Finanças e Economia no Excel

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1 Finanças e Economia no Excel Minicurso de Economia e Estatística Computacionais Universidade Federal do Rio Grande do Sul Semana Acadêmica da Economia 2012 Ronald Otto Hillbrecht Fabrício Tourrucôo Rodrigo Nobre Fernandez

2 Estrutura 1 Motivação 2 Demanda e Oferta Demanda Linear Oferta Linear Elasticidade 3 Utilidade Funções de Utilidade Utilidade Indireta 4 Produção & Custos Funções de Produção Retorno dos Fatores Funções de Custo 5 Modelo de Portfólio Modelo de Markowitz (1952) 2 / 30

3 Motivação O uso do excel em Finanças; O software em questão é uma ferramenta útil para a economia; 3 / 30

4 Estrutura 1 Motivação 2 Demanda e Oferta Demanda Linear Oferta Linear Elasticidade 3 Utilidade Funções de Utilidade Utilidade Indireta 4 Produção & Custos Funções de Produção Retorno dos Fatores Funções de Custo 5 Modelo de Portfólio Modelo de Markowitz (1952) 4 / 30

5 Demanda Linear Desejamos encontrar a relação entre o preço e a quantidade de um produto qualquer, dada a seguinte relação: P = a bq Onde: a: é o intercepto; b: é a inclinação da curva; P: preço de mercado; Q: Quantidade demandada pelas famílias; Suponha que P e Q sejam vetores o conhecemos apenas P, assim desejamos saber cada Q i correspondentes aos P i s, isto é: Q i = 1 b (a P i) 5 / 30

6 Estrutura 1 Motivação 2 Demanda e Oferta Demanda Linear Oferta Linear Elasticidade 3 Utilidade Funções de Utilidade Utilidade Indireta 4 Produção & Custos Funções de Produção Retorno dos Fatores Funções de Custo 5 Modelo de Portfólio Modelo de Markowitz (1952) 6 / 30

7 Oferta Linear Desejamos encontrar a relação entre o preço e a quantidade de um produto qualquer, dada a seguinte relação: P = a + b 2 Q Onde os parâmetros são os mesmos apresentados anteriormente. O ponto de equilíbrio pode ser obtido igualando-se as duas curvas. 7 / 30

8 Estrutura 1 Motivação 2 Demanda e Oferta Demanda Linear Oferta Linear Elasticidade 3 Utilidade Funções de Utilidade Utilidade Indireta 4 Produção & Custos Funções de Produção Retorno dos Fatores Funções de Custo 5 Modelo de Portfólio Modelo de Markowitz (1952) 8 / 30

9 Elasticidade Preço A elasticidade preço da demanda nos mostra a variação da quantidade demandada devido a uma alteração no preço do produto: Isto é a sensibilidade do consumidor em relação a ajustes nos preços: ε = Q P P Q Suponha a função de demanda linear apresentada anteriormente: P = a bq 9 / 30

10 Elasticidade Preço A elasticidade será dada por: ε = 1 b P Q Para a elasticidade preço temos os seguinte: ε > 1 a demanda/oferta é elástica ε = 1 a demanda/oferta é unitária ε < 1 a demanda/oferta é inelástica 10 / 30

11 Elasticidade Renda Suponha que a curva de demanda tenha o seguinte formato: Q = a + bp + cm Através da elasticidade renda podemos vericar se o bem é normal ou inferior. 11 / 30

12 Elasticidade Cruzada Suponha que a curva de demanda tenha o seguinte formato: Q x = a bp x (+ )cp y Através da elasticidade cruzada podemos vericar se os bens são substitutos ou Complementares. 12 / 30

13 Estrutura 1 Motivação 2 Demanda e Oferta Demanda Linear Oferta Linear Elasticidade 3 Utilidade Funções de Utilidade Utilidade Indireta 4 Produção & Custos Funções de Produção Retorno dos Fatores Funções de Custo 5 Modelo de Portfólio Modelo de Markowitz (1952) 13 / 30

14 Funções de Utilidade Cobb-Douglas: U(x 1, x 2 ) = x α 1 xβ 2 Leontief:U(x 1, x 2 ) = Min {x 1, x 2 } Substitutos: U(x 1, x 2 ) = x 1 + x 2 Preferências quase-lineares:u(x 1, x 2 ) = g (x 1 ) + x 2 CES: U(x 1, x 2 ) = (x ρ 1 + xρ 2 )1/ρ Para a solução do nosso exercício computacional, suporemos que as preferências são bem comportadas. 14 / 30

15 Estrutura 1 Motivação 2 Demanda e Oferta Demanda Linear Oferta Linear Elasticidade 3 Utilidade Funções de Utilidade Utilidade Indireta 4 Produção & Custos Funções de Produção Retorno dos Fatores Funções de Custo 5 Modelo de Portfólio Modelo de Markowitz (1952) 15 / 30

16 Maximização da Utilidade Suponha que o consumidor x deseja maximizar sua função de utilidade U(x 1, x 2 ), no entanto, ele possui uma restrição para fazê-lo que é a sua renda: n p i x i m i=1 Para o caso de dois bens: p 1 x 1 + p 2 x 2 m Supondo que o consumidor utiliza todo os seus recursos, ou seja, ele não poupa parte da sua renda, resolveremos este problema utilizando o solver do Excel. 16 / 30

17 Estrutura 1 Motivação 2 Demanda e Oferta Demanda Linear Oferta Linear Elasticidade 3 Utilidade Funções de Utilidade Utilidade Indireta 4 Produção & Custos Funções de Produção Retorno dos Fatores Funções de Custo 5 Modelo de Portfólio Modelo de Markowitz (1952) 17 / 30

18 Funções de Produção Cobb-Douglas: f(x 1, x 2 ) = Ax α 1 xβ 2 Leontief:f(x 1, x 2 ) = Min {x 1, x 2 } Substitutos: f(x 1, x 2 ) = x 1 + x 2 CES: f(x 1, x 2 ) = (x ρ 1 + xρ 2 )1/ρ 18 / 30

19 Estrutura 1 Motivação 2 Demanda e Oferta Demanda Linear Oferta Linear Elasticidade 3 Utilidade Funções de Utilidade Utilidade Indireta 4 Produção & Custos Funções de Produção Retorno dos Fatores Funções de Custo 5 Modelo de Portfólio Modelo de Markowitz (1952) 19 / 30

20 Retorno de Fatores Curto Prazo: Pelo menos um dos fatores se mantém xo; Longo Prazo: Todos os fatores são variáveis; Produto Marginal do Fator Variável: P Mgx i = f(x) x i Produto Médio: P Mex i = f(x) x i Elasticidade em relação aos insumos: ε i (x) = f(x) x i x i f(x) 20 / 30

21 Elasticidade de Escala O conceito de rendimentos de escala dene a forma com que a quantidade produzida aumenta conforme vão se agregando mais fatores de produção. Os rendimentos (ou retornos) de escala podem assumir três formas diferentes: Retornos constantes de escala: Se f(tx) = t(fx), t, > 0 Retornos crescentes de escala: Se f(tx) = t(fx), t, > 1 Retornos decrescentes de escala: Se f(tx) = t(fx), t, < 1 Podemos calcular a elasticidade de escala da seguinte forma: ɛ = f(tx) t t f(x) 21 / 30

22 Estrutura 1 Motivação 2 Demanda e Oferta Demanda Linear Oferta Linear Elasticidade 3 Utilidade Funções de Utilidade Utilidade Indireta 4 Produção & Custos Funções de Produção Retorno dos Fatores Funções de Custo 5 Modelo de Portfólio Modelo de Markowitz (1952) 22 / 30

23 Custos de Produção Curto Prazo: Pelo menos um dos fatores se mantém xo; Longo Prazo: Todos os fatores são variáveis; Custo Marginal do Fator Variável: CMgx i = C(w,y) x Custo Médio: CMe = C(w,y) y 23 / 30

24 Custos de Produção Custo Médio de Curto prazo: CT y ; = w f x f y + wvxv y = CF Me + CV Me Custo Médio no Longo Prazo: CT y = wvxv y = CMe Custo Marginal no Longo Prazo: CMgx i = C(w,y) x i Ver exemplo excel de rmas tomadoras e formadoras de preços. 24 / 30

25 Estrutura 1 Motivação 2 Demanda e Oferta Demanda Linear Oferta Linear Elasticidade 3 Utilidade Funções de Utilidade Utilidade Indireta 4 Produção & Custos Funções de Produção Retorno dos Fatores Funções de Custo 5 Modelo de Portfólio Modelo de Markowitz (1952) 25 / 30

26 Modelo de Markowitz O modelo proposto pelo autor considera a média e a variância de de um portfólio maximizando a média e minimizando a variância. Este modelo foi formulado como um problema de programação quadrática para maximizar uma soma ponderada da média e da variância. Para compor este portfólio foram selecionadas as 4 ações que possuem maior participação no índice BOVESPA; 26 / 30

27 Modelo de Markowitz Considere um vetor cujos elementos sao frações do portfólio, isto é: x 1 x = x 2 x 3 e um vetor das médias dos retornos das ações deste x 4 portfólio µ = µ 1 µ 2 µ 3 µ 4 27 / 30

28 Modelo de Markowitz Para obtermos o retorno médio do portfólio faremos o produto interno destes vetores: µ x = [ ] µ 1 µ 2 µ 3 µ 4 x 1 x 2 x 3 x 4 A variância do portfólio é dada pela matriz de variância-covariânciaσ: σ 11 σ 12 σ 13 σ 14 Σ = σ 21 σ 22 σ 23 σ 24 σ 31 σ 32 σ 33 σ 34 σ 41 σ 42 σ 43 σ 44 Onde: σ ij = é a covariância dos retorno i e j 28 / 30

29 Modelo de Markowitz Podemos escrever a a variância do portfólio da seguinte forma: x Σx = [ ] x 1 x 2 x 3 x 4 σ 11 σ 12 σ 13 σ 14 σ 21 σ 22 σ 23 σ 24 σ 31 σ 32 σ 33 σ 34 σ 41 σ 42 σ 43 σ 44 x 1 x 2 x 3 x 4 Usando os componentes da média e da variância do portfólio podemos escrever a função critério do portfólio da seguinte forma: J = µ x 1 2 βx Σx onde: J = Função Critério; β = Peso subjetivo da variância do retorno sobre o portfólio 29 / 30

30 Modelo de Markowitz Em suma desejamos obter os elementos do vetor x (x i ) que maxmizam a função critério sujeita a seguintes restrições: J = µ x 1 2 βx Σx sujeita a x i = 1 iɛi x i 0 30 / 30