 1 < 3 k = 0 f 1 () d = πi(res(f 1, 1) + Res(f 1, 0)) lim ( 1)f 1() = 1 1 conclui-se que 1 é um polo simples e Res(f 1, 1) = 1. Por outro ladp, lim 0 f 1() = 4 π 3
conclui-se que 0 é uma singularidade removível e como tal Res(f 1, 0) = 0. Tem-se então que f 1 () d = πi A função f () = e1/ é analítica em C \ {0} e como já verificámos 0 int, tem-se que f () d = πires(f, 0) Desenvovendo f em potências de, obtem-se f () = 1 ( 1 + 1 + 1 + 1 3! 3 +... ) = 1 + 1 + 1 3 + 1 3! 4 +... conclui-se que 0 é uma singularidade essencial de f e que Res(f, 0) = 1, pelo que f () d = πi Finalmente f() d = 4πi 4. Utiliando o Teorema dos Resíduos, determine cos x 4x + 1 dx Considere-se a função complexa F () = ei 4 + 1 e, para R R+ suficientemente grande, a curva C R = I R SC R = { = x [ R, R]} { : = R, Im > 0} Visto F ser analítica em C \ { i, i }, aplicando o Teorema dos Resíduos obtem-se F () d = πires(f, i C R ) 4
Dado que lim ( i e 1/ )F () = i/ 4i conclui-se que i/ é um polo simples e que Res(F, i/) = e 1/, e 4i CR F () d = π e 1/ Por outro lado π e 1/ = F () d = F () d + F () d C R I R SC R e atendendo à definição de I R Faendo R π e 1/ π e 1/ = = R R F (x) dx + F () d SC R F (x) dx + lim F () d R SC R A função F () = f()e i, em que 1 superior excepto em i/, e f() 1 4 1 4 +1 0 quando Por aplicação do lema de Jordan, podemos concluir que lim F () d = 0 R SC R e como tal Finalmente, visto x R e i x 4x + 1 dx = F (x) dx = π e 1/ é analítica no semi plano cos x 4x + 1 dx + i sen x e 1/ dx = π 4x + 1 5
concluindo-se que cos x e 1/ dx = π 4x + 1 6. Para cada p Z, calcule e classifique as singularidades da função p sen 1 Determine o(s) respectivo(s) resíduo(s). A função f é analítica em C \ {0}. Desenvolvendo em série de Laurent p ( 1 1 3! 3 + 1 5! 5... ) concluindo-se que 0 é uma singularidade essencial de f. Por análise da série conclui-se que 0 se p N Res(f, 0) = 0 se p 0 e p é ímpar 1 se p 0 e p é par p! 6. Determine a solução do problema de valores iniciais y = t ty y(0) = 1 indicando o intervalo máximo de existência da solução. Escrevendo a equação na forma y + ty = t 6
conclui-se que se trata de uma equação linear. Um factor integrante é µ(t) = e R (t) dt = e t Multiplicando todos os termos da equação por µ(t), obtem-se d dt (et y) = te t e t y = 1 et + C y(t) = 1 + Ce t Para determinar a solução do PVI usa-se o facto de y(0) = 1, o que implica C = 0. Como tal a solução do PVI é que está definida em R. y(t) = 1 7