Relatório Coppead é uma publicação do Instituto COPPEAD de Administração da Universidade Federal do Rio de Janeiro (UFRJ)

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1 Relaório Coppead é uma publicação do Insiuo COPPED de dminisração da Universidade Federal do Rio de Janeiro (UFRJ) Comissão de Pesquisa ngela Rocha Paulo Fernando Fleury Ricardo Leal Gerência de Publicações Simone da Rocha Weizel Projeo Gráfico Raquele Mendes Coelho Edioração Elerônica driana Bapisa Pereira Revisão e Copidesque Cláudia Figueiredo Ficha Caalográfica elaborada pela Biblioeca do COPPED/UFRJ Donangelo, ndrés Esimadores de volailidades para modelos de valor em risco de aivos lineares e não-lineares : invesigação para períodos de crises e esáveis no mercado brasileiro/ ndrés Donangelo; Wallace C.P. da Silva; Eduardo Facó Lemgruber. Rio de Janeiro: UFRJ/COPPED, p.; 27 cm. (Relaórios COPPED ; 328). ISBN ISSN: Finanças I. Silva, Wallace C.P.da II. Lemgruber, E.F. III. Tíulo IV. Série Cenral de aendimeno Caixa Posal Ilha do Fundão Rio de Janeiro RJ Telefone: Fax: aendimeno@coppead.ufrj.br Home-page: hp://

2 Esimadores de Volailidades para Modelos de Valor em Risco de ivos Lineares e Não-Lineares: Invesigação para Períodos de Crises e Esáveis no Mercado Brasileiro ndrés Donangelo Wallace Clayon Porcino da Silva Eduardo Facó Lemgruber O cálculo paramérico do Valor em Risco (VaR) uiliza como um dos seus parâmeros a volailidade do aivo-objeo. Ese rabalho procura deerminar o melhor esimador para esse parâmero, fazendo uma comparação enre os méodos hisórico com janela de empo fixa, hisórico com alisameno exponencial () e a volailidade implícia das opções, para careiras formadas somene por aivos lineares e careiras formadas somene por aivos não-lineares. meodologia é esada na análise de risco de ações e opções de compra da Telebrás, para o período das crises da Rússia e cambial brasileira, e para o período de maior esabilidade subseqüene. Os resulados indicam que para o caso de ações da Telebrás, as volailidades hisórica e apresenam resulados superiores. Para o caso das opções, a volailidade implícia apresena melhores resulados agregados, porém quando as mesmas são agrupadas segundo a proximidade do dinheiro, as volailidades hisórica e mosram desempenho superior. Os modelos VaR para odos os esimadores apresenam desempenho superior em períodos de esabilidade, em comparação aos períodos de crise analisados. 1. INTRODUÇÃO análise de risco vem crescendo em imporância no mercado financeiro como insrumeno de gerenciameno de porfólios. deerminação do Valor em Risco, VaR, das careiras de negócios, se ornou um padrão para as insiuições financeiras na análise e mensuração de risco. O VaR é uma medida quaniaiva do risco de mercado de um porfólio que esima a perda máxima em deerminado horizone de empo para um dado inervalo de confiança. 1 escolha do inervalo de confiança e do horizone de empo são arbirários, dependendo da insiuição e da naureza do porfólio que esá sendo gerenciado. 1 Para maiores dealhes, ver Jorion (1997).

3 2 s duas formas mais comuns de aplicação do VaR são a paramérica e a nãoparamérica. primeira implica na suposição de uma disribuição gaussiana de reornos do aivo, ou do porfólio, onde o VaR depende oalmene da volailidade esimada para a disribuição. O méodo não-paramérico analisa os reornos passados do aivo, ou do porfólio, e deermina o VaR em função do conjuno dos piores reornos para um dado percenil. Nese caso, a suposição passa a ser a de qualquer que seja a disribuição de reornos observada no passado, ela se repeirá no fuuro. 2 pesar de exisirem ouros méodos para o cálculo do VaR de forma paramérica, os méodos mais uilizados são o Dela-Normal, para aivos lineares, e o Dela-Gama, para aivos não-lineares. 3 O parâmero de volailidade do modelo represena o comporameno fuuro dos reornos do porfólio, e o méodo apresena grande sensibilidade à esimaiva desse parâmero. forma mais uilizada para a esimaiva da volailidade é baseada no reornos passados, o que pode ser inadequado. Um méodo que não depende do passado é a uilização da volailidade implícia observada nos negócios com opções. 4 Essa volailidade represena a expecaiva dos paricipanes do mercado em relação ao comporameno e risco fuuro do aivo-objeo. Os primeiros rabalhos empíricos sobre opções negociadas nas bolsas de Chicago basearam-se na meodologia do cálculo da volailidade hisórica. 5 Em seguida, Laané & Rendleman (1976), e Beckers (1981), enre ouros auores, argúem que a volailidade implícia é um melhor esimador da volailidade fuura. Recenemene, né e Geman (1999), analisando os negócios com o índice S&P 500, sugerem um novo esimador de risco relacionado ao nível dos negócios nas bolsas. pesar de os auores acrediarem que a meodologia proposa é superior às radicionais, hisóricas, a melhoria observada não pode ser considerada esaisicamene superior. maioria dos rabalhos procura enconrar qual o melhor esimador de volailidade sem a preocupação de qual porfólio esá sendo analisado. Ese rabalho se propõe a esar qual é o melhor esimador da volailidade para uso específico em porfólios só de ações, ou só de opções. Nese senido, compara-se a acurácia dos cálculos do valor em risco para careiras de ações ou de opções da Telebrás, no período de março de 1998 aé agoso de 1999, esimados pelas meodologia hisórica, e implícia. Os resulados são validados aravés do ese de proporção de falhas sugerido por Kupiec (1995) Ver El-Jahel e al (1999). Ver Jorion (1997) e Riskmerics TM (1996). Ver Lemgruber (1995). Ver Galai (1997), e Blak & Scholes (1973), enre ouros ciados em Hull (1999).

4 3 Ese rabalho organizou-se em cinco seções, incluindo a presene inrodução. Na segunda seção é feia uma breve descrição dos modelos de VaR uilizados e da meodologia de verificação de acurácia proposa. Na erceira e na quara seções são descrios os dados e a meodologia uilizados, apresenando os resulados obidos. O rabalho é encerrado com conclusões e sugesões para pesquisas fuuras. 2. DEFINIÇÃO D MOSTR Os dados uilizados no presene rabalho são: 247 preços de fechameno de ações preferenciais da Telebrás, e 726 preços de 25 séries de opções de compra dese papel, no período enre 16/03/98 e 10/08/99. O valor presene dos preços de exercício das séries siua-se enre 75% e 242% do preço do aivo-objeo, indicando uma grande variação do preço spo da Telebrás no período. O mercado de axas de juro de CDI e DI fuuro é uilizado para a esimaiva da axa livre de risco. 6 Os dados são filrados para eliminar possibilidades de arbiragem. Preços de opções menores que a diferença enre o valor presene do preço de exercício e o preço da Telebrás, que indicam possibilidade de arbiragem, são eliminados de forma a reduzir o problema de assincronismo advindo do uso de preços de fechameno. Uilizam-se somene as séries com mais de 40 observações consecuivas. 7 Eses criérios eliminam oio das 25 séries iniciais. s séries resanes nos eses esão resumidas na Tabela 1. Tabela 1 Séries de opções de compra da Telebrás selecionadas. Toal de 17 séries com dez valores de preço de exercício, no período de 13/08/98 a 17/06/99. s colunas min e máx indicam os valores mínimos e máximos, respecivamene, que o presene valor do preço de exercício ficou em relação ao preço da ação. coluna Série informa o valor em reais do preço de exercício e uiliza um índice numérico para diferenciá-las. Série Min Máx Série Min Máx 80 81% 138% % 225% % 156% % 113% % 105% % 242% % 173% % 104% % 116% % 110% % 190% % 103% % 128% % 117% % 157% % 117% % 208% 6 7 s séries de opções foram formadas a parir de um banco de dados cedido pelo Banco do Brasil. s séries de CDI CETIP Exragrupo foram formadas a parir da base de dados do banco BBM. s séries de DI fuuro foram formadas a parir da base de dados da BM&F. Os preços represenam fechamenos diários das operações deses papéis realizados na Bovespa. Procurou-se eliminar as séries que não apresenaram liquidez saisfaória dado o período de observações.

5 4 3. METODOLOGI São esados rês diferenes esimadores de volailidade: hisórico uilizando média móvel com prazo fixo (janela), hisórico com alisameno exponencial (), e a volailidade implícia. Os dois primeiros baseiam-se nas séries de reornos calculados pela diferença enre os logarimos neperianos dos preços de fechameno da Telebrás. O úlimo baseia-se nos preços das opções negociadas na BOVESP. 3.1 Volailidade Uilizando Média Móvel com Janela Fixa Ese méodo uiliza a série hisórica de preços. Ele consise, basicamene, no cálculo do desvio padrão dos reornos aneriores ao dia do cálculo, referenes à janela considerada. s volailidades calculadas pela Equação 1, por serem diárias, são anualizadas aravés da Equação 2. 8 σ diária (, n) = n = 1 ( R R) n (1) σ (, n) = 252 σ ( n) anual diária, (2) Onde, σ diária (, n) é a volailidade diária, σ anual (, n) é a volailidade diária anualizada, R é o reorno diário do dia, calculado como a diferença dos logarimos neperianos dos preços, R é o média dos reornos diários da janela, n é o amanho da janela, no caso 21 dias. Budoukh e al (1997) julgam o méodo de média móvel para esimaiva de volailidade como ingênuo, por não considerar a evolução da esruura da volailidade ao longo do empo e por aribuir pesos iguais a odas as observações passadas. Como vanagens, os auores ciam a menor sensibilidade a valores exremos e o fao de possuir apenas um parâmero, referene ao período passado considerado. rbirariamene, escolheu-se um período para a janela de 21 dias úeis, aproximadamene igual a um mês de negócios. 8 O ano considerado é composo por 252 dias úeis.

6 5 3.2 Volailidade com lisameno Exponencial ( ( ) Uma forma de capurar a dinâmica da volailidade é uilizar uma média móvel com decaimeno exponencial das observações hisóricas, sendo que as observações mais recenes recebem maior peso 9. grande vanagem é o aumeno da velocidade da reação a choques com a uilização de pesos maiores para observações mais recenes. Para esimar a volailidade aravés desse méodo, deermina-se o peso para a úlima observação, denoado por λ, e incorpora-se a observação de reorno do dia com um peso (1-λ). O valor de λ uilizado foi de 0,94, obido aravés da minimização dos erros quadráicos. 10 O cálculo da volailidade hisórica aravés do méodo é mosrado na Equação 3. Os resulados obidos são ransformados em volailidades diárias anualizadas pela muliplicação da raiz quadrada de ( σ, 1 ( λ) ( ) + 2 σ, = R 1 λ (3) Onde, λ é o parâmero de decaimeno exponencial, e σ, é a volailidade calculada segundo o alisameno exponencial no dia. 3.3 Volailidade O cálculo da volailidade implícia, parindo-se dos preços de fechameno das opções de compra da Telebrás, não depende das séries de preços passadas. Se o modelo de Black & Scholes é válido, ele pode ser usado para ober a esimaiva da volailidade que faz com que o preço sugerido pelo modelo convirja para o preço negociado na bolsa. axa livre de risco uilizada é obida no mercado de CDI e de DI fuuro. axa de juro esperada aé o vencimeno de cada conrao é obida aravés da inerpolação linear realizada enre a axa do conrao fuuro com vencimeno imediaamene anerior ao vencimeno da opção, ou o CDI, e a axa do conrao fuuro que vence imediaamene após o vencimeno da opção. Devido a exisência de mais de uma série de opções negociadas no mesmo dia e que, consisenemene, indicam volailidades implícias diferenes, MacBeh & Merville (1979) esimam a volailidade implícia, que melhor represena o comporameno fuuro do aivo objeo, como sendo a da opção mais no dinheiro, pois apresena maior número 9 10 Ver Riskmerics (1996) e Budoukh e al (1997). Ver Riskmerics (1996) p

7 6 de negócios. Murphy & Gareh (1994) indicam que as opções no dinheiro são as que apresenam maiores valores de gama e vega, 11 e são ambém as mais negociadas. Com o objeivo de se enconrar apenas um valor diário de esimaiva de volailidade implícia, os diferenes valores enconrados são ponderados pelos gamas das opções, o que de forma indirea, acarrea em uma ponderação pela liquidez das mesmas. σ m σ implício, i, implício, = i= 1 m i= 1 Γ i, Γ i, Onde, σ implícia, é a volailidade implícia ponderada pelo gama no dia, σ implícia, i, é a volailidade implícia da opção i no dia, m é o número de opções consideradas no dia, Γ i, é o gama da opção i no dia. (4) 3.4 Cálculo do VaR Lemgruber e Ohanian (1997) indicam a preferência do uso da meodologia de cálculo do valor em risco sugerida pelo Riskmerics (1996) pelos bancos e insiuições financeiras no Brasil. Desa maneira, o VaR da Telebrás é calculado, diariamene, por: VaR Telebrás α σ 1 (5), = Onde, σ i é a volailidade considerada, hisórica com janela fixa, hisórica com alisameno exponencial ou implícia e α o coeficiene Z da disribuição normal (0,1). Nesse rabalho usou-se um nível de significância de 97,5% bicaudal e, porano, α = 1,96. O presene rabalho visa a análise dos riscos ano de uma careira comprada, como de uma careira vendida do aivo. Para esse ipo de esudo, o VaR precisa ser calculado ano para reornos negaivos, quano para reornos posiivos. Com isso, o coeficiene α da Equação 5 represena um ese de falhas bicaudal. Para aivos não-lineares, o Riskmerics (1996) sugere a meodologia Dela- Gama. Não é objeivo desse rabalho criicar as meodologias exisenes de cálculo de VaR de aivos não lineares. Como as meodologias Dela-Gama e de simulação 11 Segundo Lemgruber (1995), o gama de uma opção é a segunda derivada de seu preço em relação ao preço do aivo-objeo. O vega de uma opção é a primeira derivada do preço da opção em relação à volailidade.

8 7 apresenam resulados muio parecidos para apenas uma opção, opou-se pelo primeiro por ser de mais fácil implemenação. O VaR das opções de compra de Telebrás é calculado aravés da Equação 6: 1 VaR opções, = VaR Telebrás, ± Γ VaR 2 2 Telebrás, Onde é a primeira derivada do preço da opção em relação ao preço do aivo objeo (dela), Γ é a segunda derivada do preço da opção em relação ao preço do aivo objeo (gama). (6) O sinal do segundo ermo do lado direio da Equação 6 depende da operação realizada. Para posições longas, compradas, o sinal é negaivo, reduzindo-se o risco, dado a caracerísica de rava de uma operação comprada de opções. Já para operações de venda de opções de compra, o sinal é posiivo, indicando um aumeno de risco desas operações. 3.5 Verificando a curácia da Esimaiva do VaR Kupiec (1995) sugere dois eses para verificação da acurácia do VaR calculado. O primeiro é um ese de empo aé a primeira falha, que analisa quando o valor absoluo do reorno supera o VaR pela primeira vez. Ele em como vanagem conseguir resulados de forma mais rápida quando não exisem dados hisóricos para a análise, mas em como desvanagem uilizar apenas a informação da primeira falha, e não do oal de falhas enconradas na amosra. O segundo ese, que será usado nesse rabalho, é baseado na proporção de falhas enconrada na amosra analisada. O ese de proporção de falhas é baseado na axa de verossimilhança para a hipóese nula que, segundo Kupiec (1995), represena a forma mais poderosa para um ese de proporção de falhas. esaísica de axa de semelhança, nesse caso, é dada pela Equação 7. * n x * x [( 1 p ) ( p ) ] PF = 2 Log + 2 Log 1 x n n x x n x (7) Onde, PF é a proporção de falhas, p* é a probabilidade de falha sob a hipóese nula, n é o amanho da amosra e x o número de falhas da amosra.

9 8 Sob a hipóese nula, onde p = p*, a proporção de falhas é igual ao nível de significância desejado, e em uma disribuição chi-quadrada com 1 grau de liberdade. região de número de falhas onde não se pode rejeiar a hipóese nula é deerminada pela inerseção da PF e da função chi-quadrada. Para um dado amanho da amosra e um dado nível de significância obêm-se os limies inferior e superior denro dos quais a hipóese nula não pode ser rejeiada. 4. RESULTDOS Para cada série de opções e para Telebrás, são realizados backess que comparam o VaR diário com os reornos reais observados. Cria-se enão uma nova variável, que descreve as falhas no cálculo do VaR. Para valores absoluos do VaR maiores que os reornos absoluos observados, aribui-se a essa nova variável o valor 1 ; caso conrário, o valor 0. Para o caso das análises com séries de opções agrupadas, os valores aribuídos às falhas são corrigidos dividindo-se pelo número de séries em abero no dia da amosra, de forma reconhecer a mulicolinearidade de diferenes opções de um mesmo aivo-objeo. correção dos resulados para o caso da análise de opções agrupadas permie a uilização da meodologia de verificação de acurácia proposa por Kupiec (1995). O ese de acurácia baseia-se na comparação da conagem de valores 1, falhas, enconrados em cada backes com os limies imposos pela meodologia descria aneriormene. Quando a quanidade de falhas se enconra denro dos limies, o ese é considerado CEITO ; quando essa quanidade siua-se fora dos limies, o ese é considerado NÃO CEITO. Os resumos dos resulados podem ser visos nas abelas a seguir. O nível de significância adoado foi de 97,5%, por ser ese o valor usualmene uilizado nas insiuições financeiras na análise de risco de suas operações diárias. significância considerada é bicaudal para capurar ano o risco de posições compradas quano o risco de posições vendidas dos papéis. Os resulados para as ações da Telebrás e para as opções agregadas no período de 13/08/98 a 17/06/99 são exibidos na Tabela 2. ravés da meodologia de verificação de acurácia de modelos VaR, as rês medidas de volailidade são aceias para o caso das ações, e rejeiadas para o caso das opções da Telebrás. No caso das opções, os rês modelos subesimam o poencial de perda, dado o nível de significância considerado.

10 9 Tabela 2 Percenual de falhas do modelo VaR para um nível de significância de 97,5% bicaudal segundo a meodologia de Kupiec (1995) para modelos de volailidade hisórica de 21 dias, (λ =.94), e implícia ponderada pelo gama das opções de compra, para 17 séries de opções de compra agregadas e ações da Telebrás para o período de 13/08/98 a 17/06/99. N indica que o número de falhas siuou-se fora dos limies, e em caso de aceiação. N Percenual de Falhas Kupiec Tese His. Exp. Impl. Lim.Inf. Lim.Sup. His. Exp. Impl. Tel % 3.24% 3.64% 2.83% 8.10% Opções % 10.93% 8.80% 2.83% 8.10% N N N Tabela 3 exibe os resulados para cada uma das séries de opções uilizadas no rabalho. s séries com maior grau de aceiação são as com maior preço de exercício. Dada a grande oscilação dos preços da Telebrás durane o período, não é possível afirmar a priori a ordem das séries ao longo dos períodos, o que é feio nas abelas seguines. Todos os resulados rejeiados são causados pela subesimação do VaR. Os cálculos, a parir das volailidades implícias, apresenam a melhor proporção de aceiações, 65% das séries, em comparação com a hisórica, 35%, e, 47%. Os resulados de cera forma são diferenes dos apresenados na Tabela 2, onde odos os esimadores foram rejeiados para o caso das opções. s possíveis explicações são: a redução do número de observações aumenou o inervalo de aceiação e/ou os erros se concenraram em deerminadas séries de opções. Tabela 3 - Falhas do modelo VaR para um nível de significância de 97,5% bicaudal segundo a meodologia de Kupiec (1995) para modelos de VaR com volailidades hisórica de 21 dias, (λ =.94) e implícia ponderada pelo gama das opções, de 17 séries de opções de compra da Telebrás, para um período de 13/08/98 a 17/06/99 mosra Percenual de Falhas Limies de ceiação Tese Inferior Superior ,92% 18,92% 21,62% 0,00% 13,51% N N N ,95% 19,51% 19,51% 0,00% 14,63% N N N ,09% 6,82% 2,27% 0,00% 13,64% ,60% 16,28% 16,28% 0,00% 13,95% N N N ,22% 13,04% 4,35% 0,00% 13,04% N ,43% 19,05% 21,43% 0,00% 14,29% N N N ,57% 15,22% 2,17% 0,00% 13,04% N N ,13% 28,13% 21,88% 0,00% 15,63% N N N ,18% 15,91% 13,64% 0,00% 13,64% N N ,07% 12,20% 14,63% 0,00% 13,63% N ,52% 2,17% 4,35% 0,00% 13,04% ,50% 25,00% 25,00% 0,00% 15,00% N N N ,00% 0,00% 0,00% 0,00% 12,77% ,67% 2,22% 4,44% 0,00% 13,33% ,30% 9,30% 2,33% 0,00% 13,95% ,67% 4,44% 4,44% 0,00% 13,33% ,91% 15,91% 13,64% 0,00% 13,64% N N

11 10 volailidade consane do modelo de Black-Schloes em sido sisemaicamene conesada em esudos empíricos. 12 O efeio do smile, que indica volailidades implícias disinas para diferenes preços de exercícios e prazos aé o vencimeno, comprova a violação do pressuposo da volailidade consane do aivo objeo. 13 Os eses que seguem são feios para deerminar se as diferenças das volailidades implícias enconradas nas opções selecionadas de acordo com a proximidade do dinheiro implicam em diferenças significaivas nos resulados dos esimadores de volailidades considerados. Para al, as opções são agrupadas de acordo com a relação enre o valor presene do seu preço de exercício e do preço da Telebrás. s observações das opções foram classificadas como denro do dinheiro IN quando esa relação era de mais de 105%; no dinheiro T quando siuou-se enre 105% e 95%, e como fora do dinheiro OUT quando foi menor que 95%. 14 Tabela 4 exibe os resulados dos eses de aceiação por grupo de opções. Por ese procedimeno, apenas a volailidade hisórica e foram aceias. Os modelos de VaR baseados na volailidade implícia não foram aceios para nenhum dos rês grupos. Tabela 4 - Falhas do modelo VaR para um nível de significância de 97,5% bicaudal segundo a meodologia de Kupiec (1995) para modelos de VaR com volailidades hisórica de 21 dias, (λ =.94) e implícia ponderada pelo gama das opções, de 17 séries de opções de compra da Telebrás e ações Telebrás, agrupadas de acordo com o a-he-moneyness. mosra Percenual de Falhas Limies de ceiação Tese Inferior Superior IN 147 6,80% 8,94% 22,05% 2,04% 9,52% N T 123 6,50% 6,50% 20,47% 2,44% 9,76% N OUT 127 4,72% 3,15% 13,39% 2,36% 9,45% N Os eses de acurácia do VaR das opções para odo o período de análise, uilizando os rês esimadores de volailidades proposos, apresenam resulados aquém dos esperados. Isso pode er sido causado pela grande volailidade enconrada no aivoobjeo durane o período de análise. O período incorporou duas grandes crises no mercado financeiro brasileiro. primeira, causada pela crise da Rússia, e a Segunda, causada pela crise cambial de janeiro de Separou-se o período de análise em rês subperíodos para se enar deerminar se exise diferença na acurácia do VaR para períodos com e sem crise. Os períodos ficaram divididos da seguine forma: 1 o período - de 13/08/98 a 22/10/98, que engloba a crise da Rússia, 2 o período - de 23/10/98 a Ver Dumas, Fleming e Whaley (1998). Ver Derman e Kani (1994) e Dupire (1994). Eses valores foram escolhidos de forma a disribuir da forma mais uniforme possível a disribuição das observações nos rês grupos.

12 11 25/02/99, que engloba a crise cambial brasileira, e 3 o período - de 26/02/99 a 17/06/99, período sem crise. No Gráfico 1, vêem-se as volailidades esimadas das rês formas proposas. Gráfico 1 Volailidade hisórica com média móvel de 21 dias, hisórica com alisameno exponencial () e implícia do modelo de Black-Scholes (1973), para a ação preferencial da Telebrás no período de 13/08/1998 a 17/06/ % 14.00% Crise na Rússia Crise Cambial Brasileira Período Pós-Crise 12.00% 10.00% 8.00% 6.00% 4.00% 2.00% 0.00% 13/08/ /08/ /09/ /09/ /10/ /10/ /11/ /11/ /12/ /12/ /12/ /01/ /01/ /02/ /02/ /03/ /03/ /04/ /04/ /05/ /05/ /06/ /06/1999 Tabela 5 mosra os resulados dos eses para as ações da Telebrás e para as opções de forma consolidada já com a divisão em subperíodos. Os resulados para a Telebrás indicam a aceiação de odos os esimadores de volailidade nos períodos, à exceção do úlimo, onde apenas a hisórica é aceia segundo a meodologia de Kupiec. O resulado para as opções de compra, por ouro lado, indicam a rejeição de odos os esimadores de volailidade para o primeiro período. No segundo período, apenas a implícia é aceia, ao passo em que no erceiro odos os esimadores são aceios. No caso das ações, as rejeições dos eses são causadas pela superesimação do VaR, enquano que no caso das opções, as rejeições são causadas pela subesimação do VaR.

13 12 Tabela 5 - Falhas do modelo VaR para um nível de significância de 97,5% bicaudal segundo a meodologia de Kupiec (1995) para modelos de VaR com volailidades hisórica de 21 dias, (λ =.94) e implícia ponderada pelo gama das opções para opções de compra da Telebrás, 17 séries de opções de compra agregadas e ações da Telebrás. Período oal de 13/08/98 a 17/06/99, 1 o período - de 13/08/98 a 22/10/98, 2 o período - de 23/10/98 a 25/02/99 e 3 o período - de 26/02/99 a 17/06/99. 1º Período 2º Período 3º Período Telebrás Opções Telebrás Opções Telebrás Opções mosra Percenual de Falhas 12,24% 10,20% 10,20% 18,99% 15,93% 17,24% 3,57% 2,38% 3,57% 14,10% 12,18% 7,69% 4,39% 0,88% 0,88% 9,09% 6,49% 4,55% Limies de ceiação Inferior Superior 0,00% 12,24% 0,00% 12,24% 0,00% 10,71% 0,00% 10,71% 1,74% 9,65% 1,75% 9,65% N N Tese N N N implícia N N Tabela 6 exibe os resulados para o primeiro período, caracerizado pela crise russa. proporção de não-aceiação dos modelos VaR é noória, sendo que odas as rejeições são devidas à subesimação do VaR. volailidade implícia apresena melhor proporção de aceiações, 40% das séries, quando comparada ao, 30%, e à hisórica, 10%. Tabela 6 - Falhas do modelo VaR para um nível de significância de 97,5% bicaudal segundo a meodologia de Kupiec (1995) para modelos de VaR com volailidades hisórica de 21 dias, (λ =.94) e implícia ponderada pelo gama das opções, de 17 séries de opções de compra de Telebrás, para um período de 13/08/98 a 22/10/98 mosra Percenual de Falhas Limies de ceiação Tese Inferior Superior ,92% 18,92% 21,62% 0,00% 13,51% N N N ,95% 19,51% 19,51% 0,00% 14,63% N N N ,53% 7,89% 2,63% 0,00% 15,79% ,60% 16,28% 16,28% 0,00% 13,95% N N N ,95% 15,38% 5,13% 0,00% 15,38% N ,43% 19,05% 21,43% 0,00% 14,29% N N N ,13% 28,13% 21,88% 0,00% 15,63% N N N ,18% 15,91% 13,64% 0,00% 13,64% N N ,07% 12,20% 14,63% 0,00% 14,63% N ,50% 25,00% 25,00% 0,00% 15,00% N N N Tabela 7 exibe os resulados para o segundo período, referene à crise de confiança em relação ao mercado brasileiro, culminando na crise cambial brasileira. proporção de aceiações dos modelos VaR é subsancialmene maior, especialmene para o caso da volailidade implícia, 87,5% das séries. proporção de aceiação para a volailidade hisórica é de 62,5% e a do é de 75%. Cabe ressalar que a presença de séries com poucas observações no período, como é o caso das úlimas 4 séries da

14 13 abela, endem a disorcer o resulado, dado que os limies de aceiação dados pela meodologia proposa por Kupiec (1995) ornam-se relaivamene mais disanes para amanhos de amosra reduzidos. Tabela 7 - Falhas do modelo VaR para um nível de significância de 97,5% bicaudal segundo a meodologia de Kupiec (1995) para modelos de VaR com volailidades hisórica de 21 dias, (λ =.94) e implícia ponderada pelo gama das opções, de 17 séries de opções de compra de Telebrás, para um período de 23/10/98 a 25/02/99 mosra Percenual de Falhas Limies de ceiação Tese Inferior Superior ,00% 7,50% 2,50% 0,00% 15,00% ,95% 15,38% 5,13% 0,00% 15,38% N ,50% 17,50% 2,50% 0,00% 15,00% N N ,13% 28,13% 21,88% 0,00% 15,63% N N N ,00% 0,00% 0,00% 0,00% 21,43% ,00% 0,00% 0,00% 0,00% 23,08% ,33% 8,33% 16,67% 0,00% 25,00% ,00% 0,00% 0,00% 0,00% 27,27% Tabela 8 exibe os resulados para o erceiro período, deerminado pelo período de reomada da confiança em relação ao mercado brasileiro, após a crise cambial. proporção de aceiação dos modelos VaR é ala, especialmene para o caso da volailidade implícia, 100%. aceiação para as demais é de 83%. Tabela 8 - Falhas do modelo VaR para um nível de significância de 97,5% bicaudal segundo a meodologia de Kupiec (1995) para modelos de VaR com volailidades hisórica de 21 dias, (λ =.94) e implícia ponderada pelo gama das opções, de 17 séries de opções de compra da Telebrás, para um período de 26/02/99 a 17/06/99. mosra Percenual de Falhas Limies de ceiação Tese Inferior Superior ,38% 9,38% 6,25% 0,00% 15,63% ,00% 0,00% 0,00% 0,00% 14,71% ,06% 9,09% 0,00% 0,00% 15,15% ,30% 4,65% 2,33% 0,00% 13,95% ,82% 8,82% 5,88% 0,00% 14,71% ,91% 20,45% 13,64% 0,00% 13,64% N N Os resulados enconrados na análise para o período compleo da amosra são saisfaórios para a Telebrás e insaisfaórios para as opções. Na análise das opções de forma agrupada pela proximidade do dinheiro, o modelo com volailidade implícia é o único a não ser aceio em nenhum dos rês grupos, denro, no e fora do dinheiro. divisão em rês subperíodos mosra que a meodologia de VaR para aivos não lineares

15 14 apresena resulados muio melhores para períodos sem crise, pois em períodos de crise ela subesima de forma sisemáica as possíveis perdas. Tano a análise do período oal quano dos subperíodos, para as opções, mosra que a volailidade implícia apresena um nível de aceiação um pouco maior que os ouros dois esimadores. Esa superioridade não se mosra, conudo, suficiene para se afirmar que esse é um melhor esimador. 5. CONCLUSÕES E SUGESTÕES O objeivo desse rabalho foi idenificar denre rês modelos de esimadores de volailidade, hisórico, e implícia das opções, qual o melhor para o cálculo do VaR de aivos lineares e aivos não-lineares. Fez-se um agrupameno aravés da proximidade do dinheiro para enar idenificar se a acurácia dos modelos diferia denro desses grupos. nalisou-se ambém os dados em rês subperíodos, que coninham a crise da Rússia, a crise cambial brasileira e o período sem crise subseqüene. Os resulados indicaram que no caso de aivos lineares, e no caso ações da Telebrás, os rês esimadores de volailidade apresenaram resulados saisfaórios no período oal. o serem analisados os efeios de crises, consaa-se que apenas na ausência de uma crise o resulado é alerado e apenas o esimador hisórico de volailidade é adequado. No caso de aivos não-lineares, represenados pelas opções de compra da Telebrás, a análise das séries agregadas no período oal gerou resulados insaisfaórios para odos os esimadores considerados. Para a análise separada de cada um dos rês subperíodos, os resulados para os dois períodos de crise foram insaisfaórios para os rês modelos. Para o período sem crise, os resulados foram saisfaórios. Com o agrupameno das opções aravés da proximidade do dinheiro, o resulado da volailidade implícia foi o pior denre os rês esimadores. Porano, para as opções, pode-se afirmar que o méodo de análise de risco parece ser adequado para períodos sem crise, mas mosra-se falho para períodos insáveis. Nada pode-se concluir em relação ao melhor esimador de volailidade, pois ele apenas apresenou diferenças no período mais esável. Para as opções, os resulados enconrados com a volailidade implícia foram um pouco melhores, mas não o suficiene para se afirmar que esse é um melhor esimador em comparação aos ouros dois esados. O período analisado foi relaivamene pequeno e conurbado. O fao de o período ser reduzido pode er provocado disorções nos resulados, pois, segundo Kupiec

16 15 (1995), a uilização de uma amosra pequena faz com que a faixa de não-rejeição seja relaivamene larga. Ese rabalho comprova a dificuldade da aplicação dos modelos de VaR para aivos não lineares no mercado brasileiro. Os modelos proposos funcionaram a coneno para aivos lineares. concenração dos dados das opções em períodos específicos pode esar elevando o nível de rejeição dos eses. ssim, a primeira sugesão para rabalhos fuuros é aumenar o número de vencimenos da amosra de opções. lém disso, recomenda-se um aprofundameno do uso de ouros modelos de risco, como, por exemplo, a incorporação do faor de emagrecimeno nos prêmios das opções pelo decorrer do prazo, modelos de simulação, incorporação de caudas gordas, ouros modelos de esimadores de volailidades e de avaliação de aivos não lineares. 6. REFERÊNCIS NÉ, T.; GEMN, H. Sochasic volailiy and ransacion ime: an aciviy-based volailiy esimaor. The Journal of Risk, v. 2, n.1, p.57-69, BECKERS, S. Sandard deviaion in opion prices as predicors of fuure sock price variabiliy. The Journal of Banking and Finance, v. 5, p , BLCK, F.; SCHOLES, M. The pricing of opions and corporae liabiliies. Journal of Poliical Economics, v. 31, May/June, BOUDOUKH, J.; RICHRDSON, M.; WHITELW, R. F. Invesigaion of a class of volailiy esimaors. The Journal of Derivaives, v.4, n.3, p.63-71, Spring DERMN, E.; KNI, I. Riding on a smile. Risk Magazine, v. 7, n. 2, p , Feb DUMS, B.; FLEMING, J.; WHLEY, R. Implied volailiy funcions: empirical ess, Journal of Finance, v. 53, n. 6, p , Dec EL-JHEL, L.; PERRUDIN, W.; SELLIN, P. Value a risk for derivaives. The Journal of Derivaives, v.6, n.3, p.7-26, Spring JORION, P. Value a risk: he new benchmark for conrolling derivaives risk. Chicago: Irwin, p.

17 16 HULL, J. C. Opions, fuures, and oher derivaives. Upper Saddle River: Prenice Hall, KUPIEC, P. H. Techniques for verifying he accuracy of risk measuremen models. The Journal of Derivaives, v.3, n.2, p.73-84, Winer LEMGRUBER, E. F. valiação de conraos de opções. São Paulo: Bolsa de Mercadorias & Fuuros, p. LEMGRUBER, E. F.; OHNIN, G. O modelo de projeção de volailidade do Riskmerics e a hipóese de disribuição normal condicional para alguns faores de risco do Brasil. In: ENCONTRO NCIONL D NPD, 21., 1997, Rio de Janeiro. nais... Rio de Janeiro: NPD, CD. MCBETH, J.; MERVILLE, L. n empirical examinaion of he Black-Scholes call opion pricing model. Journal of Finance, v. 34, n. 5, p , Dec MURPHY, G. When opion price heory mees he volailiy smile, Euromoney, Mar MORGN, J.P. Riskmerics : echnical documen. 4 h ed. New York: Morgan Guaranu Trus Company, p.