Incerteza: o básco Curso de especalzação em Fnanças e Economa Dscplna: Incerteza e Rsco Prof: Sabno da Slva Porto Júnor Sabno@ppge.ufrgs.br Introdução Até agora: conseqüêncas das escolhas dos consumdores são conhecdas com certeza. Nova suposção: consumdores e produtores tem apenas uma déa aproxmada dos resultados possíves e atrbuem probabldades para dstntos cenáros possíves. DECISÃO SOB INCERTEZA Probabldades (objetva e subjetva): permtem analsar decsão sob ncerteza. Aplcações: Mercado de seguros ampla-se o conjunto de commodtes. 2 [PPGE/UFRGS]
Perfl do tomador de rsco: A decsão por correr mas rsco e maxmzar ganhos (títulos na bolsa de valores) ou correr menos rsco e mnmzar os ganhos depende do perfl do tomador de rsco e de suas preferêncas pessoas. A teora da Utldade possblta ao tomador de decsão ncorporar ao processo decsóro suas preferêncas em relação ao rsco: aversão, neutraldade ou propensão ao rsco e outros fatores subjetvos. Para cada tomador de decsão uma função de utldade 3 Teora da Probabldade Mundo com certeza: Ação resultado certo = ocorre com certeza Agora: Mundo com ncerteza: Ação resultado ncerto = dferentes resultados possíves Se for possível atrbur probabldade postva para esses resultados ncertos é possível analsar decsão de rsco de forma semelhante a analse de decsões em jogos de azar. 4 [PPGE/UFRGS] 2
Teora da Probabldade Probabldade objetva: observável va expermento Ex: moeda não-vcada arremessada mutas vezes (000 a 0000 vezes) Moeda justa: p(ca)=p(co)= 50%. Obtém-se, portanto, uma dstrbução de probabldades sobre resultados que é objetva e sso permte fazer prevsões. 5 Teora da Probabldade Moeda Justa: Cara com probabldade ½ Coroa com probabldade ½ Dado justo: ponto pr /6 2 pontos pr /6 3 pontos pr /6 4 pontos pr /6 5 pontos pr /6 6 pontos pr /6 6 [PPGE/UFRGS] 3
Teora da Probabldade Probabldade subjetva: experênca; formação/pesqus (nformações a pror); crença. Ex: decdr entre dos atvos; decdr entre dos empregos; tratamento médco. Palpte do Gerente: Um Atvo para R$ 6 por ação com pr /3 e nada com pr zero. Outro Atvo paga R$ 3 com pr ½ e R$ com pr ½ Outro Gerente: tera outro conjunto de palptes. 7 O que devemos saber sobre probabldades? Somam Valor esperado Varânca Independênca 8 [PPGE/UFRGS] 4
O que devemos saber sobre probabldades?. Probabldades somam : Moeda: ½ + ½ = Dado: /6 + /6 + /6 + /6 + /6 + /6 = Atvos: /3 + 2/3 = Eventos são mutuamente exclusvos Exaurem todos os resultados possíves Apenas um evento ocorrerá 9 O que devemos saber sobre probabldades? 2. Valor esperado: valor médo dos resultados possíves. Num jogo jogado mutas vezes esse resultado é o esperado. Multplca-se cada resultado por sua probabldade e somam-se os produtos Aposta justa: o preço pago para partcpar do jogo (gamble) é gual ao valor esperado do jogo. 0 [PPGE/UFRGS] 5
E[A] = valor esperado do Atvo Se os atvos custam R$ 2, então, a aposta é justa: 2 E [ A ] = (6) + (0) = 2 3 3 E [ A2 ] = (3) + () = 2 2 2 Proposção: o valor esperado de um resultado certo (pr = ) é o própro valor do resultado. 3. Varânca: jogos dferentes com o mesmo valor esperado podem dferr na dspersão em relação a meda Varânca = é a soma da dferença ao quadrado entre os resultados possíves e o valor esperado da lotera, cada uma, multplcada por suas respectvas probabldades. 2 [PPGE/UFRGS] 6
Varânca: dspersão méda dos resultados em relação à méda. Var Var Var 2 2 + 3 3 6 8 3 3 2 2 = (3 2) + ( 2) 2 2 2 [ A ] = ( 6 2) ( 0 2) [ A ] = + = 8 [ A ], 0 2 = 3 4. Independênca Cada vez que o jogo é jogado a dstrbução de probabldades dos resultados é a mesma do jogo sendo uma únca vez. Resultados possíves são ndependentes: A ocorrênca de um evento não tem nfluênca sobre a probabldade de ocorrênca de outro evento. Toda vez que uma moeda justa é arremessada, a probabldade de ocorrer cara contnua sendo de ½ não mportando quantas coroas tenha ocorrdo ate então. 4 [PPGE/UFRGS] 7
Proposção: Se dos eventos são ndependentes então a probabldade de que ambos ocorram juntos é a multplcação de ambas as probabldades. Probabldade de obter cara e cara em dos arremessos sucessvos é: Pr(ca, ca) = (/2)(/2) = ¼ Pr(ca, co)= ¼ Pr(co, ca)= ¼ Pr(co, co)= ¼ 5 3 Arremessos: há 8 seqüêncas gualmente prováves Pr(ca, ca, ca)= (/2)(/2)(/2)= (/8) n-arremessos: Há 2 n seqüêncas gualmente prováves cada uma ocorrendo com probabldade (/2) n. Suposção: cada ação n-resultados ndependentes e dferentes. x = valor do - ésmo resultado p = probabld ade do - ésmo resultado ocorrerá. 6 [PPGE/UFRGS] 8
Propredades da probabldade n. p =, 0 = 2. pr ( x, x ) = j 3. E [ x ] n [ x ] = p ( x x ) 2 4. Var x = ( = n = p )( p x p ); n j = x = 2. 7 Função Utldade Esperada ou Funcao Utldade de von Neumann- Morgenstern. Lvro: Theory of Games and Economc Behavour Autores: John(y) Von Neumann e Oskar Morgenstern (944; 947) 8 [PPGE/UFRGS] 9
Paradoxo de São Petersburgo Voce deve pagar R$ 00 para jogar um dos seguntes jogos, qual voce escolhera? Jogo : Voce recebe de volta R$00. Jogo 2: arremessa-se uma Moeda justa e: Se sar Cara, voce ganha R$ 200. Se sar Coroa, voce ganha R$ 0. 9 Qual jogo, você escolhera? Jogo 3: Arremesso de um dado Justo que paga os seguntes premos: Se sar, voce ganha R$ 400 Se sar 2, voce ganha R$ 70 Se sar 3, voce ganha R$ 55 Se sar 4, voce ganha R$ 25 Se sar 5, voce ganha R$ 40 Se sar 6, voce ganha R$ 0 20 [PPGE/UFRGS] 0
Usando o crtéro do Valor Esperado: Todos os jogos têm valor esperado dêntco e gual a R$ 00. Nova questao: voce escolhera gualmente todos os jogos ou voce é ndferente aos tres jogos? Vamos calcular a varanca dos jogos: Jogo : varânca zero 2 2 Jogo 2: Var( jogo2) = ( 200 00) + (0 00) = 0. 000 2 2 2 Jogo 3: Var( jogo3) = 6 2 2 2 2 2 2 ( 300 + 30 + 45 + 75 + 60 + 90 ) = 8. 375 Portanto, você podera optar pelo jogo que é o que apresenta a menor varânca. 22 [PPGE/UFRGS]
Paradoxo de São Petersburgo Danel Bernoull (738) Matemátco suíço do século XVIII. Fo Introduzdo pelo seu prmo Ncolaus Bernoull em 73. Hstora do jogo: uma moeda justa é arremessada até que cara aparece pela prmera vez. O payoff do jogador depende do numero de arremessos antes de cara aparecer pela prmera vez. 23 Payoffs do jogo: Se cara aparece na a tentatva: R$ 2 (p=/2) Se cara aparece na 2a tentatva: R$ 4 (p=/4) Se cara aparece na 3a tentatva: R$ 8 (p=/8) Se cara aparece na 4a tentatva: R$ 6 (p=/6) ----------------------------------------------------------- Se cara aparece na n-ésma tentatva: R$ 2 n (p=/ 2 n ) 24 [PPGE/UFRGS] 2
Valor Esperado desse Jogo: VE ( jogo VE ( jogo VE ( jogo ) = 2 + 4 + 8 +... 2 4 8 = n ) 2 n n = 2 ) = + + + + +... = Paradoxo: nnguém pagara uma quantdade nfnta para jogar esse jogo proposto, mesmo esperando ganha uma fortuna. Alás, poucos pagaram pouco mas do que alguns reas para jogar esse jogo. Motvo: a varânca também é nfnta. E mutos preferem menos ncerteza a mas ncerteza. 25 Motvação para Utldade Esperada: Paradoxo de São Petersburgo: sugere que precsamos de outro conceto além do valor esperado para tomar decsão num ambente envolvendo Incerteza e Rsco. Usamos a Utldade Esperada (EU): que se consttu numa representação das preferêncas sob ncerteza em termos de valor esperado de um conjunto de utldades sobre os resultados ou conseqüêncas possíves de uma ação ou escolha. A função utldade assoca aos prêmos monetáros valores de uma quantdade abstrata chamada utldade de modo a representar o comportamento do tomador de decsão em relação ao rsco. 26 [PPGE/UFRGS] 3
Utldade Esperada U vn M = EU = { } pu( x) = Lnear em Probabldades (p ) n Passos necessáros: a. Defnr um conjunto de suposções razoáves que o índce de Utldade Esperada deve satsfazer. b. Construr um Índce de Utldade Esperada. 27 Utldade Esperada- Axomas báscos (suposções). Preferêncas sobre resultados possíves são completas, reflexvas e transtvas. Supor rank de resultados:. X = por resultado Subscrto ndca ordem de 2. Xn = melhor resultado preferênca 2. Loteras compostas podem ser reduzdas a loteras smples x~. A lotera composta tem a mesma probabldade fnal sobre resultados que a lotera smples. 28 [PPGE/UFRGS] 4
Exemplo de Lotera composta: reduconsmo Prmero jogo (gamble): Regras ou hstóra do jogo: Arremesse uma moeda: se CARA aparece, você deve arremessar outra moeda, se CARA aparece novamente você ganha R$,00. Se aparece COROA você ganha R$ 0,75. Se aparece coroa no prmero arremesso: você deve jogar um dado. Seu prêmo agora é R$ 0,0 por ponto no dado, ou seja, você ganha: R$ 0,0 Ponto; R$ 0,20 2 Pontos; (...); R$ 0,60 6 Pontos. 29 Fgura ou representação gráfca do jogo Game : Pr (ca)= Pr(co)= 05 0,5 P(ca,ca)= (/2)(/2) = (¼) chance de obter R$,00 P(ca,co)=(/2)(/2) = (/4) chance do obter R$ 0,75 Game 2: Coroa na prmera rodada: P(co, )= (/2)(/6) = (/2) chance de obter R$ 0,0 P(co, 2)= (/2)(/6) = (/2) chance de obter R$ 0,20 P(co, 3)= (/2)(/6) = (/2) chance de obter R$ 0,30 P(co, 4)= (/2)(/6) = (/2) chance de obter R$ 0,40 P(co, 5)= (/2)(/6) = (/2) chance de obter R$ 0,50 P(co, 6)= (/2)(/6) = (/2) chance de obter R$ 0,60 30 [PPGE/UFRGS] 5
Nova Lotera: reduzda Oferece: R$,00 com pr =/4 R$ 0,75 com pr= ¼ R$ 0,60 com pr= /2 R$ 0,50 com pr= /2 R$ 0,40 com pr= /2 R$ 0,30 com pr= /2 R$ 0,20 com pr= /2 R$ 0,0 com pr= /2 Fgura do jogo: Lotera composta 3 lotera reduzda roda da fortuna Grar a RODA DA FORTUNA: ganha o prêmo assocado com a quantdade mostrada onde o pontero para. Pedaços de pzza Probabldade da Lotera smples. Axoma 2: dz que o consumdor é ndferente entre joga o prmero ou segundo jogo. Os dos jogos propcam a mesma utldade. 32 [PPGE/UFRGS] 6
Segundo jogo: roda da fortuna 33 Utldade Esperada: axomas báscos 3. Axoma da contnudade: para cada resultado x entre x ex n o consumdor pode atrbur uma probabldade p, tal que ele é ndferente entre obter x com certeza e jogar uma lotera (que envolve obter x n com probabldade p ex com probabldade (- p )). Vamos chama-la de lotera x~ Notação : x~ = lotera x = ( x, x n p = probabld ade de sar o resultado ( - p ) = probabld ade de obter o resultado ) = resultados possíves da lotera. x x n 34 [PPGE/UFRGS] 7
Axoma da Substtutbldade: a lotera x~ x sempre pode ser substtuída por seu Equvalente certo (EC) x em qualquer outra lotera, pos o consumdor é ndferente entre eles. 5. Preferêncas sobre loteras são transtvas 6. Axoma da monotoncdade: se duas loteras têm 2 alternatvas t dêntcas, cada uma dferndo d em probabldades, então a lotera que dá maor probabldade para a alternatva mas preferda é preferda à outra lotera. px + p) x p x + ( p ) x sse p [ ] [ ] p n ( n 35 Indvíduo raconal: escolhe a alternatva de rsco que maxmza utldade esperada Proposção: se preferêncas sobre loteras satsfazem os axomas () a (6) então podemos assnalar números U(x ) assocados com x, tal que se compararmos 2 loteras L e L que oferecem probabldade (p...p n ) e (p...p n ) de obter os mesmos resultados, L será preferível a L sse: n pu ( x ) > pu ( x ) = n = 36 [PPGE/UFRGS] 8
Interpretações: I. A ordem de classfcação no rankng de Utldades Esperadas, reflete a ordem no rankng de classfcação sobre Loteras. II. Indvduo raconal: Maxmza Utldade esperada ao escolher alternatvas quem envolvem rsco ou ncerteza. 37 O Índce de Utldade de vn-m Forma de construção: 38 [PPGE/UFRGS] 9
) Constura o Rankng de todos os resultados possíves: x x 2 x3... x n x n Atrbua, ao resultado menos-preferdo, valor utldade zero: u(x )= 0; Atrbua, ao resultado mas-preferdo, valor utldade um: u(x n )= ; Atrbua, a todos os resultados ntermedáros possíves x um valor utldade p : 39 Resumo: U ( x ) 0 U ( x n U ( x ) ) p Onde: x = é um Equvalente Certo de uma lotera que gera o premo x n com probabldade p e x com probabldade p. Equvalente Certo: é a quantdade de dnhero pela qual o ndvduo é ndferente entre a lotera e a quantdade certa. 40 [PPGE/UFRGS] 20
Reforçando: x é o Equvalente Certo (EC) de uma lotera envolvendo x n com probabldade p e x com probabldade (-p ). Esse índce de utldade equvale a tomar valores esperados das utldades de x n e x usando as probabldades p e (-p ) assocadas com a lotera para a qual x é o EC: U ( x ) = pu ( xn) + ( p ) U ( x) = p + 0 = p (2) 4 Esse índce de utldade descrto em () e (2) é únco em transformações lneares ou afns: Uma transformação lnear preserva o EC. Consdere U(x ), então: V ( x ) = c + du ( x ) (3) Substtun V ( x ) = c + d.0 = c V ( x ) = c + d. = c + d n De (4) a Utldade do () em (3) : Esperada de x, dad o p V ( x ) = p ( c + d ) + ( p ) c = c + dp O valor de V(x ) é o mesmo da utldade transformada de x. Portanto, (5) mostra que quando avalamos a utldade esperada de x va transformação lneares das utldades de x e x n obtemos de volta a utldade transformada de x e sso sgnfca que transformações lneares preservam o EC. (4) (5) : 42 [PPGE/UFRGS] 2
Axoma da Independênca: Axoma da Independênca : a relação de preferêncas no espaço de loteras smples satsfaz o axoma da Independênca se para três loteras dstntas L, L' e L"pertencente ao espaço de Loteras,e tomando-se a dstrbução de Probabldades sobre resultados p [0,], temos que : se L L', então, p L + (- p )L" p L' + ( p ) L". Em palavras: Se combnarmos cada uma das duas loteras L e L com uma tercera lotera L, então a ordem das duas msturas resultantes não depende (ndependênca) da tercera lotera utlzada L. Ou seja, a ordem de preferêncas entre loteras L e L não se altera. 43 Comportamento em relação ao rsco Comportamento dos ndvíduos, que são defndos pela forma da UE:. Rsk averse: para uma rqueza constante um resultado certo é sempre preferível a uma lotera com o mesmo valor esperado, mas com alguma varânca postva 2. Rsk neutro: o ndvduo ndferente entre o resultadocertoealoterademesmovaloresperado. 3. Rsk lover: ndvduo prefere a lotera ao resultado certo. 44 [PPGE/UFRGS] 22
Aversão ao rsco 3 resultados possíves 2 ações que podem ser tomadas e que rendem os resultados com probabldades dferentes Resultado : R$ 50 U(50) = 30 Resultado 2: R$ 00 U(00) = 80 Resultado 3: R$ 50 U(50) = 0 (6) Ação A: rende R$ 00 e tem uma EU de 80: E{U(ação A)}= ().U(00)= 80. (7) Ação B: rende R$ 50 com pr. ½ e rende R$ 50 com pr. ½. 45 { ( ação B) } E U = U (50) + 2 E U 2 E U ( ação B) < E U ( ação A) 2 { ( ação B) } = (30 + 0) = 70 U (50) { } { } (8) Mesmo cada ação rendendo um payoff esperado de R$ 00, a Utldade Esperada da ação B é menor que a Utldade Esperada da ação A. Isso ocorre porque a função Utldade desse ndvduo é côncava. Questão: qual a forma R$ 00 U(00) = 80 funconal da função Utldade R$ 50 U(50) = 30 de Bernoull? R$ 50 U(50) = 0 Dca: é uma função Côncava 46 [PPGE/UFRGS] 23
Indvduo Avesso ao Rsco: Função Utldade U(x) côncava. $50 $00 $50 A EU do gamble 50/50 em [00+50] e [00-50] está no ponto médo da combnação lnear da utldade de R$ 50 e R$ 50. Essa EU = 70, é menor do que recebe R$ 00 com certeza, EU = 80. Proposção: ndvíduos que tem função utldade côncava são avessos ao rsco. 47 Aversão ao rsco: Este ndvduo, que é avesso ao rsco, estara dsposto a pagar a quantdade γ para evtar o rsco: Com um payoff de [00- γ] o ndvíduo obtém uma U(00- γ)= 70 e não tem que tomar qualquer rsco. Defnmos: γ = prêmo de rsco: é a quantdade que um ndvduo avesso ao rsco está dsposto a pagar para não correr rscos. [00- γ]= Equvalente certo 48 [PPGE/UFRGS] 24
Attudes em relação ao rsco: U (x) E{U(x)\ U x a x x + a x ã x x 4- a x-a x x + a x Rsk Neutro Rsk Averse Rsk Lover 49 Rsk Averse Utldade margnal dmnu com aumento da renda Prefere uma renda certa de 20 a uma lotera que oferece 0 com probabldade ½ e 30 com probabldade de ½. 50 [PPGE/UFRGS] 25
Rsk Lover A lotera propca mas utldade que o resultado certo (20). 0,5 5 [PPGE/UFRGS] 26