Investimentos e Mercados Financeiros

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1 MESTRADO EM CONTABILIDADE, FISCALIDADE E FINANÇAS EMPRESARIAIS 1º SEMESTRE 2007/2008 Investimentos e Mercados Financeiros Caderno de Exercícios nº3 Escolha da Carteira Óptima Raquel M. Gaspar

2 1 Teoria da Utilidade num contexto de certeza Exercicio 1.1. Considere que existem dois períodos de tempo e que é possível emprestar e pedir emprestado à taxa juro de 10%. Partindo do pressuposto de que dispõe de $5, 000 por período. Qual é o seu conjunto de oportunidades? Represente-o graficamente. Exercicio 1.2. Um aluno finalista do ISEG tem duas oportunidades de emprego em tudo semelhantes mas com diferentes distribuição de salário durante os primeiros 2 períodos. Período 1 Periodo 2 Emprego A Emprego B Considere que apenas se pode investir no activo sem risco e que a taxa de juro no mercado é de 5%. Qual dos empregos o aluno deve escolher? Exercicio 1.3. Considere a seguinte função que representa a utilidade de um agente relativamente aos consumos no período 1, C 1, e período 2, C 2, U(C 1,C 2 )=C 1 + C 2 + C 1 C 2. (1) Represente graficamente as curvas de indiferença U = 50 e U = 100. Exercicio 1.4. Considere a função de utilidade em (1) e o conjunto de oportunidades do Exercício 1.1. Determine o par de consumo óptimo. Exercicio 1.5. Num modelo de dois períodos, pressuponha que pode emprestar e pedir emprestado à taxa de 5% e que dispõe de um rendimento por período de $50. a. Determine o conjunto de oportunidades. b. Desenhe as suas curvas de indiferença. Exercicio 1.6. Imagine que pode emprestar à taxa de juro de 5%, mas que só pode pedir emprestado à taxa de 10%. O seu rendimento é de $100 por período. a. Qual o máximo que pode consumir em cada período? b. Qual é o conjunto de oportunidades? 1

3 2 Escolha num contexto de incerteza Exercicio 2.1. Considere os seguintes investimentos alternativos. Invest.A Invest.B Invest.C V. Monet. Prob. V. Monet. Prob. V. Monet. Prob. 5 1/3 4 1/4 1 1/5 6 1/3 7 1/2 9 3/5 9 1/3 10 1/4 18 1/5 a. Utilizando a função de utilidade do investidor 1 qual seria o investimento preferido? U(W )=W 0.5W 2 (2) b. Imagine agora que existe um segundo investidor com função de utilidade dada por Será que concordaria com a escolha do primeiro? U(W )= 1 W (3) c. No caso do investimento B, a probabilidade dos payoffs 4 e 10 é 1/4. Quanto é que estas probabilidades teriam que ser para que o investidor 1 fosse indiferente entre os investimentos A e B? d. Considerando agora apenas os investimentos B e C. Qual o montante mínimo que para que teria que se alterar o payoff the 1 por forma a que estes investimentos fossem indiferentes para o investidor 2? Exercicio 2.2. Considere novamente a função de utilidade (3). a. Estude as suas características em termos aversão absoluta e relativa face ao risco. Interprete. b. Quais as outras propriedades desta função de utilidade? Exercicio 2.3. Supondo que a função de utilidade de determinado investidor é dada por U(w) =ae bw, sendo a e b constantes. De que sinal devem ser a e b para que se considere que este investidor é avesso face ao risco e prefere mais a menos? Exercicio 2.4. Considere que a função utilidade da riqueza W de um agente é dada pela seguinte expressão U(W )=50W 1 2 W 2. Considere também os seguintes projectos de investimento: 2

4 X Y Valor Monetário Probabilidade Valor Monetário Probabilidade a. Represente graficamente a função utilidade. b. Caracterize o comportamento do agente face ao risco. c. Diga qual dos projectos o agente escolheria. d. Qual é o prémio de risco associado a cada um dos projectos? Exercicio 2.5. Um investidor deseja efectuar uma aplicação no mercado financeiro. A sua atitude em relação ao risco pode ser resumida com a ajuda da sua função de utilidade. Para construir esta função ele fixa duas taxas de rendimento arbitrárias às quais afecta dois valores: 0 e 10 na escala das utilidades. Taxas de Rendimento Nível de utilidade 0% 0 10% 10 Para além disso, ele considera que os equivalentes certos dos projectos X, Y e Z são respectivamente 10%, 20% e 10%, com as seguintes distribuições de rendimento: X Y Z Tx.Rend. Prob. Tx. Rend. Prob. Tx Rend. Prob. 0% % % % % % 0.8 a. Qual a atitude do investidor em relação ao risco? b. Quais os fundamentos teóricos desta análise? Exercicio 2.6. Considere a seguinte função de utilidade, U(W )=2+4lnW a. Determine os coeficientes de aversão absoluta e relativa ao risco e interprete os resultados. b. Considere a seguinte informação relativa à riqueza final esperada resultante da participação nos projectos de investimento X, Y, Z E X [W ]=100 E Y [W ]=60 E Z [W ]=70. Admita a seguinte ordenação dos projectos de investimento X Y Z, obtida mediante a utilização da função de utilidade. Indique a nova ordenação dos três projectos caso se recorra à função de utilidade U(W )=8lnW. (Obs: esta função de utilidade é uma transformação linear da função de utilidade inicial.) 3

5 Exercicio 2.7. Um dado investidor tem a seguinte função de utilidade U(W )=W 6W 2 sendo W< 1 12 a. Classifique este investidor quando ao seu perfil de risco e esboce, no plano risco/ rendibilidade esperada, a forma das suas curvas de indiferença. Justifique. b. Determine a aversão absoluta e a aversão relativa face ao risco deste investidor. c. Explique as diferenças entre as duas medidas de aversão ao risco referidas na alínea anterior. Exercicio 2.8. Considere a informação sobre os seguintes activos: Activos Ri σ i Matriz σ 1 A 8% 10% B 12% 20% C 15% 25% F 4% 0% O activo A é independentes dos outros e a correlação entre B e C é d e 0.6. Determine: a. A composição da carteira óptima de mercado. b. O risco e a rentabilidade da carteira óptima de mercado. c. A parte do risco que se reduz pelo efeito de diversificação da carteira da alínea anterior. d. Um investidor tem euros para aplicar. Sabendo que ele tem um perfil de risco dado pela função R i =0.5σ σ como deverá aplicar o seu dinheiro e qual a sua rendibilidade? e. A composição e a rentabilidade da carteira composta pelo activos A e B com um nível de risco de 9.22%. f. A composição e o risco da carteira composta pelo activos A e B com um nível de rendibilidade de 11% g. Escreva a expressão da linha do mercado de capitais. 4

6 3 Formas alternativas de selecção de carteiras Exercicio 3.1. Utilizando o critério da média geométrica: a. Determine qual seria o investimentos escolhido no caso do Exercício 2.1. b. Explique quais as razões que poderão estar por detrás de uma decisão deste tipo. Exercicio 3.2. Suponha que tem as seguintes alternativas para investimento. A B C Prob. Payoff Prob. Payoff Prob. Payoff 0.2 4% 0.1 5% 0.4 6% 0.3 6% 0.3 6% 0.3 7% 0.4 8% 0.2 7% 0.2 8% % 0.3 8% % 0.1 9% a. O que se pode dizer, sobre a escolha de investimento, utilizando o critério da dominância estocástica de primeira e segunda ordem? b. Se R L = 5%, qual é o melhor investimento de acordo com o critério safety first de Roy? c. Se α = 10%, qual é o melhor investimento de acordo com o critério safety first de Kataoka? d. Se R L =5%eα = 10%, qual é o melhor investimento de acordo com o critério safety first de Telser? e. Utilizando o critério da média geométrica das rendibilidades qual o investimento que seria escolhido? Exercicio 3.3. Considere que as rendibilidades de 3 activos A, B e C seguem distribuições normais, sendo que R A = 10%, σ A = 15%, R B = 12%, σ B = 17%, R C = 15% e σ C = 30%. a. O que se pode dizer, sobre a escolha de investimento, utilizando o critério da dominância estocástica de primeira e segunda ordem? b. Se R L = 5%, qual é o melhor investimento de acordo com o critério safety first de Roy? c. Se α = 10%, qual é o melhor investimento de acordo com o critério safety first de Kataoka? d. Se R L =5%eα = 10%, qual é o melhor investimento de acordo com o critério safety first de Telser? e. Qual o melhor investimento se o objectivo for minimizar o VaR com α =2.5%? 5

7 4 Alargamento do Universo de Selecção Exercicio 4.1. O que entende por diversificação? Explique o efeito da diversificação internacional da carteira de activos de um investidor. (Obs: Considere N activos). Exercicio 4.2. Considerem-se as seguintes rendibilidades. Período EUA UK Câmbio* ($/ ) 1 10% 5% % -5% % 15% % 8% % 10% * Câmbio no início do período a. Qual é a rendibilidade média em cada mercado do ponto de vista de um investidor americano? E se o investidor for inglês? b. Qual é o desvio padrão das rendibilidades do ponto de vista de um investidor americano? E se o investidor for inglês? Exercicio 4.3. Um investidor dos EUA, que pode emprestar e pedir emprestado à taxa de juro de 6%, deseja saber quais dos seguintes mercados são atractivos: Áustria, França, Japão, Reino Unido, e os próprios EUA. Como analista de carteiras dispõe da seguinte informação que pode utilizar para fundamentar a sua resposta. O rendimento esperado de activos em diferentes países é dado pela tabela baixo. Mercado Rendibilidade Esperada (%) 1. Áustria França Japão Reino Unido Estados Unidos 20 Os coeficientes de correlação históricos são considerado uma boa estimativa para as correlações futuras, sendo a matriz das correlações históricas dada por: ρ

8 Finalmente, o risco, do ponto de vista de um investidor americano, em cada país encontra-se resumido na seguinte tabela. Acções Risco Domestico Risco Cambial Risco Total Índice peso igual (s/ EUA) Índice peso por valor (s/eua) Obrigações Risco Domestico Risco Cambial Risco Total 1. NA NA NA Índice peso igual (s/ EUA) Índice peso por valor (s/eua) Títulos do Tesouro Risco Domestico Risco Cambial Risco Total 1. NA NA NA Índice peso igual (s/ EUA) Índice peso por valor (s/eua) Exercicio 4.4. Considere novamente os dados do Exercício 4.3. Qual é a carteira de risco mínimo constituída pelo Índice peso por valor e: a. Acções americanas quando ρ I/AUS = b. Obrigações Americanas quando ρ I/OUS = c. Títulos do tesouro Americanos quando ρ I/TUS =