Retorno e risco de carteiras de investimento

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1 Retorno e risco de carteiras de investimento 1

2 OBJETIVOS DA UNIDADE DE ESTUDO Compreender o processo de avaliação do risco de uma carteira. Definir e mensurar a covariancia entre duas variáveis Definir e mensurar a correlação entre duas variáveis Quantificar o peso da carteira. Definir e mensurar o retorno de uma carteira. Definir e mensurar o risco de uma carteira Descrever o papel das características e objetivos do investidor e os objetivos e políticas da carteira na construção de uma carteira de investimento. 2

3 ABORDAGEM CONCEITUAIS BÁSICAS 3

4 Até agora, todos os conceitos que foram analisados eram voltados para investimento em um único ativo. Por exemplo você aplicava seus recursos no Ativo 1 ou no Ativo 2, dependendo de seu retorno desejado e de sua propensão a assumir riscos. Esse seu investimento, representa a sua carteira de investimentos, ou seja seu conjunto de investimentos. Carteiras ou Portifólios de Investimentos representam então, o conjunto de investimentos de uma pessoa física ou jurídica 4

5 Na avaliação de investimentos que foi exposto até o presente foi medido o risco e o retorno do investimento de um ativo isolado. Esta é uma situação bastante hipotética pois raramente um investidor possui apenas um ativo em seu portfólio. O caso comum, é que os investidores possuam investimentos em diversos ativos, como forma de diminuir seu risco. Não se deve colocar todos os ovos na mesma cesta. 5

6 Mesmo que se aplique os seus recursos em um investimento seguro e de baixo risco, por exemplo Caderneta de Poupança, ainda assim se corre riscos significativos. O investidor brasileiro sofreu com a tablita, na época do Plano Cruzado, foi vítima de vários planos heterodoxos e viu seu dinheiro ser confiscado, no governo Collor O investidor no Brasil foi muito judiado... Trecho da matéria intitulada, A era da paciência, publicada pela Revista Exame em

7 Representação Gráfica Risco (desvio-padrão) X Retorno-Ativo 1 0,00 2,00 4,00 6,00 8,00 10,00 12,00 14,00 16,00 7

8 Representação Gráfica Risco (desvio-padrão) X Retorno-Ativo 2 0,00 2,00 4,00 6,00 8,00 10,00 12,00 14,00 16,00

9 Demonstração de cálculo do risco e retorno do Ativo 1 Períodos Ativo 1 $ Variação % Média % Distância da Média % Distância da Média² % 1 15, ,00-13,33 3,52-16,85 284, ,50 26,92 3,52 23,40 547, ,00 9,09 3,52 5,57 31, ,20 6,67 3,52 3,15 9, ,00-11,46 3,52-14,98 224, ,00 0,00 3,52-3,52 12, ,00-11,76 3,52-15,28 233, ,00 20,00 3,52 16,48 271, ,00 5,56 3,52 2,04 4,14 Soma 0, ,77 Média 3,52 202,34655 Raiz 14,224857

10 Demonstração de cálculo do risco e retorno do Ativo 2 Períodos Ativo 2 $ Variação % Média % Distância da Média % Distância da Média² % 1 8,50 2 8,00-5,88 0,36-6,24 38,95 3 7,90-1,25 0,36-1,61 2,59 4 7,60-3,80 0,36-1,16 17,28 5 8,10 6,58 0,36 3,59 38,69 6 8,30 2,47 0,36 2,17 4,45 7 8,60 3,61 0,36 5,81 10,60 8 9,00 4,65 0,36 4,29 18,42 9 8,45-6,11 0,36-6,41 41, ,70 2,96 0,36 2,60 6,76 Soma 0,00 179,60 Média 0,36 0, Raiz 4,

11 Então pode-se escrever a relação de retorno da carteira, como: r = X r + p 1 1 X 2 r 2 Dicionário das Variáveis r p X r 1 X r 2 1 = = 2 = = = Retorno esperado da carteira de investimentos Proporção dos recursos investidos no ativo 1 Retorno esperado do ativo 1 Proporção dos recursos investidos no ativo 2 Retorno esperado do ativo 2 11

12 O cálculo do retorno médio, dia a dia é: (1) (2) (3)=0,5*(2) (4) (5) (6)=0,5*(5) (7)=(3)+(6) Períodos Ativo 1 $ Variação % 50% investido Ativo 2 $ Variação % 50% investido Carteira ,00 8, ,00-13,33-6,67 8,00-5,88-2,94-9, ,50 26,92 13,46 7,90-1,25-0,62 12, ,00 9,09 4,55 7,60-3,80-1,90 2, ,20 6,67 3,33 8,10 6,58 3,29 6, ,00-11,46-5,73 8,30 2,47 1,23-4, ,00 0,00 0,00 8,60 3,61 1,81 1, ,00-11,76-5,88 9,00 4,65 2,33-3, ,00 20,00 10,00 8,45-6,11-3,06 6, ,00 5,56 2,78 8,70 2,96 1,48 4,26 Soma Média 3,52 1,76 0,36 0,18 1,94 Representa exatamente o retorno de 1,94% obtido pela equação do retorno da carteira 12

13 Seguindo o mesmo raciocínio para o risco da carteira: σ p = 0,5x14,22% + 0,5x4,74% σ p = 9,48% 13

14 Logo a relação de risco da carteira é: σ p = X 1 σ 1 + X 2 σ 2 Dicionário das Variáveis σ X σ X σ p = = = = = Risco esperado da carteira de investimentos Proporção dos recursos investidos no ativo 1 Risco esperado do ativo 1 Proporção dos recursos investidos no ativo 2 Risco esperado do ativo 2 14

15 Façamos o comprovante da fórmula na planilha Períodos Carteira 1 Distância da Média % Distância da Média² % Se pode escrever a relação de Retorno da Carteira, como segue 1 2-9,61-11,55 133, ,84 10,90 118, ,65 0,71 0, ,62 4,68 21, ,49-6,43 41, ,81-0,13 0, ,56-5,50 30, ,94 5,00 25, ,26 2,32 5, Soma 378, Média 1,94 47, Raiz 6, Lembre-se que para n<30 usamos n-1 na média OOOPS Temos um erro aqui!!! Pela fórmula o risco da carteira foi de 9,48% e pela planilha, 6,86%??? Como pode!?!? Façamos uma leitura gráfica. 15

16 Representação Gráfica Risco X Retorno- Carteira 1 Ativo 1 Carteira 1 (50% A1 e 50% A2) Ativo 2 0,00 2,00 4,00 6,00 8,00 10,00 12,00 14,00 16,00 6,86 9,48 Esse resultado parece um tanto estranho, pela fórmula 9,48% de risco e pela planilha 6,86%? 16

17 Bem, erros acontecem Vamos tentar uma segunda carteira com outra proporção 75% dos valores investidos no Ativo 1 e 25% no Ativo 2 17

18 Cálculo da expectativa quanto ao retorno da Carteira 2 r = X r + p 1 1 X 2 r 2 r p = 0,75x3,52% + 0,25x0,36% r p = 2,73% Cálculo da expectativa quanto ao risco da Carteira 2 σ p = X 1 σ 1 + X 2 σ 2 σ p = 0,75x14,22% + 0,25x4,73% σ p = 11,85%

19 Cálculo da expectativa quanto ao retorno da Carteira 2 com base na Planilha (1) (2) (3)=0,5*(2) (4) (5) (6)=0,5*(5) (7)=(3)+(6) Período s Ativo 1 $ Variação % 75% investido Ativo 2 $ Variação % 25% investido Carteira ,00 8, ,00-13,33-10,00 8,00-5,88-1,47-11, ,50 26,92 20,19 7,90-1,25-0,31 19, ,00 9,09 6,82 7,60-3,80-0,95 5, ,20 6,67 5,00 8,10 6,58 1,64 6, ,00-11,46-8,59 8,30 2,47 0,62-7, ,00 0,00 0,00 8,60 3,61 0,90 0, ,00-11,76-8,82 9,00 4,65 1,16-7, ,00 20,00 15,00 8,45-6,11-1,53 13, ,00 5,56 4,17 8,70 2,96 0,74 4,91 Soma Média 3,52 2,64 0,36 0,09 2,73

20 Cálculo da expectativa quanto ao risco da Carteira 2 com base na Planilha Períodos 1 Carteira 2 Distância da Média % Distância da Média² 2-11,47-14,20 201, ,88 17,15 294, ,87 3,14 9, % 5 6,64 3,91 15, ,98-10,71 114,62296 Outra vez? O retorno esperado da carteira 2 é igual ao da fórmula, mas o risco não??? O risco pela fórmula é 11,85% e pela planilha 10,41%???? Será que é erro mesmo? 7 0,90-1,83 3, ,66-10,39 107, ,47 10,74 115, ,91 2,18 4, Soma 867,01315 Média 2,73 108,37664 Desvio Padrão 10,41041

21 Representação Gráfica Risco X Retorno- Carteira 2 Ativo 1 Carteira 2 (75% A1 e 25% A2) Carteira 1 (50% A1 e 50% A2) Ativo 2 14,22 0,00 2,00 4,00 6,00 8,00 10,00 12,00 14,00 16,00 4,74 10,41 11,85 6,68 9,48

22 Isto está ficando interessante

23 p r X r X r + = 1,15% r 0,75x0,36% 0,25x3,52% r p p = + = 7,10% 0,75x4,73% 0,25x14,22% p p = σ + = σ Cálculo da expectativa quanto ao retorno da Carteira p X X σ + σ = σ Cálculo da expectativa quanto ao risco da Carteira 2

24 Cálculo da expectativa quanto ao retorno da Carteira 3 com base na Planilha (1) (2) (3)=0,5*(2) (4) (5) (6)=0,5*(5) (7)=(3)+(6) Períodos Ativo 1 $ Variação % 25% investido Ativo 2 $ Variação % 75% investido Carteira ,00 8, ,00-13,33-3,33 8,00-5,88-4,41-7, ,50 26,92 6,73 7,90-1,25-0,94 5, ,00 9,09 2,27 7,60-3,80-2,85-0, ,20 6,67 1,67 8,10 6,58 4,93 6, ,00-11,46-2,86 8,30 2,47 1,85-1, ,00 0,00 0,00 8,60 3,61 2,71 2, ,00-11,76-2,94 9,00 4,65 3,49 0, ,00 20,00 5,00 8,45-6,11-4,58 0, ,00 5,56 1,39 8,70 2,96 2,22 3,61 Soma Média 3,52 0,88 0,36 0,27 1,15

25 Cálculo da expectativa quanto ao risco da Carteira 3 com base na Planilha Períodos 1 Carteira 3 Distância da Média % Distância da Média² 2-7,75-8,89 79, ,79 4,64 21, ,58-1,72 2, % 5 6,60 5,45 29,71997 Como já era de se esperar, o retorno da carteira confere, já o risco da carteira pela fórmula é de 7,10% e pela planilha é de 4,29% 6-1,01-2,16 4, ,71 1,56 2, ,55-0,60 0, ,42 0,73 0, ,61 2,46 6, Soma 147,42738 Média 1,15 18, Desvio Padrão 4,

26 Representação Gráfica Risco X Retorno- Carteira 3 Ativo 1 Carteira 2 (75% A1 e 25% A2) Carteira 1 (50% A1 e 50% A2) Carteira 3 (25% A1 e 75% A2) Ativo 2 14,22 0,00 2,00 4,00 6,00 8,00 10,00 12,00 14,00 16,00 4,29 4,74 10,71 11,85 6,68 9,48

27 Isto é demais!!! Quer me convencer que se eu aplicar 75% de meu dinheiro no Ativo 2, com risco de 4,74% e, 25% no Ativo 1 com um risco de 14,22% eu chego a uma carteira com risco de 4,29%??? Um risco menor do que o do Ativo 2, que é o ativo de menor risco??? Como???

28 Este foi o Eureka de HARRY MARKOWITZ (Uma delas) Este pesquisador de finanças publicou em 1952 a tese, intitulada Portfolio selection efficient diversification of investments, que lhe valeu o prêmio nobel de economia em onde ele demonstra que a relação entre risco e retorno das carteiras de investimento não é linear, como propositalmente se tentou (em vão) demonstrar.

29 Observe quão interessante foi a descoberta de Markowitz! 3,52 100% Ativo 1 0,36 1,15 Carteira 3 (25% A1 e 75% A2) 14,22 100% Ativo 2 0,00 2,00 4,00 6,00 8,00 10,00 12,00 14,00 16,00 4,74 4,29 Risco (%) Desvio-Padrão dos Retornos

30 Aplicar somente no ativo de baixo risco (Ativo 2), significaria correr mais risco e ter um retorno menor. POR QUE ISSO ACONTECE?

31 Vamos tentar compreender a relação da variação dos retornos de dois ativos com um exemplo simples. Retornos A (%) B (%) Períodos 1 14,00 6, ,00 8, ,00 10,00 4 8,00 12,00 5 6,00 14,00

32 Caso um investidor aplique seus recursos somente em A, ele terá o seguinte retorno médio e risco Períodos Retornos (1) (2) (3)=(1)-(2) (4)=(3)² A (%) Retorno Médio (%) Distância da Média (%) Distância da Média² (%) 1 14,00 10,00 4,00 16, ,00 10,00 2,00 4, ,00 10,00 0,00 0,00 4 8,00 10,00-2,00 4,00 5 6,00 10,00-4,00 16,00 Retorno Médio 10,00 10,00 Risco (Desvio-Padrão) 3,16 Lembre-se que para n<30 usamos n-1 na média

33 Caso um investidor aplique seus recursos somente em B, ele terá o seguinte retorno médio e risco Períodos Retornos (1) (2) (3)=(1)-(2) (4)=(3)² B (%) Retorno Médio (%) Distância da Média (%) Distância da Média² (%) 1 6,00 10,00-4,00 16,00 2 8,00 10,00-2,00 4, ,00 10,00 0,00 0, ,00 10,00 2,00 4, ,00 10,00 4,00 16,00 Retorno Médio 10,00 10,00 Risco (Desvio-Padrão) 3,16 Lembre-se que para n<30 usamos n-1 na média

34 Agora se esse mesmo investidor, resolve montar uma carteira de investimentos, este panorama quanto ao risco muda. Períodos Retornos Carteiras A (%) B (%) 50% A 50% B A/B 1 14,00 6,00 7,00 3,00 10, ,00 8,00 6,00 4,00 10, ,00 10,00 5,00 5,00 10,00 4 8,00 12,00 4,00 6,00 10,00 5 6,00 14,00 3,00 7,00 10,00 Retorno Médio 10,00 10,00 10,00 Risco 3,16 3,

35 Como o risco é dado pela variabilidade do retorno, a Carteira é formada por uma aplicação de 50% dos recursos em A e 50% em B, não possui variação e, portanto seu risco é zero. Ativo A Ativo B Carteira A/B 3,16 0,00 1,00 1,50 2,00 2,50 3,00 3,50 4,00 4,50 5,00

36 Mensuração do Retorno Esperado e Risco de uma Carteira

37 Estado da Natureza Probabilidade % Retorno do Ativo X % Retorno do Ativo Y Recessão Médio Bom Excelente %

38 Estado da Natureza Probabilidade (1) Retornos (%) (2) Valor Ponderado (%) (3) = (1) X (2) Ativo X Recessão 0, ,50 Médio 0, ,50 Bom 0, ,25 Excelente 0, ,00 Retorno Esperado 19,25 Ativo Y Recessão 0,10 2 0,20 Médio 0, ,50 Bom 0, ,75 Excelente 0, ,00 Retorno Esperado 12,45

39 Estado da Natureza Retornos (%) (1) Retorno Esperado (2) (3) = (1-2)² Pri (4) Pri(1-2)² (5) Ativo X Recessão ,25 (-5-19,25)² 0,10 58,81 Médio 10 19,25 (10-19,25)² 0,35 29,95 Bom 25 19,25 (25-19,25)² 0,45 14,88 Excelente 50 19,25 (50-19,25)² 0,10 94,56 Variância 198,20 Desvio-Padrão 14,08 Ativo Y Recessão 2 12,45 (2-12,45)² 0,10 10,92 Médio 10 12,45 (10-12,45)² 0,35 2,10 Bom 15 12,45 (15-12,45)² 0,45 2,93 Excelente 20 12,45 (20-12,45)² 0,10 5,70 Variância 21,65 Desvio-Padrão 4,65

40 Medidas de associação entre variáveis

41 Covariância É uma medida que avalia como as variáveis X e Y se movimentam ao mesmo tempo, em relação a seus valores médios. Indica a simetria existente entre X e Y. Se dois títulos apresentam COV > 0, admite-se que as taxas de retorno têm a mesma tendência. Ambos se valorizam ou ambos se desvalorizam. Se COV<0, os dois ativos apresentam relações inversas ou seja um se valoriza e o outro se desvaloriza. Se COV=0 não há associação alguma.

42 Estado Probab. Retorno Retorno da Natureza do Ativo X (%) do Ativo Y RX R X R R Pj ( RX RX ) x( RY RY ) Y Y (%) Recessão 0,10-0,05 0,0 2-0,2425-0,1045 0, Médio 0,35 0,10 0,10-0,0925 0,0245 0, Bom 0,45 0,25 0,15 0,0575 0,0255 0, Excelente 0,10 0,50 0,20 0,3075 0,0755 0, R X = 19,25% 12,45 % R Y = COV = 0,

43 Fórmula COV X,Y = n j= 1 P x j ( ) ( ) R R x R R X X Y Y

44 Correlação A correlação visa explicar o grau de relacionamento verificado no comportamento de duas ou mais variáveis. ρ x,y = COV σ x. σ x,y y Logo, COV x,y = ρx,y. σx. σ y ρ x,y = X 2 X.Y ρ = símbolo grego (rô) ( X) ( Y) ( ) 2 X ( ) 2 Y Y n n n 2 1/ 2

45 Investimentos com correlação perfeitamente negativa E(R) Eixo Temporal

46 Investimentos com correlação perfeitamente positiva E(R) Eixo Temporal

47 Coeficiente de Correlação y Correlação Positiva 0< <1 ρ x, y y Correlação Positiva Perfeita =1 ρ x, y y Correlação Negativa - 1< ρ x, <0 y x x y Correlação Negativa Perfeita = ρ x, y... x y Correlação Nula = 0 ρ x, y x x

48 ρ x,y = COV σ x. σ x,y y ρ x, y = 0, ( 0,1408 )( 0,0465) ρ x = 0, , y

49 Conjunto de Combinações de Carteiras W * A = [ ( )] σ 2 ρ σ σ [( ) ( )] σ 2 + σ 2 2 ρ σ σ A B B A,B A A,B B A B Carteira de variância mínima, para os ativos A e B

50 Se a correlação for nula, a participação dos ativos é: W A σ 2 2 B A = ou W 2 2 B = 2 2 σa + σb σa + σb σ

51 Retorno de uma Carteira Representa uma média ponderada de retornos dos ativos individuais dos quais está composto k p = ( w.k ) + ( w.k ) ( w.k ) n n k p = n j= 1 w j.k j Onde: k p w j k j = = = retorno (valor) da carteira proporção do valor total do ativo j retorno de um ativo j

52 Risco de uma Carteira A seleção de carteiras procura identificar a melhor combinação possível de ativos, obedecendo as preferências do investidor com relação ao risco e ao retorno esperado. Trata-se de selecionar aquela que maximiza o grau de satisfação do investidor. O risco de uma carteira depende do risco de cada 2 elemento ( σ 2 X, σ Y), de sua participação no investimento total (Wx, Wy) e da forma como os componentes se relacionam entre si (co-variam) (COVx,y). Baixa correlação = co-variância inversa.

53 Mensuração do risco de uma carteira O desvio padrão de uma carteira de 2 ativos é função de: desvio padrão de cada ativo % da carteira aplicado em X(Wx) e Y(Wy) coeficiente de correlação dos ativos X e Y σ p = [( ) ( ) ] W σ + W σ + 2 W W ρ σ σ 1/ 2 X X Y Y X Y X,Y X Y

54 A expressão geral de cálculo do risco (desvio padrão) de uma carteira de n ativos, baseando-se no modelo de Markowitz é a seguinte: σ p = n n i= 1 j= 1 W i W j ρ i,j σ σ i j 1/ 2 COV X,Y = n j= 1 P j ( ) ( ) R RX R RY X Y

55 Representar Carteiras e Ativos no Espaço E(Rp) σ min σ A σ B (σp) Se a Correlação não for +1 ou -1 pode reduzir risco!

56 E(Rp) Carteiras Eficientes P1 P2 σ min σ P σ A σ B (σp) 56

57 E com muitos Ativos?

58 Representar Ativos no Espaço E(Rp) A B C (σp) Qual prefere? A ou B? B ou C?

59 Investimentos ótimos possíveis na presença de muitos ativos E(Rp) FRONTEIRA EFICIENTE (σp)

60 E(Rp) Fronteira Eficiente (σp) E quem quiser mais ou menos risco?

61 Fronteira Eficiente com Ativo sem Risco E(Rp) CML M Rf (σp)

62 A Carteira M é Especial? 1. Sim. 2. Em princípio, numa Economia sem vendas a descoberto e com uma taxa de juro única para aplicações e financiamentos, todas as carteiras deveriam ser compostas por M e pelo ativo sem risco. 3. O perfil de cada investidor não é relevante para a determinação da carteira M!

63 O Perfil do Investidor 1. Será que todos somos iguais? 2. Será que todos vemos a riqueza e os ganhos do mesmo modo? 3. Será que os ganhos são iguais às perdas?

64 O Perfil do Investidor 1. Imagine o exemplo das ações dos Gelados e dos Cachecóis. Ambos valem hoje 1R$ e os cenários são os mesmos. 2. Qual deles é o preferível se apenas puder escolher um para investir? Gelados Cachecóis Ano Quente 40% -10% Ano Frio -20% 30%

65 O Perfil do Investidor É normal que se escolha as ações da fábrica de cachecóis, uma vez que para a mesma rentabilidade esperada, o risco é menor! Gelados Cachecóis Rentabilidade Esperada 10% 10% Volatilidade (Risco) 30% 20%

66 O Perfil do Investidor Suponhamos agora que os cenários para os Gelados sejam ligeiramente diferentes: Gelados Cachecóis Ano Quente 45% -10% Ano Frio -15% 30% Rentab. Esperada 15% 10% Volatilidade 30% 20%

67 O Perfil do Investidor Será que o aumento de rentabilidade justifica o aumento de risco? Será que perder 10% tem o mesmo significado que ganhar 10% Será que perder 15% é muito pior que 1,5 vezes perder 10%? Será que ganhar 45% é 1,5 vezes melhor que ganhar 30%?

68 O Perfil do Investidor Normalmente assume-se que o investidor: A) Prefere ter mais a ter menos; B) Avesso ao risco - em situação de igualdade prefere obter o mesmo com menos risco; C) Crescentemente avesso ao risco - dá cada vez menos importância à riqueza à medida que esta aumenta e cada vez mais importância às perdas à medida que estas são mais expressivas.

69 O Perfil do Investidor Em termos de representação da utilidade que o investidor dá à Rentabilidade face ao risco que tem de suportar para a alcançar: E(Rp) Avesso ao Risco Neutro ao Risco Propenso ao Risco (σp)

70 A Carteira Global Ótima para cada Investidor E(Rp) Investidor X M Investidor Y Rf (σp)

71 Conjunto de oportunidades das combinações de carteiras E(Rp) Retorno esperado Ativos Individuais Desvio padrão (σp)

72 Carteira de variância mínima E(Rp) Retorno esperado Carteira de variância mínima Ativos Individuais Desvio padrão (σp)

73 E(R) Retorno esperado Carteira Eficiente Carteira de variância mínima Ativos Individuais Desvio padrão (σp)

74 E(Rp) R1 R2 R3 O investidor S apresenta menor aversão ao risco em relação a R, pois exige menor retorno esperado para todo o risco adicional assumido S1 S2 S3 (σp) Diferentes curvas de indiferenças

75 As curvas de indiferença representam as preferências de um investidor diante de alterações que venham a ocorrer na relação risco/retorno Os vários títulos disponíveis no mercado podem formar carteiras de diferentes combinações de risco/retorno

76 E(Rp) Conjunto de oportunidades de investimento R1 R2 R3 B P A O segmento AB apresenta o maior retorno esperado para um mesmo nível de risco ou menor risco para um mesmo retorno esperado (σp)

77 Reta do Mercado de Capitais E(Rp) Retorno esperado Reta do mercado de capitais (CML) Rf Livre de risco Se uma carteira for formada de ativos com risco combinados com ativos livres de risco, o contorno do conjunto de oportunidades de investimento assume a forma de uma linha reta (σp) 77

78 Curva do Mercado de Capitais E(Rp) Financiamento de Opções - Ouro Ações Preferenciais Ações Ordinárias Financiamento de Opções - Ações Debêntures 2ª. Linha Debêntures 1ª. Linha Ouro - Dólar CDB - 2ª. Linha CDB - 1ª. Linha Fundos Mútuos Títulos Federais Fonte: SECURATO, 1996 (σp)

79 Carteiras formadas com ativos com risco e sem risco E(Rp) R1 R2 R3 M Utilidade crescente Z C Fronteira Eficiente (BPMZC) P Rf B Conjunto viável ou atingível σ M (σp)