CAPITULO I INTRODUÇÃO

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1 CAPITULO I INTRODUÇÃO O prncpal objetvo de um sstema de energa elétrca e atender os níves de demanda de seus consumdores com qualdade e confabldade em níves consderados adequados. Isto requer que os responsáves pela manutenção da ntegrdade do sstema realzem contnuamente estudos que vão desde planejamento a longo prazo ate a operação do sstema no tempo real. O Brasl possu o tercero maor potêncal hdrelétrco do mundo (61 GW), com uma capacdade total nstalada de GW, e uma produção anual de TWH ate o ano de 00), ONS (003). Entretanto a demanda de energa eletrca tem crescdo rapdamente nas últmas décadas (com uma meda de 1,% na década de 70, 5,8% na década de 80 e 9% no 1 º semestre de 95), Melo(1998). Este crescmento tem sdo atenddo pelo aumento da capacdade de geração hdrelétrca, uma vez que consttu uma forma de geração mas barata que a térmca (passou-se de uma partcpação de 84% do total da capacdade nstalada no ano de 1984 para 86% no ano de 00) ), ONS (003).

2 D e s c r ç ã o d o Pro bl e m a O problema do controle e otmzação de sstemas de potênca está lgado dretamente a admnstração da geração e dstrbução da energa hdrelétrca consderando os recursos físcos já estentes. Assm sendo, podemos dvd-lo em duas vertentes bem dstntas como se segue: I) Epansão de sstemas de potênca: trata do planejamento do crescmento do sstema a longo prazo. II) Geração e transmssão de energa elétrca: trata dretamente da dstrbução da energa e da admnstração dos recursos hídrcos, a curto e a médo prazos, respectvamente, consderando os recursos naturas j estentes. O problema de despacho de energa, também conhecdo como Fluo de Potênca Ótmo (FPO) refere-se a segunda vertente do problema prncpal; e é motvo desta proposta. Ao longo das últmas décadas, a dsponbldade de recursos e o fato de não se utlzarem ferramentas computaconas que empregassem técncas de otmzação, contrbuu para que se adotassem soluções sub-ótmas na tentatva do melhoramento do desempenho dos sstemas de potênca. No entanto, a crescente escassez dos recursos para nvestmento no setor e o crescmento natural da demanda, tornou essencal o uso destas técncas com o objetvo de manter o suprmento em níves de qualdade adequados. O problema do Fluo de Potênca Ótmo (FPO) pode ser defndo como sendo a determnação de um estado de uma rede elétrca em que se otmza uma

3 3 determnada Função Objetvo satsfazendo um conjunto de restrções de caráter físco e operaconal. A função objetvo típca está orentada a: I) Mnmzar os custos operaconas do sstema. II) Mamzar a qualdade do suprmento do sstema. III) Mnmzar os custos de nvestmentos no sstema. IV) Mamzar a confabldade do sstema. O FPO é caracterzado matematcamente como um problema de programação não lnear com centenas a mlhares de varáves (problema de grande porte), que pode ser formulado como se segue: mn f () s. a: h () = 0 g() 0 R n As restrções de desgualdade são restrções de caráter funconal, como por eemplo montoramento de fluo em crcutos e restrções de canalzação que representam os lmtes físcos e operaconas do sstema. Outrossm, as restrções de gualdade correspondem bascamente as equações de balanço de potênca atva e reatva em cada barra da rede.

4 4 Temos como prncpas varáves obtdas num estudo de fluo de potênca, o módulo e o angulo de fase da tensão em cada barra da rede e as potêncas atva e reatva crculantes em cada lnha de transmssão Hstórco do Problema A prmera formulação matemátca do problema FPO surgu em 196 com Carpenter (196), Desde então, uma sere de métodos foram propostos para a sua solução. O método de "Gradentes Reduzdos", fo aplcado por Dommel-Tnney (1968,apud Melo1998), onde as varáves do problema são dvddas em varáves dependentes e ndependentes. As restrções funconas e as restrções de canalzação sobre as varáves dependentes são ncluídas na função objetvo através de penalzação eterna. A maor dfculdade do método esta relaconada a determnação do parâmetro de penaldade no processo teratvo, de forma a não nterferr demasadamente na solução do problema orgnal por um lado ou não perder a vabldade por outro. Como etensão do método de "Gradente Reduzdo", fo proposto o método de "Gradente Reduzdo Generalzado" (G.R.G.), aplcado a problemas de natureza não lneares contendo restrções de gualdade, por Abade-Carpenter (1981, apud Melo 1998). Um algortmo especfco baseado no G.R.G. fo desenvolvdo pelo própro Carpenter (1973), para resolução do FPO onde neste caso partcular estem restrções de desgualdade, denomnado Método das "Injeções Dferencas". Um dos prmeros métodos de segunda ordem fo o método de "Lagrangeano Aumentado Projetado", por Burchett (198) onde tem como prncpal desvantagem o tempo de processamento devdo a densdade da matrz Hessana apromada. Aperfeçoamentos deste método foram propostos utlzando "Programação Quadrátca Seqüencal" (PQS) (com apromação quadrátca da função objetvo e lnearzação das restrções). Neste caso o problema orgnal e transformado numa

5 5 seqüênca de problemas quadrátcos. A cada teração os problemas são resolvdos utlzando uma estratéga de conjunto atvo e a dreção de descda usando técncas Quas-Newton, até a determnação do ponto ótmo dos subproblemas e consequentemente do problema orgnal, ver Perera (1991) Aplcação do Problema de Fluo de Potênca Ótmo (FPO) O problema FPO pode ser defndo como uma ferramenta que pode ser utlzada para aplcações em tempo real, epansão ótma de fontes de potênca reatva, analse de confabldade, etc. O FPO é utlzado em aplcações em tempo real aulando ao operador na tomada de decsões. A dsponbldade de dversas funções objetvo e controles permte determnar as meddas corretvas para reparos de volações operatvas (subtensões e sobretensôes nas barras, sobrecarregamentos nos crcutos, etc.) no sstema quanto em estado normal (caso base) quanto em stuações de contngênca (quebra de equpamentos). O método de otmzação de fontes de potênca reatva se basea em uma estrutura de três níves (subproblema de nvestmentos, subproblema de operação no caso base e subproblema de operação nas contngêncas). A epansão ótma de fontes de potênca reatva consste na determnação de um plano de nvestmentos de mínmo custo em equpamentos de compensação reatva (bancos de capactores, reatores, compensadores estátcos, etc.), de tal forma a vablzar o sstema tanto no caso de funconamento normal como em stuações de emergênca. Na analse de confabldade, o FPO é utlzado como uma ferramenta na avalação dos cenáros crítcos tanto no caso base quanto nas stuações de anomalas. A avalação dos cenáros crítcos é feta através de uma mnmzação de cortes de carga que é uma partculardade do FPO.

6 6 De acordo com o sstema em que for aplcado, o problema FPO pode ser modelado de forma a possur centenas a mlhares de varáves, fator dretamente relaconado as suas característcas físcas. Desta forma o processo de modelagem destes problemas de grande porte nclundo a função objetvo e as restrções em geral, torna-se mas um desafo a ser vencdo, uma vez que uma mperfeta adequação em suas equações pode nflur na convergênca de seus soluconadores Objetvo do Trabalho No presente trabalho busca-se o desenvolvmento e mplementação de uma nterface computaconal que vsa nterlgar o problema FPO a um soluconador desenvolvdo para problemas de grande porte. Consste bascamente em gerar o modelo matemátco do problema FPO e então "almentar" o soluconador. Este algortmo desenvolvdo por Melo (00) é baseado no Método Seqüencal Quadrátco para solução de problemas programação não lnear, ao qual adcona-se técncas de grande porte para manpulação dos dados. Desta forma buscamos resumr nossa estratéga da segunte manera: No capítulo II tratamos da Modelagem do problema FPO com seus objetvos e suas restrções. No capítulo III descrevemos a metodologa básca da Programação Quadrátca Seqüencal (PSQ). No capítulo IV enfocamos o processo de cração dos programas geradores dos arquvos teto em MATLAB e o processo de modelá-los para o ambente DELPHI. No capítulo V comentamos sobre os resultados alcançados em relação à nossa proposção ncal. futuros. No capítulo VI bascamente propomos algumas sugestões para tabalho

7 7 CAPÍTULO II O PROBLEMA DE FLUXO DE POTÊNCIA ÓTIMO A formulação de um problema típco de FPO é a segunte: Mn f () s. a.: h () = 0 g () 0 R n, onde suas característcas foram descrtas no tem 1.1 resultando então num problema de programação não lnear de grande porte.

8 8.1 - Fluo de Potênca O problema do fluo de potênca assocado a um sstema de energa elétrca consste em determnar o estado de funconamento deste sstema, e conseqüentemente, dos fluos de potênca que crculam pelos equpamentos nerentes ao sstema em estudo. Partndo da premssa de que o trabalho do sstema é permanente (estaconáro), o problema pode ser representado por um modelo estátco da rede consttuído por um conjunto de equações e nequações algébrcas. A não lneardade das equações ocorre devdo a característcas de modelagem das componentes do sstema. Tas componentes supra ctados podem ser dvddos para melhor compreensão em dos grupos dstntos: I) componentes eternos (geradores e cargas) - modelados através de njeções de potênca nas barras(ou nós) da rede. II) componentes nternos (lnhas de transmssão, trafos, defasadores, capactores) - modelados por equações algébrcas que representam o fluo da potênca que flu por estes. As equações báscas de fluo de potênca são referdas à Prmera Le de Krchoff (le dos nós) que estabelece que a potênca lquda njetada em cada nó da rede deve ser gual a soma das potêncas nos componentes nternos que torna o nó especfcado como um de seus etremos. Isto corresponde a mpor a conservação das potêncas atva e reatva em cada nó da rede.

9 9. - Prepararação do Modelo de um Problema FPO Na formulação do problema, são assocadas, por cada barra da rede os seguntes parâmetros: : ângulo de tensão na barra. V : módulo de tensão na barra. Q : geração lquda (geração-carga) de potênca reatva na barra. P : geração lquda (geração-carga) de potênca atva na barra. Na solução do problema, por cada barra, dos destes parâmetros possuem valor (entram como dados) e dos entram como varáves, onde a partr desta conotação podemos defnr três tpos dstntos de barras: I) BARRA PV OU DE GERAÇÃO: são barras lgadas a undades geradoras. Nesta barra admtmos conhecer a Potênca Atva Gerada P g e o módulo da tensão V da barra; fcando como varáves a potênca reatva gerada Q g e o ângulo de fase da tensão da barra. II) BARRA PQ OU DE CARGA: são barras onde estão lgadas as cargas do sstema (ou da rede). Estas barras estão caracterzadas por uma absorção especfca de potênca atva e potênca reatva. Desta forma o módulo de tensão V e o ângulo de fase da tensão da barra restarão como varáves. III) BARRA V OU BARRA SWING: no sstema consdera-se (no mínmo) uma barra onde as varáves fadas são o módulo da tensão V e o ângulo

10 10 de fase da tensão da barra, restando como varáves as potêncas atva P g e reatva Q g para a garanta do balanço de energa no sstema em estudo. Isto posto, podemos classfcar estes parâmetros em dos tpos dstntos: parâmetros de estado "" (varáves) e parâmetros de controle "u" (fados). Desta forma o problema geral de fluo de potênca pode ser formulado através de um conjunto de nequações e equações algébrcas da segunte forma: h (,u) = 0 g (,u) 0 R n Outros parâmetros utlzados comumente no problema FPO: : ângulo de tensão na barra. V : módulo de tensão na barra. PG : geração de potênca atva no gerador. QG : geração de potênca reatva no gerador. a (, j ) : tap do transformador -j. (, j) :ângulo do desfasamento no crcuto -j. QC : potênca reatva capactva alocada na barra. QI : potênca reatva ndutva alocada na barra. PA : potênca atva alocada na barra.

11 11 FC : fração de carga efetva na barra (em pu). IT : ntercâmbo na barra. XC (, j ) : controle da reatânca de capactor sere no crcuto -j. b sh : controle de susceptânca shunt no banco de capactores / ndutores na barra. A segunte convenção de snas é adotada nas equações: uma njeção de potênca e consderada postva quando entra na barra (geração) e consderada negatva quando sa da barra (carga). Entretanto, por outro lado, os fluos de potênca são consderados postvos quando saem da barra e negatvos quando entram na barra. Objetvando uma melhor compreensão, consderaremos um sstema elétrco compostos por cnco barras (fgura 4.1). O problema FPO vsa determnar as grandezas elétrcas de cada barra, de tal forma que os fluos de potênca que serão estabelecdos nas lnhas de transmssão (LT's) otmzem uma certa função objetvo. Fgura Sstema de 5 Barras

12 1 Onde: P : Geração lquda (geração - carga) de potênca atva na barra. Q : Geração lquda (geração - carga) de potênca reatva na barra. V : modulo da tensão na barra. : ângulo da tensão na barra. : ângulo de desfasamento no crcuto 4-5. ( 45) a : representa os tap's do transformador no crcuto -4. ( 4) a representa os tap's do transformador no crcuto 3-5. ( 35) q 1, q 3 :correspondem as gerações de potênca reatva nas barras 1 e 3. p 1, p 3 :correspondem as gerações de potênca atva nas barras 1 e Função Objetvo A classe de funções objetvo que formulam o problema FPO ncluem funções de natureza lnear ou não lnear. Dependendo do tpo de aplcação podemos formular o problema combnando uma ou mas funções objetvo ao mesmo tempo. A segur apresentaremos os objetvos mas comuns na lteratura com seus respectvos modelos matemátcos.

13 13 Mínmo Custo de Geração de Potênca Atva: f = IG CP PG onde: IG - conjunto de geradores controláves de potênca atva. CP - custo de geração de potênca atva do gerador. PG - geração de potênca atva do gerador. Mínmo Custo de Geração de Potênca Reatva: f = ½ IG CQ QG onde: IG : conjunto de geradores controláves de potênca reatva. CQ : custo de geração de potênca reatva do gerador. QG : geração de potênca reatva do gerador. Mínmo Custo de Alocação de Potênca Reatva: f = IQc CQ + c IQI CQI QI

14 14 onde: IQ c :conjunto de barras de alocação de potênca reatva capactva. CQ c : custo de alocação de potênca reatva capactva na barra. QC : potênca reatva capactva alocada na barra. IQ : conjunto de barras de alocação de potênca reatva ndutva. CQ I : custo de alocação de potênca reatva ndutva na barra. QI : potênca reatva ndutva alocada na barra. Mnmo Custo de Alocação de Potênca Atva: f = ½ IIp Cp PA onde: I p : conjunto de barras de alocação de potênca atva. CP : custo de alocação de potênca atva na barra. PA : potênca atva alocada na barra. Mínma Perda: f =, j ( P j P ) Ic j

15 15 onde: I c : conjunto de crcutos do sstema P j, P j : fluo de potênca atva nos crcutos -j e j- Mnmo Corte de Carga. f = CFC FC Ic ( 1 ) PL onde: I c : conjunto de barras de carga. CFC : custo de corte na barra. FC : fração de carga efetva na barra (em pu). PL : carga atva na barra. Mnmo desvo de Potênca Atva gerada: f =½ IG ) ( PG - PG onde: IG : conjunto de geradores controláves de potênca reatva. : peso assocado ao desvo de potênca atva.

16 16 PG : geração de potênca atva no gerador. PG : geração de potênca atva ncal no gerador. Mnmo Desvo de Ânqulo de Defasamento: (, j) I j j f =½ ( ) onde: I : conjunto de barras com controle de angulo de defasamento. : peso assocado ao desvo de angulo de defasamento. j : angulo de defasamento do crcuto -j. j : angulo de defasamento ncal do crcuto -j. Mínmo Desvo de Tensão: f = ½ ( ) V V I onde: I : conjunto de barras do sstema. : peso assocado ao desvo de tensão.

17 17 V : tensão na barra. V : tensão ncal na barra. Mnmo desvo de Tap. f = ½ ( a a, j It j j ) onde: I t : conjunto de barras do sstema. : peso assocado ao desvo de tap. a j : tap do transformador -j. a : tap ncal do transformador -j. j Mínmo desvo de ntercâmbo: f = ½, jjt ) ( IT - IT onde: J t : conjunto áreas de ntercâmbo do sstema. : peso assocado ao ntercâmbo entre áreas.

18 18 IT : ntercâmbo da área. IT : ntercâmbo ncal da área... - Restrções de Igualdade As restrções de gualdade báscas do FPO correspondem a duas equações para cada barra,sendo uma relatva a potênca atva e a putra à potênca reatva. j P P j j Q j Q V bsh onde: : conjunto de barras lgadas a barra. Q : geração líquda (geração menos carga) de potênca reatva na barra. P : geração líquda (geração menos carga) de potênca atva na barra. bsh : susceptânca shunt na barra. Q j : fluo de potênca reatva no crcuto -j. P j : fluo de potênca atva no crcuto -j.

19 19 As epressões geras dos fluos de potênca atva e reatva em lnhas de transmssão, defasadores e transformadores são as seguntes: Q Q P P j j j j a V ( b bsh ) a VV g sen( ) b cos( ) (I) j j j j j j j V ( b bsh ) a V V g sen( ) b cos( ) (II) j j j j j j j a V ( b bsh ) a V V g cos( ) b sen( ) (III) j j j j j j V g a V V g cos( ) b sen( ) (IV) j j j j j j j j j j j j j j j j j j j j j j j onde: bsh j : susceptânca shunt no crcuto -j. b j : susceptânca sére no crcuto -j. g : condutânca sére no crcuto -j. j j : ângulo de defasamento no crcuto -j. a j : tap do transformador -j. j : dferença ângular -. j Varando de acordo com cada caso em partcular váras equações podem ser acrescdas ao FPO como as relatvas ao ntercâmbo líqudo entre áreas ou outras restrções adconadas a crtéro do usuáro, de acordo com o objetvo

20 0 específco portanto alguns dos controles podem ser consderados fos, assm como algumas das varáves zeradas dependendo da rede analsada. Em seqüênca, apresentaremos as restrções acma menconadas através de uma modelagem mas abrangente: Equações de Balanço de Potênca Atva: j P j = PG - FC + FC ( A + B + A V + B V ) PL + PA onde: : conjunto de barras lgadas à barra. P j : fluo de potênca atva no crcuto -j. PG : potênca atva gerada na barra. PL : carga atva na barra. FC : fator de carga (em pu) na barra. A : fator de carga (em pu) da varação lnear da carga atva em relação a tensão. B : fator de carga (em pu) da varação quadrátca da carga atva em relação a tensão PA : alocação de potênca atva na barra.

21 1 V : Tensão na barra Equações de Balanço de Potênca Reatva j Q j = QG + QC - QI + V bsh - FC (1 - C - D - C V - D V ) QL onde: : conjunto de barras lgadas à barra. Q j : fluo de potênca reatva no crcuto -j. QG : potênca reatva gerada na barra. QC : alocação de potênca reatva capactva na barra. QI : alocação de potênca reatva ndutva na barra. V : módulo de tensão na barra. bsh : susceptânca shunt na barra. QL : carga reatva na barra. FC : fator de carga (em pu) na barra. C : fator de carga (em pu) da varação lnear da carga reatva em relação à tensão.

22 D : fator de carga (em pu) da varação quadrátca da carga reatva em relação à tensão. Nas equações apresentadas é ncluído um fator de varação das cargas em relação à tensão. Não consderar esta hpótese é equvalente a As epressões dos fluos respectvamente. Q e j Q j A = B = C = D = 0. correspondem as equações (I) e (II), Neste trabalho não trataremos das equações de fluo consderando os fatores de carga das barras, bem como os fatores das varações quadrátcas e lneares das cargas em relação às tensões e sm da forma tradconal (Krchoff). Intercâmbo Líqudo entre Áreas: IT 1 = I1 P j +I Pj - I 3 Pj - I 4 P j onde: IT 1 : ntercâmbo líqudo na área 1 I 1 : conjunto de crcutos de nterlgação -j tal que A medção é realzada no nó. O nó 1 I : conjunto de crcutos de nterlgação -j tal que A medção é realzada no nó j. O nó j 1 I 3 : conjunto de crcutos de nterlgação -j tal que A medção é realzada no nó. O nó 1

23 3 I 4 : conjunto de crcutos de nterlgação -j tal que A medção é realzada no nó j. O nó j 1..3 Restrções de Desgualdade O conjunto de desgualdades representa as restrções operaconas, correspondendo às restrções de canalzação nas varáves e restrçòes funconas. Elas traduzem os lmtes de operaçào do sstema. Módulo de Tensão: mn V V ma V onde: mn V :Valor mínmo permtdo para a tensão na barra ma V :Valor mámo permtdo para a tensào na barra Potênca Atva Gerada : mn PG PG ma PG onde:

24 4 mn PG :lmte nferor para a geração de potênca atva no gerador ma PG :lmte superor para geração de potênca atva no gerador. Potênca Reatva Gerada : mn QG QG ma QG onde ; mn QG : lmte nferor para a geração de potênca reatva no gerador. ma QG : lmte superor para a geração de potênca reatva no gerador. Potênca Reatv a Capactva Alocada 0 QC ma QC onde: ma QC :lmte superor para a alocação de potênca reatva capactva Potênca Reatva Indutva Alocada: ma 0 QI QI onde:

25 5 ma QI :lmte superor para a alocação de potênca reatva ndutva Potênca Atva Alocada: 0 PA ma PA onde: ma PA :lmte superor para a alocação de potênca atva. Tap do Transformador: mn a j a j ma a j onde: mn a j : valor mínmo permtdo para o tap do transformador no crcuto -j. ma a j :valor mámo permtdo para o tap do transformador no crcuto -j. Anqulo de Defasamento: mn j j ma j onde: mn j :valor mínmo permtdo para o defasamento no crcuto -j.

26 6 ma j :valor mámo permtdo para defasamento no crcuto -j. Rejeção de Carga Estem algumas stuações, como por eemplo sstemas com problemas de tensão ou carregamento nos crcutos, onde pode ser necessáro dmnur a carga em determnadas barras de forma a vablzar o sstema. Estes cortes de carga são modelados matematcamente através do fator (FC ) presente nas equações de balanço atvo e reatvo e o qual encontra-se entre os lmtes: 0 FC 1 Intercâmbo entre Areas: mn IT IT ma IT onde: mn IT :lmte mínmo permtdo para o ntercâmbo na área. ma IT :lmte mámo permtdo para o ntercâmbo na área. Carreqamento nos crcutos O mámo carregamento de fluo em um crcuto -j ( s ma ) pode ser j consderado como sendo: ma P + Q S j j j

27 7 CAPÍTULO I I I PROGRAMAÇÃO SEQUENCIAL QUADRÁTICA A programação seqüencal quadrátca é um método de solução de problemas não lneares, que faz uso de uma seqüênca de sub problemas quadrátcos assocados ao problema orgnal. Demonstra-se que a seqüênca de soluções obtdas pelos subproblemas quadrátcos converge para a solução do problema prncpal. Estes métodos empregam o método de Newton (ou quase Newton) para resolver as condções de K.K.T (ou condções de prmera Ordem) do problema Orgnal. Os métodos Seqüêncas Quadrátcos (MSQ) são consderados como as técncas mas efcentes na resolução de problemas de otmzação com restrções não lneares ( ver Powell, apud Melo 1998).

28 8 3.1 Montagem do Problema Para apresentar as déas deste método, consdere um problema não lnear contendo uncamente restrções de gualdade onde todas as funções são contínuas e duas vezes dferencáves, como se segue: P : s.a : h mn f() () 0 R n 1,,..., l (3.1) As condções de otmaldade para o problema (3.1) requerem uma solução prmal n R e um vetor de multplcadores de Lagrange l v R que satsfaçam: t f ( ) v h( ) 0, h( ) 0, (3.) onde: f ( ) - gradente da função objetvo f(). h( ) - Jacobano das restrções h(). l L, v ) f ( ) 1 ( v h - Função Lagrange ou Lagrangeano. Isto posto,podemos então empregar um subproblema de mnmzação quadrátca cujas condções de otmzação são guas a do problema orgnal. Tal subproblema pode ser observado abao, onde o termo constante ( ) f fo nserdo na função objetvo por convenênca: PQ(, v T 1 T ) mnmzar f( ) f ( ) T s.a : h ( ) h ( ) 0 L( ) 1,,..., l (3.3)

29 9 O vetor de multplcadores de Lagrange do subproblema quadrátco (3.3) satsfaz: f ( ) L( ) T h( ) (3.4) onde: f ( ) - denota ogradente da função objetvo f ( ) no ponto. L( ) f ( ) v h( ) - denota a matrz Hessana do Lagrangeano da função f() no ponto. 3. Algortmo Seqüencal Quadrátco Básco (PSQ) Iníco: Fazer o contador 1 e seleconar uma solução ncal convenente Prmal- Dual,v ) (. Passo Prncpal: Resolver o subproblema quadrátco (3.3) para obter uma solução e obter um conjunto de multplcadores de Lagrange 1 v assocados às restrções de gualdade. Se 0, então (,v 1 ) satsfaz as condções de K.K.T. (3.) para o problema P, então PARE. Caso contráro, faça ncrementar de 1, e repetr o passo prncpal. 1, Para uma análse da convergênca do algortmo anteror ver Bazaraa (1993) Etensão do algortmo básco PSQ nclundo Restrções de Desgualdade

30 30 Consdere a nclusão de restrções de desgualdade g j ( ) 0, j 1,..., m no problema P, onde as funções g j ( ) são contínuas e duas vezes dferencáves, conforme se segue: P : mnmzar f() s.a : h ( ) 0 g ( ) 0 j 1,..., l j 1,..., m (3.5) Neste caso, estem bascamente duas formulações alternatvas para o subproblema quadrátco: Formulação IQP (Innequalty Constraned Quadratc Programmng) Formulação EQP (Equalty Constraned Quadratc Programmng) Na formulação IQP todas a restrções do problema orgnal são lnearzadas e ncluídas no subproblema quadrátco como pode ser observado abao em que para uma dada teração (, u, v ) onde u 0 e v são, respectvamente, os multplcadores de Lagrange para as restrções de desgualdade e gualdade, teremos: PQ( onde:, u, v ) : T 1 T Mnmzar f( ) f ( ) T s.a : h ( ) h ( ) 0 g ( j ) g j ( ) T 0 L( ) 1,..., l j 1,..., m t t L( ) L(, u, v ) f ( ) u h( ) v g( ) (3.6) Na formulação EQP se tem uma predção do conjunto atvo I, ou seja das restrções de desgualdade ĝ j ( ) 0 que serão satsfetas eatamente em seus lmtes ĝ j ( ) 0 no ponto, e será atualzada a cada teração. O subproblema quadrátco é defndo apenas em função das restrções atvas na teração :

31 31 PQ(, u, v ) : T 1 T Mnmzar f( ) f ( ) T s.a : h ( ) h ( ) 0 j ĝ ( ) gˆ j ( ) T 0 L( 1,..., l j I ) (3.7) onde: ĝ j ( ) g j( ) tal que j I K ĝ( ) g ( ) tal que j I K j Os problemas PQ supra-ctados fazem uso de uma apromaçao (matrz B) defnda postva da matrz hessana do lagrangeano ( L( ) ). A estratéga utlzada para se consegur tentar tal apromação fo tentar a decomposção de Cholesy da matrz L( ). Sendo possvel tal decomposção, faríamos a própra matrz Hessana como a matrz B. Caso fosse contráro, pertubaríamos a dagonal prncpal da matrz Hessana até que fosse possível sua decomposção por Cholesy, usando esta matrz perturbada como a apromação defnda postva de L( ). O algortmo para obtermos a apromação de B é o segunte: Algortmo para obter a apromação B Passo ncal: Tentar a decomposção de Cholesy da matrz Hessana do Lagrangeano L( ). Caso consga Cholesy, fazer B = L( ). Caso não consga fazer.5* mn ( d ) 1 n1... n Passo Prncpal: Fazer B = L( ) + ( * ). Tentar a decomposção de Cholesy da Matrz B. Caso consga, PARAR. Caso anda não,fazer 4 *, e repetr o passo prncpal. onde:

32 3 - Matrz dentdade. d - elementos da dagonal prcpal da matrz ) ( L. Desta forma o subproblema quadrátco (3.7) fca: T j j T T T I j ) ( ĝ ) ( ĝ 1,...,l ) ( h ) ( h s.a. B ) ( f ) f( Mnmzar : ),v,u PQ ( (3.8) onde: ) ( g ) ( ĝ j j tal que K I j ) ( g ) ( ĝ j tal que K I j B é uma apromação defnda postva da hessana do Lagrangeano ) ( L. Neste caso, a resolução do subproblema quadrátco consste apenas da solução do segunte sstema de equações lneares: T b ) ( f v * J J B (3.9) onde: j j I j E, ) ( g ) ( h b I j E, ) ( g ) ( h J (3.10)

33 33 atvo Um aspecto crítco desta formulação é a atualzação da prevsão do conjunto I a cada teração. O algortmo de atualzação do conjunto atvo utlzado neste trabalho é o mesmo desenvolvdo na dssertação de mestrado de Melo (1998). Uma manera de assegurar a convergênca global do algortmo é garantr que 1 seja uma solução melhor do que. Isto pode ser feto utlzando o vetor (solução do subproblema quadrátco) como uma dreção de descda para uma função que garanta um decréscmo razoável no seu valor (função de descda). Para garantr tal decréscmo na função, ntroduz-se a déa da Função de Mérto. 3.4 Função de Mérto Uma Função de Mérto é defnda como sendo uma função que, juntamente com a função objetvo, é mnmzada na solução do problema, servndo como função de descda e proporconando uma déa da não otmaldade do ponto atual. Prefervelmente esta deve ser uma função fácl de ser avalada, e não deve prejudcar a convergênca do algortmo. Dentre as funções de mérto mas utlzadas podemos destacar a função de Penaldade (ou função de penaldade do valor absoluto), especfcada abao: l l FE (, ) f ( ) ma0, g ( ) h ( ) (3.11) 1 1 Esta função de mérto tem a propredade de penalzação eata, sto é, para fnto sufcentemente grande, * * e um mínmo rrestrto para F E (, ),. Adconalmente, pode ser sempre escolhdo de tal forma que seja uma dreção de descda para F E (), conforme pode-se observar no segunte lema:

34 34 Lema 3.1 Dada uma teração, consdere o subproblema quadrátco PQ dado por (3.7), onde L( ) é substtudo por uma apromação B defnda postva. Seja a solução do subproblema com multplcadores de Lagrange u e v assocados com as restrções de desgualdade e gualdade, respectvamente. Se 0, e se mau 1,... u m, v1,... v l, então é uma dreção de descda em para a função de penaldade F e dada por (3.11). Prova : ver Bazaraa(1993), lema Uma função de mérto alternatva que tem recebdo atenção consderável é a Função Lagrangeana Aumentada ( Augmented Lagrangan Penalty Functon ) - também conhecda como função de penaldade de multplcadores. Consdere prmero o caso em que todas restrções não lneares são gualdades, a Função Lagrangeana Aumentada assocada é defnda como: t F ALAG (,v, ) = 1 t f ( ) v h( ) h( ) h( ) (3.1) onde: v - multplcador de Lagrange estmado. - parâmetro de penaldade não negatva. Observe que se *,v * é uma solução da condção de K.K.T para o problema (3.1), então dervando F ALAG em relação a varável e avalando em ( *, v *, ),temos: F ALAG * * * (, v ) f ( ) l 1 l * * * * vh( ) + h ( ) ( ) 0 h, (3.13) 1

35 35 sto é, enquanto que na função de penaldade absoluta (3.11) é precso fazer para consegur obter *, para o problema (3.1) só é precso fazer sufcentemente grande (sob convenentes condções de regulardade) para que o ponto crítco * * de F ALAG (, v ) transforme em um mínmo (local). Observe que a função (3.1) é a função Lagrangeana acrescda do termo de penaldade quadrátca, daí o nome de Função Lagrangeana Aumentada. Como conseqüênca, (3.1) pode ser vsta como uma função de penaldade quadrátíca com respeto ao segunte problema que é equvalente à P: l Mnmzar f () + v h ( ) : h ( ) 0, para 1,..., l (3.14) 1 A função Lagrangeana Aumentada, além de ser dferencável, possu a propredade crucal de penalzação eata, sto é,este um valor fnto do parâmetro de penaldade (3.1), quando * para (3.1) tal que para todo *, * é um mínmo eato para * v v, sendo esta propredade vsta no segunte teorema: Teorema 3. Consdere o problema P :mnmzar f ( ) / h ( ) 0, 1,... l Seja ( *, * v ) uma solução da condção de K.K.T. que satsfaz a condção sufcente de segunda ordem para um mínmo local. Então este um * tal que para. penaldade Lagrangeana Aumentada (F ALAG ), defnda em mínmo local estrto em. Em partcular se f é convea, e os *, a função de * v v, também atnge um h, 1,..., l são afns, * então qualquer solução para P, também mnmza F ALAG (,v ) para todo 0. Prova: ver Bazaraa (1993), teorema

36 Algortmo de solução O algortmo de programação seqüencal quadrátco generalzado tanto para restrções de gualdade quanto desgualdades pode ser estabelecdo como: Passo Incal: Fazer = 0 e I = Ø. Escolher um ponto ncal 0 vável e valores ncas para: ,,, u Passo 1: Calcular os valores de b J f f e ), ( ), (. onde j j I j E, ) ( g ) ( h b I j E, ) ( g ) ( h J Passo : Verfcar se ) ( f é defnda postva. Se ) ( f é defnda postva fazer B = ) ( f, caso contráro perturbar a dagonal prncpal até consegur uma apromação B defnda postva Passo 3: Resolver o segunte subproblema quadrátco: T j j T T T I j ) ( ĝ ) ( ĝ 1,...,l ) ( h ) ( h s.a. B ) ( f ) f( Mnmzar : ),v,u PQ ( 0 0 1

37 37 Passo 4: Testar os valores encontrados de e 1 1 para verfcar se. e solução ótma do problema quadrátco (3.6). Caso postvo, r ao passo 5. Caso contráro, verfcar se precsa acrescentar ou retrar restrções ao problema (3.8) e voltar ao passo 3. Passo 5: Se 1 0, então é um ponto de K.K.T., faça u 1 1 PARE Caso contráro, calcule o tamanho do passo utlzando a função de mérto Lagrangeano Aumentado, faça u u e atualze 1 e u u 1 1 u u 1 1 Passo 6: Verfcar se 1 é vável para o problema orgnal. Caso seja, r ao passo 7. Caso contráro, corrgr o ponto 1 utlzando um passo lam através do algortmo de vabldade (ver Melo, 1998) com: lam 1 1 Passo 7: Se +1 - = 0, PARE. Caso contráro faça = +1 e retornar ao passo 1

38 Funconamento do Soluconador Problemas esparsos de Grande Porte são problemas em que a modelagem matemátca envolve a resolução de grandes sstemas de equações lneares do tpo A=b, onde a maora dos elementos nerentes a matrz A são nulos. No entanto estem técncas especfcas para o armazenamento e a realzação dos cálculos que evtama manpulação desta grande quantdade de elementos nulos, ver Perera (1991), Melo (00), Zlatev (1991), onde algumas destas técncas foram elaboradas para resolução de casos específcos. Mostraremos a segur o resumo do modelo de armazenamento desenvolvdo fazendo uso de lstas duplamente encadeadas por ponteros elaborado na tese de Doutorado de Melo (00), que é a ferramenta de operação utlzada neste trabalho O Modelo de Armazenamento Dnâmco para Matrzes Esparsas Uma estrutura de dados composta por matrzes e vetores sempre deverá ser declarada em sua dmensão, dreta ou ndretamente, fator crucal para dmensonarmos a quantdade de memóra a ser dsponblzada para o armazenamento dos dados. Esta estrutura pode então ser classfcada como estátca, uma vez que seu tamanho não se altera enquanto o programa eecuta a solução do problema. Denotamos como "fll-ns" todos os elementos não-nulos que serão crados durante a elaboração de cálculos computaconas, e os mesmos devem ser anterormente prevstos em uma estrutura estátca de dados. O não cumprmento desta condção pode vr a dfcultar ou até mesmo nvablzar a codfcação de certas rotnas devdo à lmtações de seus eecutores. Se o espaço reservado para a quantdade de fll-ns que rá ser crado não for sufcente, então o programa deverá nterromper a sua eecução e emtr uma mensagem de erro. Neste caso, sera necessára uma estrutura de dados realmente dnâmca, ou seja, uma estrutura que altere o seu tamanho de acordo com a quantdade de dados armazenados e não uma estrutura de tamanho fo e superdmensonada com posções etras para armazenar os fll-ns que serão crados posterormente.

39 39 O modelo de armazenamento proposto será composto de duas lstas ordenadas duplamente encadeadas, formadas por ponteros. Na prmera lsta, os elementos serão ordenados pelas lnhas, sendo que a nformação do prmero e do últmo elemento de cada lnha é armazenada nas duas prmeras colunas de uma matrz denomnada HAPO1. Cada nó desta lsta será composto de um pontero do tpo regstro chamado de POALUCNLU contendo as seguntes nformações: ALU : este campo rá armazenar o valor do elemento da matrz A. CNLU : este campo rá armazenar o número da coluna do elemento. Anteror : este campo rá armazenar o endereço da memóra do elemento anteror. O valor Nl ndca que não este elemento anteror ao elemento em questão, ou seja, este elemento é o prmero da lsta. Sucessor - este campo rá armazenar o endereço da memóra do prómo elemento da lsta. O valor Nl ndca que não este elemento segunte ao elemento em questão, ou seja, este elemento é o últmo da lsta. Na segunda lsta os elementos serão ordenados pelas colunas, sendo que a nformação do prmero e do últmo elemento de cada coluna é armazenada na prmera e segunda coluna da matrz HAPO. Cada nó desta lsta será composto de um pontero do tpo regstro chamado de PORNLU contendo as seguntes nformações: RNLU este campo rá armazenar o número da lnha do elemento. Anteror este campo rá armazenar o endereço da memóra do elemento anteror. O valor Nl ndca que não este elemento anteror ao elemento em questão, ou seja, este elemento é o prmero da lsta. Sucessor - este campo rá armazenar o endereço da memóra do prómo elemento da lsta. O valor Nl ndca que não este elemento segunte ao elemento em questão, ou seja, este elemento é o últmo da lsta.

40 40 Consdere como eemplo a segunte matrz A com 11 elementos não nulos (NZ=11): A ( ) As lstas ordenadas por lnhas e por colunas para a matrz do eemplo ( ) podem ser observadas a segur: NIL 488F:0110 ALU: 6.0 CNLU: 1 ANTERIOR: NIL SUCESSOR:488F: F:014 ALU: 3.0 CNLU: 4 ANTERIOR:488F:0110 SUCESSOR:488F: F:0138 ALU:.0 CNLU: 1 ANTERIOR:488F:014 SUCESSOR:488F:014C 488F:014C ALU: 1.0 CNLU: ANTERIOR:488F:0138 SUCESSOR:488F: F:0160 ALU: 1.0 CNLU: ANTERIOR:488F:014C SUCESSOR:488F: F:0174 ALU: 3.0 CNLU: 3 ANTERIOR:488F:0160 SUCESSOR:488F: F:0188 ALU: 3.0 CNLU: 5 ANTERIOR:488F:0174 SUCESSOR:488F:019C 488F:019C ALU: 1.0 CNLU: 3 ANTERIOR:488F:0188 SUCESSOR:488F:01B0 488F:01B0 ALU:.0 CNLU: 4 ANTERIOR:488F:019C SUCESSOR:488F:01C4 488F:01C4 ALU:.0 CNLU: 4 ANTERIOR:488F:01B0 SUCESSOR:488F:01D8 488F:01D8 ALU: 9.0 CNLU: 5 ANTERIOR:488F:01C4 SUCESSOR: NIL NIL Lsta Ordenada por Lnhas do Modelo de Armazenamento Proposto NIL 488F:000 RNLU: 1 ANTERIOR: NIL SUCESSOR:488F:00C 488F:00C RNLU: ANTERIOR:488F:000 SUCESSOR:488F: F:018 RNLU: ANTERIOR:488F:00C SUCESSOR:488F:04 488F:04 RNLU: 3 ANTERIOR:488F:018 SUCESSOR:488F: F:030 RNLU: 3 ANTERIOR:488F:04 SUCESSOR:488F:03C 488F:03C RNLU: 4 ANTERIOR:488F:030 SUCESSOR:488F: F: F: F: F:06C 488F:078 NIL RNLU: 1 ANTERIOR:488F:03C SUCESSOR:488F:054 RNLU: 4 ANTERIOR:488F:048 SUCESSOR:488F:060 RNLU: 5 ANTERIOR:488F:054 SUCESSOR:488F:06C RNLU: 3 ANTERIOR:488F:060 SUCESSOR:488F:078 RNLU: 5 ANTERIOR:488F:06C SUCESSOR: NIL Lsta Ordenada por Colunas do Modelo de Armazenamento Proposto As duas prmeras colunas da matrz HAPO1 serão preenchdas com os endereços dos ponteros do prmero e do últmo elemento de cada lnha, como pode ser observado a segur:

41 41 MATRIZ HAPO1 COLUNA 1 LINHA 1 488F: F: F: F:014C 3 488F: F: F:019C 488F:01B F:01C4 488F:01D8 Informações sobre as posções ncas e fnas dos ponteros da lsta ordenada por lnhas Matrz HAPO1 As duas prmeras colunas da matrz HAPO serão preenchdas com os endereços dos ponteros do prmero e do últmo elemento de cada coluna, como pode ser observado a segur: MATRIZ HAPO COLUNA 3 4 LINHA 1 488F: F:00C 488F: F: F: F:03C 4 488F: F: F:06C 488F:078 Informações sobre as posções ncas e fnas dos ponteros da lsta ordenada por colunas Matrz HAPO Na resolução de sstemas lneares de equações usando a estrutura anteror, a matrz A será trangularzada pelo processo de Elmnação Gaussana (E.G.). Neste processo serão usados dos ponetros aulares (IND_LATUAL e IND_LPRÓX), que rão percorrer as lstas ordenadas, até completar a total trangularzação da Matrz A.

42 4 O IND_LATUAL rá percorrer a lnha de referênca enquanto o IND_LPRÓX percorrerá as lnhas onde serão zerados os elementos abao da dagonal prncpal da respectva matrz. Para maores detalhes sobre o processo E.G. usando a estrutura menconada ver Melo, (00).

43 43 CAPITULO IV METODOLOGIA DO TRABALHO No presente capítulo, objetvamos descrever de manera ddátca os percursos percorrdos desde a fase ncal até a mplementação dos algortmos e os programas relatvos ao problema de Fluo de Potênca. Para sso, fo crado ncalmente um modelo de sstema com apenas três barras, separadas apenas por lnhas de transmssão e nterlgadas entre s Montagem da Estrutura A premssa ncal no estruturamento dos dados fo gerarmos uma Matrz de Incdênca, contendo elementos de coneão entre as barras do sstema desgnados pelo nº um (1), ou pelo nº zero (0), para onde não houver coneão. Fo então crado um programa para gerarmos esta matrz. Após a cração, concluímos que tal programa podera ser substtuído por um arquvo de letura que contvesse os mesmos elementos, uma vez que tornava-se vável e mas veloz fazer apenas a letura do que ocuparmos memóra com programação.

44 44 Isto posto, passamos para o momento segunte, onde necesstaríamos crar uma dentdade para as barras do sstema. Esta dentdade podera ser: Geradora, Carga ou Swng onde atrbuímos os índces 1, e 3, respectvamente,onde para cada tpo de barra ríamos entrar com os parâmetros pertnentes, que são dos por barra, e defnndo desta manera, mplctamente, as varáves assocadas a barra respectva. Defnda a Matrz de Incdênca já com os seus elementos de controle devdamente endereçados em sua estrutura, bem como as relatvas barras com suas respectvas dentdades, teríamos necessdade de agora dentfcar qual o tpo de relação entre as barras, ou seja, de que forma estas barras estão sendo nterlgadas. entre barras: Assm sendo, defnmos então três tpos de prováves techos (ou coneões) Por lnha de transmssão Por transformador em fase Por transformador defasador Defndos os tpos dstntos de trechos, cramos então um índce de controle destas coneões, pertencentes a uma matrz que epressara de forma clara a manera da nterlgação entre barras, onde para cada tpo de nterlgação dstnta alguns parâmetros poderam ser alterados, por eemplo: Índce zero (0) para coneão sgnfca não haver coneão nas barras. Índce quatro (4) para coneão - sgnfca que as barras são conectadas apenas por lnhas de transmssão ( L.T'.s ).

45 45 Índce cnco (5) para coneão - neste caso, já não mas este as LT.'S e sm um transformador entre estas barras. Esta dferença na forma de nterlgação entre as barras provoca, por eemplo, uma alteração no parâmetro a(, j) do trecho, que eprme a dferencação no nível de tensão nestes trechos. Assm: * a j para trecho - j = LT'.S = 1 onde: * a j para trecho - j = transformador ( verfcar arquvo tappu1) a j : valor do tap (em pu) do transformador pertencente ao trecho ( - j). Em cada tpo de trecho do sstema elétrco este uma partculardade relatva ao lançamento dos parâmetros do trecho, fato que deve ser cudadosamente observado, uma vez que poderá nfluencar dretamente nos cálculos do problema F.P.O. Como já fora menconado, ncamos o processo de operaconalzação do sstema com uma rede composta apenas por três barras ( todas nterlgadas entre s) onde para cada barra desgnamos uma classfcação dstnta. Assm cramos então um sstema de dmensão (3 3) onde a defnção das barras com seus respectvos parâmetros pode ser nformada medante o vetor abao: Barra = 1 3, Onde a descrção dos tpos de barra para este modelo fo o segunte: Barra tpo 1 - Barra de geração. Barra tpo - Barra de carga. Barra tpo 3 - Barra de referênca ou Swng.

46 46 Defndos os tpos de barras para o modelo tdo como protótpo para o sstema, defnremos agora os tpos de trecho que podem estr na nterlgação destas barras, conforme menconamos anterormente. A matrz abao esclarece tal proposção : Trecho : Analsando todos os parâmetros pertnentes ao modelo do trecho LT; tas como Resstêncas, Reatâncas, Yshunt e outros trechos em seus respectvos valores na grandeza por undade (o que será dscutdo a segur), ncamos os programas relatvos aos balanços de energa, jacobano das restrções e Hessana para termos a certeza do seu funconamento e assm darmos uma maor robustez ao trabalho. Encontradas de forma satsfatóra as equações do problema dado com teste (o problema anteror era composto de três barras), decdmos entâo através de um modelo para análse de confabldade apresentado em Carvalho (1999), denomnado R B test system composto por ses (06) barras, onde para este caso em partcular teríamos além do acréscmo do número de barras a sofstcação dos dspostvos pertnentes aos trechos entre elas e assm fazer os mesmos testes porém sem anda nos preocuparmos com os lmtes físcos e operaconas do sstema. Assm sendo, certos tpos de barras foram defndas pelo modelo, tas como a barra 1, por eemplo, onde desta forma podemos novamente montar o segunte vetor para as barras do sstema:. Barra :3 1, Onde a defnção dos tpos das barras é dêntca à do modelo anteror.

47 47 O passo segunte sera então defnrmos todos os dados necessáros ao programa gerador das equações e partconarmos estes dados em dados de entrada pela tela ou dados de entrada por arquvos de letura. Todos os dados relatvos a trechos (que poderam ser representados na forma matrcal) foram então pré defndos na forma de arquvos de letura facltando assm o tempo de sua entrada bem como a velocdade no processamento do programa. Por eemplo, cramos o arquvo abao : ARQUIVO Cone VARIÁVEL trecho Dando sequênca ao trabalho podemos também montar uma matrz que retrate de uma forma mas esclarecedora a defnção de cada trecho entre as barras do sstema com seus respectvos índces e suas correlações com os dspostvos estentes nos mesmos (já fora menconado antes), sto é, a matrz pode ser montada de forma a especfcar a estênca de lnhas de transmssão, transformadores em fase ou anda a presença de defasadores entre os trechos. Trecho = Agora sabemos que a varável trecho na posção 1 3 recebe o índce quatro (4) defndo então a estênca de uma lnha de transmssão entre estas barras. Obs : note que todas as matrzes para estes arquvos de letura apresentarâo dmensão (66).

48 48 No modelo acma menconado, fzemos também a nclusão de transformadores em alguns trechos objetvando assm o equaconamento mas completo do mesmo, onde teríamos de manera forçada de convertermos as Impedâncas dos transformadores, pos admtmos que os valores destas Impedâncas estão em suas respectvas bases, tornando necessáro a mudança para a base requerda. Observação: fornecda a mpedânca do transformador em sua placa (em pu), a mudança de base só é necessára para o caso das tensões de placa dos trafos não serem as mesmas das tensões base do sstema. Desta forma o processo de "almentação" dos programas geradores de equações tornou-se satsfatóro em seu propósto medante o cumprmento das necessdades reas estentes. Partmos então para uma aplcação fnal, de maor robustez que as anterores onde pudéssemos verfcar a confabldade dos programas elaborados. Um modelo de vnte e quatro barras da IEEE, denomnado the IEEE Relablty test system tas force of the Aplcaton of Probablty Methods Subcommttes - (1996), nos fo proposto para teste onde desta vez já teramos que modelá-lo para as característcas do soluconador desenvolvdo por Melo (00). A estrutura do modelo anteror sera largamente aprovetada, relatva à parte de programação, onde tomaríamos as devdas precauções em realzar as mudanças necessáras em suas peculardades, e fazer a nterface entre o MATLAB, versão 5.0, para o soluconador supra ctado, que fora desenvolvdo no ambente DELPHI, versão 3.0. Em seguda nos faltara crar os arquvos de letura necessáros aos programas geradores de equações, uma vez que uma pequena quantdade de parâmetros fo fornecda pela própra tela do MATLAB. Desta forma todos os parâmetros de apresentação matrcal foram pré-defndos nestes arquvos de letura, da mesma forma que no modelo anteror, objetvando confabldade e velocdade em níves satsfatóros no processamento das equações fnas, vsto que o acesso dreto ao arquvo nos permte uma probabldade de erro quase mínma, comparado ao processo de lançamento dos mesmos dados, arquvo por arquvo, que podera nos

49 49 trazer transtornos maores em cada provável erro no lançamento. Foram crados város arquvos de letura tas como o eemplo abao menconado: ARQUIVO Barras Cor VARIÁVEL Barra A Onde: Barra = ; O arquvo Cor, que possu a dmensão de 4 X 4, possu 576 elementos e nos fornece a Matrz de Incdênca entre as barras do sstema, assm como outros arquvos do modelo também nos fornecem outras Matrzes smlares tas como Matrz de tpos de trechos, Matrz de tap s de transformadores, Matrz de resstêncas e reatâncas das lnhas de transmssão dentre outras, que se encontram no apêndce A deste trabaho. Podemos notar que a matrz de ncdênca A, através do apêndce A 1, possu a característca de ser do tpo esparsa, ou seja, apresenta-se com uma grande quantdade de elementos nulos. Outras matrzes que são fornecdas como arquvos de letura para nserção de parâmetros, se comportam de forma análoga, contrbundo de forma consderável para o atraso no tempo do processamento e também ocupando espaço na memóra do computador. Partcularmente para este modelo não fo necessáro se eecutar a mudança de base por undade (p.u.) nas Impedâncas dos transformadores, uma vez que elas já foram fornecdas em percentagem e se encontravam nas suas respectvas bases (100 MVA -30 /138 KV), de acordo com o posconamento da área em questão, tornando mas veloz o lançamento dos parâmetros de entrada para os programas geradores.

50 50 O passo segunte sera ncar a cração dos programas em MATLAB geradores dos arquvos no formato ".tt " a serem aplcados ao soluconador. Para cada modelo, são atrbuídas duas varáves por barra e a montagem das equações de fluo de Potênca Atva e Reatva é feta automatcamente em conjunto com a geração da Matrz Jacobana das restções e da Matrz Hessana, uma vez que a metodologa utlzada na programação fo aplcada para tal. A tabela abao propõe esclarecer a quantdade de equações geradas, ndvdualmente por sstema, e as dmensões das respectvas matrzes nerentes a cada tpo de modelo proposto: Dmensão do sstema N de Varáves Canalzadas Equações de balanço - total Dm. Matrz Jacobano Dm. Matrz Hessana 3 barras X6 6X6 6 barras 1 1 1X1 1X1 4 barras X48 48X48 Podemos então com clareza resumr a quantdade de equações geradas por sstema, uma vez que um campo pertnente à uma matrz de cada modelo, representa, respectvamente, a geração duma equação de acordo com a tabela abao: N de Varáves no sstema N de Restrções do modelo N Equações Jacobano (balanço) N Equações Hessana (balanço) Total de Equações geradas Grandezas Por Undade Alguns parâmetros tas como Potêncas Aparentes, Correntes, Tensões e Impedâncas de um crcuto, mutas vezes são epressas em um crcuto em porcentagens ou em valores por undade, em relação ao valor base ou valor de

51 51 referênca escolhdo para cada grandeza. Por eemplo: se a base for 10KV, tensões de 108, 1, 10, 16KV se transformaram em 0.90, 1.0 e 1.05 por undade ou 90, 100 e 105 % respectvamente. O valor por undade é defndo como a relação entre o valor da grandeza e a base epressa em fração decmal. O uso tanto dos valores por undade como das porcentagens proporcona cálculos serem mas smples do que os valores reas em ohms, volts ou amperes. O método por undade tem uma vantagem sobre o percentual porque o produto de suas grandezas, epresso em valores por undade, fornece também um valor por undade ao passo que o produto dos valores multplcados em porcentagem deve ser dvddo por 100 para novamente traduzr-se em porcentagem. Tensão, corrente, potênca aparente e mpedânca, são grandezas que se relaconam de forma que a escolha de valores de base para quasquer duas dela determna os valores de base para as outras duas. Se especfcarmos as bases para corrente e tensão, poderemos então determnar as bases para a mpedânca e para a potênca aparente. A Impedânca base é a que apresentará uma queda de tensão entre seus termnas gual a tensão base, quando a corrente que por ela crcular for a corrente base. A potênca aparente (KVA) base em sstemas monofáscos é o produto da tensão base em KV, pela corrente base em amperes. Usualmente as bases escolhdas são a potênca aparente em KVA e a tensão em KV. Para sstemas monofáscos ou trfáscos onde o termo tensão refere-se à tensão entre a lnha e o neutro e a potênca será a potênca por fase, teremos as seguntes epressões relaconando as dversas grandezas. Corrente base em amperes = Pot. Aparente base (KVA) (4..1) Tensão (KV) Impedânca base = Tensão base em (KV) (4..) Corrente base (A) Impedânca base = (Tensão base em KV)² 1000 (4..3) Pot. Aparente base em KVA Impedânca base = ( Tensão base em KV )² (4..4) Pot. Aparente base em MVA