Capítulo 4 Cinemática dos Fluidos

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1 Cpílo 4 Cinemáic dos Flidos Como n físic básic, esdremos os moimenos de prícls flids sem nos preocprmos com s ss css. Iso é, sem nos preocprmos com s forçs qe csm o moimeno. 4. Cmpo de elociddes Como os flidos rdos qi são considerdos meios conínos, decorre qe podemos considerr qe s prícls flids são compcs. Signific qe s pressão, elocidde, celerção e mss específic, enre ors, podem ser descris em fnção d posição d prícl e do empo. Iso le à noção de cmpo, como discido neriormene cpílo e n reisão de cálclo eoril.

2 represenção dos prâmero de m flido escondo em fnção ds ss coordends espciis é denomind represenção do cmpo de escomeno. Um ds riáeis mis impornes é elocidde de m cmpo de escomeno, cj form gerl é =,,zi +,,zj + w,,zk, e w são s componenes do eor elocidde., e w são fnções ds coordends espciis do pono considerdo no escomeno. w

3 Por definição r d d é elocidde insnâne de m prícl flid. d d é celerção d prícl proocd por m mdnç de elocidde direção o mgnide no empo. 3

4 Eemplo 4. O cmpo de elocidde de m escomeno é ddo por i j Onde o e l são consne. Deermine o locl no cmpo de escomeno onde elocidde é igl o e consr m esboço do cmpo de elocidde no primeiro qdrne e. 4

5 5 Solção Se Pr ermos =, + = l. Eséeqçãodem circnferênci lgr geomérico dos ponos qe esão m disânci l d origem.,,,,,,, e enão j i j i

6 direção do eor elocidde é l qe: n n / / Ilsrção do cmpo, 6

7 Eercício 4. O cmpo de elocidde de m escomeno é ddo por 3 i 8 j 5z k m / s Onde, e z. São medidos em meros. Deermine elocidde do flido n origem ==z=enoeio, =z=. 7

8 8 Solção i elocidde n origem, = = z =. j i k j i k j i z

9 ii elocidde no eio, = z =. 3 i 8 j5z k 3 i 8 j5k 3 i 8j 9

10 4.. Descrições Elerin e Lgrngen Leonrd Pl Eler lê-se Óilã Bsiléi 77 São Peersbrgo 783. Méodo de Eler Uiliz o conceio de cmpo; O moimeno do flido é descrio pel especificção dos prâmeros necessários em fnção ds coordends espciis: - Pressão, p = p,,z,; - elocidde, =,,z,; - Mss específic, ρ = ρ,,z,. Informções sobre o escomeno prir de ponos fios em insnes diferenes.

11 Joseph-Lois Lgrnge Trim 736 Pris 83. Méodo de Lgrnge Idenific prícl flid no escomeno; O moimeno do flido é descrio pel especificção dos prâmeros necessários em fnção do empo: - Pressão, p = p; - elocidde, = ; - Mss específic, ρ = ρ; - Posição, P = P,,z, Informções sobre o escomeno correspondem os lores deermindos drne o moimeno.

12 Ds mneirs de er o mndo dos flidos Elerino Us o conceio de cmpo. Lgrngeno Sege s prícls flids. Especificção comple: Pressão,,z,, Mss específic,,z,, elocidde,,z,. Especificção d prícl: Pressão Mss específic, elocidde, Posição,,z. Informções sobre o escomeno em ponos fios no espço. Informções sobre o qe conece com prícl o longo do empo.

13 Eemplo Temperr de gás sindo de m chminé Inslr m ermômero nm pono fio! compnhr emperr de m prícl flid! 3

14 Méodo de Eler O ermômero insldo pero d berr indicri emperr de dierss prícls em insnes diferenes. ssim, obém-se rição d emperr, T, nesse pono, em fnção de ss coordends e do empo,. ários ermômeros insldos em ponos fios do escomeno forneceri se cmpo de emperr. Méodo de Lgrnge Um ermômero seri insldo em m prícl flid e, ssim, regisrri s emperr o longo do moimeno, iso é, T = T. Um conjno de disposiios pr medir rição d emperr de áris prícls forneceri hisóri d emperr do escomeno. Iso só seri possíel se loclizção de cd prícl fosse conhecid em fnção do empo. 4

15 4.. Escomenos Uni, bi e ridimensionis Emgerl,mcmpodeelociddedemescomenoé ridimensionl, o sej,, z i,, z j w,, z k Em lgns csos, enreno, m o ds componenes são mio menores qe s ors, Se >> w e >> w, enão, emos m escomeno bidimensionl. Se >> e >> w, enão, emos m escomeno nidimensionl não eisem, ms pode ser sdos pr modelr mios escomenos impornes. 5

16 4..3 Escomenos em regime permnene e rnsiório Regime permnene elocidde não ri no empo, /. /, n práic Escomeno rnsiório elocidde ri com o empo de mneir leóri. Iso é, não eise m seqüênci reglr pr rição. 6

17 4..4 Linhs de correne, de emissão e rjeóris Linhs de correne sremline Linh conín qe é sempre ngene à elocidde nm pono do escomeno. Nm escomeno permnene, nd md com o empo nm pono fio, nem o eor elocidde, porno, s linhs de correne são fis. Pr escomenos bidimensionis, d d n Es eqção pode ser inegrd pr fornecer s eqções ds linhs de correne, desde qe o cmpo de elocidde sej ddo em fnção de, e z, e, se o regime for rnsiório. 7

18 Eemplo Deermine s linhs de correne pr o escomeno bidimensionl em regime permnene cjo cmpo de elociddes é, o i j m / s 8

19 9 Solção d d d d correne de linhs s Pr o o / /, j i j i

20 Inegrndo d d d d Logo, ln ln ln C ln ln C ln C C, o C lnc cons. C =C,o = Ψ, represen m fmíli de crs no plno Figr. Ψ é chmd fnção de correne.

21 Linhs de emissão srekline Consise de ods s prícls do flido qe pssm por m deermindo pono do escomeno. Se o regime de escomeno for permnene, linhs de emissão coincidem com s linhs de correne. Trjeóri Phline É o cminho rçdo por m dd prícl qe esco de m pono pr oro. É m conceio Lgrngeno e pode ser islizd prir de m foogrfi de long eposição. Se o regime de escomeno for permnene, rjeóri e linh de emissão coincidem com s linhs de correne. Pr regimes rnsiórios, nenhm deses rês ipos de linh são necessrimene coincidenes.

22 Eemplo Um dispersor oscilne prodz m flo de ág cjo cmpo de elociddes é ddo por sen ˆ i onde, e w são consnes. ˆj Obenh: linh de correne qe pss pel origem em =e = π/w. b rjeóri d prícl qe pss pel origem em =e = π /w. c linh de emissão qe pss pel origem.

23 3 linh de correne qe pss pel origem em = e = π/w.. cos, : ˆ ˆ inegrção de consne m é C onde C d d sen Inegrndo sen d d ssim e sen Temos sen j i

24 4 linh de correne qe pss pel origem em =. / cos / cos : cos, cos, cos cos cos, pr fnção se Lembre o w Logo w C C C C e

25 5 linh de correne qe pss pel origem em = π/w. sen cos cos, cos cos cos /, Logo C C C C e

26 6 nálise: de cordo com os resldos neriores, s linhs de correne não são s mesms em =e = π/w, emene, porqe o escomeno é rnsiório. sen cos

27 b rjeóri d prícl qe pss pel origem em = e = π /w. d d sen sen e d d ˆ i e ˆj ssim, nosso pono de prid são s eqções d d sen e d d 7

28 8 sen, sen sen,, C d d ssim C d d Dí inegrção de consne m é C C em qe d d eqção Inegrndo

29 9 sen sen, sen, inegrção de consne C C C d C d d d em qe C d d eqção inegrndo gor

30 3 rjeóri d prícl qe pss pel origem em =., sen sen, C C C em sbsiindo Segndo C C C C C em sbsiindo Primeiro e prmérics eqções são origem em em n rjeóris s ssim,,

31 3 rjeóri d prícl qe pss pel origem em = π/w. / sen sen,, / C C C C em sbsiindo Segndo C C C em sbsiindo Primeiro e

32 3 escreer podemos ind cim eqções Ds prmérics Eqções e sen é origem em pel pss qe prícl d rjeóri ssim,, /,

33 33 nálise: de cordo com os resldos neriores, s rjeóris não são s mesms em =e = π/w. /

34 c linh de emissão qe pss pel origem. Como o escomeno é rnsiório, =, s linhs de correne, Trjeóri e emissão não são coincidenes. linh de emissão qe pss pel origem é o lgr geomérico dspríclsqepssrmpel origem. São obids com projeção ds rjeóris sobre s linhs de correne. 34

35 35 4. Cmpo de celerção Ddo o cmpo de elociddes de m prícl flid, S celerção é, por definição, Lembrndo qe, em qe,,,, z r d dz z d d d d d d d dz w e d d d d, z w

36 36 Remoendo o índice d eqção, Podemos generlizr eqção d celerção pr qlqer prícl flid do flido, z w z w elocidde e posição de m prícl flid nm insne.

37 37 s componenes do cmpo celerção d dz z d d d d z w z w w w w w z w z w z

38 38 Derid Meril o Sbsni Oresldo, É mis ezes escrio como onde, Sendo, É denomind derid meril o sbsni. D D z w D D z w z w

39 Eemplos figr bio mosr m escomeno incompressíel, inísicidoederegimepermnenedemflidooredorde m esfer de rio. De cordo com m nálise mis nçd dese escomeno, elocidde do flido o longo d linh de correne enre os ponos e B é dd por 3 i 3 i Onde é elocidde longe d esfer. Deermine celerção impos nm prícl flid enqno el esco o longo d dess linh de correne. 39

40 4 Solção i i i i i i / / 3, / / 3 3,, ssim e Seprdmene Dí

41 4 Coninndo O gráfico segir mosr rição d celerção o longo do eio. É possíel erificr qe celerção máim ocorre pr = -,5, e se mior lor em módlo é, / / 3 / / z Se i m,6

42 Considere o cmpo de escomeno bidimensionl, e em regime permnene, cjo cmpo de elocidde é ddo por, i j Deermine o cmpo de celerção dese escomeno. 4

43 43 Solção,,, j i j j i i ssim e w z w

44 44 Coninndo, n j i j i é rdil!

45 4.. Efeios rnsiórios celerção de m prícl flid, w z Ese ermo enole derids emporis Eses ermos enolem derids espciis. / O ermo é chmdo de celerção locl e encerr os efeios d rnsioriedde do escomeno. 45

46 4.. Efeios Conecios celerção de m prícl flid, w z Corresponde à porção d celerção denomind de coneci. celerção coneci esá relciond com rição dos prâmeros deido à conecção, o moimeno d prícl no cmpo de escomeno no ql há m grdiene dese prâmero. 46

47 Eemplos qecedor de ág. 47

48 Escomeno em m bo nidimensionl. diâmero fio redção do diâmero meno do diâmero 48

49 4..4 Coordends d Linh de Correne. Mis ezes é coneniene escreer celerção de m prícl flid no sisem de coordends s,n definido em fnção ds linhs de correne do escomeno. Nese cso, s 49

50 celerção de m escomeno bidimensionl e qe ocorre em regime permnene pode ser, enão, escri em fnção ds componenes s e n, qe, de cordo com seção 3. do cpílo 3, é s s R n Em componenes, s s represen celerção coneci o longo d linh de correne. R n represen celerção cenrífg norml à linh de correne. 5

51 4.3 Sisems e olmes de conrole Sisem de conrole: É Cer qnidde de meril com idenidde fi, qe pode se moer, escor e inergir com o meio. olme de conrole: Um olme no espço fio, cjs Proprieddes são esdds no empo. 5

52 Ns inesigções ds inerções de m flido sobre m objeo enildor, ião, omóel, ec, práic imporne d Mecânic dos Flidos, sempre é necessário idenificr m olme ssocido o corpo. Porno, nálise de m escomeno prir de m olme de conrole é, em gerl, mis deqd. Eemplos mos disci-los... 5

53 Escomeno de m flido em m bo. O olme de conrole é formdo pel sperfície inern do bo e pels seções e. É m olme de conrole fio Escomeno o redor de m rbin de ião. O olme de conrole englob od rbin linh rcejd. Se o ião esá se moimenndo, o olme de conrole é fio pr m obserdor solidário o ião, e móel pr m obserdor fio à err. 53

54 Escomeno de r de m blão eszindo. O olme de conrole é sperfície inern do blão, qe dimini com o empo. É m olme de conrole deformáel. Tods s leis memáics qe modelm o moimeno dos flidos form formlds pr bordgem de sisems. Por eemplo, Conserção d mss de m sisem; T de rição do momeno liner igl à Reslne ds forçs sobre m sisem; Ec. Por esse moio, é imporne conerer esses modelos e ss eqções pr bordgem i olmes de conrole. 54

55 4.4 Teorem d rnsformção de Renolds Princípio fndmenl do eorem, Modelos Memáicos Modelos Memáicos p/ bordgem de p/ bordgem de escomenos i escomenos i sisems olme de conrole Definições impornes Em gerl, s leis físics são formlds em fnção de ários prâmeros físicos. Por eemplo, sej B m prâmero físico e b qnidde dese prâmero por nidde de mss. Enão, B = mb Onde m é mss do sisem. 55

56 Proprieddes eensis e inensis Propriedde inensi, b: não depende do mnho do sisem. Por eemplo, densidde, clor específico, emperr. Propriedde eensi, B sis : depende do mnho do sisem. Por eemplo, mss, olme, momeno nglr. Em gerl, m propriedde eensi de m sisem, B sis,é deermind pel somóri d qnidde inensi, b, ssocid cd prícl de olme δ emssρδ. Iso é, B sis lim b i i i i sis bd O olme de inegrção cobre odo o sisem, slmene, m olme de conrole. 56

57 Teorem de Renolds de rição de m propriedde eensi, B, de m flido em m olme de conrole é epress em ermos d derid meril. Osborne Renolds 84 9 Esbelece m ligção enre os conceios ligdos os olmes de conroles àqeles ligdos os sisems. Modelos Memáicos Modelos Memáicos p/ bordgem de p/ bordgem de escomenos i escomenos i sisems olme de conrole 57

58 Dedção do Teorem nálise de m escomeno nidimensionl rés de m olme fio. Considerções: O olme de conrole é escionário; O sisem é o flido qe ocp o olme no insne ; s elociddes são normis às sperfícies e. 58

59 pós m inerlo de empo δ, o sisem se desloc pr direi. seção se desloc de δl = δ; seção se desloc de δl = δ; 59

60 O escomeno pr for do olme de conrole em + δ é denomindo olme II. O escomeno pr denro do olme de conrole em + δ é denomindo olme I. ssim, o sisem no insne consise no olme C linh ponilhd zl. No insne + δ é C I + II. O olme de conrole permnece C o empo odo. 6

61 6 Sej B m propriedde eensi do sisem. Enão, eremos: nes: Depois: rição de B drne le: C SIS B B II I C SIS B B B B B B B B B B B SIS II I C SIS SIS SIS

62 Dí, BSIS BC BI BII BSIS Como B SIS BC, enão, BSIS BC BC BI BII Tomndo o limie qndo δ ->, lim B C B C B C C bd É com ql o prâmero eensio B esco do olme de conrole rés d sperfície de conrole. 6

63 63 Obemos, porno, E s s com qe esss grndezs rim no empo: b b B I I b b B II II I lim b B B enr II lim b B B si

64 Finlmene, DB D SIS B C B si B enr de rição de m propriedde eensi, B, de m flido em m olme de conrole é epress em ermos d derid meril. DB D SIS B C b b É imporne nor qe não é necessário qe B enr B si 64

65 Eemplo Considere o escomeno descrregdo do einor de incêndio mosrdo n figr bio. dmi qe propriedde eensi de ineresse sej mss do sisem B = m é mss do sisem, logo, b =. Escre form proprid do eorem de Renolds pr ese escomeno. 65

66 Solção Em =, o olme de conrole coincide com o sisem. lém disso, não eise seção de limenção. Porno, b plicndo o eorem de Renolds DB D SIS B C b b Como B Sis = m eb= Dm D SIS m C b d C 66

67 Lendo em con qe qnidde de mss de m sisem é consne sisem = ods s prícls do flido, em-se qe, Dm D SIS C d Q Inerpreção: deriçãoemporldmssno nqe einor é igl à zão em mss n seção de descrg. nidde dos dois ldos d eqção é kg/s. 67

68 Se eisisse m seção de limenção, erímos, Dm D SIS C d Se o regime de escomeno for permnene, C d Corresponde m ds forms do princípio d conserção d mss. Ors forms serão discids no cpílo 5. 68

69 Um poco mis sobre o eorem de Renolds eqção, DB D SIS B C b b Corresponde m form simplificd do eorem de Renolds. É possíel derir m ersão mis brngene do eorem. idéi básic é considerr m propriedde eensi do flido, B, e procrr deerminr de rição de B ssocid o sisem e relcioná-l, em qlqer insne, com de rição de B no olme de conrole. 69

70 Segindo os mesmos pssos semelhnes os neriores, cheg-se m ersão mis brngene do eorem, dd por, DB D SIS C bd SC b nd Inerpreções físics DB SIS D Represen de rição emporl de m prâmero eensio nm sisem mss, Q. moimeno, ec.. Como o sisem esá se moendo, e o olme de conrole é escionário, de rição d qnidde B no olme de conrole não é necessrimene igl àqel do sisem. 7

71 C bd Represen de rição emporl de B nm ddo insne. S b nd Represen zão líqid do prâmero B rés de od sperfície de conrole. Se.n >, propriedde B é rnspord pr for do olme de conrole. E se.n<, propriedde enr no olme de conrole. Se.n =, no porqe b = o é nl, o prlel à sperfície de conrole. Obserções finis O olme de conrole, princípio, pode ser qlqer finio o infinio, ms m escolh deqd pode simplificr oproblem. Recomend-se leir d seção 4.3 d referênci - Yong. 7