x x lim x 4 x 4 5x 4 3x (k) lim 5x 2 + 2x 1 x 2 3x + 1 x 3 x 2 + x 1 lim 3x 5 x 5x 2 + 2x 1 lim x 0 x 4x + 1 2x 2 + 5x 1 lim lim

Transcrição

1 Universidade de São Paulo Escola Superior de Agricultura Luiz de Queiroz Departamento de Ciências Eatas LCE Cálculo I Eercícios Limites: Infinitos, no infinito, fundamentais, assíntotas e continuidade. Calcule os seguintes ites: (a) 2 (b) ( ) 25 2 (c) 6 3 (d) 2 (e) ( ) (f) (g) 4 (h) ( ) (i) (j) (k) (l) (m) 3 5 (n) (o) (p) (q) (r) 3 4 (s) e (t) (u) (v) (w) e Calcule os ites: (a) (b) (c) 8 3 ( 3) ( ) (d) (e) (f) ( ) (g) (h) (i) (j) (52 3) 2 + (k) (l) (m) + 0 ( ) 3. Nos eercícios abaio, ache as assíntotas horizontais e verticais do gráfico de cada função e trace o gráfico: (a) f () = 5 3 (b) f () = (c) f () = (d) f () = (e) f () = ( + 2) 2 (f) f () = (g) f () = Usando o primeiro ite fundamental, calcule os ites abaio:

2 sin(8) (a) 0 (b) 0 sin() sin(2) 2arcsin() (c) 0 3 sin(7) (d) 0 sin(2) (e) 0 sin 2 (/3) 2 sin() sin(a) (f) a a sin 2 (3) (g) 0 (h) 0 sin(2) cos() (i) sin( ) 2 (j) 0 sin(3 2 ) (k) 0 cot() (l) 0 arctan(2) sin(3) 5. Usando o segundo ite fundamental, calcule os ites abaio: (a) (b) Dica (g): ( + ) 3 ( ( 2 + (c) 0 3 ) (d) 2 2 = + ) 2 (2 + ) 2 (e) (f) (g) ( ) + ( + 2) A equação de Michaelis-Menten é usada para modelar a velocidade de uma reação química em função da concentração de substrato. Na agricultura, muitas vezes é utilizada para descrever a velocidade de absorção de um nutriente pela planta em função da concentração do nutriente no solo. A equação de Michaelis-Menten é dada por V () = v k +, 0 em que V () é a velocidade de absorção, é a concentração do nutriente na solução presente no solo e v e k são parâmetros positivos. Considere v = 5 M/s e k = 0 M. (a) Com o auílio de ites, determine qual é a velocidade de reação quando a concentração de nutriente tende a zero; (b) Qual o comportamento ite da função quando +? (c) Desenhe o gráfico da função e indique, com base no comportamento ite da função no item (b), qual o nome que poderíamos atribuir ao parâmetro v? 7. A equação de Mitscherlich (909) é amplamente utilizada para modelar a produtividade das safras em função da adubação, sendo epressa por y() = A( e c ), 0 em que y() é a produtividade obtida com a dose de adubo, A é o valor máimo que a produção pode atingir e c é um parâmetro positivo. 2

3 Mas, de acordo com Cerrato & Blackmer (990), muitos agrônomos preferem utilizar o modelo abaio como alternativa para a equação de Mitscherlich: g() = a + b + c, 0 em que g() é a produtividade obtida com a dose de adubo e a, b e c são parâmetros reais. Suponha que, após a realização de um eperimento de adubação, obteve-se o seguinte resultado: Produtividade (kg/ha) Mitscherlich Cerrato et al Dose de Nitrogênio (Kg/ha) y() = 99,59( e 0,05 ) e g() = 38,07, ,97. (a) Encontre os valores ites para as funções y() e g() quando as doses são insignificantes, ou seja, tendem a zero. (b) Com base no resultado encontrado no item (a), compare os modelos sob o ponto de vista agronômico. (c) O que acontece com os valores das funções y() e g() se tomarmos dose arbitrariamente grandes? (d) Com base no resultado encontrado no item (c), compare os modelos sob o ponto de vista agronômico. 8. Um ensaio de dose-resposta é conduzido para avaliar a eficácia de um novo pesticida sobre uma população de insetos que causa prejuízo no campo. O estudo conclui que a probabilidade de um inseto morrer logo após a aplicação do inseticida é de p() =, () + e8 0,05 3

4 em que 0 é a dose ministrada, em µg. (a) Desenhe o gráfico da função com o auílio de uma tabela de valores (considere indo de 0 a 300 µg). (b) Com o auílio dos ites, estude a probabilidade de sucesso p() quando a dose é ecessiva. Qual é o significado biológico do resultado? (c) Qual é o valor ite para a probabilidade de sucesso p() quando a dose aplicada é insignificante, ou seja, quase nula? Qual é o significado biológico para o valor encontrado? 9. Determine k tal que a seguinte função seja contínua em qualquer intervalo: { k,0 < 2 f () = 3 2,2 0. Verifique se a função dada é contínua para o valor especificado de : (a) f () = em = 2 (b) f () = +2 + em = (c) f () = em = 2 2 (d) f () = 4 { em = 4 +, para 2 (e) f () = 2, para > 2 em = 2 { 2 +, para 3 (f) f () = 2 + 4, para > 3 em = 3 { 2 (g) f () = +, para 2 3, para > em =. Suponha que a temperatura do ar é 30 o F. Nesse caso, a sensação térmica (em o F) para uma velocidade do vento v (em minhas por hora) é dada por 30, para 0 4 W(v) =,25v 8,67 v + 62,3, para 4 < v < 45 7, para v 45 (a) Qual é a sensação térmica para v = 20 milhas por horas? E para v = 50 milhas por horas? (b) Que velocidade do vento produz uma sensação térmica de 0 o F? (c) A função sensação térmica W(v) é contínua em v = 4? E em v = 45? 2. Se uma esfera oca de raio R é carregada com uma unidade de eletricidade estática, a intensidade do campo elétrico E() em um ponto P situado a uma distância de 4

5 unidade do centro da esfera é dada por: E(v) = 0, para 0 < < R 2 2, para = R 2, para > R Faça um gráfico de E(). A função é contínua para > 0? Respostas. (a) 0 (e) + (i) 0 (m) + (q) (u) (b) + (c) 25 6 (f) 2 (g) + (j) + (k) + (n) + (o) 0 (r) + (s) + (v) 0 (d) 0 (h) (l) 0 (p) (t) 2 (w) 2 2. (a) + (d) + (g) (j) + (m) + (b) + (e) (h) (k) (c) (f) + (i) + (l) + 3. (a) A.V.: = /3A.H.: y = 5/3 (b) A.V.: = 3/5, A.H.: y = 3/5 (c) A.V.:, A.H.: y = 2 e y = 2 (d) A.V.: = 2 e = 2, A.H.: y = 0 5

6 (e) A.V.: = 2, A.H.: y = 0 (g) A.V.: = 0 e = 3/2, A.H.: y = (f) A.V.: = 3 e = 3, A.H.: y = 2 4. (a) 8 (d) 7 2 (g) 0 (j) 3 (b) (e) 9 (h) (k) (c) 2 3 (f) cos(a) (i) 2 (l) (a) e 3 (c) (b) e (d) e (e) e (f) 0 (g) e 6 6. (a) Devemos calcular o ite lateral à direita de V () quando tende ao zero: 0 + v + k = = = 0 +( + 0) 0 0 = 0. 6

7 (b) Devemos calcular o ite de V () quando tende ao infinito: v + k =? Para realizar tal tarefa, dividiremos o numerador e o denominador da função racional pela potência de maior grau. No caso de v = 5 e k = 0, temos que v ( ) = v + k = v. 5 ( ) = = 5M/s. (c) O parâmetro v caracteriza uma assíntota horizontal que representa o valor máimo que a velocidade de reação (ou absorção) V () pode atingir. 7. (a) Devemos calcular os ites laterais à direita de y() e g() quando tende ao zero: [ y() = A( e c ) = A e c] = A( e 0 ) = Assim, y() 0 quando 0 +. Por outro lado, g() = (a + b + c ) = a + b + c = a Dessa maneira, g() a = 38,07 quando 0 +. (b) O modelo de Mitscherlich indica que não há produção se a dose é insignificante. Enquanto isso, o modelo descrito por Cerrato & Backmer resulta em uma produtividade negativa para doses desprezíveis, o que não possui sentido prático. (c) Devemos calcular os ites de y() e g() quando tende ao infinito: [ y() = A( e c ) = A e c] = A( e ) = A. Assim, y() A = 99,59 quando +. Por outro lado, Ou seja, g() = (a + b + c ) = a + b + c. g() = 38,07, ,97 = + (indeterminado). 7

8 Por meio de racionalização, temos que (29,97,65) = (29,97,65) (29,97 +,65) (29,97 +,65) (898,20 2,72 2 ) = (29,97 +,65). (2) Agora, devemos dividir o numerador e o denominador pela potência de maior grau: ( 898,20 Dessa maneira, g() se +. ) 2,72 ( ) = 2,72 29,97 3 +,65 0 =. (3) (d) No modelo de Mitscherlich a produtividade caminha para um valor máimo à medida 8. (a) a que a dose aumenta. Por outro lado, no modelo descrito por Cerrato & Blackmer a produtividade atinge valores arbitrariamente grandes e negativos, o que é absurdo sob o ponto de vista agronômico. No entanto, para escala de doses utilizada no eperimento, as duas funções descrevem bem a relação. (b) Devemos calcular o ite de p() quando tende ao infinito: + ep(8 0,05) = + ep ( 8 0,05) = =. + e O significado biológico desse resultado é o seguinte: a probabilidade do inseto morrer é de (a morte é certa) se tomarmos uma dose suficientemente grande. (c) Uma dose insignificante é uma dose muito pequena (tão pequena quanto quisermos), mas ainda maior que zero. Então devemos calcular o ite lateral à direita da função quando tende a zero ep(8 0,05) = + ep ( ,05) = 8 + e 8 = 0,

9 9. k = 6 O significado biológico por trás desse resultado é o seguinte: a probabilidade do inseto que recebeu dose nula morrer durante o período de avaliação é praticamente zero (0, 03%). 0. (a) contínua (c) não contínua (e) não contínua (g) contínua (b) contínua (d) não contínua (f) contínua. (a) 3,8; -7 (b) 25 milhas por hora (c) contínua 2. a A função é contínua somente para > R, portanto, no intervalo aberto (0, ) a função não é contínua. 9