VE = (0.1)($100) + (0.2)($50) + (0.7)($10) = $27.

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1 Pindyck & Rubinfeld, Capítulo 5, Incerteza :: EXERCÍCIOS 1. Considere uma loteria com três possíveis resultados: uma probabilidade de 0,1 para o recebimento de $100, uma probabilidade de 0,2 para o recebimento de $50 e uma probabilidade de 0,7 para o recebimento de $10. a. Qual é o valor esperado dessa loteria? O valor esperado, VE, da loteria é igual à soma dos retornos ponderados por suas probabilidades: VE = (0.1)($100) + (0.2)($50) + (0.7)($10) = $27. b. Qual é a variância dos resultados dessa loteria? A variância, σ 2, é a soma dos quadrados dos desvios da média, $27, ponderados por suas probabilidades: σ 2 = (0.1)(100-27) 2 + (0.2)(50-27) 2 + (0.7)(10-27) 2 = $841. c. Quanto uma pessoa neutra a riscos pagaria para participar dessa loteria? Uma pessoa neutra a riscos pagaria o valor esperado da loteria: $ Suponha que você tenha investido em uma nova empresa de computadores cuja lucratividade dependa de: (1) aprovação ou rejeição, por parte do Congresso dos EUA, de um imposto de importação que aumente o preço de venda dos computadores japoneses, e (2) crescimento lento ou rápido da economia dos EUA. Quais seriam os quatro cenários (mutuamente exclusivos) com os quais você deveria se preocupar? Os quatro cenários mutuamente exclusivos podem ser representados da seguinte forma: Taxa de crescimento baixa Taxa de crescimento alta O Congresso aprova a tarifa Cenário 1: Baixo crescimento com tarifa Cenário 3: Crescimento rápido com tarifa O Congresso não aprova a tarifa Cenário 2: Baixo crescimento sem tarifa Cenário 4: Crescimento rápido sem tarifa 3. Richard está decidindo sobre a aquisição de um bilhete da loteria estatal. Cada bilhete custa $1, e a probabilidade dos seguintes prêmios é apresentada na tabela abaixo: Probabilidade Retorno

2 0,50 $0,00 0,25 $1,00 0,20 $2,00 0,05 $7,50 a. Qual seria o valor esperado do payoff de Richard caso ele adquirisse um bilhete de loteria? Qual seria a variância? O valor esperado da loteria é igual à soma dos retornos ponderados por suas probabilidades: VE = (0,5)(0) + (0,25)($1,00) + (0,2)($2,00) + (0,05)($7,50) = $1,025 A variância é a soma dos quadrados dos desvios da média, $1,025, ponderados por suas probabilidades: σ 2 = (0,5)(0-1,025) 2 + (0,25)(1-1,025) 2 + (0,2)(2-1,025) 2 + (0,05)(7,5-1,025) 2, ou σ 2 = $2,812. b. O apelido de Richard é Rick sem risco. Trata-se de uma pessoa extremamente avessa a riscos. Ele adquiriria o bilhete? Um indivíduo extremamente avesso a riscos provavelmente não compraria o bilhete, apesar do ganho esperado ser maior que o preço, $1,025 > $1,00. A diferença no retorno esperado não seria suficiente para compensar Rick pelo risco de aquisição do bilhete. Por exemplo, se sua riqueza fosse $10 e ele comprasse um bilhete de $1,00, ele obteria, sob cada um dos possíveis cenários, $9,00, $10,00, $11,00, e $16,50, respectivamente. Supondo que sua função de utilidade fosse U = W 0,5, onde W é sua riqueza, sua utilidade esperada seria: EU = ( 0.5) ( )+ ( 0.25)10 ( 0.5 )+ ( 0.2)11 ( 0.5 )+ ( 0.05)16.5 ( 0.5 )= que seria menor que a utilidade obtida sem o bilhete, 3.162: (U(10) = 10 0,5 = 3,162). Ele preferiria uma renda certa igual a $10. c. Suponha que tenha sido oferecido a Richard um seguro contra a perda de qualquer quantia. Se ele adquirisse bilhetes de loteria, qual valor ele estaria disposto a pagar para segurar sua aposta? Se Richard comprasse tickets, seu ganho esperado seria $1.025 menos o montante pago de $1.000, ou seja, $25. Possivelmente, ele não compraria nenhum seguro, tendo em vista que o retorno esperado, $1.025, seria maior que o custo, $1.000; a aquisição de um número elevado de bilhetes poderia funcionar como um seguro indireto para ele. Entretanto, dado que Richard é avesso a riscos, ele possivelmente estaria disposto a comprar o seguro. O montante que ele estaria disposto a pagar para evitar o

3 risco seria dado pelo prêmio de risco. Veja a figura 5.4 no texto. Para calcular o prêmio de risco, é necessário conhecer a função de utilidade de Richard. Se a função de utilidade fosse U = W 0,5, a utilidade esperada associada à aquisição dos bilhetes de loteria seria: EU = ( 0.5) ( )+ ( 0.25)1000 ( 0.5 )+( 0.2) ( )+ ( 0.05) ( )= que seria menor que a utilidade associada à sua riqueza certa de $1000, dada por U=1000 0,5 =31,62. Para calcular o prêmio de risco, é necessário, primeiro, calcular o nível de renda que garantiria a Richard a utilidade de 21,18, que é $448,59. Ele estaria, portanto, disposto a pagar até $1000-$448,59=$551,41 para segurar sua aposta. d. A longo prazo, levando em consideração o preço do bilhete de loteria e as informações da tabela anterior sobre probabilidade/retorno, o que você imagina que o governo faria a respeito dessa loteria? No longo prazo, a loteria irá à falência! Dado o preço do bilhete e as probabilidades envolvidas, a loteria é deficitária. O governo deveria aumentar o preço do bilhete ou reduzir a probabilidade dos ganhos positivos. 4. Suponha que um investidor esteja preocupado com uma escolha de investimentos envolvendo três alternativas possíveis, cujas respectivas probabilidade e retornos são os seguintes: Probabilidade Retorno 0,2 $100 0,4 50 0,4-25 Qual é o valor esperado do investimento incerto? Qual é sua variância? O valor esperado do retorno nesse investimento é VE = (0,2)(100) + (0,4)(50) + (0,4)(-25) = $30, A variância é σ 2 = (0,2)(100-30) 2 + (0,4)(50-30) 2 + (0,4)(-25-30) 2 = $ Você é um corretor de seguros e deve preencher uma apólice para um novo cliente cujo nome é Sam. A empresa de Sam, a Sociedade para Alternativas Criativas para a Maionese (SACM), está trabalhando no desenvolvimento de um substituto para a maionese contendo baixos teores de gordura e colesterol, que será fornecido à indústria de condimentos de sanduíche. Esta última pagaria altas somas em dólares para o primeiro que inventasse um substituto para a

4 maionese. A SACM tem para você o aspecto de uma empresa de alto risco. Você já calculou os possíveis retornos de Sam e os apresentou na tabela a seguir. Probabilidade Retorno 0,999 -$ (Sam vai à falência) 0,001 $ (Sam é bem-sucedido e vende sua fórmula) a. Qual é o retorno esperado do projeto de Sam? Qual é sua variância? O retorno esperado, ER, do investimento é ER = (0,999)( ) + (0,001)( ) = $ A variância é σ 2 = (0,999)( ) 2 + (0,001)( ) 2, ou σ 2 = b. Qual seria o maior valor que Sam estaria disposto a pagar pelo seguro? Suponha que ele seja neutro a riscos. Tendo em vista que Sam é neutro a riscos e o resultado esperado é $1.000, Sam não está disposto a contratar o seguro. c. Suponha que você tenha descoberto que os japoneses estão na iminência de lançar seu próprio substituto para a maionese já no próximo mês. Sam não dispõe dessa informação, sendo que acaba de recusar sua oferta final de $1.000 para fazer o seguro. Caso Sam venha lhe dizer que a SACM está a apenas seis meses da conclusão do projeto, você, conhecedor dos fatos relacionados aos japoneses, aumentaria ou reduziria o valor do prêmio da apólice em outra eventual proposta que viesse a fazer a ele? Baseando-se nas informações de que dispõe, Sam aceitaria sua proposta? A entrada dos japoneses no mercado reduz a probabilidade de Sam obter um payoff positivo. Por exemplo, supondo que a probabilidade do payoff de 1 bilhão de dólares caia para zero, o resultado esperado é: (1.0)(-$ ) + (0.0)(($ ) = -$ Logo, você deveria aumentar substancialmente o valor do prêmio da apólice. Contudo, por não saber da entrada dos japoneses no mercado, Sam continuaria a recusar suas propostas de seguro. 6. Suponha que a função de utilidade de Natasha seja expressa por: u(i) = I 0,5, na qual I representa sua renda anual em milhares de dólares. a. Natasha é amante do risco, neutra a riscos, ou avessa a riscos? Explique.

5 Natasha é avessa a riscos. Isso pode ser verificado da seguinte forma. Suponha que ela tenha $ e lhe seja oferecida uma aposta na qual ela ganha $1.000 com probabilidade 0,5 e perde $1.000 com probabilidade 0,5. A utilidade associada a $ é 3.162, (u(i) = 10 0,5 = 3.162). A utilidade esperada da aposta é: EU = (0,5)(9 0.5 ) + (0,5)( ) = < logo, ela não aceitaria a aposta. Se ela fosse neutra a riscos, ela seria indiferente entre os $ e a aposta; e se fosse amante do risco, ela preferiria a aposta. Sua aversão a riscos também pode ser verificada pela representação gráfica da função de utilidade (veja a Figura 5.6), que mostra que a função apresenta utilidade marginal decrescente. (Alternativamente, observe que a segunda derivada da função é negativa, o que implica utilidade marginal decrescente.) Utilidade 5 U (I ) Renda (em $1000) Figura 5.6 b. Suponha que Natasha atualmente esteja recebendo uma renda de $ (I = 10), podendo com certeza obter a mesma renda no ano que vem. Ela recebe, então, uma oferta para um novo emprego com rendimentos de $16.000, com probabilidade de 0,5 e rendimentos de $5.000, com probabilidade de também 0,5. Ela deveria assumir o novo emprego? A utilidade de seu salário atual é 10 0,5, ou seja, A utilidade esperada do novo emprego é EU = (0,5)(5 0,5 ) + (0,5)(16 0,5 ) = 3.118,

6 que é menor que Logo, ela recusaria o novo emprego. c. No item (b), Natasha estaria disposta a adquirir um seguro para poder se proteger contra a renda variável associada ao novo emprego? Em caso afirmativo, qual o valor que estaria disposta a pagar por tal seguro? (Sugestão: Qual é o prêmio de risco?) Supondo que Natasha aceitasse o novo emprego, ela estaria disposta a pagar um prêmio de risco igual à diferença entre $ e o nível de renda certa associado à utilidade da aposta, de modo a garantir um nível de utilidade igual a Sabemos que a utilidade da aposta é igual a Inserindo esse valor na sua função de utilidade, obtemos = I 0.5, e resolvendo para I encontramos a renda associada à aposta de $ Logo, Natasha estaria disposta a pagar pelo seguro o valor dado pelo prêmio de risco: $ $9.722 = $ Desenhe uma função de utilidade sobre a renda u(i) capaz de satisfazer a condição de que um determinado consumidor seja apreciador de risco quando sua renda é baixa, porém se torne avesso a riscos quando sua renda é alta. Você poderia explicar a razão pela qual tal função de utilidade seria capaz de descrever razoavelmente bem os gostos de uma pessoa? Considere um indivíduo que necessita de determinado nível de renda, I*, para sobreviver. Um aumento na renda além de I* apresentará utilidade marginal decrescente. Abaixo de I*, o indivíduo será amante do risco e aceitará apostas muito arriscadas com o objetivo de obter aumentos de renda significativos. Acima de I*, o indivíduo comprará seguro contra possíveis perdas. Utilidade U (I ) I* Renda Figura 5.7

7 8. Um município está estudando o valor mais adequado para o gasto com parquímetros. As seguintes informações encontram-se à disposição do administrador municipal: i. A contratação de um funcionário para fazer a medição custa $ por ano. ii. Havendo uma pessoa contratada para o monitoramento, a probabilidade de um motorista ser multado cada vez que estacione ilegalmente é igual a 0,25. iii. Havendo duas pessoas, a probabilidade é de 0,5; se forem três, a probabilidade passa para 0,75; e se forem quatro pessoas, a probabilidade é igual a 1. iv. A multa atualmente cobrada por estacionamento além do tempo permitido é de $20, havendo duas pessoas contratadas para efetuar o monitoramento dos medidores. a. Suponha que todos os motoristas sejam neutros a riscos. Qual a multa que você estabeleceria para o estacionamento ilegal e quantas pessoas contrataria para o monitoramento (1, 2, 3, ou 4) a fim de, com o mínimo custo, poder atingir os atuais níveis de desencorajamento ao estacionamento ilegal? Se os motoristas são neutros a riscos, seu comportamento depende apenas da multa esperada. Com duas pessoas monitorando os estacionamentos, a probabilidade de detecção do estacionamento ilegal é 0,5 e a multa é $20. Logo, a multa esperada é $10 = (0,5)($20). A mesma multa esperada pode ser obtida através da contratação de apenas um funcionário, aumentando-se a multa para $40, da contratação de três funcionários, diminuindo-se a multa para $13,33, ou da contratação de quatro funcionários, diminuindo -se a multa para $10. Supondo que o único custo a ser minimizado seja o custo de contratação dos funcionários responsáveis pelo monitoramento dos estacionamentos, isto é, $ por ano, você deveria minimizar o número de funcionários, contratando apenas um funcionário e aumentando a multa para $40. b. Agora suponha que os motoristas sejam substancialmente avessos a riscos. Como você modificaria sua resposta para a questão (a)? Se os motoristas são avessos a riscos, a utilidade de um valor obtido com certeza é maior do que a utilidade de um valor esperado igual ao valor certo, o que significa que eles se esforçarão mais do que motoristas neutros a riscos para evitar uma multa. Logo, uma multa inferior a $40 seria suficiente para manter o atual nível de desincentivo ao estacionamento ilegal.

8 c. (Para discussão) O que ocorreria se os motoristas pudessem fazer seguros contra o risco de multa por estacionamento ilegal? Seria de interesse público a autorização para que houvesse tal modalidade de seguro? Os motoristas podem proceder de várias formas com o objetivo de se proteger do risco das multas por estacionamento ilegal; por exemplo, eles podem estacionar longe de seu destino, em local sem parquímetro, ou podem utilizar o transporte público. Uma companhia de seguro privada poderia oferecer uma apólice de seguro que protegesse os motoristas contra o risco das multas por estacionamento ilegal, cujo prêmio dependeria da probabilidade de cada motorista ser multado e do custo de oportunidade desse serviço. (Observação: um seguro total geraria problemas de risco moral, conforme será discutido no Capítulo 17.) A política pública deve procurar maximizar a diferença entre os benefícios e os custos para todas as partes. Dados os custos de transação envolvidos, a oferta de seguro privado pode não ser a solução ótima. Uma solução alternativa seria a oferta de outro tipo de seguro, como a venda de adesivos para estacionamento; os automóveis estacionados ilegalmente deveriam ser multados. 9. Um investidor moderadamente avesso a riscos investe 50% de sua carteira em ações e os outros 50% em títulos do Tesouro, considerados ativos sem risco. Mostre de que forma cada um dos eventos abaixo afetaria a linha de orçamento do investidor e a proporção de sua carteira investida em ações: a. O desvio padrão do retorno das ações aumenta, mas seu retorno esperado permanece inalterado. Conforme a seção 5.4, a equação da linha do orçamento é R p = R R m f σ σ p + R f, m onde R p é o retorno esperado da carteira, R m é o retorno esperado do ativo arriscado, R f é o retorno esperado do ativo sem risco, σ m é o desvio padrão do retorno do ativo arriscado, e σ p é o desvio padrão do retorno da carteira. A linha do orçamento mostra a relação positiva entre o retorno da carteira, R p, e o desvio padrão do retorno da carteira, σ p. No caso em questão, o aumento do desvio padrão do retorno das ações, σ m, torna a linha do orçamento menos inclinada, de modo que, para qualquer nível de retorno da carteira, o desvio padrão associado ao retorno aumenta. Logo, a proporção da carteira investida em ações deve diminuir.

9 b. O retorno esperado das ações aumenta, mas seu desvio padrão permanece inalterado. O aumento do retorno esperado das ações, R m, torna a linha do orçamento mais inclinada, de modo que, para qualquer nível de desvio padrão do retorno da carteira, σ p, o retorno aumenta. Logo, a proporção da carteira investida em ações deve aumentar. c. O retorno dos títulos do Tesouro aumenta. Nesse caso, ocorre um aumento de R f, tal que a linha do orçamento se torna menos inclinada e se desloca para cima. Em conseqüência, a proporção da carteira investida em ações pode aumentar ou diminuir. Por um lado, os títulos do Tesouro apresentam retorno mais elevado e são, portanto, mais atrativos. Por outro lado, dado o maior retorno de cada título, o investidor pode obter, a partir de uma menor quantidade de títulos, o mesmo fluxo total de pagamentos que recebia antes. Por essa razão, o investidor pode estar disposto a direcionar mais recursos para o ativo arriscado. O resultado final depende das preferências específicas do investidor, bem como das magnitudes dos retornos dos dois ativos. Uma situação análoga ocorre na determinação do nível de poupança quando a taxa de juros aumenta: por um lado, a poupança poderia aumentar devido ao maior retorno; por outro lado, ela poderia diminuir pelo fato de que, a partir de um menor montante de poupança, o consumidor poderia auferir o mesmo nível de renda no futuro.