Lista de Função Inversa, Bijeção e Paridade Etensivo Alfa Professor: Leandro (Pinda). (Udesc 0) A função f definida por f() é uma função bijetora, se os conjuntos que representam o domínio (D(f)) e a imagem (Im(f)) são: a) D(f) e lm(f) [, [ b) D(f) ],0] e lm(f) c) D(f) e lm(f) d) D(f) [0, [ e lm(f) [0, [ e) D(f) [0, [ e lm(f) [, [. (Epcar (Afa) 0) Considere as funções reais f e g f e que eiste a composta de g com tal que f dada por gof. Sobre a função g, é incorreto afirmar que ela é a) par. b) sobrejetora. g 0 c) tal que d) crescente se,. (Uft 00) Seja a um número real e f :, a, uma função definida por f() = m + 4m +, com m 0. O valor de a para que a função f seja sobrejetora é: a) - 4 b) - c) d) 0 e) 4. (Uepb 0) Sejam I. II. f() f(), 0 III. f(), 0 III. f() ( ) ( ) Classificando cada uma das funções reais acima em par, ímpar ou nem par nem ímpar, temos, respectivamente: a) par, par, ímpar, ímpar b) nem par nem ímpar, par, ímpar, ímpar c) par, ímpar, par, ímpar d) ímpar, par, ímpar, ímpar e) par, par, ímpar, nem par nem ímpar 5. (Ita 00) Sejam f, g: R R tais que f é par e g é impar. Das seguintes afirmações: I. f. g e impar, II. f o g e par, III. g o f e impar, é (são) verdadeira(s) a) apenas I. b) apenas II. c) apenas III. d) apenas I e II. e) todas. 6. (Espm 07) O conjunto imagem de uma função inversível é igual ao domínio de sua inversa. Sendo f : A B tal que f() uma função real inversível, seu conjunto imagem é: a) {} b) { } c) { } d) {0} e) {} 7. (Mackenzie 07) Se a função f : {} é 5 definida por f() e f ( ) é igual a a) b) 9 9 c) d) e) 5 4 f 8. (Eear 07) Sabe-se que a função invertível. Assim, a) b) 4 c) 6 d) f () é a sua inversa, então f() é 5 9. (Uece 07) A função real de variável real definida por f(), para é invertível. Sua inversa 4 4 g pode ser epressa na forma a b g(), c d onde a, b, c e d são números inteiros. Nessas condições, a soma a b c d é um número inteiro múltiplo de a) 6. b) 5. c) 4. d).
0. (Unicamp 06) Considere o gráfico da função y f() eibido na figura a seguir. O gráfico da função inversa a) b) y f () é dado por. (Ifce 06) Se é o conjunto dos números reais, a função f: dada por f() possui inversa a) f (). b) f (). c) d) e) f (). f (). f ().. (Uern 05) Considerando as funções f() e g(), o valor de k, com k, tal que f(g(k)) é a). b). c). d) 5. 4. (Upf 05) Assinale a opção que apresenta o gráfico de duas funções reais inversas. a) c) b) d) c). (Uece 06) A função real de variável real definida por f() é invertível. Se f é sua inversa, então, o valor de [f(0) f (0) f ( )] é a). b) 4. c) 9. d) 6.
d) e) 5. (Espce (Aman) 05) Considere a função bijetora f() e f :,,, definida por seja (a,b) o ponto de intersecção de f com sua inversa. O valor numérico da epressão a b é a). b) 4. c) 6. d) 8. e) 0.
4 Gabarito Resposta da questão : [E] Lembrando que uma função está bem definida apenas quando se conhece o domínio, o contradomínio e a lei de formação, vamos supor que o contradomínio da função seja o conjunto, e que o enunciado pede o maior subconjunto dos números reais para o qual f está definida. Desse modo, como f é uma função quadrática bijetiva, segue-se que D(f) [0, [ e, sendo y v a ordenada do vértice do gráfico de f, Im(f) [y v, [ [, [. Resposta da questão : g(f()) (f()) f() portanto g() = g() não é sobrejetora, pois seu conjunto imagem é 0, e seu contradomínio é o conjunto dos números reais. Resposta da questão : a deverá ser o y do vértice. ((4m) 4. m.) m Portanto, s = 4a 4. m 4m Resposta da questão 4: [I] f não é par nem ímpar. De fato, como não é par nem ímpar. f( ), ( ) segue-se que f( ) f() e f( ) f(). Portanto, f [II] f é par. Com efeito, f( ) f(). ( ) Por conseguinte, f é par. [III] f é ímpar. De fato, f( ) f(). Portanto, f é ímpar. [IV] f é ímpar. De fato, f( ) ( ) f(). Por conseguinte, f é ímpar. Resposta da questão 5: I. f(-).g(-) = - f().g() (função ímpar) II.f(g(-)) = f(-g()) = f(g()) ( função par) III.g(f(-)) = g(f()) ( função par) Apenas I e II estão corretas.
5 Resposta da questão 6: [E] Lembrando que é possível definir tantas funções quanto queiramos por meio da lei seja o conjunto dos números reais, tal que { }. Assim, temos y y y (y ) (y ) y. y f(), vamos supor que o domínio de f Portanto, sendo f () a lei da inversa de f, podemos afirmar que a imagem de f é o conjunto dos números reais y tal que y {}. Resposta da questão 7: Impondo f(), temos 5 9 4 5. Portanto, segue que 9 f ( ). Resposta da questão 8: Se f possui inversa, então queremos calcular tal que f(). Assim, vem. 5 Resposta da questão 9: [C] Se f(), então 4 y 4y y 4 (4y ) y y. 4y Portanto, temos g() e, assim, desde que 4 ( ) (4), podemos afirmar que a soma a b c d é um 4 número inteiro múltiplo de 4. Resposta da questão 0: [C] Lembrando que o gráfico de uma função e o de sua inversa são simétricos em relação à reta y, segue-se que o gráfico de y f () é o da alternativa [C].
6 Resposta da questão : [C] Tem-se que y y y (y ) y y. y Portanto, sendo f : {} {}, a inversa de f é f : {} {}, com f (). Daí, como f(0), f (0) e f ( ) 0, vem [f(0) f (0) f ( )] ( ( ) 0) 9. Resposta da questão : Determinando a função inversa da função f(), temos: f f () f () Resposta da questão : Calculando f(g()), tem-se: f(g()) ( ) f(g()) 6 f(g()) 6 Calculando a inversa de f(g()), tem-se: 6y y f(g()) 6 6 Por fim, substituindo k e resolvendo a equação proposta no enunciado, tem-se: k f(g(k)) k 6 k 5 6 Resposta da questão 4: Sabendo que o gráfico de uma função e sua inversa são simétricos em relação à reta y, podemos concluir que a única possibilidade, dentre as apresentadas, é f() 0 e g() log. Resposta da questão 5: Os pontos comuns de uma função com a sua inversa são da forma (a, a), portanto, para determinar estes pontos devemos considerar f() na função dada. Daí, temos: 0 [, ) ou. Logo, o ponto (a, b) pedido é (, ) e 4.