Rejae Corrrea da Rocha Matemática Fiaceira Uiversidade Federal de São João del-rei 0
Capítulo 5 Matemática Fiaceira Neste capítulo, os coceitos básicos de Matemática Fiaceira e algumas aplicações, dos quais podemos destacar: juros, capitalização simples e compostas, descotos, equivalêcia de taxas, séries de pagametos e plaos de amortização. Estes assutos têm um amplo campo de aplicação, pois suas técicas são ecessárias em operações de fiaciameto de qualquer atureza. Os coceitos e aplicações discutidos a seguir este capítulo foram baseados em Vieira Sobriho (006) e Puccii (0). 5.. Coceitos Básicos Começaremos osso estudo apresetado a omeclatura que será utilizada a disciplia e algus coceitos básicos que serão cetrais o desevolver das ossas atividades. A Matemática Fiaceira é um corpo de cohecimeto que estuda a mudaça de valor do diheiro com o decurso de tempo; para isso, cria modelos que permitem avaliar e comparar o valor do diheiro em diversos potos do tempo. Capital (C): Etede-se por capital, do poto de vista da Matemática Fiaceira, qualquer valor em moeda e dispoível em determiada época, sedo esse cosiderado o valor iicial de uma operação fiaceira. Esse valor iicial pode ser umerário ou depósitos bacários dispoíveis; valor de um título de dívida o iício de um processo fiaceiro; e valor de ativos físicos (prédios, máquias, veículos e outros) o iício de um processo fiaceiro. Operação Fiaceira: é o ato ecoômico pelo qual determiado agete possuidor de capital (C) deomiado credor trasfere esse capital (C) a outro agete
ecoômico deomiado tomador mediate codições previamete estabelecidas. Normalmete, as codições previamete estabelecidas em uma operação fiaceira evolvem a remueração paga pelo tomador ao credor pela utilização do capital (C); os prazos e as formas de devolução do capital (C) e da remueração acordada; e as garatias de pagameto que o tomador apresetará ao credor. Juro (J): é a remueração do capital acordado etre o credor e o tomador em uma determiada operação fiaceira. O credor, ao se dispor do capital em uma operação fiaceira, para avaliar a taxa de remueração para os seus recursos, deve atetar para os seguites fatores: Risco: probabilidade de o tomador do capital ão resgatar o diheiro. Despesas: todas as despesas operacioais, cotratuais e tributárias para a formalização da operação fiaceira à efetivação da cobraça. Iflação: ídice de desvalorização do poder aquisitivo da moeda previsto para o prazo do empréstimo. Gaho (ou lucro): fixado em fução das demais oportuidades de ivestimetos, justifica-se pela privação, por parte do credor, da utilidade do capital. Portato, a receita de juros deve ser suficiete para cobrir o risco, as despesas e a perda do poder aquisitivo do capital, além de proporcioar certo lucro ao seu aplicador. Taxa de Juros ( i ): é a razão etre os juros recebidos (ou pagos) o fial de um certo período de tempo e o capital iicialmete aplicado (ou emprestado).
Matematicamete, essa razão é especificada como segue: J i () C em que i é a taxa de juros, J o valor dos juros e C o capital iicial. Normalmete, expressamos a taxa de juros em termos percetuais. Para tal, multiplicamos taxa dada em () por 00 e acrescetamos o símbolo (%). Nota: O capital iicial também chamado de pricipal (P). Se você cosultar diferetes bibliografias, você verá que existem iúmeras omeclaturas para desigar capital iicial. Daqui em diate, toda vez que os referirmos a capital iicial utilizaremos P. Exemplo 5. Qual a taxa de juros cobrada um empréstimo de $.000,00 a ser resgatado por $.00,00? Dados: Capital iicial = P =.000,00 Solução Juros: = J =.00,00.000,00 = 00,00 Taxa de juros = i =? Utilizado a fórmula dada em () temos: J i P 00 000 0,0 0%. A taxa de juros em 0% refere-se ao período da operação, ão especificado o exemplo. Se o prazo dessa operação for de ao, a taxa é de 0% ao ao; se for de 8 meses, a taxa é de 0% para o período de 8 meses. Os úmeros que expressam a taxa de juros são acompahados de uma expressão que idica a temporalidade da taxa. Essas expressões são abreviadas da seguite forma: ad ao dia; am ao mês; ab ao bimestre; at ao trimestre; aq ao quadrimestre; as ao semestre; e aa ao ao. 4
5.. Capitalização Simples Capitalização simples é aquela em que a taxa de juros icide somete sobre o capital iicial; ão icide, pois, sobre os juros acumulados. Neste regime de capitalização a taxa varia liearmete em fução do tempo, ou seja, se quisermos coverter a taxa diária em mesal, basta multiplicarmos a taxa diária por 0; se desejarmos uma taxa aual, tedo a mesal, basta multiplicarmos esta por, e assim por diate. Para obtermos o valor dos juros o regime de capitalização simples utilizamos a expressão J Pi () em que J é valor dos juros, P é valor do capital iicial ou pricipal, i é taxa de juros o período e prazo. Nota: O período e o prazo devem estar a mesma uidade de tempo, isto é, se a taxa é ao mês o prazo deve ser dado em meses. Caso eles estejam em uidade de tempo diferetes, deve-se fazer a coversão de um deles para que esteja a mesma uidade Exemplo 5. Você tomou um empréstimo de R$ 0.000,00 pelo prazo de 5 meses, sabedo-se que a taxa cobrada é do % ao mês. Qual o valor dos juros correspodetes ao empréstimo? Dados: P = 0.000,0 = 5 meses i = % am J =? Solução J Pi 00000,05 000 Logo, o valor dos juros pagos pelo empréstimo foi de R$.000,00 5
Exemplo 5. Qual é a taxa de juros mesais de um capital de R$.500,00 que foi aplicado durate 7 meses, rededo juros de R$ 787,50. Dados: P = 5.000,00 J = 7.875,00 = 7 meses i =? Solução: J P i i J P 787,50 0,045 500 7 ou 4,5% am. Logo, a taxa de juros da aplicação foi de 4,5% ao mês. Exemplo 5.4 Calcule o prazo de uma aplicação de R$75.000,00, sabedo-se que foram obtidos juros de R$ 6.000,00 a uma taxa de 4% ao trimestre. Dados: P = 75.000,00 J = 6.000,00 i = 4% at =? Solução: J P i J P i 6000 75000 0,04 trimestres ou 6 meses. Logo, o prazo da aplicação foi de 6 meses. Ates de itroduzirmos o coceito de motate, veremos a seguite situação prática: Situação 5. Um empréstimo de R$.000,00 é liquidado por R$ 9.00,00 o fial de 5 dias. Calcule a taxa mesal de juros. Nesta situação são dados o capital iicial e o valor o qual o empréstimo foi liquidado. Em Matemática Fiaceira esse valor de liquidação é chamado de motate ou valor futuro. Quado subtraímos o motate pelo capital iicial obtemos o valor do juros pagos pelo empréstimo, isto é, J 900 000 600. 6
Assim, para esse exemplo temos i J P 600 0,0077 0005 ou 0,77% ad Como estamos trabalhado com o sistema de capitalização simples, basta multiplicarmos a taxa diária por 0 para ecotramos a taxa mesal pedida. Dessa forma, temos Taxa Mesal = 0,77% 0 5,% Agora vamos itroduzir esse coceito formalmete. Motate (S) é a soma do capital iicial mais os juros referetes ao período da aplicação. Também pode ser deotado de valor futuro. Podemos escrever a expressão do motate da seguite forma: S P J () Como J Pi, substituido em () temos que S P Pi. Assim, o sistema de capitalização simples S P( i ) (4) Exemplo 5.5 Você aplicou um capital de R$0.000,00, pelo prazo de meses, à taxa de,5% ao mês. Qual foi o motate dessa aplicação? Dados: P = 0.000,00 = meses i =,5% ao mês Solução: S P( i ) 0.000( 0,05).800 Logo, o motate da aplicação foi de R$.800,00. Exemplo 5.6 Sabedo-se que a taxa de juros é de,5% ao mês e que faltam oito meses para o seu vecimeto, determie o valor atual de um título cujo valor de resgate é de R$0.000,00. 7
Dados: S = 0.000,00 = 8 meses i =,5% ao mês P =? Solução: S 0.000 S P ( i ) P 5.000 ( i ) ( 0,058) Logo, o valor atual do título é de R$5.000,00 Exemplo 5.7 Um empréstimo de R$0.000,00 deverá ser quitado por R$ 60.000,00 o fial de 4 meses. Determiar as taxas mesal e aual cobradas essa operação. Dados: S = 60.000,00 P = 0.000,00 = 4 meses i =? Solução: 60000 S P( i ) ( i 4) 4i i 0,0467 0000 4 Logo, a taxa i é igual a 4,67%. Lista de Exercícios ) Determie o motate de um capital de $.000,00 aplicado por a) 4 meses a % am. b) 8 meses a 6% aa. c) 85 dias a,5% am. ) O motate de uma dada aplicação é $.000,00. Sabe-se que o prazo da operação foi de quatro meses e que o juro gerado foi de R$.500,00. Determie: a) o capital aplicado. b) a taxa de juros mesal da aplicação. ) Determie o prazo em que um dado capital dobra de valor se aplicado a uma taxa de 5% a.m. Em quato tempo esse capital triplicaria? 8
4) O valor omial de um título é 7/5 do seu valor atual. Sedo o prazo de aplicação de seis meses, qual a taxa de juros mesal aplicada? 5) Por quato tempo um capital deve ser aplicado a 0% aa para que os juros gerados correspodam a,5 vezes o valor do capital? 5.. Capitalização Composta O regime de juros compostos é mais comum o dia a dia do sistema fiaceiro e do calculo ecoômico. Nesse regime, o valor dos juros cresce em fução do tempo, isto é, os juros gerados a cada período são icorporados ao pricipal para o cálculo dos juros do período seguite. Assim, podemos dizer que Capitalização composta é aquela em que a taxa de juros icide sobre o capital iicial, acrescido dos juros acumulados até o período aterior. Nota: A omeclatura é a mesma utilizada em capitalização simples, isto é, S, o motate, P, o capital iicial,, o prazo e i, a taxa. A dedução da fórmula do motate para um úico pagameto é pouco mais complexa que aquela já vista para a capitalização simples. Mas o coceito é o mesmo, ou seja, é a soma do capital aplicado ou devido mais o valor dos juros correspodetes ao prazo da aplicação ou da dívida. Para facilitar o etedimeto, vamos ver mais uma situação prática. Situação 5. Supoha que um capital de R$.000,00 foi aplicado à taxa de 4% ao mês, durates 4 meses. Qual é o motate desse capital o fial do período? Como aida ão cohecemos uma fórmula para a solução fácil e rápida desse problema, mas sabemos que a taxa de juros para cada período uitário icide sobre o capital iicial mais os juros acumulados, calculemos o motate mês a mês. Esse cálculo é apresetado o quadro a seguir. 9
MÊS CAPITAL NO INÍCIO DO MÊS JUROS CORRESPONDENTES AO MÊS MONTANTE NO FINAL DO MÊS 4 Fote: o autor.000,00.040,00.08,00.4,86.000,00 x 0,04 = 40,00.040,00 x 0,04 = 4,60.08,00 x 0,04 = 4,6.4,86 x 0,04 = 45,00.040,00.08,60.4,86.69,86 Logo, o valor do motate o fial do quito mês é de R$.69,86. Podemos observar que o motate o fial de cada mês costitui-se o capital iicial do mês seguite. No etato, essa forma de cálculo é trabalhosa e demorada. Para que possamos fazer esse cálculo de maeira mais fácil, vamos deduzir uma fórmula para o motate, partido do desevolvimeto aterior, mas sem que sejam efetuadas as operações de multiplicação e soma, apeas usado a propriedade distributiva do produto em relação à soma. Tomado Si como sedo o motate o mometo i, temos S0= 000 S 000 0,04 000 000( 0,04) 000,04,04 0,04 000,04 000,04 ( 0,04) 000 S 000,04,04 0,04 000,04 000,04 ( 0,04) 000 S 000,04 4 S4 000,04 0,04 000,04 000,04 ( 0,04) 000,04 Assim, o valor do motate o fial do quarto mês é dado 4 S4 000,04. Como,04 4 =,6986, temos que S 4 000,6986 69,86, que é o mesmo valor calculado ateriormete. Geeralizado a situação acima apresetada, podemos escrever: 0
S S S S S 0 P P Pi P( i) P( i) P( i) i P( i) P( i) P( i) P( i) P( i) i P( i) i P( i) Para facilitar, faremos S = S, pois sempre calculamos o motate para um prazo já previamete estabelecido. Assim, a fórmula fial do motate é dada por S P i (5) Exemplo 5.8 Qual é o motate de uma aplicação de R$ 5.000,00, pelo prazo de 5 meses, à taxa de % ao mês? Dados: P = 5.000,00 = 5 meses i = % am S =? Solução: S P 5 i 5000,0 898, 85 Logo, o motate o fial do prazo é de R$8.98,85 Exemplo 5.9 No fial de um ao, a Sra. Maria deverá efetuar um pagameto de R$00.000,00 referete ao valor de um empréstimo cotraído hoje, mais os juros devidos, correspodetes a uma taxa de % ao mês. Qual o valor emprestado? Dados: S = 00.000,00 = ao = meses i = % ao mês P =? S 00000 S P P Solução: P i i,0 78849,
Logo, o valor do empréstimo tomado por Maria foi de R$ 78.849,. Exemplo 5.0 A loja Topa Tudo fiacia a veda de uma mercadoria o valor de R$.600,00, sem etrada, para pagameto em uma úica prestação de R$.75,6 o prazo de 0 meses. Qual a taxa mesal cobrada pela loja? Dados: S =.75,6 Solução S P =.600,00 = 0 meses i =? ( i) 0 i 0,058 P i.75,6.600 ( i),4 i 0 0.75,6 ( i).600,4,058 i,058 Logo, a taxa mesal cobrada pela loja Topa Tudo é de,58%. 0 Exemplo 5. Em que prazo um empréstimo de R$.000,00 pode ser quitado em um úico pagameto de R$5.,0 sabedo-se que a taxa cotratada é de 5% a.m? Dados: S = 5.,0 Solução P =.000 i = 5% am =? 5,0 S P i 5,0 000 ( 0,05) (,05) 000 (,05),704 l(,05) l(,704) l(,05) l(,704) l(,704) l(,05) 0,5669 0,04879 Logo, o prazo do empréstimo foi de meses.
Lista de Exercícios ) Determiar o motate, o fial de 0 meses, resultate da aplicação de um capital de $ 00.000,00 à taxa de,75% ao mês. ) Sabedo-se que a taxa trimestral de juros cobrada por uma istituição fiaceira é de,486%, determiar qual o prazo em que um empréstimo de $ 0.000,00 será resgatado por $ 6.08,. ) Uma empresa obtém um empréstimo de $ 700.000,00, que será liquidado, de uma só vez, o fial de dois aos. Sabedo-se que a taxa de juros é de 5% ao ao, calcular o valor pelo qual esse empréstimo deverá ser quitado. 4) Em que prazo uma aplicação de $ 74.98,00, à taxa de,5% ao mês, gera um resgate de $ 500.000,00. 5) Em quato tempo um capital pode produzir juros iguais a 50% do seu valor, se aplicado a,755% ao mês? 5.4. Equivalêcia de Taxas Dizemos que duas ou mais taxas refereciadas a períodos uitários distitos são equivaletes quado produzem o mesmo motate o fial de determiado tempo, pela aplicação de um mesmo capital iicial. No regime de capitalização simples ecotrar taxas equivaletes é bastate simples, pois esse regime as taxas são proporcioais. Por exemplo, se temos uma taxa de % ao ao, essa taxa equivale a uma taxa de % ao mês. Como um ao correspode a meses, para ecotrar a taxa mesal equivalete dividimos, esse caso, a taxa aual por. Poderíamos, também, pesar em uma taxa trimestral equivalete para uma taxa mesal de %. Nesse caso, para ecotrarmos a equivalêcia, devemos multiplicar a taxa mesal por, o que daria uma taxa trimestral 6%.
No regime de capitalização composta, como os juros crescem em fução do tempo, para que possamos calcular a equivalêcia de duas taxas refereciadas a períodos diferetes precisamos deduzir uma relação etre essas. Utilizado a defiição de taxas equivaletes, podemos dizer que se a taxa mesal (im) equivale a taxa aual (ia), etão a igualdade a seguir é verdadeira: P ( ia ) P( im ) ( ia ) ( im ) (6) Da igualdade acima, temos para determiar a taxa aual cohecida a mesal: para determiar a taxa mesal cohecida a aual: i a ( i m i m ( i a ) ) / Exemplo 5. Determiar a taxa aual equivalete a % ao mês. Solução: i a ( i m ) i a ( 0,0) i a,68 0,68 ou 6,8% Exemplo 5. Determiar a taxa mesal equivalete a 60,0% ao ao. Solução: i m ( 0,600) / (,600) /,04 0,04 ou 4% Como o dia a dia os períodos a que se referem as taxas que se têm e as taxas que se desejam são os mais variados, vamos apresetar uma fórmula geérica, que possa ser utilizada para qualquer caso, ou seja, em que: i d ( i c ) d / c (7) id é a taxa para o prazo que desejo; ic é a taxa para o prazo que coheço; d /c é a equivalêcia dos prazos, sedo d o prazo desejado e c o prazo que coheço a uidade do prazo desejado. Nota: Para calcular a taxa, os períodos devem ter a mesma uidade! 4
Exemplo 5.4 Determiar a taxa para 8 dias, equivalete a 65% ao ao. 60 Solução: i ( 0,65) 8/ 0, 899 ou 8 8,99% Exemplo 5.5 Determiar a taxa para 49 dias, equivalete a 5% ao mês. Solução: i ( 0,05) 49/ 0 49, ou,% Saiba mais: Leia Relações de equivalêcia etre taxas de juros dispoível em: <http://www.proativams.com.br/files_aberto/leiturascomplemetares.doc>. Acesso em: 7 jul. 0. Lista de Exercícios ) Qual a taxa mesal de juros compostos cobrada um empréstimo de $ 64.000,00, que deverá ser quitado o prazo de 7 dias, por $ 79.600,00? ) Uma aplicação de $.800,00 proporcioou um redimeto de $.400,00 o fial de 08 dias. Determiar as taxas diária, mesal, trimestral e aual de juros compostos dessa operação. 5.5. Descotos A operação de descoto ormalmete é realizada quado se cohece o valor futuro de um título (valor omial, valor de face ou valor de resgate) e se quer determiar o seu valor atual. O descoto deve ser etedido como a difereça etre o valor de resgate de um título e o seu valor presete a data da operação, ou seja, D = S P (8) em que D represeta o valor moetário do descoto, S o seu valor futuro (valor assumido pelo título a data do seu vecimeto) e P o valor do descoto, que também está associado a uma taxa e a determiado período de tempo. 5
5.5. Descoto Simples (ou Bacário ou Comercial) Descoto simples é aquele em que a taxa de descoto icide sempre sobre o motate ou valor futuro. É amplamete utilizado o Brasil, geralmete as chamadas operações de descoto de duplicatas realizadas pelos bacos, sedo, e por isso, também chamado de descoto bacário ou comercial. Obtemos esse descoto multiplicado o valor de resgate do título pela taxa de descoto e pelo prazo a decorrer até o seu vecimeto, isto é, D S d em que d represeta a taxa de descoto e o prazo. (9) Para obtermos o valor presete, também chamado de valor descotado, subtraímos o valor do descoto do valor futuro do título, ou seja, P S D (0) Substituido (9) em (0) temos: P S ( d ) () Exemplo 5.6 Ecotre o valor do descoto simples de um título de R$.000,00, com vecimeto para 90 dias, à taxa de,5% ao mês. Dados: S =.000,00 = 90 dias = meses d =,5% ao mês D =? Solução: D S d 0000,05 50 Logo, o valor do descoto é de R$50,00 Exemplo 5.7 Qual a taxa mesal de descoto utilizada uma operação a 80 dias, cujo valor de resgate é de R$.000,00 e cujo valor atual é de R$880,00? Dados: S =.000,00 6
Solução P = 880,00 = 80 dias = 6 meses d =? P S ( d ) 880 000( 6 d) 6 d 0, 6 d 0, d 0,0 6 880 000 Logo, a taxa de descoto é de % a.m. 5.5. Descoto Composto Descoto composto é aquele em que a taxa de descoto icide sobre o motate ou valor futuro, deduzido dos descotos acumulados até o período imediatamete aterior. É obtido em fução de cálculos expoeciais e praticamete ão é utilizado, tedo uma importâcia meramete teórica. Quado trabalhamos com descoto composto, para períodos uitários, a taxa de descoto icide, o primeiro período, sobre o valor futuro do título; o segudo período, sobre o valor futuro do título meos o valor do descoto correspodete ao primeiro período; o terceiro período, sobre o valor futuro do título meos os valores dos descotos referetes ao primeiro e ao segudo período, e assim sucessivamete até o eésimo, de forma que P S d S S( d) P P S( d) P S( d) d S( d) S( d)( d) S( d) S( d) d S( d) d S( d) S( d) S( d) ( d) S( d) ( d) S( d) Assim, o valor líquido de um título, de prazo igual a períodos uitários, calculado com base o descoto composto pela expressão P ) S( d () 7
Exemplo 5.8 Uma duplicata o valor de R$8.000,00, com 50 dias para o seu vecimeto, é descotada a uma taxa de % ao mês, de acordo com o coceito de descoto composto. Calcular o valor líquido creditado a cota e o valor do descoto cocedido. Dados: S = 8.000,00 = 50 dias = 5 meses d = % ao mês P =? D =? Solução P S( d) 8.000 0,0 D S P 8.000 5.09,78.690, Logo, o valor líquido da duplicata é de R$5.09,78 e o valor do descoto é de R$.690,. 5 5.09,78 Exemplo 5.9 Um título, com 90 dias a vecer, foi descotado à taxa de % ao mês, produzido um descoto o valor de $.79,77. Calcular o valor omial do título. Dados: D =.79,77 Solução d = % ao mês = 90 dias = meses S =? D S P S S ( d).79,77 S S 0,967.79,77 S( 0,967) S.79,77 0,0877 5.800,04.79,77 S S ( 0,0) Logo, o valor de omial do título é de R$5.800,04. 8
Lista de Exercícios 4 ) Uma duplicata de R$70.000,00, com 90 dias a decorrer até o seu vecimeto, foi descotada por um baco à taxa de,70% ao mês. Calcular o valor líquido etregue ou creditado ao cliete. ) Sabedo-se que o descoto de uma duplicata o valor de $ 5.000,00, com 50 dias a vecer, gerou um crédito de R$.075,06 a cota do cliete, determiar a taxa de descoto. ) Determiar o valor omial ou de face de um título, com 44 dias para o seu vecimeto, que, descotado à taxa de 48% ao ao, proporcioou um valor atual (valor líquido creditado) de R$ 8.784,00. 4) Calcular o valor atual de um título de valor de resgate igual a R$ 90.000,00, com 4 meses a vecer, sabedo-se que a taxa de descoto é de,5% ao mês. 5) Calcular a que taxa mesal um título de $ 00.000,00, com 75 dias a vecer, gera um descoto o valor de R$.06,. 5.6. Séries de Pagametos As séries de pagametos podem ser defiidas como uma sucessão de pagametos ou recebimetos e com vecimetos sucessivos. Detro da Matemática Fiaceira tradicioal, as séries de pagametos são objeto de uma classificação muito ampla e complexa. Para facilitar o seu etedimeto, vamos começar apresetado as pricipais características das séries de pagametos: O úmero de termos é fiito; ão vamos tratar aqui das redas perpétuas, cujo úmero de termos é ifiito. 9
Os vecimetos dos termos de uma série de pagametos podem ocorrer o fial de cada período (termos vecidos ou postecipados) ou o iício (termos atecipados), o etedimeto desta classificação, como veremos, é de fudametal importâcia. Com base essas características, podemos classificar as forma: séries de da seguite. Série de pagametos iguais com termos vecidos;. Série de pagametos iguais com termos atecipados;. Série de pagametos variáveis com termos vecidos; 4. Série de pagametos variáveis com termos atecipados. Como este é um tema bastate exteso, esta seção iremos desevolver somete as séries de pagametos iguais com termos vecidos. Para mais detalhes cosulte Vieira Sobriho (006) e outras obras idicadas o fial deste capítulo. 5.6. Séries de pagametos iguais com termos vecidos (ou postecipados) Como já foi dito, as séries de pagametos de pagametos iguais com termos vecidos são aquelas em que os pagametos ocorrem o fial do período e ão a origem. Para cada termo da série de pagameto ou recebimeto igual utilizaremos a omeclatura R. As demais variáveis serão represetados pelos símbolos já cohecidos: i é a taxa de juros, coerete com a uidade de tempo (mês, trimestre, ao), é o úmero de prestações quase sempre coicidete com o úmero de períodos uitários, P é o pricipal, capital iicial, valor atual ou valor presete, e S é motate ou valor futuro. Para itroduzir esse coceito vamos propor situações práticas e a partir do desevolvimeto e da solução dessas deduziremos às fórmulas. Para tato, vamos utilizar somete os cohecimetos de Matemática Fiaceira até agora cotidos este capítulo, além de algumas oções de matemática elemetar. 0
Começaremos com situação em que teremos uma série de pagametos em que são cohecidos os valores dos pagametos ou recebimetos e desejamos calcular o valor do motate. Situação 5. Determiar o valor do motate, o fial do 4 mês, de uma série de 4 aplicações mesais, iguais e cosecutivas, o valor de $ 00,00 cada uma, a uma taxa de % ao mês, sabedo-se que a primeira parcela é aplicada o fial do primeiro mês, ou seja, a 0 dias da data tomada como base ( mometo zero ), e que a última, o fial do 5 mês, é coicidete com o mometo em que é pedido o motate. Para calcular o motate pedido, vamos utilizar o cohecimeto que temos de capitalização composta, ou seja, utilizado a fórmula S P( i) vamos calcular isoladamete o motate de cada prestação o fial do 4º mês. Assim, temos S S S S 4 00 (,0) 00 (,0) 00 (,0) 00 (,0) 0 06, 04,04 0,00 00,00 Podemos observar que a última parcela é aplicada exatamete o dia em que se pede o valor do motate; logo, esta ão terá redimeto algum. O motate fial ou total será igual ao somatório dos motates idividuais, ou seja, S t S S S S 06, 04,4 0,00 00 4,6. 4 Portato, o motate de 5 aplicações mesais, iguais e cosecutivas, de R$00,00 cada uma, à taxa de % ao mês, detro do coceito de séries de pagametos com termos vecidos, é de R$ 4,6. No etato, o cálculo do motate, como foi feito, é muito trabalhoso. E se tivéssemos 60, 0 ou 40 prestações? Para facilitar osso trabalho, vamos tetar aplicar uma fórmula que permita chegar ao valor fial por um camiho mais curto e rápido.
Sabemos que S t S S S S4. Substituido S, S, S e S 4 pelos seus respectivos valores, sem efetuarmos os cálculos, temos S t 00(,0) 00(,0) 00(,0) 00 (,0) 0 Como o valor 00,00 é costate em todos os termos, pode ser colocado em evidêcia: S t 00[(,0) (,0) (,0) (,0) 0 ] Como a soma 0 [(,0) (,0) (,0) (,0) ] (,0) (,0) (,0) represeta a soma de uma progressão geométrica de razão,04, pois o úmero de parcelas é fiito, dessa forma, podemos aplicar a fórmula da a soma dos termos de uma PG S PG a q a q () em que, razão. a represeta o primeiro termo da série, o úmero de termos e q a Sabedo-se que a 0 (,0), q =,0 e = 4, temos S t 4 (,0) 00,0 (4) Desevolvedo a expressão (4), temos S t 4 (,0) 0,084 00 00 4,6 0,0 0,0 Portato, chegamos ao valor do motate correspodete à aplicação de 4 parcelas iguais, sem calcular os motates isolados. Como o problema R = 00,00, = 5 e i = 0,04, substituido a expressão (4) os valores uméricos pelos seus símbolos correspodetes, temos a fórmula geérica ( i) St R i
Para simplificar, faremos S t S, temos S ( i) R i. (5) Exemplo 5.0 Uma pessoa aplicou R$.000,00 por mês, durate três aos, em um Fudo de Reda Fixa, à taxa de % ao mês. Quato terá essa pessoa o fial desse prazo? Dados: R = 000,00 = 6 prestações (6meses=aos) i = % ao mês (aplicações mesais) S =? Solução: S ( i) R i 6 (,0) 000 000 4,04687 4076,87 0,0 Portato, o valor da aplicação o fial do prazo será de R$4.076,87. Para calcular o valor da prestação ou do recebimeto em situações em que cohecemos o valor do motate, basta isolar R a equação (5). Assim, temos i R S ( i) (6) Exemplo 5. Quato uma pessoa terá de aplicar mesalmete um Fudo de Reda Fixa, durate aos, para que possa resgatar R$ 00.000,00 ao fial de 6 meses, sabedo que o fudo proporcioa um redimeto de,% ao mês? Dados: S= 00.000,00 = 6 meses = 6 prestações i =,% ao mês R =?
Solução i R S ( i) 00000 0,0 00000 0,00,07 4474,45 6,0 Portato, o valor da aplicação mesal deverá se de R$4.474,45 para que possa ter um motate de R$00.000,00 o fial de aos. Agora veremos mais um exemplo em que é a icógita. Exemplo 5. Quatas prestações de $ 4.000,00 devem ser aplicadas trimestralmete, à taxa de 7% ao trimestre, para acumular um motate de $ 00.56,08 ao fial de certo prazo? E qual esse prazo? Dados: R = 4.000,00 por trimestre S = 00.56,08 i = 7% ao trimestre =? ( de trimestres) Solução i R S ( i) 00.56,08 0,07,7590 4.000 l(,7590) 4,99999999 5 l,07,07,07 l,07 l,7590 4.000 00.56,08 Logo, o prazo é de 5 trimestres.,07 0,07 Nota: Como a uidade de tempo está coerete com a taxa, ão é ecessária ehuma coversão. Para situação em que temos uma série de pagametos em que são cohecidos os valores dos pagametos ou recebimetos e desejamos calcular o valor presete, partiremos da seguite situação prática: Situação 5.4 Qual o valor que, fiaciado à taxa de % ao mês, pode der pago ou amortizado em 4 prestações mesais, iguais e sucessivos de $ 00,00 cada uma? 4
O que se quer é o valor presete dessa série de 4 parcelas iguais. Para isso, vamos utilizar as ferrametas que cohecemos para solucioar esses problemas. Com relação a valor presete ou atual, somete sabemos resolver os casos com pagametos simples, ou seja, aqueles que apresetam um úico pagameto. Assim, vamos resolver o problema por partes, admitido-se que cada prestação correspoda a um fiaciameto isolado. Na situação prática, o valor de cada prestação, R$ 00,00, represeta o motate (ou valor futuro) isolado de capital iicial que descohecemos, aplicado à taxa de % ao mês, e por prazos que vão de a 4 meses. O que queremos é determiar o capital iicial ou o valor presete dessas prestações o mometo zero. Os valores presetes das 4 prestações são calculadas como segue: P 00,00,0 P P 4 00,00 00,00 P P P P,0 P 00,00,0 t,0 4 P 00,00 0,9809 98,04 00,00 0,9669 96, 4 00,00 0,94 94, 00,00 0,9845 9,8 80,77 Assim, o valor fiaceiro (ou o valor presete), que pode ser pago ou amortizado em 4 prestações iguais, mesais e cosecutivas de R$ 00,00 cada uma, detro do coceito de série de pagameto, com termos vecidos, é de R$80,77. Agora, utilizado somete cohecimetos de matemática elemetar, substituiremos P, P, P e P4 pelos seus respectivos valores, sem efetuar os cálculos, temos P t 00,00 00,00 00,00 00,00,0,0,0, 0 4 Colocado o valor 00 em evidêcia, temos: P t 00,00 4,0,0,0,0 5
Os termos que aparecem detro dos colchetes costituem uma soma de PG de razão,0. Como o calculo com expressões fracioárias é um pouco mais complexo, vamos aplicar o coceito de Míimo Múltiplo Comum e trasformar esta série uma soma de mais fácil visualização e cálculo. Efetuado os cálculos, temos P t 00,00,0,0,0,0 4 O umerador da expressão etre colchetes costitui-se uma soma de PG, de razão,0, com úmero de termos igual a 4. Aplicado a fórmula cohecida (), temos P t 4,0 4,0,0 00 00 00,8077 80,77 4 4,0 0,0,0 (7) Substituido a expressão (7) os valores uméricos pelos respectivos símbolos e cosiderado P t P, temos a fórmula geérica P ( i) R ( i) i (8) Exemplo 5. Qual o valor atual de série de 0 prestações iguais, mesais e cosecutivas de R$ 400,00 cada uma, cosiderado uma taxa de 4% ao mês? Dados: R = 400,00 = 0 prestações = 0 meses i = 4% ao mês P =? Solução P ( i) R ( i) 0 (,04) 400 4007,90 6.96,8 0 i (,04) 0,04 Logo, o valor atual é de R$6.96,8. 6
Para calcularmos o valor da prestação ou da aplicação a situação cohecemos o valor atual, basta isolarmos R em (8). Dessa forma temos que em que R ( i) P ( i) i (9) Nota: Sem dúvida alguma, a prática, o cálculo da prestação quado cohecemos o valor presete é o mais utilizado. Exemplo 5.4 Um empréstimo de R$0.000,00 é cocedido por uma istituição fiaceira para ser liquidado em 4 prestações iguais, mesais e cosecutivas. Sabedo-se que a taxa de juros é de % ao mês, calcular o valor da prestação. Dados: P =0.000,000 = 4 prestações mesais i = % ao mês R =? Solução R ( i) P ( i) 4 i,0 0,0 0000 0000 0,059047 590,47 4,0 Logo, o valor de cada prestação é de R$590,47. Exemplo 5.5 Calcule o úmero de prestações semestrais de R$.500,00 cada uma, capaz de liquidar um fiaciameto de R$0.974,00, à taxa de 0% ao semestre. Dados: R = 500,00 P = 0974,00 i = 0% ao semestre =? 7
Solução: R, ( i) P ( i) (,669 ),,669, l,7 l,,669 0,669 i, 0, 500 0974,00,, 0, 0,669 0,669,,,,669,7558,79 4 semestres, 0, Logo, o úmero de prestações semestrais é igual a 4. Lista de Exercícios 5 ) Calcular o motate, o fial de aos, correspodetes à aplicação de 4 parcelas iguais e mesais de $.000,00 cada uma, detro do coceito de termos vecidos, sabedo-se que a taxa de juros é de,5% ao mês. ) Quato devo aplicar mesalmete durate 5 meses, à taxa de,5% ao mês, para que teha $ 50.000,00 o fial do 5 mês, detro dos coceitos de termos atecipados? ) Um veículo zero km foi adquirido por $ 0.000,00, sedo 70% fiaciados em parcelas iguais. Sabedo-se que a fiaceira cobra uma taxa de 4,5% ao mês, calcular o valor da prestação mesal. 5.7. Sistemas de Amortização 5.7. Sistema Fracês de Amortização (Tabela Price) O Sistema Fracês de Amortização é mais cohecido o Brasil como Tabela Price. Esse sistema cosiste em um plao de amortização de uma dívida em prestações periódicas iguais e sucessivas, detro do coceito de termos vecidos, em que o 8
valor de cada prestação, ou pagameto, é composto por duas parcelas distitas: uma de juros e outra de capital (chamada amortização). É importate ressaltar que o Sistema Fracês (ou Tabela Price) ão implica ecessariamete prestações mesais, como se etede ormalmete. As prestações podem ser também trimestrais, semestrais ou auais, desde que sejam iguais, periódicas, sucessivas e de termos vecidos. Nota: A deomiação Tabela Price se deve ao ome do matemático, filósofo e teólogo iglês Richard Price, que icorporou a teoria dos juros compostos às amortizações de empréstimos (ou fiaciametos). A deomiação Sistema Fracês, de acordo com o autor citado, deve-se ao fato de o mesmo ter-se efetivamete desevolvido a Fraça. Para calcular o valor das prestações utilizaremos a mesma fórmula das séries de pagametos com termos vecidos, isto é, R ( i) P ( i) i A parcela de juros é obtida multiplicado-se a taxa de juros (mesal, trimestral, semestral ou aual) pelo saldo devedor existete o período imediatamete aterior (mês, trimestre, semestre ou ao). A parcela de amortização é determiada pela difereça etre o valor da prestação e o valor da parcela de juros. Assim, o valor da parcela de juros referete à primeira prestação de uma série de pagametos mesais é igual à taxa mesal multiplicada pelo valor do capital emprestado ou fiaciado (que é o saldo devedor iicial). Situação 5.5. Calcular os valores das parcelas de juros e amortização referete à primeira prestação, de um empréstimo de $ 8.50,0, à taxa de % ao mês, para ser liquidada em 0 prestações iguais. 9
a) Valor prestação R ( i) P ( i) 0 i,0 0,0 850,0 0,0 R = 8.50,0 0,7 =.000,00 b) Valor da parcela de juros (J) J = i P = 0,0 x 8.50,0 = 55,9 c) Valor da parcela de amortização (A) A = R J =.000,00 755,9 = 744,09 Para que possamos determiar as parcelas de juros e as parcelas de amortização correspodetes às demais prestações, é ecessário covecioar o seguite: Jt é a parcela de juros referete ao período de ordem t (t =,,,..., ) At é a parcela de amortização referete à prestação de ordem t (t =,,,...,) Pt é o saldo devedor referete ao período de ordem t (t = 0,,,,..., -) O valor da parcela de juros referete à primeira prestação será represetado por J, da seguda por J, da quita por J5 e assim sucessivamete. Da mesma forma para as parcelas de amortização. Quato ao saldo devedor, o saldo iicial será represetado por P0.O saldo devedor o fial do primeiro período, após a dedução da primeira amortização A, será represetado por P, e o saldo devedor o fial do segudo período, após a dedução da seguda amortização A, será represetado por P, e assim por diate. Geeralizado, temos P P J t t t t i P A t A R J t t Voltado ao exemplo, vamos calcular as parcelas de juros e amortização referetes à seguda prestação. P P J A 0 A i P R J 850,0 744,09 7786, 0,0 7786,,58 000,58 766,4 0
Assim, operado da mesma forma para as demais prestações, teremos os valores apresetados a Tabela 5. para a série de 0 prestações, que deomiaremos Plao de Pagameto do Empréstimo. Tabela 5.: Plao de Pagameto do Empréstimo: sistema fracês. t Saldo Devedor Pt Amortização At Juros Jt Prestação R 0 8.50,0 - - - 7.786, 744,09 55,9.000,00 7.09,69 766,4,58.000,00 6.0,8 789,4 0,59.000,00 4 5.47,9 8,09 86,9.000,00 5 4.579,7 87,48 6,5.000,00 6.77,0 86,6 7,9.000,00 7.88,6 888,49,5.000,00 8.9,47 95,4 84,86.000,00 9 970,87 94,60 57,40.000,00 0-970,87 9,.000,00 Total - 8.50,0.469,80 0.000,00 Fote: Vieira Sobriho, 006 5.7. Sistema de Amortização Costate (SAC) O Sistema de Amortização Costate (SAC) cosiste em um plao de amortização de uma dívida em prestações periódicas, sucessivas e decrescetes em progressão aritmética, detro do coceito de termos vecidos, em que o valor de cada prestação é composto por uma parcela de juros e outra parcela de capital (ou amortização). A parcela de capital é obtida dividido-se o valor do empréstimo (ou fiaciameto) pelo úmero de prestações, equato o valor da parcela de juros é determiado multiplicado-se a taxa de juros pelo saldo devedor existete o período imediatamete aterior.
Geeralizado, temos que, o SAC, o valor da amortização costate é dado por P0 A em que P0 é o valor do empréstimo ou do fiaciameto que é igual ao saldo devedor iicial, e é o úmero de pagametos ou prestações. O valor do saldo devedor de ordem t é P t A ( t) O valor da parcela de juros de ordem t é O valor da prestação de ordem t é R J t t i Pt i A( t ) A J t, A i t Situação 5.6 Elaborar um plao de pagametos, com base o Sistema de Amortização Costate, correspodete a um empréstimo de $ 00.000,00, à taxa de % ao mês, a ser liquidada em 0 prestações mesais. A amortização costate é dada por temos: ª prestação: R A J P0 A 00.000 0.000 0 0.000 0,000.000, e dessa forma,.000 prestação: R A J 0.000 0,090.000. 700 em que o valor $ 90.000,00 refere-se ao saldo devedor existete o período imediatamete aterior, após o pagameto da ª. parcela de amortização de $ 0.000,00. A Tabela 5. apreseta o plao global de pagameto com os valores das prestações desdobrados em amortizações e juros.
Tabela 5.: Plao de pagameto do empréstimo: sistema SAC. T Saldo Devedor Pt Amortizações Costates (A) Juros Jt Prestações Rt 0 00.000,00 - - - 90.000,00 0.000,00.000,00.000,00 80.000,00 0.000,00.700,00.700,00 70.000,00 0.000,00.400,00.400,00 4 60.000,00 0.000,00.00,00.00,00 5 50.000,00 0.000,00.800,00.800,00 6 40.000,00 0.000,00.500,00.500,00 7 0.000,00 0.000,00.00,00.00,00 8 0.000,00 0.000,00 900,00 0.900,00 9 0.000,00 0.000,00 600,00 0.600,00 0-0.000,00 00,00 0.00,00 Total - 00.000,00 6.500,00 6.500,00 Fote: Vieira Sobriho, 006 Aalisado a Tabela 5., podemos verificar que as prestações decresceram a uma razão costate de $ 00,00, razão essa dada pela multiplicação da taxa pela amortização costate, ou seja, 0,0 x 0.000,00 = 00,00. Lista de Exercícios 6 ) Fazer um plao de amortização de um empréstimo de R$ 8.50,0, a ser liquidado em 0 prestações pela Tabela PRICE, com a taxa de juros de % ao mês. ) Fazer um plao de amortização de um empréstimo de R$ 7.000,00, a ser liquidado em 9 prestações pelo sistema de amortização costate, com a taxa de juros de,4% ao mês.
) Motar o plao de amortização de uma dívida de R$ 00.000,00 a serem pagos em 5 prestações auais, a uma taxa de % ao ao, de acordo com o sistema de amortização costate (SAC). Caro(a) aluo(a). Chegamos ao fial deste Capítulo em que estudamos os coceitos básicos de Matemática Fiaceira. Para se aprofudar o coteúdo estudado, sugerimos que você cosulte as bibliografias básicas, Vieira Sobriho (006) e Puccii (0), e também as complemetares, Puccii (006), Samaez (006) e Veras (00). 4
Respostas dos Exercícios Lista ) a)$080,00 b) $040,00 c) $070,8 ) a) $0500,00 b),57% ) 0 meses. 40 meses. 4) 6,67% a.m. 5) 8, aos Lista ) i = 5,75% a.m. i = 0,4% a.d.; i = 7,% a.m.; i =,59% a.t.; e i =,% a.a. Lista 5 ) $ 6.666,5 ) $ 7.669,04 ) $ 6.888,59 CAPÍTULO 5 Lista ) $ 44.504,9 ) 5 trimestres (ou 5 meses) ) $.708.984,8 4) 9 meses. meses. Lista 4 ) R$ 64.0,00. ),4%. ) R$ 0.66,. 4) R$ 78.858,. 5) 4,6% ao mês. 5
Referêcias PUCCINI, A. L. Matemática fiaceira objetiva e aplicada. 7.ed. São Paulo: Saraiva, 006. PUCCINI, E. C. Matemática fiaceira e aálise de ivestimetos. Floriaópolis: Departameto de Ciêcias da Admiistração / UFSC; [Brasília]: CAPES : UAB, 0. 04p. SAMANEZ, C. P. Matemática fiaceira: aplicações à aálise de ivestimetos. 4.ed. São Paulo: Pearso, 006. 88p. VERAS, L. L. Matemática fiaceira. 4 ed. São Paulo: Atlas, 00. VIEIRA SOBRINHO, J. D. Matemática fiaceira. 7.ed. São Paulo: Atlas, 006. 46p. 6