ESTRATÉGIAS PARA CORTE DE CARGA UTILIZANDO FLUXO DE POTÊNCIA ÓTIMO COM RELAXAMENTO DE RESTRIÇÕES

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1 JANAINA RODRIGUES LENZI ESTRATÉGIAS PARA CORTE DE CARGA UTILIZANDO FLUXO DE POTÊNCIA ÓTIMO COM RELAXAMENTO DE RESTRIÇÕES Dssertação apresentada como requsto parcal para a obtenção do grau de Mestre, no Programa de Pós-Graduação em Engenhara Elétrca da Unversdade Federal do Paraná. Orentadora: Dr.ª Thelma Solange Pazza Fernandes. Curtba 2007

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3 III AGRADECIMENTOS O resultado deste trabalho não se deve somente ao meu esforço e dedcação, mas também ao apoo de algumas pessoas, que devem ser ctadas aqu com carnho. Assm, presto os meus snceros agradecmentos: À Professora Doutora Thelma Solange Pazza Fernandes pela sua orentação e dedcação, pelos seus ensnamentos, conselhos e palavras de ncentvo durante todo o desenvolvmento deste trabalho; Aos meus pas, Leonldo Lenz e Marl Rodrgues Lenz, pela dedcação, carnho, amor e compreensão durante todos os anos de mnha vda e também durante todo este período de mestrado; Ao meu namorado, companhero e amgo Rafael Terplak Beê, pelo seu companhersmo e palavras de conforto nas horas dfíces, e também por toda sua contrbução para que a realzação deste trabalho fosse possível; À Deus, que meu deu forças para segur até aqu; Ao Insttuto de Tecnologa para o Desenvolvmento (LACTEC) pelo apoo fnancero e pela nfra-estrutura concedda para a realzação deste trabalho; Ao Professor Doutor Alexandre Ras Aok que partcpou da banca de qualfcação e da banca da defesa fnal desta dssertação, contrbundo através do seu conhecmento com excelentes observações para a fnalzação do trabalho e também por toda sua cooperação e apoo, juntamente com o LACTEC, para a concretzação deste projeto; À Professora Doutora Andréa Lúca Costa pelas sugestões e contrbuções fetas em relação à este trabalho durante a pré-defesa e a defesa; À Professora Doutora Elzete Mara Lourenço pela complementação dada à esta dssertação na ocasão da defesa; E a todos os outros que não foram menconados aqu, mas que de alguma manera contrbuíram e fzeram parte desta camnhada.

4 IV SUMÁRIO Lsta de Tabelas...VII Lsta de Sglas... VIII Lsta de Símbolos... IX Resumo... XIII Abstract... XIV CAPÍTULO I: Introdução Introdução Objetvos Estrutura da Dssertação...4 CAPÍTULO II: Revsão Bblográfca Introdução Abordagens Va Fluxo de Carga Abordagens para Fluxo de Potênca Ótmo O Método Proposto por Granvlle, Mello e Mello (1996) O Método Proposto por Mklta (2005) Relaxamento de Restrções O Método Proposto por Olvera et al. (2003) Relaxamento da Capacdade de Transmssão Relaxamento dos Lmtes de Tensão O Método Proposto por Mklta (2005) Métodos Va Pontos Interores Consderações Fnas...28 CAPÍTULO III: Formulação Matemátca do Corte de Carga Introdução Modelo Lnear Modelo Lnear do Fluxo de Carga (DC) Formulação do Fluxo de Potênca Lnear com Corte de Carga Redução da matrz B Problema a ser resolvdo...34

5 V 3.3 Modelo Não-Lnear Relaxamento de Restrções de Tensão Relaxamento de Restrções de Fluxo de Potênca Atva nos Transformadores Estágos de Corte de Carga Consderações Fnas...38 CAPÍTULO IV: Resultados Introdução Especfcações Técncas O Sstema Smulado Verfcação Prelmnar de Lmtes de Fluxo sob Contngênca Estabelecmento de Estágos de Corte de Carga a partr de Relaxamento de Restrções de Tensão e de Fluxo de Potênca Atva Smulação 1: Mnmzação de Corte de Carga Smulação 2: Mnmzação de Corte de Carga e relaxamento dos lmtes de tensão em até 3 % do lmte mínmo Smulação 3: Mnmzação de Corte de Carga, relaxamento dos lmtes de tensão em até 3 % do lmte mínmo e relaxamento dos lmtes de fluxo de potênca atva em até 20% dos lmtes mínmo e máxmo Estabelecmento de Estágos de Corte de Carga Resultados de outras smulações Desempenho do Predtor-Corretor Consderações Fnas...62 CAPÍTULO V: Conclusões Introdução Recomendações para Trabalhos Futuros...65 Referêncas Bblográfcas...67 Apêndce A: Modelagem das Equações de Balanço de Potênca Atva e Reatva e do Ângulo de Referênca...70 A.1 Representação das Equações de Balanço de Potênca Atva e Reatva na Forma Retangular...70 A.2 Representação do Ângulo de Referênca na Forma Retangular...73

6 VI Apêndce B: Formulações de FPO...74 B.1 O Problema de FPO...74 B.2 Condções de Otmaldade...76 B.3 Algortmo Prmal Dual de Pontos Interores...77 B.4 Obtenção dos Pontos Estaconáros...77 B.5 Algortmo de Solução do Problema...81 Apêndce C: Formulação do Fluxo de Potênca Lnear com Corte de Carga...82 C.1 Formulação baseada em varáves de folga e barrera logarítmca...82 C.2 Função Lagrangeana...83 C.3 Condções de Otmaldade de Karush-Kuhn-Tucker...83 C.4 Aplcação do Método de Newton às Condções de KKT...85 C.5 Atualzação de x k e µ...88 C.6 Algortmo para resolução do problema de otmzação va Prmal-Dual de Pontos Interores...89 C.7 Incalzação das Varáves...90 Anexo A: Dados do Sstema de 291 Barras...92 A.1 Introdução...92 Anexo B: Representação Gráfca do Sstema Utlzado B.1 Introdução B.2 Sstema da Regão Sul B.3 Sstema da Copel B.4 Sstema da Regão de Curtba...111

7 VII LISTA DE TABELAS Tabela 4.1 Lmtes de Tensão Fornecdos pelo ONS Tabela 4.2 Correntes nos Enrolamentos de AT de alguns Transformadores Tabela 4.3 Resultados para Corte de 100% em Todas as Áreas Tabela 4.4 Crcutos cujos Lmtes foram Atngdos Tabela 4.5 Resultados para Corte de Carga utlzando Modelo AC Tabela 4.6 Lmtes de Tensão Volados Tabela 4.7 Lmtes de Fluxos volados Tabela 4.8 Lmtes de Corte de Carga Tabela 4.9 Cortes de Carga para Smulação Tabela 4.10 Cortes de Carga para Smulação Tabela 4.11 Lmtes de tensão Volados para Smulação Tabela 4.12 Cortes de Carga para Smulação Tabela 4.13 Lmtes de Tensão Volados para Smulação Tabela 4.14 Lmtes de Fluxo Volados para Smulação Tabela 4.15 Resultados de Corte em Estágos Tabela 4.16 Desempenho do Predtor-Corretor X Puro Tabela A.1 Dados das Lnhas de Transmssão e Transformadores Tabela A.2 Dados das Barras de Carga Tabela A.3 Dados das Barras de Geração

8 VIII LISTA DE SIGLAS ONS: Operador Naconal do Sstema FPO: Fluxo de Potênca Ótmo FC: Fluxo de Carga KKT: Karush Kuhn Tucker ANEEL:Agênca Naconal de Energa Elétrca. COPEL :Companha Paranaense de Energa ANAREDE: Programa de Análse de Redes AC: Fluxo de Potênca Não Lnear CC: Fluxo de Potênca Lnear FLUPOT: Programa de Fluxo de Potênca Ótmo CEPEL: Centro de Pesqusas de Energa Elétrca DC: Fluxo de Carga Ótmo Lnearzado ELETROSUL: Centras Elétrcas do Sul do Brasl

9 IX LISTA DE SÍMBOLOS a amn a A Ag CC Af At b s B B D e ec ep et f gkm G H f t z M nc nb nl ng N relação das magntudes das tensões dos transformadores (a ( nl x 1) ) lmte mínmo de relação de magntude de transformação (amn lmte máxmo de relação de magntude de transformação (a matrz de ncdênca barra-lnha (A (nb x nl) ) matrz de ncdênca gerador-barra (nb x ng). Corte de Carga matrz de ncdênca barra fnal-lnha (Af matrz de ncdênca barra fnal-lnha (At capactor shunt das lnhas (b s (nl x 1) ) (nb x nl) ) (nb x nl) ) ( nl x 1) ) ( nl x 1) ) parte magnára de Y & que representa matrz de susceptânca de barra (B matrz de fluxo de carga DC (nb x nb); vetor que ndca a parte magnára da tensão referente à barra de referênca (d vetor da parte real da tensão (e vetor (nc x 1) untáro vetor (ng x 1) untáro vetor (nl x 1) untáro (nb x 1) ) vetor da parte magnára da tensão (f (nb x 1) ) condutânca sére do elemento entre as barras k e m parte real da matrz Y & que representa matrz de condutânca de barra (G matrz Hessana do Lagrangeano (H ( nz x nz) )) vetor com as barras ncas das lnhas do sstema de transmssão (f vetor com as barras fnas das lnhas do sstema de transmssão (t vetor das varáves de otmzação do sstema elétrco (nl x 1) ) (nl x 1) ) (nb x nb) ) (nb x nb) ) [2nb x 1] ) matrz auxlar para obtenção de soma ao quadrado das partes reas e magnáras da tensão na barra (M (2nb x 2nb) ) número de barras a serem cortadas número de barras do sstema número de lnhas do sstema número de geradores do sstema matrz de zeros (N (nb x nb) )

10 X ndes ng nz Pg Pd Pd número de restrções de desgualdade número de restrções de gualdade número total de varáves de otmzação geração de potênca atva (Pg demanda de potênca atva (Pd demanda de potênca atva na barra (nbx1) ) (nbx1) ) Pgmn vetor de lmtes mínmos de geração potênca atva (Pgmn Pg vetor de lmtes máxmos de geração potênca atva (Pg Qgmn vetor de lmtes mínmos de geração potênca reatva (Qgmn Qg vetor de lmtes máxmos de geração potênca atva (Qg P m njeção de potênca atva (P (nb x 1) ) (nb x 1) ) (nb x 1) ) (nb x 1) ) (nb x 1) ) Pl fluxo de potênca atva que percorrem elementos na dreção -m ( Plm (nl x 1) ) Plmn lmte mínmo de fluxo de potênca atvo (Plmn Pl lmte máxmo de fluxo de potênca atvo (Pl Q njeção de potênca reatva (Q (nb x 1) ) (nl x 1) ) (nl x 1) ) Qg Qd Qd (nb x geração de potênca reatva (Qg 1) ) ) demanda de potênca reatva (Qd (nb x 1) ) demanda de potênca reatva respectvamente na barra Ql m vetor de fluxos de potênca reatva que percorrem elementos na dreção -m RF RT rl m l m relaxamento nos lmtes de fluxo relaxamento nos lmtes de tensão resstênca sére do elemento entre as barras e m S & vetor de fluxos de potênca aparente que percorrem elementos na dreção -m ( S & lm t j t u Ul U m (nl x 1) ) fluxo na lnha entre barra e j vetor dmensão (nl x 1) com os lmtes máxmas nas lnhas vetor das varáves de otmzação do sstema elétrco matrz dagonal com valores untáros nas posções referentes às barras que se deseja lmtar os valores de tensão matrz de ncdênca de dmensão (nb x nc) U tensão vetor untáro de dmensão (nb x 1) U fluxo vetor untáro de dmensão (nl x 1 )

11 XI V & tensão fasoral ( V & ( nb x 1) ) V, V lmte nferor e superor da magntude de tensão. t ve -ésma lnha da matrz Γ e t vf -ésma lnha da matrz Γ f vmn lmte mínmo de tensão na barra. Vmn lmtes de tensão mínma ao quadrado(vmn (nb x 1) ) V lmtes de tensão máxma ao quadrado (V (nb x 1) ) W w cc matrz Hessana do Lagrangeano (W índce de ponderação do corte de carga ( nz x nz) ) w fluxo índce de ponderação para relaxamento dos fluxos w tensão índce de ponderação para relaxamento das magntudes de tensão x xl m z& m y& m vetor de tensão que contêm as componentes real e magnára da tensão (x reatânca sére do elemento entre as barras e m mpedânca sére do elemento entre as barras e m admtânca sére do elemento entre as barras e m (2 nb x 1) ) Y & Z & matrz de admtânca de barra ( Y & matrz de mpedânca de barra ( Z & (nb x nb) ) (nb x nb) ) ε tolerânca para o teste de convergênca t vetor contendo o custo dos cortes por barras ( α (nc x 1) ) Γ matrz dentdade (Γ (nb x nb) ) Γ e matrz composta pela justaposção da matrz dentdade Γ e a matrz de zeros N (Γ e (2nb x 2nb) ) Γ f matrz composta pela justaposção de uma matrz de zeros N e da matrz dentdade Γ (Γ f (2nb x 2nb) ) θ α δ λ vetor de ângulos das barras (nb posções) custo de cada megawatt de carga cortada especfcado para a barra vetor dos ângulos de fase das tensões em todas as barrasdo sstema elétrco multplcadores de Lagrange assocados às restrções λ F j multplcadores de Lagrange assocados às equações

12 XII ϕ vetor de otmzação que lmta os valores de tensão mínmos nas barras ϕ mn ndca percentagem que se deseja alterar de cada vmn ϕ fluxo vetor de otmzação que lmta os valores de fluxos mínmos e máxmos dos crcutos Pd seleconados pela matrz U fluxo valores dos cortes de carga a serem mnmzados Pd valores dos cortes de carga a serem mnmzados µ parâmetro barrera * em subscrto, representa valor conjugado de um número complexo em subscrto, representa valor ótmo de uma função módulo de número complexo norma nfnta de vetor dag(i) matrz quadrada cuja dagonal prncpal é o vetor I negrto varáves em negrto ndcam que se trata de um vetor ou matrz varável com ponto ndca que se trata de número complexo.

13 XIII RESUMO O prncpal objetvo da operação de um sstema elétrco de potênca é o suprmento do seu mercado de energa atendendo requstos de qualdade, contnudade e economa tanto para operação normal quanto para emergênca. Para tanto, devem ser realzados estudos prévos que orentem o operador do sstema quanto às meddas corretvas que restabelecem os crtéros operaconas exgdos pelo despachante do sstema quando ocorre algum tpo de contngênca. Algumas dessas meddas se referem ao alívo de carga. Assm, pretende-se nesse trabalho fornecer uma metodologa que otmze os cortes de carga onde o analsta possa ter uma vsão das áreas mas problemátcas do sstema, lmtá-los conforme a mportânca dos mesmos e, através do relaxamento dos lmtes mínmos de tensão e fluxos de potênca atva nos transformadores, estabelecer dferentes estágos para os cortes de carga. Ou seja, propõe-se que, se for admtdo que alguns lmtes sejam volados por apenas algumas horas, possa-se cortar menos carga do que sera necessáro se essas volações não fossem admtdas. Se a contngênca cessar dentro desse ntervalo ter-se-ão se poupado cortes de carga desnecessáros admtndo-se apenas pequenas volações. Essa metodologa fo testada em um sstema de 291 barras que é o equvalente em carga pesada da rede elétrca da Companha Paranaense de Energa e que contém toda a rede de 525 kv, 230 kv, 138 kv e 69 kv, além das barras de frontera. Palavras-Chave: Corte de Carga, Fluxo de Potênca Ótmo, Relaxação de Lmtes.

14 XIV ABSTRACT The man objectve of an electrcal power system operaton s the supplement of ts energy market takng care qualty, contnuty and economy requstes as much for normal operaton as for emergency. However, prevous studes must be realzed to gude the system operator nto the correctve measures that reestablsh the operatonal crtera demanded by the system dspatcher when occurs some knd of contngency. Some of these measures are referrng to the load curtalment. Thus, the present work presents a methodology that optmze the load sheddng where the analyst can have a vson of most problematc areas of the system, can lmt them as ther mportance and, makng relaxaton of the mnmum voltage lmts and the mum actve power flows through the transformers, can establsh dfferent stages for the load sheddng. Or ether, f we admt that some lmts are volated by only some hours, t can be cut fewer loads than t would be necessary f these volatons were not consdered. If the contngency analyzed stop nsde some hours, t wll be avoded unnecessary load sheddng, admttng only small volatons. Ths methodology was tested usng a 291-bus system that s an equvalent of the Copel Regon and that contans all network of 525 kv, 230 kv, 138 kv and 69 kv, beyond the fronter buses. Keywords: Load Sheddng, Optmal Power Flow, Lmts Relaxaton

15 CAPÍTULO 1 Introdução 1.1 Introdução Um Sstema Elétrco de Potênca (SEP) é operado de modo a atender às necessdades de energa elétrca dos consumdores da manera mas econômca possível, dentro dos padrões compatíves de qualdade, contnudade e segurança. Sendo assm, a operação do sstema deve ser realzada de manera contínua e adequada, sempre com o menor número de nterrupções e com a capacdade de manter níves acetáves de tensão e freqüênca. Para dversas ndsponbldades de crcutos de transmssão, transformadores ou undades geradoras, a área de planejamento da operação de curto prazo tem, entre outras, a função de fornecer aos operadores do sstema, meddas corretvas usuas como deslgamentos de crcutos, abertura de barramentos, redstrbução de cargas e redespacho de undades geradoras, as quas possam restabelecer os crtéros operaconas pré-estabelecdos pelas Concessonáras e pelo Operador Naconal do Sstema (ONS). No entanto, quando as mesmas não são sufcentes para retornar o sstema a essas condções devem-se realzar cortes de carga. Dferentes metodologas já foram propostas para a obtenção desses cortes. Entre elas, salenta-se a de GRANVILLE, MELLO e MELLO (1996) que formularam um problema para mnmzação dos cortes de carga resolvdo pelo Método dos Pontos Interores. No Brasl, os estudos de corte de carga são fetos normalmente através de smulações em programas tradconas de fluxo de potênca e a escolha das cargas a serem cortadas é feta pela experênca do analsta que efetua o estudo. As cargas a serem cortadas são escolhdas de modo a levar o sstema a uma condção normal de operação e com o menor desabastecmento de consumdores possível. Esse tpo de estudo exge

16 2 tempo e está sujeto a mperfeções devdo a complexdade e tamanho dos sstemas elétrcos atuas. Além dessa metodologa, exste um pacote computaconal desenvolvdo no Brasl cujo nome é FLUPOT (SOTO, 2000), o qual realza esse tpo de estudo através de um Fluxo de Potênca Ótmo (FPO), que mnmza o custo de corte de carga de tal forma a corrgr volações operatvas como sobrecargas em crcutos e problemas de tensão. O corte de carga pode ser especfcado para todas as barras ou para um subconjunto de barras da rede, e é feto de tal forma a preservar o fator de potênca. No entanto, uma lmtação desse algortmo é não restrngr os cortes por barramento, ou seja, o mesmo não possblta que se estabeleçam lmtes máxmos para os cortes nas subestações, o que pode levar a saída de operação de cargas mportantes à socedade. MIKILITA (2005) propôs um algortmo utlzando um FPO que corta as cargas ndvdualmente por áreas pré-seleconadas e pré-prorzadas, dentro de lmtes préestabelecdos de corte por subestação. Estes valores máxmos para corte de carga são obtdos de uma lsta de prordades que envolvem a experênca do operador e a natureza das cargas. Além dsso, esse algortmo é capaz de fazer um dagnóstco das barras problemátcas em termos de níves mínmos de tensão volados. A função objetvo do problema é a mnmzação do custo do corte de carga e as restrções são os lmtes operaconas do sstema elétrco. Consderando-se as lmtações dos métodos dsponíves e a mportânca desse tpo de estudo, esse trabalho se propõe a aprmorar o algortmo computaconal para corte de carga desenvolvdo por MIKILITA (2005), com a ntrodução de dferentes crtéros de otmzação concomtantes ao corte de carga tas como, o relaxamento dos lmtes de tensão e dos lmtes de carregamento de transformadores, possbltando o estabelecmento de estágos de corte. As metodologas já propostas na lteratura prevêem que os cortes sejam realzados todos smultaneamente. No entanto, mutas contngêncas são restabelecdas rapdamente e os cortes de carga realzados acabam por ser muto severos se todos os requstos operaconas forem segudos crterosamente. O que se propõe nesse trabalho é que, se for admtdo que alguns lmtes de tensão sejam volados, por exemplo, em apenas 3% e que haja sobrecarga de 20% em alguns transformadores por apenas uma ou duas horas (ou como estabelecdo pelos Procedmentos de Rede do ONS), pode-se cortar menos carga do

17 3 que sera necessáro, se essas volações de lmtes não fossem consderadas. Se a contngênca cessar dentro desse ntervalo ter-se-ão poupados cortes de carga desnecessáros admtndo-se apenas pequenas volações. Caso contráro, efetva-se o corte de carga que tera sdo proposto sem se consderar os relaxamentos. Em resumo, esse trabalho propõe o estabelecmento de város estágos de corte de carga, sempre com o ntuto de mnmzá-los. Para vablzar esse esquema de cortes de carga por estágo, foram mplementadas alterações no Fluxo de Potênca Ótmo desenvolvdo por MIKILITA (2005), de tal forma que, concomtantemente ao corte de carga, seja possível fazer um alívo ótmo das restrções de tensão e de fluxo nos transformadores, obtendo-se novos lmtes mínmos de tensão (restrtos a 3% do mínmo estabelecdo) e novos lmtes de fluxo em transformadores (restrtos a 20% do máxmo estabelecdo) que possbltam menos cortes de carga. Esse alívo de lmtes é obtdo a partr da penalzação quadrátca de fatores que permtam a alteração dos mesmos. Nesse trabalho, fo desenvolvdo anda um FPO baseado nas equações de balanço de potênca atva lneares, cuja função objetvo é também mnmzar os cortes de carga. A mplementação desse FPO teve como objetvo pré-dagnostcar as lnhas e transformadores problemátcos em termos de níves máxmos de fluxo, ou seja, prédagnostcar lnhas e transformadores congestonados que provocam cortes de carga. Como no modelo lnear as tensões nas barras são consderadas como tendo 1 pu de tensão, os cortes que porventura sejam necessáros são devdo a apenas congestonamento nas lnhas e transformadores. Outro objetvo dessa formulação de fluxo de potênca lnear (CC), fo obter resultados comparatvos com o modelo (AC) desenvolvdo por MIKILITA (2005). 1.2 Objetvos Em síntese, os objetvos desse trabalho são: () mnmzar os cortes de carga e aprmorar o progresso através do relaxamento de restrções; () estabelecer estágos de corte de carga; () formular o modelo de Fluxo de Potênca Lnear (CC);

18 4 (v) verfcar o desempenho do método Predtor-Corretor. 1.3 Estrutura da Dssertação A dssertação está dvdda em cnco capítulos, conforme descrção abaxo. O Capítulo 2 apresenta a base teórca do FPO, os prncpas métodos exstentes para estudos de corte de carga e os prncpas métodos para estudos de relaxamento de restrções. Neste capítulo é anda apresentada a formulação genérca da versão Predtor- Corretor do Método de Pontos Interores versão Prmal Dual. No capítulo 3 é apresentado o modelo do Fluxo de Potênca Lnear (CC) mplementado no trabalho, assm como a formulação do modelo (AC) proposto por MIKILITA (2005), com a ntrodução de dferentes crtéros de otmzação; relaxamento de restrções e estabelecmentos de estágo de corte de carga. No capítulo 4, apresentam-se os resultados das smulações aplcadas a um sstema de 291 barras. Por últmo, no Capítulo 5 são apresentadas conclusões e propostas para pesqusas futuras. No Apêndce A é descrto a representação das equações de balanço de potênca atva e reatva na forma retangular, pos a mesma é utlzada no trabalho. No Apêndce B é apresentada a formulação de um problema de otmzação genérco, resolvdo pelo Método de Pontos Interores versão Prmal Dual Puro. No Apêndce C descreve-se a formulação do Fluxo de Potênca Lnear com Corte de Carga resolvdo pelo Método dos Pontos Interores va Prmal-Dual. No Anexo A estão descrtos os dados do Sstema de 291 barras e no Anexo B a representação gráfca desse sstema.

19 5 CAPÍTULO 2 Revsão Bblográfca 2.1 Introdução Este capítulo tem como objetvo descrever as prncpas metodologas para corte de carga e relaxamento de restrções de tensão e carregamento em transformadores. As metodologas para corte de carga estão voltadas tanto para estudos em regme permanente quanto para estudos de establdade (MOSTAFA et. al, 1996). Para estudos em regme permanente, exstem duas abordagens: va Fluxo de Carga e va Fluxo de Potênca Ótmo. Como nesse trabalho se está nteressado na aplcação em regme permanente, se fará um breve hstórco sobre estudos nessa lnha. A área de planejamento da operação de curto prazo tem, entre outras, a função de fornecer aos operadores e despachantes do sstema subsídos para que os mesmos possam operá-lo dentro dos lmtes dos equpamentos em regme normal e em emergênca. Esses estudos verfcam o comportamento do sstema em estado permanente e avalam se os níves de tensão nos barramentos do sstema e os fluxos de potênca nas lnhas de transmssão e transformadores para uma determnada confguração do sstema e uma determnada condção geração-carga atendem aos crtéros estabelecdos pelas concessonáras e pelo Operador Naconal do Sstema (ONS). Assm, para dversas condções de carga e dversas ndsponbldades de crcutos de transmssão, transformadores ou banco de transformadores, ou anda, ndsponbldades de undades geradoras, buscam-se meddas corretvas, tas como: redespacho de undades geradoras, remanejamento de carga, deslgamentos de crcutos, abertura de barramentos, chaveamentos de capactores e/ou reatores e controle de tensão va ajuste de taps dos transformadores, que levem o sstema a atender aos crtéros préestabelecdos. Contudo, elas podem não ser sufcentes para retornar o sstema a condções que satsfaçam as restrções operaconas mínmas, sendo necessáro realzar cortes de carga, os quas devem ser os mínmos possíves.

20 6 No entanto, admtndo-se pequenas volações nos níves de tensão e nos lmtes de fluxo de potênca atva nas lnhas e transformadores é possível se dmnur ou até mesmo zerar os cortes de carga necessáros, como descrto em (OLIVEIRA et. al, 2003); e anda dagnostcar barras problemátcas e causadores dos cortes de carga como feto em (MIKILITA, 2005). Esses trabalhos serão aqu detalhados, pos os mesmos serão utlzados posterormente num enfoque que envolve o estabelecmento de estratégas de corte, a ser descrto no Capítulo 3. As vantagens da abordagem va Fluxo de Potênca Ótmo soluconado através do Método dos Pontos Interores versão Prmal-Dual levaram à utlzação da mesma nesse trabalho. A fm de se aprmorar a dreção de busca e acelerar a convergênca do processo, exste uma versão nttulada Predtor Corretor e modelada em (MEHROTRA, 1992), cujos resultados são bastantes satsfatóros. Esta formulação fo utlzada com sucesso em (FERNANDES, 2004) e por sso fo utlzada nesse trabalho, cabendo assm, uma breve descrção da mesma. 2.2 Abordagens Va Fluxo de Carga O objetvo do cálculo de fluxo de carga é determnar o estado da rede elétrca (tensão, ângulo de todas as barras da rede e os taps dos transformadores), e tendo os valores de tensão e ângulo, as demas varáves são calculadas. O modelo do fluxo de carga é formulado através de um sstema de equações e nequações algébrcas não lneares. O cálculo do fluxo de carga é, em geral, realzado utlzando métodos computaconas desenvolvdos especfcamente para a resolução desses sstemas de equações algébrcas que consttuem o modelo da rede. Exstem dferentes metodologas para a resolução de problemas de convergênca de casos de fluxo de potênca. Todas buscam a determnação de um ponto de operação vável para o sstema elétrco. Algumas proposções têm a fnaldade de aumentar a robustez do método de Newton-Raphson para a solução do fluxo de potênca convenconal. Essas metodologas, baseadas em fluxo de carga com amortecmento, fornecem apenas uma solução vável para as equações do fluxo de carga, sendo que o ponto de operação obtdo pode estar muto longe da especfcação ncal. Dentre essas metodologas podem-se ctar as propostas abordadas por SASSON et al. (1971), IWAMOTO e TAMURA (1981),

21 7 SCUDDER (1981), DEHNEL e DOMMEL (1989), CASTRO e BRAZ (1997) e DUARTE et al. (2000). Todos os algortmos menconados fornecem uma solução para o problema, porém os resultados obtdos são bastante dstntos entre s e não são soluções operaconas. 2.3 Abordagens para Fluxo de Potênca Ótmo Em termos de estudos em regme permanente, dentre as mutas aplcações do FPO, destaca-se também a mnmzação do custo de corte de carga para elmnação de volações operatvas. O objetvo da resolução de um FPO em um sstema de potênca é defnr um conjunto de ações de controle que elmnem as volações operatvas do sstema, tas como volações no perfl de tensão de barras do sstema, volações no carregamento dos crcutos, desbalanços entre carga e geração, dentre outras. Entre as ações de controle realzadas pelo FPO, pode-se ctar a atuação sobre a njeção de potênca atva e reatva dos geradores, modfcações nos taps dos transformadores e deslgamentos forçados de cargas do sstema. Dessa manera, o FPO é uma ferramenta computaconal muto mportante na análse de planejamento e operação de sstemas elétrcos de potênca. O cálculo do fluxo de potênca em uma rede de energa elétrca consste essencalmente na determnação do estado da rede e da dstrbução de seus fluxos. A função objetvo do FPO representa o aspecto que se deseja otmzar e sua formulação va depender do objetvo de estudo, por exemplo: mnmzação do custo de geração de energa que reflete a operação econômca da rede; mnmzação de perdas atvas da transmssão; mnmzação do corte de carga; mínmo desvo de uma solução pré-especfcada; mínma ação de controle; despacho de potênca reatva; entre outros. As restrções a serem satsfetas pelo problema de FPO podem ser restrções de gualdade ou de desgualdade. As restrções de gualdade são representadas pelas equações não lneares do fluxo de potênca correspondentes ao balanço de potênca em cada nó da rede. As restrções de desgualdade são as lmtações mpostas a uma varável: - restrções físcas: lmtes de geração de potênca atva e reatva, lmtes nos valores dos taps dos transformadores, lmtes de transmssão de potênca atva e reatva nas lnhas, etc. - restrções operaconas: lmtes das magntudes das tensões nas barras.

22 8 Assm, o objetvo do FPO é dar uma orentação ao operador ou analsta do sstema de potênca de como determnados controles devem ser ajustados de modo que os centros de geração, de consumo e os equpamentos que partcpam da transmssão estejam dentro de suas capacdades estabelecdas. Dferentemente de um problema clássco de Fluxo de Potênca, que necessta da especfcação de algumas varáves tas como: magntudes de tensão e potênca atva gerada nas barras de geração (barras PV), o FPO trata estas varáves como passíves de ajustes. Para tanto, ele é apresentado como um problema de otmzação, onde se procura mzar ou mnmzar um índce de desempenho, atendendo smultaneamente a um conjunto de restrções de gualdade e desgualdade. Uma referênca para este problema é o trabalho de CARPENTIER (1962), onde formalmente fo apresentado um problema para mnmzar custo de produção de energa, consderando as equações de balanço de potênca atva e reatva como restrções de gualdade e as lmtações físcas dos equpamentos como restrções de desgualdade. Esta formulação serve como um ponto de partda para os estudos posterores, estabelecendo o FPO como um problema que envolve três elementos báscos: as varáves, as restrções e a função objetvo. O trabalho de HAPP (1977) apresenta uma revsão sobre o progresso ncal dado aos problemas de despacho econômco e FPO, apresentando concetos báscos sobre a formulação dos mesmos, nterpretação de custo ncremental, fator de perdas e operação mult-áreas. Nesse trabalho podem-se dentfcar alguns artgos que foram marcos na evolução do FPO, como por exemplo: o de CARPENTIER (1962), já menconado, e que fo o prmero a formular o problema em termos de programação não-lnear, nclundo lmtes de tensão, e o trabalho de DOMMEL e TINNEY (1968) que apresenta um método teratvo que se basea na dreção do vetor gradente reduzdo, ou seja, determnam-se ajustes nas varáves de controle usando a dreção defnda pelo gradente reduzdo e, em seguda, as varáves dependentes são calculadas através da solução das equações do fluxo de carga pelo Método de Newton-Raphson. Revsões bblográfcas mas recentes também foram publcadas, tas como: VARGAS, QUINTANA e VANELLI (1993), MOMOH, EL-HAWARY e ADAPA (1999), QUINTANA, TORRES e PALOMO (2000), entre outras.

23 9 O Problema do Mínmo Corte de Carga é um caso partcular de FPO, onde se calcula uma solução real para as equações de fluxo de carga, e também uma solução factível do ponto de vsta operaconal. Como são ncluídas restrções operatvas, não há volação de lmtes operaconas do sstema nem superação de lmtes de equpamentos. Dferentes metodologas foram propostas para a solução do problema, entre elas: - HADJU et. al (1968) desenvolveram um algortmo para mnmzar o corte de carga baseado no Método de Newton-Raphson e no Teorema de Kuhn-Tucker. Prmeramente uma polítca de corte é obtda defnndo-se as prordades, depos é feta a mnmzação do corte em cada barra. - SUBRAMANIAN (1971) propôs uma abordagem baseada em sensbldade para resolver problemas de corte de carga. Um crtéro de mportânca fo usado para atrbur dferentes prordades às cargas e assm lmtar o corte total. Porém o método omte os lmtes operaconas e dos equpamentos. - CHAN e SCHWEPPE (1979) propuseram um método que re-despacha geradores além de cortar carga. A formulação penalza tanto o corte de carga quanto desvos no despacho das gerações. O problema não-lnear de otmzação fo lnearzado e resolvdo usando-se um algortmo de programação lnear. - MOSTAFA et. al (1996) formularam um FPO cujo esquema de corte de carga está baseado na mnmzação da dferença entre a soma das gerações e a soma das carga conectadas. - GRANVILLE, MELLO e MELLO (1996) formularam um problema de mnmzação dos cortes de carga, mantendo o fator de potênca constante, resolvendo-o pelo Método dos Pontos Interores. No processo de cálculo, controles como LTC dos transformadores e re-despacho de potênca atva podem ser otmzados de forma a mnmzar o corte de carga. - BARBOZA e SALGADO (2001) propuseram um esquema de corte de carga onde a mnmzação desses cortes é feta através da mnmzação de uma varável γ que multplca as dreções de mnmzação Pd e Qd por barra. Assm, o valor de corte de potênca atva e reatva para cada barra vem a ser o valor γ. Pd e γ. Qd. O problema de mnmzação também é resolvdo pelo Método dos Pontos Interores.

24 10 AFFONSO et. al (2003) utlzaram o corte de carga como últma alternatva para recuperar a margem de establdade de tensão depos que o re-despacho de potênca atva e reatva não conseguem elevar a margem de establdade que bascamente estabelece o quão longe o sstema se encontra do ponto de colapso de tensão. No Brasl, os estudos de planejamento da operação de sstemas elétrcos de potênca envolvendo corte de carga para stuações de emergênca são normalmente realzados pelas empresas concessonáras de energa de manera manual, ou seja, utlzando-se ferramentas tradconas de estudos de fluxos de potênca e baseando-se na experênca dos analstas que realzam os estudos, através da retrada de cargas num esquema de tentatvas até se obter o corte de carga deal. Além desse mecansmo de atuação, exste um pacote computaconal FLUPOT (SOTO, 2000), que realza esse tpo de estudo utlzando um FPO para realzação da mnmzação do custo de corte de carga. No entanto, o algortmo não é seletvo nos cortes, pos não é possível fxar lmtes máxmos dos mesmos nas barras canddatas a serem lmtadas. Neste caso, cargas mportantes podem ser cortadas além de seu lmte permtdo. Mutas subestações almentam, além de cargas resdencas e comercas, hosptas ou cargas ndustras muto mportantes, cujo desabastecmento pode gerar prejuízos à população e às lnhas de produção. Assm, torna-se mportante que parte das cargas em uma mesma barra possam ser cortadas enquanto que em outras não. Essa questão está atendda em MIKILITA (2005). Dentre as formulações ctadas, será dada ênfase aos trabalhos propostos por GRANVILLE, MELLO e MELLO (1996) e MIKILITA (2005) O Método Proposto por GRANVILLE, MELLO e MELLO (1996) Este método fo mplementado no programa FLUPOT do CEPEL e consste na mnmzação da segunte função objetvo, de tal forma a corrgr volações operatvas: s.a. mn CC = Pd (2.1) I c ( 1 θ ) P P ( u) = 0 (2.2) d

25 11 onde ( 1 θ ) Q Q ( u) = 0 (2.3) u d mn u u (2.4) I : conjunto de barras especfcadas como canddatas a corte; c : o custo de cada megawatt de carga cortada, especfcado para a barra ; Pd e Qd : demandas de potêncas atva e reatva, respectvamente, na barra ; P (u) e Q (u) : equações de balanço de potênca atva e reatva, respectvamente, na barra ; : fração da carga a ser cortada em cada barra ; u : vetor das varáves de otmzação do sstema elétrco u = [Pg T ; V : vetor das magntudes das tensões em todas as barras do sstema elétrco; ângulos de fase das tensões em todas as barras do sstema com exceção da barra de referênca angular; a : vetor dos taps dos tranformadores com comutação sob carga. As duas prmeras restrções (2.2) e (2.3) são as restrções de gualdade que representam as equações do balanço de potêncas atva e reatva, respectvamente, na barra. A tercera restrção (2.4) representa os lmtes nas varáves, ou seja, os lmtes operaconas do sstema elétrco. O conjunto de barras canddatas a corte ( I ) pode ser especfcado como um c subconjunto de barras ou todas as barras da rede. O corte de carga θ pode ser calculado para um conjunto especfcado de barras ou para todas as barras da rede. O custo do corte de carga pode ser dferencado por barra ou para um subconjunto de barras, porém, não estão ncluídos lmtes de cortes por barras ou por áreas do sstema nas restrções de desgualdade. O sstema formado pelas equações 2.1 a 2.4 é resolvdo pelo Método de Pontos Interores versão Prmal-Dual O Método Proposto por MIKILITA (2005) Essa metodologa fo proposta com os seguntes objetvos: () pré-dagnostcar um FPO dvergente através da verfcação de quas barras provocam a não convergênca

26 12 devdo a lmtes mínmos não atngdos; e, () mnmzar o corte de carga para casos de FPO dvergentes onde as meddas corretvas usuas já foram mplementadas sem êxto. Bascamente, quando se tem geração de potênca sufcente, os fatores que levam à dvergênca de um FPO são as mpossbldades de se atender níves mínmos de tensão nas barras e níves máxmos de carregamento nas lnhas de transmssão e transformadores. Para condções de emergêncas onde as meddas corretvas usuas já foram mplementadas sem que se consga alvar os carregamentos nas lnhas e subtensões nas barras problemátcas, é possível se fazer um pré-dagnóstco das causas de dvergênca referentes aos lmtes de tensão, antes de se executar o alívo de carga propramente dto. Assm, a prmera função objetvo proposta por MIKILITA (2005) permte a obtenção de quas são os lmtes mínmos de tensão volados. Em seguda, com a nformação de quas barras são problemátcas, pode-se utlzar essa nformação na seleção das áreas prortáras cuja carga deve partcpar do processo de corte de carga, restrngndo, assm, o unverso de busca e o esforço computaconal. A formulação matemátca utlzada no problema para a representação complexa das tensões nas barras é a forma retangular. Assm, a modelagem das equações de balanço de potênca atva e reatva e do ângulo de referênca para esta representação retangular estão mostradas no Apêndce A. Para que se processe o FPO cuja função objetvo é a mnmzação do corte de carga, é precso consderar o segunte crtéro de otmzação: onde mn CC = t (2.5) t : vetor de dmensão nc (número de barras a serem cortadas) contendo o custo dos cortes por barras e Pd é um vetor de dmensão (nc x 1) com os valores dos cortes a serem mnmzados. As barras a serem cortadas estão armazenadas no vetor Ic, de dmensão (nc x 1). Para que a varável Pd possa modfcar os valores de carga, esta é ntroduzda nas equações de balanço de potênca atva e reatva, as quas podem ser compactamente representadas por: Pg Pd() = P (x,a) (2.6)

27 13 onde Qg Qd() = Q(x,a) (2.7) x : vetor de dmensão ( 2 nb x 1) que contêm as componentes real e magnára do fasor tensão na forma retangular ( Anexo A); a: vetor de dmensão (nl x 1) com os taps dos transformadores; Pd() Pd U 0 = m Pd (2.8) 0 Qd( ) Qd U Qd (2.9) = m sendo Pd 0, Qd 0 os valores ncas das cargas, Pd são os cortes mnmzados e U m uma matrz de ncdênca de dmensão (nb x nc), formada do segunte modo: é U m = [ Um ] onde j 1, se = Ic( j) Um j = (2.10) 0, caso contráro O corte de potênca reatva Qd é feto de tal modo a se manter o fator de potênca da carga orgnal, ou seja: Qd = dag { tg[ arc(cos fp)]} (2.11) onde fp: vetor de dmensão (nc x 1) dos fatores de potênca da carga orgnal. As barras a serem cortadas podem ser agrupadas por áreas geográfcas. Além da prorzação dos cortes através do vetor α (custos dos cortes por barra), pode haver uma segunda prorzação das áreas que devem ser cortadas em detrmento de outras. Para se modelar essa prorzação, utlza-se a matrz dentdade Upror de dmensão (nc x nc). Porém, nas posções referentes às barras de uma mesma área, ao nvés de valores untáros, colocam-se pesos, de modo que quanto maores os pesos relatvos às barras de uma determnada área, menores as chances das barras dessa área serem cortadas e quanto menores os pesos, maores as chances das barras dessa área serem cortadas. Para se modelar essa segunda prorzação, a função objetvo passa a ser: mn CC = t Upror (2.12)

28 14 As restrções de gualdade, para esse crtéro de otmzação, são as equações de balanço de potênca atva e reatva descrtas nas equações (A.12) e (A.13) e o ângulo de referênca zero (equação (A.18)). As restrções de desgualdade envolvem as lmtações físcas e operaconas do sstema como enumeradas a segur. geradores. onde a) Lmtes de geração As potêncas atvas e reatvas geradas devem estar dentro dos lmtes dos Pg mn Pg Pg (2.13) Qg mn Qg Qg (2.14) Pg mn e Pg : vetores de dmensão (nb 1) contendo os lmtes mínmos e máxmos de geração de potênca atva, respectvamente; Qg mn e Qg :vetores de dmensão (nb 1) contendo os lmtes mínmos e máxmos de geração de potênca reatva. b) Lmtes das Magntudes de Tensão Como não se trabalha com o fasor de tensão na forma polar, mas na retangular, é precso que se faça uma adequada representação dos módulos de tensão ao quadrado, como se segue. Para uma determnada barra, o módulo ao quadrado da tensão é: 2 & 2 2 = ( e ) ( f ) (2.15) V + Para que a equação (2.15) possa ser generalzada em função do vetor x, realzam-se as seguntes operações: onde ve x = e (2.16) T ve : -ésma lnha da matrz Γ e (equação (A.7) no Apêndce (A)). T

29 15 Portanto, 2 ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( T T T T T e = = x ve ve x x ve x ve (2.17) Além dsso, T f = x vf (2.18) onde T vf : -ésma lnha da matrz Γ f (equação (A.8) no Apêndce (A)). Portanto, 2 ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( T T T T T f = = x vf vf x x vf x vf (2.19) Somando as equações (2.16) e (2.17), tem-se x M x x vf vf ve ve x = + T T T T ) ( (2.20) onde T T vf vf ve ve M + = : matrz auxlar de dmensão (2nb 2nb), usada para obtenção da soma ao quadrado das partes reas e magnáras de cada componente de tensão na barra. Para todas as barras tem-se, então: x x V x M x M x = = ) ( V V nb T 1 T 2 nb 2 1 Μ & Μ & (2.21) onde x M x M x x V = nb T 1 T ) ( Μ : função matrcal de dmensão (nb 2nb). Portanto, a restrção que ndca os lmtes na magntude de tensão na barra pode ser escrta como: mn T V V x M x (2.22)

30 16 onde V mn e V correspondem aos valores mínmo e máxmo das magntude de tensão permtdos na barra elevados ao quadrado. São vetores de dmensão (nb 1) contendo os lmtes de magntudes de tensão. onde c) Lmtes de Taps de Transformadores Os lmtes operaconas de a são: a mn a a (2.23) a mn e a : vetores de dmensão (nl 1) contendo os lmtes mínmos e máxmos das relações de transformação das magntudes das tensões, respectvamente. A relação de transformação a afeta os elementos da matrz Y &, bem como todas as matrzes formadas a partr da mesma, ou seja, G e B. Tendo em vsta que as equações de balanço e potênca atva e reatva (equações (A.12) e (A.13)), as quas estão representadas no Apêndce A, estão em função das matrzes G e B, pode-se então representá-las como: Pg Pd = P (x,a) (2.24) Qg Qd = Q(x,a) (2.25) d) Lmtes de Fluxos nas Lnhas Em (FERNANDES, 2004) está apresentada a expressão matrcal genérca para o vetor de fluxos de potênca atva crculando pelas lnhas e transformadores: Pl m T * * T * = real{dag(af V)[dag(Y & &. l )dag(t)(af & dag(t &) At) V& ]} (2.26) onde Pl m : fluxo de potênca atva na lnha m e na dreção de para m. A equação (2.26) deve ser colocada em função do vetor x, assm utlzando-se das equações (A.7) e (A.8), mostradas no Apêndce (A), tem-se que: Substtundo a equação (2.27) em (2.26) tem-se: V & = ( + j ) x = & x (2.27) e f x Pl m T * * * = { ( Af & x)[ ( Y& l ) ( t& )( Af ( t& T real dag dag dag dag ) At) & ] x} (2.28) x x ou,

31 17 Pl m = Pl m ( x, a) (2.29) onde Os lmtes de fluxos de potênca atvos crculantes pelas lnhas de transmssão são: Pl m (x,a) Pl (2.30) Pl : vetor de dmensão (nl 1), contendo o lmte máxmo de fluxo de potênca atva. Além das restrções de desgualdades descrtas nas equações (2.13), (2.14), (2.22), (2.23) e (2.30), têm-se anda os lmtes dos cortes nas cargas: onde (2.31) : vetor de dmensão (nc 1) contendo os lmtes máxmos dos cortes por barra. Tomando o crtéro de otmzação e as restrções descrtas anterormente, o modelo FPO para mnmzação do corte de carga pode ser expresso da segunte forma: mn CC = t Upror (2.32) s. a Pg Pd = P ( x, a) (2.33) Qg Qd = Q( x, a) (2.34) T d x = 0 (2.35) Pgmn Pg Pg (2.36) Qgmn Qg Qg (2.37) T V mn x M x V = 1,..., nb (2.38) amn Plmn a a (2.39) Pl Pl (2.40) (2.41)

32 Relaxamento de Restrções O Fluxo de Potênca Ótmo, como já fo ctado, é uma ferramenta mportante para analsar as condções operaconas do sstema de potênca, dado uma função objetvo e um conjunto de restrções. Em algumas ocasões o sstema não converge ou a solução tende a osclar porque os componentes da transmssão estão com sobrecarga. Então, para que o algortmo retorne à solução, exste uma técnca baseada no relaxamento dos lmtes das restrções, ou seja, no relaxamento dos lmtes de fluxo de potênca atva e dos lmtes de tensão. Essa técnca de relaxamento basea-se no fato de que os lmtes de operação do sstema de transmssão e magntude das tensões não são estrtamente rígdos e portanto, podem ser relaxados. A vantagem desta técnca sobre a técnca tradconal de corte de carga é que o rsco de operação com o mínmo percentual de lmtes ultrapassados, sem fazer qualquer corte de carga, pode ser avalado. A segur, serão apresentadas as prncpas metodologas exstentes para relaxamento de restrções em problemas de FPO O Método Proposto por OLIVEIRA et al. (2003) Esta metodologa é utlzada para retornar o algortmo à solução, em stuações onde ocorram problemas de convergênca. A técnca proposta é baseada no relaxamento dos lmtes de fluxo de potênca atva e dos lmtes de tensão. Para cada restrção atva um custo é assocado à nova varável de relaxamento, a qual é ncluída na função objetvo do problema FPO. Isto sgnfca que a convergênca é alcançada através do mínmo alívo da capacdade do crcuto ou do lmte de tensão. Os coefcentes de Lagrange, que estão assocados ao ponto de operação com carga pesada, são explorados para ndcar o melhor local para reforço do sstema. Através da técnca de corte de carga a solução do problema de FPO é encontrada movendo-se o ponto de operação do sstema para a frontera da regão vável. Nesta nova condção de operação do sstema, os multplcadores de Lagrange não refletem a condção

33 19 de operação desejada. Adconalmente, se o ponto de operação desejado estver longe da frontera da regão vável, então a técnca do mínmo corte de carga poderá não convergr. Para ncorporar o modelo proposto, uma nova varável de relaxamento e uma nova equação de restrção são ntroduzdas no problema de FPO. Adconalmente, um custo de relaxamento é assocado a esta nova varável na função objetvo Relaxamento da Capacdade de Transmssão onde O problema de Fluxo de Potênca Ótmo pode ser formulado como: s.a. Mn f (X ) (2.42) h ( X ) = 0 (2.43) l X u (2.44) X : vetor das varáves de otmzação, tas como, magntude das tensões, ângulos de fase, despacho de potênca atva e reatva, taps de transformadores, compensação sére, etc.; f(x) : função objetvo representa o mínmo corte de carga; h(x): restrções de gualdade que ncluem equações de balanço de potênca atva e reatva; l e u : lmtes nferores e superores de X. nequação: onde j As restrções funconas assocadas com os lmtes de transmssão são dadas pela Pj P j (2.45) P : fluxo de potênca atva (MW) no crcuto conectado entre as barras e j, consderando postvo de para j; P j : lmte do fluxo de potênca atva no crcuto -j. A restrção (2.45) pode ser reescrta como: Sendo Y uma varável de folga com lmtes dados por: j Y P = 0 (2.46) j j

34 20 0 Yj P j (2.47) Um novo procedmento é ncorporado ao modelo acma para permtr que o algortmo retorne à solução sempre que uma restrção de fluxo de potênca estver atva. Neste modelo, durante o processo teratvo, se uma restrção de crcuto tornar-se atva então a capacdade do crcuto correspondente pode ser relaxada através da ntrodução de uma nova varável RLX na equação (2.46), como mostrado na equação (2.48): j Y RLX P = 0 (2.48) + j j j Para evtar um excesso de relaxamento em um dado crcuto, é necessáro o usuáro mpor lmtes rígdos para RLX j, por exemplo: 0 RLX 0,1 (2.49) j P j Para garantr que o relaxamento ocorra somente em um pequeno número de crcutos ou em nenhum deles, é necessáro assocar um alto custo para a varável o qual é ncorporado à função objetvo, equação (2.42), conduzndo à equação: RLX, j Mn f ( X ) + C (2.50) j RLX j onde C j : valor do custo de relaxamento do crcuto -j, defndo pelo usuáro. Então, o problema pode ser reescrto como: Mn f ( X ) + C (2.51) j RLX j s.a. h ( X ) = 0 (λ) (2.52) onde Y RLX P = 0 λ F ) (2.53) j + j j j P j ( j 0 RLX 0,1 (2.54) 0 Yj P j (2.55) l X u (2.56) λ : multplcadores de Lagrange assocados às restrções (2.52); λ F j : multplcadores de Lagrange assocados às equações (2.53).

35 Relaxamento dos Lmtes de Tensão As restrções de lmtes de tensão podem ser expressas como: onde V : magntude de tensão na barra ; V V V (2.57) V, V : lmte nferor e superor da magntude de tensão. Se em uma dada teração o lmte superor de restrção de tensão da barra estver atvo, então a técnca de relaxamento proposta consste em três passos: () O lmte superor é estenddo para um dado valor lmte, restrção de tensão permaneça natva, como mostrado na equação (2.58). () Uma nova equação com uma varável de folga / V, de tal forma que a / V V (2.58) Yu é ntroduzda no problema de FPO, a fm de garantr a nvolabldade do lmte superor de tensão (2.59) e (2.60). V, equações Yu V = 0 (2.59) 0 Yu V (2.60) () A equação (2.59) é substtuída por (2.61) de manera smlar à equação (2.58). Yu RLXV V = 0 (2.61) + Onde a varável de relaxamento de tensão, RLXV, deve permanecer dentro de lmtes restrtos, como por exemplo: 0 RLXV 0,04 V (2.62) E agora, o problema de FPO (2.51) pode ser reescrto como: Mn f ( X ) + C RLX + C RLXV (2.63) s.a. j j

36 22 onde h ( X ) = 0 (λ) (2.64) Y RLX P = 0 λ F ) (2.65) j + j j ( j Yu RLXV V = 0 (2.66) + 0 RLX 0,1 (2.67) j P j 0 RLXV 0,04 (2.68) V 0 Yj P j (2.69) 0 Yu V (2.70) l X u (2.71) C : valor do custo de relaxamento do lmte de tensão na barra, defndo pelo usuáro. Os componentes de custo da função objetvo mostrados em (2.63) são defndos pelo usuáro de manera que o corte de carga seja evtado. Isto sgnfca que f(x) deve ter o componente de mas alto custo da função objetvo (2.63). Procedmento smlar é adotado para tratamento da volação do lmte nferor de tensão. A metodologa adotada aqu para a solução de (2.63) basea-se na técnca de pontos nterores assocada à teora prmal-dual para atualzação do parâmetro barrera O Método Proposto por MIKILITA (2005) Semelhantemente ao que fo proposto em OLIVEIRA et al. (2003), MIKILITA (2005) propõe um relaxamento nas restrções de tensão sem o processamento do corte de carga a fm de se dentfcar os níves mínmos de tensão volados os quas não permtem a convergênca do FPO e requerem o corte de carga. Assm, antes de se processar o corte de carga, prmeramente, obtêm-se quas os lmtes mínmos de tensão que mpedem a convergênca do FPO. Para tanto, faz-se uma parametrzação das restrções de tensão obtendo-se novos lmtes mínmos que possbltem a solução do mesmo. Essa função objetvo é modelada a partr da penalzação quadrátca do vetor ϕ que possblta a alteração dos lmtes mínmos nas barras (Vmn): mn Ul t (ϕ -U) 2 (2.72)

37 23 onde U é um vetor untáro de dmensão (nb x 1 ); s. a 0 ϕ 1 = 1,..., nb (2.73) ϕ vmn V& = 1,..., nb (2.74) ϕ é uma varável de otmzação que lmta os valores de tensão mínmos nas barras seleconadas pelo vetor Ul, que é um vetor de dmensão (nb x 1) com valores untáros nas posções referentes às barras que se deseja restrngr os valores de tensão, sendo os demas elementos nulos. V & : magntude tensão na barra ; vmn : lmte mínmo de tensão na barra. Cada componente do vetor ϕ está restrto aos valores de 1 a 0, ou seja, o valor máxmo 1 (valor deal) mplca em não alterações dos lmtes de tensão e o valor mínmo 0 mplca em uma restrção de não negatvdade aos valores de vmn. Para as posções j do vetor ϕ que se referem às barras cujos lmtes não são seleconados para a parametrzação, assume-se que ϕ j = 1. Como se utlza a representação retangular para o fasor tensão, os lmtes mínmos de tensão são representados da segunte manera: ϕ V mn x T M x V (2.75) Os resultados da mnmzação dessa função objetvo permtem que se conheça a pror, quas barras são problemátcas, ou seja, quas as barras do sstema que não suportam os lmtes mpostos pela operação e que não permtem a convergênca do FPO. De posse dessas barras, podem-se antever quas as regões que serão cortadas ao se mnmzar a função de corte de carga (a ser formulada) e até mesmo avalar a alternatva de se manter ou não lmtes mínmos rígdos em barras radas pela contrapartda de se poder evtar cortes de carga. As restrções de gualdade são as equações de balanço de potênca atva e reatva modeladas como nas equações (A.12) e (A.13) e compactamente representadas por: Pg Pd = P(x) (2.76) Qg Qd = Q(x) (2.77)

38 24 e o ângulo de referênca zero (equação (A.18)). As restrções de desgualdades são as já descrtas em (2.13), (2.14), (2.23), (2.30), (2.73) e (2.75). Tomando o crtéro de otmzação e as restrções descrtas anterormente, o Modelo de FPO com relaxamento das restrções de tensão é expresso da segunte forma: s. a mn Ul t (ϕ -U) 2 (2.78) Pg Pd = P (x,a) (2.79) Qg Qd = Q(x,a) (2.80) T d x = 0 (2.81) Pgmn Pg Pg (2.82) Qgmn Qg Qg (2.83) T ϕ V mn x M x V = 1,..., nb (2.84) 0 ϕ 1 = 1,..., nb (2.85) amn Plmn a a (2.86) Pl Pl (2.87) 2.5 Métodos Va Pontos Interores Os Fluxos de Potênca Ótmo descrtos anterormente foram resolvdos pelo Método dos Pontos Interores. Incalmente, essa classe de algortmos fo ndcada para problemas de programação lnear. No entanto, devdo ao seu bom desempenho, este método passou a ser aplcado também em problemas de programação quadrátca, convexa e problemas geras de otmzação não-lnear como os FPO. A metodologa utlzada consste em transformar as restrções de desgualdade de um problema de otmzação, em restrções de gualdade através da ntrodução de varáves de folga não-negatvas. Estas, por sua vez, são ncorporadas à função-objetvo por meo de uma função de penalzação, denomnada barrera logarítmca. A segur, é montada a função Lagrangeana para o problema modfcado, consderando-se tanto as restrções de

39 25 gualdade orgnas quanto as restrções de desgualdade modfcadas. As condções de Karush Kuhn Tucker (KKT) ou condções necessáras de otmaldade de prmera ordem, são dervadas com base nessa função Lagrangeana e o algortmo de otmzação objetva alcançar o ponto solução destas condções. Portanto, pelo reconhecdo alto grau de desempenho deste método e pelo fato das formulações de FPO apresentadas nesse trabalho serem resolvdas por tal método, no Apêndce B, será descrta a formulação do Método de Pontos Interores va Prmal-Dual Puro para um problema de otmzação genérco. No entanto, exste outra formulação para o Prmal-Dual de Pontos Interores apresentada em (MEHROTRA, 1992) e conhecda como Predtor-Corretor do Método Prmal-Dual de Pontos Interores. A dferença fundamental entre o Prmal-Dual e o Predtor-Corretor consste em que, quando da expansão em Sére de Taylor para a resolução do sstema não-lnear, as dervadas parcas em relação às varáves de folga são tomadas até os termos de segunda ordem. Portanto, o novo sstema matrcal a ser resolvdo pelo método de Newton é o segunte: W u λ π π s s mn mn = µ e S µ e + S mn π π π u λ π mn mn L L L L S + S mn π π mn (2.88) termos No entanto, o novo sstema (2.88) não pode ser resolvdo devdo à presença dos mn mn S π e S π no vetor do lado dreto. Portanto, para se poder estmar estes termos e o valor do parâmetro barrera µ a cada teração k, esta é dvdda em duas etapas: () uma etapa de Predção e () uma etapa de Correção. Utlzando a versão do método Predtor-Corretor proposto em (GONDZIO, 1995), na etapa de Predção a partr de um ponto z =[ u T T ( mn ) T ( ) T T ( s mn ) ( s ) T ], resolve-se o problema orgnal de otmzação sem se consderar a exstênca da função barrera logarítmca, resultando o segunte sstema matrcal:

40 26 W u λ π π s s p p mn p p mn p p = S S π mn π u λ mn L L L π π L mn (2.89) onde u p, λ p,,, mn π p π p, são as dreções de atualzação da etapa de mn s p s p predção e que são utlzadas para calcular os termos de segunda ordem do lado dreto da equação matrcal (2.88) e, também, para estmar dnamcamente o parâmetro barrera µ, como proposto em (MEHROTRA,1992): 2 ~ ~ µ = gap gap (2.90) gap 2n onde gãp: é o gap de dualdade consderando o ponto predto; gap: é o gap de dualdade sem atualzar as varáves, calculado na equação (B.44). O gãp é calculado da segunte forma: gãp = ( s + α ~ p s p ) T ( + α ~ d ) ( s + α ~ s ) ( + α ~ mn mn T mn mn π p p d π ) onde α ~ p e α ~ d são expressos como: (2.91) α ~ p = mn[ s mn p < 0 s s p p, s mn mn p < 0 s s mn p mn p, 1] (2.92) α ~ d = mn[ mn p < 0 p p, mn mn p > 0 mn p mn p, 1] (2.93) Após os termos de segunda ordem e o parâmetro barrera serem obtdos, realza-se a etapa de Correção, resolvendo-se o sstema (2.94):

41 = mn mn mn mn mn mn c p p p p c c c c c π π π π π π λ S S e S S e s s x W µ µ (2.94) A dreção de atualzação é então obtda pela soma dos resultados obtdos na predção (2.88) e correção (2.94): + = p mn p p mn p p p mn mn c mn mn s s u s s u s s u π π λ π π λ π π λ c c c c c (2.95) Tanto na etapa de Predção quanto de Correção, a matrz W se mantém constante. Após a atualzação das varáves e multplcadores de Lagrange, o parâmetro barrera é estmado como na equação do apêndce (B.44). Toda a seqüênca do Predtor-Corretor está ntegrada ao algortmo Prmal-Dual de Pontos Interores, cujo algortmo é o segunte: Algortmo de Solução de Problemas de Otmzação va Predtor-Corretor: Passo 0: Incalzar as varáves. Passo 1: Calcular o gradente da função Lagrangeana. Passo 2: Testar crtéros de convergênca: - Caso os crtéros estejam satsfetos, FIM. A solução ótma fo encontrada. - Caso contráro, prossegur ao Passo 3. Passo 3: Calcular e fatorar a matrz W. Passo 4: Etapa de predção: - fazer µ gual a zero; - recalcular o gradente da função Lagrangeana; - resolver a equação matrcal (2.89), obtendo z p ;

42 28 - calcular os termos de segunda ordem do vetor do lado dreto de (2.88) e estmar dnamcamente o parâmetro barrera como em (2.90). Passo 5: Etapa de correção: - recalcular o vetor gradente da função Lagrangeana substtundo µ e os termos de segunda ordem; - resolver a equação matrcal (2.94), obtendo z c. - resolver a equação matrcal (2.95), obtendo z= z p+ z c. Passo 6: Determnar o comprmento dos passos nos espaços prmal e dual, α p e α d obtdos nas equações (B.36) e (B.37). Passo 7: Calcular o ponto atualzado, z, usando z, α p e α d. Passo 8: Calcular o novo valor do parâmetro barrera através da equação (B.44) e retornar ao Passo Consderações Fnas Este capítulo descreveu a formulação das prncpas metodologas para mnmzação dos cortes de carga, metodologas para relaxamento de restrções e base teórca do Método de Pontos Interores na versão Predtor-Corretor. Como pode-se observar, tanto a metodologa proposta por Olvera et al. ( 2003) quanto a metodologa proposta por este trabalho, propõe o relaxamento de restrções, juntamente com o corte de carga. Porém, exstem algumas dferenças entre as duas metodologas. Em Olvera et al.(2003) é admtdo alívo de 4% nos lmtes de tensão em todas as barras e admtdo alívo de 10% nos lmtes de fluxo de potênca atva de todas as lnhas de transmssão e de todos os transformadores. Na metodologa proposta neste trabalho é admtdo relaxamento nos lmtes de tensão de barras pré-seleconadas e em lmtes de fluxo de potênca atva apenas de transformadores pré-seleconados. Propõe se anda que os lmtes de tensão sejam volados em até 3% do lmte mínmo (ou qualquer outro valor que seja mas convenente) e que haja sobrecarga de até 20% (ou qualquer outro valor que seja mas convenente) nos transformadores seleconados. Além dsso, esses alívos de restrções estarão ncorporados à proposta de MIKILITA (2005), que lmta os cortes de carga.

43 29 No próxmo capítulo será apresentada a formulação do modelo de Fluxo de Potênca Lnear (DC), assm como a formulação proposta em MIKILITA (2005), adconada de dferentes crtéros de otmzação, relaxamento de restrções e estabelecmentos de estágo de corte de carga.

44 30 CAPÍTULO 3 Formulação Matemátca do FPO 3.1 Introdução Os objetvos deste capítulo são: () formular matematcamente o problema de Fluxo de Potênca Ótmo do Modelo Lnear com o objetvo de pré-dagnostcar quas barras devem ser alvadas devdo a lmtes de fluxos atvos atngdos em lnhas e transformadores; e, () formular matematcamente o problema de Fluxo de Potênca Ótmo do Modelo Não-Lnear já proposto por MIKILITA (2005), agora com a ntrodução de dferentes crtéros de otmzação concomtantes ao corte de carga, como o relaxamento de lmtes de tensão e de lmtes de carregamento de transformadores, possbltando o estabelecmento de estágos de corte, ou seja, o estabelecmento de estratégas a fm de mnmzar o corte de carga. 3.2 Modelo Lnear Fluxo de Carga Ótmo Lnearzado (DC) A resolução das equações não lneares de um Fluxo de Carga é bastante complexa e custosa do ponto de vsta computaconal. Porém, um modelo aproxmado, chamado Fluxo de Carga Ótmo Lnear ou DC, permte estmar com baxo custo computaconal e precsão acetável a dstrbução de fluxo de potênca atva em uma rede de transmssão. Por sso, este modelo tem sdo muto aplcado na análse de sstemas elétrcos de potênca, tanto em planejamento como na operação de sstemas de energa elétrca. O Fluxo de Carga Ótmo Lnear apresenta resultados tanto melhores quanto mas elevados são os níves de tensão, não sendo aplcável para sstemas de dstrbução em baxa tensão, já que nestes sstemas os fluxos de potênca atva dependem de manera sgnfcatva das quedas de tensão. Nesse modelo, não se leva em consderação as magntudes das tensões nas barras, potêncas reatvas e taps dos transformadores.

45 31 O Fluxo de Carga Ótmo Lnear pode ser muto útl em etapas prelmnares de estudos de planejamento da expansão de redes elétrcas, como na classfcação de cenáros de operação com relação às volações de lmtes operaconas Formulação do Fluxo de Potênca Ótmo Lnear com Corte de Carga A função objetvo do problema é uma função corte de carga CC: onde CC t = w cc α Pd (3.1) t : é um vetor de dmensão nc (número de barras a serem cortadas) contendo o custo dos cortes por barras. Pd : um vetor de dmensão (nc x 1) com os valores dos cortes a serem mnmzados. w cc : índce de ponderação desse crtéro de otmzação. As barras a serem cortadas estão armazenadas no vetor Ic, de dmensão (nc x 1). Para que a varável Pd possa modfcar os valores de carga, esta é ntroduzda nas equações de balanço de potênca atva lnear, as quas podem ser compactamente representadas por: onde onde Ag Pg Pd() = B θ (3.2) 0 Pd( ) Pd U Pd (3.3) = m Ag: matrz de ncdênca gerador-barra (nb x ng), Ag,j =1 se gerador pertence a barra j; 0, caso contráro; Pg: vetor (ng x 1) de potênca geradas, sendo ng o número de barras geradoras; Pd: cortes de carga a serem mnmzados (nc x 1); B: matrz de fluxo de carga DC (nb x nb); θ: vetor de ângulos das barras (nb posções); nb: número de barras do sstema. Pd o : demanda de potênca atva ncal de dmensão (nb x 1)

46 32 U m : é uma matrz de ncdênca de dmensão (nb x nc), formada do segunte modo: U m = [ Um ] onde j 1, se = Ic( j) Um j = (3.4) 0, caso contráro As restrções de desgualdade que quantfcam as lmtações dos equpamentos são: () Lmte de fluxo nas lnhas de transmssão O fluxo t nas lnhas (Modelo Lnearzado) é obtdo da segunte expressão: t j = ( θ - θ j ) / x j (3.5) onde t j fluxo na lnha entre barra e j (θ - θ j ): dferença angular entre barras, x j : reatânca da lnha -j. Esta expressão pode ser generalzada para todo o sstema por: onde t: vetor de dmensão (nl x 1) de fluxo nas lnhas; t = X -1 A t θ (3.6) X: matrz de dmensão (nl x nl) cuja dagonal é o vetor com reatânca x j ; A : matrz de ncdênca barra-ramo de dmensão ( nb x nl), sendo que a j = -1 se o ramo se conecta à barra e está orentado entrando nesta barra e a j = 1 se o ramo se conecta à barra e está orentada sando desta barra; θ: vetor de ângulos nas barras com dmensão (nb x 1). ou seja, onde O fluxo nas lnhas está lmtado do segunte modo: -t t t (3.7) -X -1 A t θ - t 0 (3.8) X -1 A t θ - t 0 (3.9) t : é o vetor dmensão (nl x 1) com os lmtes máxmos nas lnhas.

47 33 () Os lmtes de geração para cada barra geradora são: Pg mn Pg Pg (3.10) onde Pg mn : vetor dos lmtes mínmos de geração; Pg : vetor dos lmtes máxmos de geração; ou seja, -Pg + Pg mn 0 (3.11) Pg - Pg 0 (3.12) () Lmtes nos Cortes de Carga Conforme especfcações das concessonáras, exstem lmtes máxmos que as cargas podem ser submetdas, assm, os valores de Pd devem ser lmtados da segunte forma: onde 0 Pd Pd Pd :contém os lmtes máxmos de corte de carga. (3.13) negatvos. As varações de carga são lmtadas em zero para evtar que assumam valores Redução da matrz B A matrz B das restrções de gualdade (equação 3.2) é uma matrz sngular. Para que se possa ncluí-la nas equações de balanço do problema, escolhe-se uma barra de referênca (ref = barra de referênca) e faz-se que θ ref = 0. Assm, a matrz B pode ser reduzda pela retrada da coluna da barra de referênca, passando a ser denomnada B red com dmensão (nb x nred), onde nred = nb-1.

48 34 O novo vetor dos ângulos nas barras θ passa a ser representado sem a posção correspondente à barra de referênca e a nova matrz de ncdênca A, passa a ser representada sem a lnha correspondente à barra de referênca Problema a ser resolvdo Com as modfcações do tem anteror, o problema a ser resolvdo passa a ser o segunte: t mn CC = Pd (3.14) w cc s.a 0 Ag Pg ( Pd U m Pd) = B red θ (3.15) (3.18) (3.21) -Pg + Pg mn 0 (3.16) Pg - Pg 0 (3.17) -X -1 (A ) T θ - t 0 X -1 (A ) T θ - t 0 (3.19) Pd 0 Pd Pd 0 (3.20) Resolve-se o problema acma com o Método Prmal-Dual va Pontos Interores, cuja metodologa encontra-se no Apêndce C. 3.3 Modelo Não-Lnear Quando se tem geração de potênca sufcente, os fatores que normalmente levam à dvergênca de um FPO são as mpossbldades de se atender níves mínmos de tensão nas barras e níves máxmos de carregamento nas lnhas de transmssão e transformadores.

49 35 Nessas stuações, uma manera de se obter convergênca é a partr do alívo de carga ou relaxamento desses crtéros concomtantemente ao corte de carga. Os lmtes de tensão nas barras da Rede Básca do sstema são defndos pelos Procedmentos de Rede do Operador Naconal do Sstema (ONS, 2000). Mas, segundo o ONS, o nível de tensão em qualquer barra pode ser nferor aos valores ndcados nesses procedmentos, desde que não sejam pontos de conexão com a rede Básca. Então, estudos prévos, realzados pelas concessonáras de energa defnem os níves mínmos de tensão nas subestações de carga, em regme normal e de emergênca, de forma a atender os lmtes de tensão exgdos nas barras de dstrbução. Na maora dos casos, os lmtes de emergênca são menores que os lmtes para condção normal de operação. No caso da COPEL, por exemplo, nas barras que atendem ndústras dretamente em alta tensão (69 kv, 138 kv e 230 kv) a tensão mínma em condções normas é 0,93 pu e a tensão mínma em condções de emergêncas é 0,90 pu. Assm, a fm de se testar a metodologa, será consderado nesse trabalho que se admte um relaxamento nos níves mínmos de tensão em até 3%, em todas as barras. Quanto ao carregamento dos transformadores, o ONS estabelece quanto e por quanto tempo os transformadores podem ser operados em sobrecarga. Cada transformador tem característcas dstntas, a ser lustrado no Capítulo 4. Smplfcadamente, será admtdo que todos os transformadores podem assumr sobrecargas de até 20 %. Conforme esse exposto, é admssível que alguns lmtes operaconas sejam nfrngdos durante uma emergênca, e baseado nesse fato, será apresentada, a segur, a formulação desses relaxamentos de tensão e de fluxo nos transformadores, sobre o FPO já desenvolvdo por MIKILITA (2005) Relaxamento de Restrções de Tensão A penalzação quadrátca de um vetor ϕ tensão possblta a alteração dos lmtes mínmos nas barras (Vmn): t mn CC = U tensão ( ϕ w tensão tensão U tensão ) 2 (3.22)

50 36 onde s. a ϕ ϕ 1 1 nb (3.23) mn tensão =,..., ϕ vmn V& = 1 nb (3.24) tensão,..., w tensão : índce de ponderação para relaxamento das magntudes de tensão; U tensão : vetor untáro de dmensão (nb x 1); ϕ tensão : varável de otmzação que lmta os valores de tensão mínmos nas barras seleconadas pelo vetor UI, que é um vetor dmensão (nb x 1), com valores untáros nas posções referentes às barras que se deseja restrngr os valores de tensão, sendo os demas elementos nulos; V & : magntude tensão na barra ; vmn : lmte mínmo de tensão na barra ;. ϕ mn : ndca percentagem que se deseja alterar de cada vmn. Para se relaxar o lmte de tensão mínmo até 3 %, deve-se utlzar ϕ mn =0,97. Cada componente do vetor ϕ tensão está restrto aos valores de 1 a ϕ mn, ou seja, o valor máxmo 1 (valor deal) mplca em não alterações dos lmtes de tensão e o valor mínmo ϕ mn mplca que uma restrção não pode varar mas que (1-ϕ mn ) %. Para as posções j do vetor ϕ tensão, que se referem às barras cujos lmtes não são seleconados para a parametrzação, assume-se que ϕ tensão j = Relaxamento de Restrções de Fluxo de Potênca Atva nos Transformadores A penalzação do vetor ϕ fluxo possblta a alteração dos lmtes máxmos de fluxos crculantes pelas lnhas ( Pl ): mn CC = U w fl fluxo ϕ fluxo (3.25) s. a 0 ϕ fl ϕfl = 1,..., nl (3.26) Pl ϕfl Pl Pl Pl + ϕfl Pl = 1,..., nl (3.27)

51 37 onde w fluxo : índce de ponderação para relaxamento dos fluxos; ϕ fluxo : varável de otmzação que lmta os valores de fluxos mínmos e máxmos dos crcutos seleconados pelo vetor U fluxo, que é um vetor de dmensão (nl x 1), com valores untáros nas posções referentes aos transformadores que se deseja restrngr os valores de fluxo, sendo os demas elementos nulos. Pl : fluxo de potênca atva crculante pelo crcuto ; Pl : lmte máxmo de fluxo de potênca atva crculante pelo crcuto ; Cada componente do vetor ϕ fluxo está restrto a valores maores que zero. O valor deal é 1, que mplca em não alterações dos lmtes de fluxo. Para as posções j do vetor ϕ fluxo, que se referem às lnhas e aos transformadores cujos lmtes não são seleconados para a parametrzação, assume-se que ϕ fluxoj = 1. ϕ fl : ndca percentagem que se deseja ncrementar de cada Pl, utlzou-se 0,20, ou seja, não se deseja acrescentar o lmte de fluxo máxmo mas que 20 %. 3.4 Estágos de Corte de Carga Resumdamente, os crtéros de otmzação que podem ser consderados são: a) Mnmzação de Corte de Carga (CC) f. o. = CC = w b) Relaxamento nos Lmtes de Tensão ( RT) f. o = RT = cc wtensão c) Relaxamento nos Lmtes de Fluxo ( RF) w fluxo t Upror U f. o. = RF = U t tensão fluxo ( ϕtensão. Utensão) ϕ fluxo 2 (3.28) (3.29) (3.30) Levando-se em conta que o sstema possa operar com subtensões de no máxmo 3% e sobrecargas nos transformadores de até 20%, é possível estabelecer estratégas para corte de carga com o objetvo de mnmzar esses cortes.

52 38 Assm, num prmero estágo de corte, a função objetvo assume os seguntes crtéros de otmzação: f. o. = CC + RT + RF (3.31) ou seja, juntamente com a mnmzação do Corte de Carga (CC), faz-se o relaxamento dos lmtes de tensão ( RT) e dos lmtes de fluxo de potênca atva ( RF), além de se lmtar os cortes máxmos ndvduas conforme MIKILITA (2005). Como os transformadores não podem ser sobrecarregados ndefndamente, se houver persstênca da contngênca, ou seja, se a mesma não for restabelecda dentro de poucas horas, deve-se retornar os lmtes de fluxos nos transformadores e assm completar o corte de carga que sera necessáro caso se mnmzasse apenas o corte de carga. Para tanto, smula-se novamente o caso utlzando-se agora: f. o. = CC (3.32) 3.5 Consderações Fnas Foram apresentadas duas formulações de Fluxo de Potênca Ótmo, o Modelo Lnear e o Modelo Não-Lnear. Pretende-se utlzar os resultados do Modelo Lnear para se escolher as barras canddatas a corte de carga a serem utlzadas no Modelo Não-Lnear. No Modelo Não-Lnear, a formulação proposta relaxa os lmtes mínmos e máxmos de fluxos em transformadores e os lmtes mínmos de tensão em barras préseleconadas, além de lmtar os cortes máxmos ndvduas. A partr desses relaxamentos, estabeleceu-se um crtéro para estabelecmento de estágos de corte sempre com o propósto de mtgá-los. No próxmo capítulo serão apresentados os resultados numércos pertnentes aos FPO propostos.

53 39 CAPÍTULO 4 Resultados 4.1 Introdução O objetvo deste capítulo é apresentar os resultados obtdos pelas metodologas descrtas no Capítulo 3 para um sstema elétrco de 291 barras. Esse sstema, bascamente atenddo pela Companha Paranaense de Energa (COPEL), é um equvalente do estado do Paraná, que contém toda a rede de 525 kv, 230 kv, 138 kv e 69 kv, além das barras de fronteras. As metodologas foram desenvolvdas em MATLAB versão smulado em um computador com processador AMD Sempron 2800, 2,0GHz, 512MB de memóra RAM com Sstema Operaconal Wndows XP. No Anexo A, apresentam-se os dados de barras e ramos, assm como o dagrama unflar do sstema utlzado, no qual é possível vsualzar sua localzação dentro do Sstema Interlgado Braslero. O sstema fo analsado na condção de carga pesada sob contngênca. A prncpal contngênca smulada para se testar as metodologas fo a saída do transformador 525/230 kv da Subestação de Bateas. Essa contngênca é bastante severa, levando o sstema a apresentar volações nos lmtes das lnhas de transmssão e transformadores, além de tensões nadmssíves nas barras do sstema. A fm de se contornar essas volações, fo determnado o mínmo corte de carga para restabelecer a operação dentro dos lmtes operatvos. A título de lustração, ao fnal do capítulo, outras contngêncas também foram smuladas tas como: a saída de um dos transformadores de 230/69/13,8 kv de 150 MVA da Subestação do Uberaba entre as barras 820 e 2401 e a saída de um dos transformadores de 230/69 kv de 150MVA da Subestação do Plarznho entre as barras 819 e 2387.

54 Especfcações Técncas Os lmtes de tensão nas barras da Rede Básca do sstema são defndos pelos Procedmentos de Rede do Operador Naconal do Sstema (ONS), a partr de estudos mensas, quadrmestras e anuas para dversas condções de carga. Na ausênca desses estudos podem ser utlzados os valores da Tabela 4.1 fornecdos pelo (ONS, 2000). Tabela Lmtes de Tensão Fornecdos pelo ONS Tensão Base Tensão Mínma Tensão Máxma kv pu kv pu kv pu 69 1,0 65,6 0,95 72,5 1, ,0 83,6 0,95 92,4 1, ,0 131,0 0,95 145,0 1, ,0 218,0 0,95 242,0 1, ,0 328,0 0,95 362,0 1, ,0 418,0 0,95 460,0 1, ,0 475,0 0,95 550,0 1, ,0 500,0 0,95 550,0 1, ,0 688,0 0,90 800,0 1,046 Segundo o ONS, em qualquer condção de carga, o nível de tensão em qualquer barra pode ser nferor aos valores ndcados na Tabela 4.1, desde que não sejam pontos de conexão com a rede Básca. Estudos prévos, realzados pelas concessonáras de energa defnem os níves de tensão mínmos nas subestações de carga, em regme normal e de emergênca, para todos os patamares de carga, de forma a atender os lmtes de tensão exgdos nas barras de dstrbução, os quas são defndos pela Agênca Naconal de Energa Elétrca (ANEEL). Na maora dos casos, os lmtes de emergênca são menores que os lmtes para condção normal de operação. Quanto aos lmtes de transformadores, cada empresa defne os lmtes para que o ONS opere seus transformadores. A Tabela 4.2 apresenta alguns exemplos.

55 41 Tabela Correntes nos Enrolamento de AT de alguns Transformadores Transformador Operação Normal Operação Emergênca Duração da emergênca Area (ELETROSUL) 525/230 kv 739A 887A 30 mnutos Bateas (COPEL) 525 /230 kv 660A 836A 15 mnutos Campos Novos (ELETROSUL) 370A 407A 2 horas 525/230 kv Cascavel Oeste (COPEL) 525/230 kv 660A 836A 15 mnutos Para os demas transformadores que atendem carga em 138, 34,5 e 13,8 kv, o carregamento é montorado pela magem térmca, ou seja, temperatura do enrolamento, sendo o lmte de 105ºC em regme normal e de 115ºC em emergênca. Em caso de sobrecarga que não atnja a temperatura lmte, não deve ultrapassar 40% da potênca nomnal. 4.3 O Sstema Smulado As barras do sstema da COPEL foram agrupadas nas seguntes áreas: Área 1: barras de geração; Área 2: barras de 230 kv e 525 kv (Rede Básca); Área 3: barras de carga da regão de Curtba; Área 4: barras de carga do nteror do Estado do Paraná; Área 5: barras de carga do ltoral do Estado do Paraná; Área 6: ndústras da regão de Curtba atenddas em tensão de 69 kv e acma; No Anexo A estão representados grafcamente o sstema da COPEL e também o sstema da regão de Curtba. As barras que atendem ndústras dretamente em alta tensão (69 kv, 138 kv e 230 kv) estão agrupadas na área 6, onde não se admte corte de carga em hpótese alguma. Nessas barras os lmtes de tensão estpulados pela ANEEL que devem ser obedecdos são: - tensão máxma: 1,05 p.u.

56 42 - tensão mínma em condções normas: 0,93 p.u. - tensão mínma em condções de emergêncas: 0,90 p.u. Nas barras da área 2 (Rede Básca) os lmtes de tensão são os estpulados pelo ONS (Procedmentos de Rede) e foram apresentados na Tabela 4.1. As varáves de controles do FPO são as seguntes: - taps dos transformadores, que podem varar entre os lmtes máxmos e mínmos; - potênca reatva das usnas, que podem varar entre os lmtes máxmos e mínmos; - potênca atva das usnas, que podem varar entre os lmtes máxmos e mínmos. A emergênca smulada fo a saída de um transformador de 525/230 kv de 600 MVA entre as barras 814 e 895 da subestação de Bateas que resulta em sobrecargas em lnhas de transmssão e transformadores das áreas 1 a 6. Foram fetas dversas smulações a fm de se testar as metodologas propostas. O objetvo das mesmas fo encontrar uma solução que forneça um ponto de operação vável, ou seja, aquele em que sejam elmnadas as sobrecargas nos equpamentos e as subtensões nas barras através de menores níves de cortes de carga. A segur, serão apresentados os resultados relaconados à verfcação prelmnar de lmtes volados sob contngêncas. Incalmente, serão apresentados os resultados obtdos para cortes de carga realzados pelo Modelo Lnear e a valdação desses resultados através do Modelo Não- Lnear. Em seguda, serão mostrados os resultados alcançados com Estabelecmento de Estágos de Corte de Carga a partr de Relaxamento de Restrções de Tensão e de Fluxo de Potênca Atva no Modelo Não-Lnear, assm como os resultados obtdos com a utlzação do Método Predtor-Corretor.

57 Verfcação Prelmnar de Lmtes de Fluxo sob Contngênca Prelmnarmente, fo realzado, através do Modelo Lnear apresentado no Capítulo 3, um dagnóstco das barras cujos níves máxmos de fluxo foram atngdos pela ocorrênca da emergênca na Subestação de Bateas. Ou seja, pretendeu-se prédagnostcar quas as barras devem ser alvadas devdo a lmtes de fluxos atvos atngdos em lnhas e transformadores. Para a realzação desse estudo, foram fetas as seguntes consderações: () apenas as lnhas que compõem a Rede Básca, ou seja, todas as lnhas com tensão maor ou gual a 230 kv tveram seus fluxos de potênca atva montorados; () não foram consderados lmtes nos cortes; () as barras de todas as áreas foram canddatas à corte. A Tabela 4.3 apresenta os cortes de carga realzados pelo Modelo Lnear. Verfcase que a convergênca só fo possível com o corte de 4,7081 p.u, ou seja, 6,5% da carga orgnal. Barra Tabela Resultados para Corte de 100% em Todas as Áreas Carga orgnal (p.u.) Corte de Carga (p.u.) Carga Resultante (p.u.) 26 0,1800 0,1800 0, ,4200 1,7641 0, ,2830 0,2830 0, ,4730 0,3703 0, ,1900 0,1900 0, ,5780 0,5780 0, ,0010 0,0003 0, ,6120 0,6120 0, ,1570 0,1570 0, ,1150 0,1150 0, ,2200 0,1292 0, ,2200 0,1292 0, ,2000 0,2000 0,0000 Somatóra 72,7326 4, ,0245

58 44 A Tabela 4.4 apresenta os crcutos cujos lmtes máxmos de fluxo estão atvados mesmo após os cortes de carga. O caso convergu com 22 terações e o tempo da CPU fo de 9,218 segundos. Tabela Crcutos cujos Lmtes foram Atngdos Crcutos Lmte (p.u.) Fluxo Atvo (p.u.) Atvados 8 2,5084-2, ,8851-4, ,1715 0, ,5046-4, ,5269-4,5269 A fm de se valdar os resultados obtdos pelo Modelo Lnear, o mesmo sstema e contngênca fo smulado pelo Modelo Não-Lnear descrto no Capítulo III. No Modelo Lnear as magntudes de tensão não afetam os resultados de alívo de corte pos as mesmas são supostas constantes e guas a 1,0 pu. A fm de se ncorporar essa lmtação do Modelo Lnear, no Modelo Não-Lnear fo consderado relaxamento rrestrto dos lmtes de tensão, ou seja, as magntudes de tensão foram lberadas no sentdo de não nterferrem no corte de carga. Admtu-se relaxamento das restrções de fluxo atvo nos crcutos em até 50 % dos seus lmtes máxmos, ou seja, a função objetvo utlzada fo a de mnmzação do corte de carga, juntamente com o relaxamento dos lmtes de tensão (sem lmtação) e relaxamento dos lmtes de fluxo de potênca (em até 50 %). O caso convergu com 49 terações e o tempo da CPU fo de 186,0938 segundos.

59 45 Tabela Resultados para Corte de Carga utlzando Modelo AC Barra Carga orgnal (p.u.) Corte de Carga (p.u.) Carga Resultante (p.u.) 9 0,0023 0,0023 0, ,2830 0,1201 0, ,3320 0,2817 0, ,2210 0,0701 0, ,0960 0,0365 0, ,2500 0,2142 0, ,4810 0,0955 0, ,1100 0,0541 0, ,4420 0,0460 0, ,2940 0,1235 0, ,4200 0,4200 0, ,1640 0,1640 0, ,2840 0,1587 0, ,1710 0,1710 0, ,2460 0,2460 0, ,4110 0,4110 0, ,0970 0,0970 0, ,5100 0,1451 0, ,0720 0,0720 0, ,1100 0,1100 0, ,2200 0,0719 0, ,2200 0,0880 0, ,0420 0,0044 0,0376 Somatóra 72,7326 3, ,5295 A Tabela 4.6 apresenta os novos lmtes de tensão, ou seja, se os mesmos não fossem relaxados o corte de carga sera bem maor. Tabela Lmtes de Tensão Volados Barra Tensão Mínma Exgda (p.u.) Tensão Mínma Calculada (p.u.) 16 0,9500 0, ,9500 0, ,9500 0, ,9500 0, ,9500 0, ,9500 0, ,9500 0, ,9500 0,9336

60 46 Tabela Lmtes de Tensão Volados 49 0,9500 0, ,9500 0, ,9500 0, ,9500 0, ,9500 0, ,9500 0, ,9500 0, ,9500 0, ,9500 0, ,9500 0, ,9500 0, ,9500 0, ,9500 0, ,9500 0, ,9500 0, ,9500 0, ,9500 0, ,9500 0, ,9500 0, ,9500 0, ,9500 0, ,9500 0, ,9500 0, ,9500 0, ,9500 0, ,9500 0, ,9500 0, ,9500 0, ,9500 0, ,9500 0, ,9500 0, ,9500 0, ,9500 0, ,9500 0, ,9500 0, ,9500 0, ,9500 0, ,9500 0, ,9500 0, ,9500 0, ,9500 0, ,9500 0, ,9500 0, ,9500 0, ,9500 0, ,9500 0, ,9500 0, ,9500 0, ,9500 0,8824

61 47 Tabela Lmtes de Tensão Volados 234 0,9500 0, ,9500 0, ,9500 0, ,9500 0, ,9500 0, ,9500 0, ,9500 0, ,9500 0, ,9500 0, ,9500 0, ,9500 0, ,9500 0, ,9500 0, ,9500 0, ,9500 0, ,9500 0, ,9500 0, ,9500 0, ,9500 0, ,9500 0, ,9500 0, ,9500 0, ,9500 0, ,9500 0, ,9500 0,9283 A Tabela 4.7 apresenta os crcutos cujos lmtes de fluxo de potênca atva também tveram que ser relaxados a fm de se mnmzar o corte de carga. Na verdade, esta tabela ndca que os crcutos (8, 233, 234 e 371) são os mas exgdos em termos de carregamento de fluxo atvo, pos neles o modelo mpôs sobrecarga de 10 a 20% além do máxmo normal, a fm de se mnmzar o corte de carga total, o qual fo apenas de 3,2031 p.u. Observando-se a Tabela 4.4 do Modelo Lnear (que não admte relaxamento), verfca-se que os crcutos (8, 59, 80, 234 e 371) estão com seus lmtes atvados, ou seja, se no modelo lnear se estvesse atvado o crtéro de relaxamento de fluxos, certamente esses crcutos seram sobrecarregados a fm de se dmnur o corte de carga que fo de 4,7081 pu (Tabela 4.4). Como há concdênca de mutos crcutos (8, 234 e 371) nos dos casos, conclu-se que os resultados do Modelo Lnear são coerentes. No entanto, a utlzação do Modelo Lnear como um ndcador de barras a serem cortadas (lmtando o unverso de busca do Modelo Não-Lnear) não se mostrou efcaz, pos das 13 barras cujas cargas foram alvadas, conforme a Tabela 4.3, apenas uma delas fo efetvamente cortada (264) pelo Modelo Não-Lnear que é um modelo mas completo.

62 48 Assm, conclu-se que o Modelo Lnear não é efcaz no pré-dagnóstco de barras canddatas a corte de carga. Salenta-se que para se chegar a esta conclusão, outras contngêncas e outros sstemas foram smulados obtendo-se resultados análogos. Tabela Lmtes de Fluxo Volados Lnhas Lmtes de Fluxo (p.u.) Fluxos Volados Calculada (p.u.) % de Sobrecarga 8 2,5084 2, , ,5282 5, , ,5046 5, , ,5269 5, , Estabelecmento de Estágos de Corte de Carga a partr de Relaxamento de Restrções de Tensão e de Fluxo de Potênca Atva Na seqüênca, serão apresentados resultados do Modelo Não-Lnear consderando-se as seguntes premssas: - lmtes de 45% e 50% nos cortes máxmos em algumas barras, conforme Tabela 4.8. A nformação sobre quanto devem ser efetvamente esses lmtes máxmos é obtda pelo operador, que conhece a carga abastecda pelos dversos almentadores que saem de uma subestação. O crtéro para estabelecmento dessas porcentagens de cortes, fo o de poupar por barra as cargas referentes a hosptas e ndústras mportantes; Tabela 4.8 Lmtes de Corte de Carga Barras % de Corte

63 49 - todas as áreas são seleconadas para corte geral, com exceção das ndústras (área 6); - lmtes mínmos e máxmos de tensão em todas as barras. O lmte de tensão para a condção de emergênca, fxado para as barras de carga e para as barras que atendem ndústras dretamente em alta tensão é de 0,90 p.u. As barras da rede básca tveram seus lmtes fxos no valor mínmo de 0,95 p.u; - lmtes mínmos e máxmos de fluxo de potênca em transformadores e lnhas de transmssão da Rede Básca; - os crtéros de otmzação consderados foram: () Smulação 1: mnmzação de corte de carga ( w cc =1) () Smulação 2: Mnmzação de Corte de Carga ( w cc =1) e relaxamento dos lmtes de tensão em até 3 % do lmte mínmo ( w tensão =1, ϕ tensão =0,97) () Smulação 3: Mnmzação de Corte de Carga (w cc =1), relaxamento dos lmtes de tensão em até 3 % do lmte mínmo ( w tensão =1, ϕ tensão =0,97) e relaxamento dos lmtes de fluxo de potênca atva em até 20% dos lmtes mínmo e máxmo ( w fluxo =1, ϕ fluxo =0,20) Smulação 1: Mnmzação de Corte de Carga ( w cc =1) A Tabela 4.9 apresenta os cortes de carga requerdos, quando se respeta felmente todas as restrções operaconas do sstema. O corte total fo de 9,7759 p.u.

64 50 Barra Tabela 4.9 Cortes de Carga para Smulação 1 (w cc =1) Carga orgnal (p.u.) Corte de Carga (p.u.) Carga Resultante (p.u.) Corte Máxmo Estpulado (%) 9 0,0023 0,0023 0, ,2300 0,2300 0, ,3800 0,1761 0, ,2220 0,2220 0, ,1030 0,0256 0, ,2320 0,0035 0, ,2080 0,0892 0, ,4480 0,4480 0, ,3530 0,0070 0, ,2910 0,1547 0, ,1810 0,0191 0, ,4160 0,0706 0, ,3790 0,3522 0, ,3620 0,1169 0, ,1810 0,0307 0, ,3000 0,1241 0, ,1480 0,0036 0, ,5690 0,1680 0, ,2250 0,1110 0, ,3020 0,1369 0, ,4550 0,0573 0, ,1300 0,0804 0, ,2070 0,0497 0, ,8800 0,3435 3, ,3320 0,1494 0, ,2730 0,1228 0, ,4850 0,4850 0, ,3800 0,1242 0, ,3370 0,3370 0, ,1850 0,1850 0, ,2210 0,0994 0, ,2500 0,2500 0, ,4810 0,1107 0, ,1100 0,1100 0, ,4420 0,0984 0, ,1750 0,1750 0, ,3960 0,3960 0, ,2860 0,1287 0, ,5780 0,1714 0, ,2940 0,2503 0, ,4200 0,1890 0, ,1060 0,1060 0, ,1640 0,0820 0, ,4270 0,0072 0, ,2840 0,1420 0,

65 51 Tabela 4.9 Cortes de Carga para Smulação 1 (w cc =1) 188 0,1710 0,0855 0, ,4370 0,2185 0, ,2460 0,1230 0, ,0480 0,0480 0, ,4110 0,1849 0, ,0970 0,0970 0, ,1490 0,0745 0, ,2670 0,0413 0, ,5100 0,2058 0, ,0720 0,0720 0, ,0900 0,0174 0, ,1340 0,0256 0, ,2120 0,2120 0, ,0240 0,0240 0, ,1670 0,1188 0, ,0610 0,0042 0, ,1090 0,0752 0, ,1100 0,1100 0, ,1450 0,1450 0, ,2420 0,2301 0, ,5140 0,1617 0, ,1810 0,0296 0, ,0900 0,0372 0, ,2200 0,1419 0, ,2200 0,1439 0, ,1630 0,0694 0, ,1630 0,1105 0, ,2270 0,2270 0, Somatóra 72,7326 9, , Smulação 2: Mnmzação de Corte de Carga (w cc =1) e relaxamento dos lmtes de tensão em até 3 % do lmte mínmo ( w tensão =1, ϕ tensão =0,97) Introduzndo-se o relaxamento de restrções, a função objetvo passa a ser a mnmzação do corte de carga, juntamente com o relaxamento dos lmtes de tensão em até 3% do lmte mínmo em regme normal. A Tabela 4.10 apresenta os cortes de carga requerdos para essa stuação. O corte total fo de 7,3104 p.u. O corte dmnuu de 9,7759 p.u. para 7,3104 p.u., ou seja, houve uma dmnução em torno de 25% do corte orgnalmente calculado.

66 52 Barra Tabela 4.10 Cortes de Carga para Smulação 2 (w cc =1 e w tensão =1, ϕ tensão =0,97) Carga orgnal (p.u.) Corte de Carga (p.u.) Carga Resultante (p.u.) Corte Máxmo Estpulado (%) 9 0,0023 0,0023 0, ,2300 0,1320 0, ,3800 0,2119 0, ,2220 0,2220 0, ,1030 0,0067 0, ,2080 0,0892 0, ,4480 0,3160 0, ,3790 0,0580 0, ,3000 0,0746 0, ,5690 0,0312 0, ,2250 0,0825 0, ,1300 0,0151 0, ,2070 0,0236 0, ,3320 0,1494 0, ,2730 0,1228 0, ,4850 0,4850 0, ,3800 0,1276 0, ,3370 0,3370 0, ,1850 0,1850 0, ,2210 0,0994 0, ,0960 0,0095 0, ,2500 0,2500 0, ,4810 0,1107 0, ,1100 0,1096 0, ,4420 0,1671 0, ,1750 0,1750 0, ,3960 0,3960 0, ,2860 0,1287 0, ,5780 0,2127 0, ,2940 0,1706 0, ,4200 0,1890 0, ,1060 0,1060 0, ,1640 0,0820 0, ,4270 0,0072 0, ,2840 0,1420 0, ,1710 0,0855 0, ,4370 0,2185 0, ,2460 0,1230 0, ,0480 0,0480 0, ,4110 0,1849 0, ,0970 0,0970 0,

67 53 Tabela 4.10 Cortes de Carga para Smulação 2 (w cc =1 e w tensão =1, ϕ tensão =0,97) 201 0,1490 0,0745 0, ,2670 0,0364 0, ,5100 0,2188 0, ,0720 0,0720 0, ,0900 0,0088 0, ,1340 0,0217 0, ,0240 0,0240 0, ,1670 0,0902 0, ,1090 0,0615 0, ,1100 0,1100 0, ,1450 0,1450 0, ,2420 0,2312 0, ,5140 0,0470 0, ,1810 0,0197 0, ,0900 0,0471 0, ,2200 0,0903 0, ,2200 0,1067 0, ,1630 0,0557 0, ,2270 0,0655 0, Somatóra 72,7326 7, ,4222 A Tabela 4.11 apresenta as barras cujos níves de tensão mínma foram flexblzados em até 3 % do mínmo em regme normal, ou seja, 0,95 p.u. Tabela Lmtes de Tensão Volados para Smulação 2 Barra Tensão Mínma Exgda (p.u.) Tensão Mínma Calculada (p.u.) 16 0,9500 0, ,9500 0, ,9500 0, ,9500 0, ,9500 0, ,9500 0, ,9500 0, ,9500 0, ,9500 0, ,9500 0, ,9500 0, ,9500 0, ,9500 0, ,9500 0, ,9500 0, ,9500 0, ,9500 0,9356

68 54 Tabela Lmtes de Tensão Volados para Smulação ,9500 0, ,9500 0, ,9500 0, ,9500 0, ,9500 0, ,9500 0, ,9500 0, ,9500 0, ,9500 0, ,9500 0, ,9500 0, ,9500 0, ,9500 0, ,9500 0, ,9500 0, ,9500 0, ,9500 0, ,9500 0, ,9500 0, ,9500 0, ,9500 0, ,9500 0, ,9500 0, ,9500 0, ,9500 0, ,9500 0, ,9500 0, ,9500 0, ,9500 0, ,9500 0, ,9500 0, ,9500 0, ,9500 0, ,9500 0, ,9500 0, ,9500 0, ,9500 0, ,9500 0, ,9500 0, ,9500 0, ,9500 0, ,9500 0,9498 Se fosse utlzado um FPO convenconal (sem corte de carga), o mesmo dvergra se o nível de tensão de 0,95 p.u. especfcado anterormente fosse mantdo. As úncas

69 55 alternatvas para se resolver o problema de dvergênca, são o corte de carga ou flexblzação dos níves de tensão Smulação 3: Mnmzação de Corte de Carga (w cc =1), relaxamento dos lmtes de tensão em até 3 % do lmte mínmo ( w tensão =1, ϕ tensão =0,97) e relaxamento dos lmtes de fluxo de potênca atva em até 20% dos lmtes mínmo e máxmo ( w fluxo =1, ϕ fluxo =0,20) Para esta smulação, ntroduzu-se na função objetvo básca de mnmzação de corte de carga, além do relaxamento de restrções de tensão, o relaxamento dos lmtes de fluxo de potênca atva. São admtdas subtensões lmtadas a 3% e sobrecargas nos transformadores em até 20 % do regme normal de operação. A Tabela 4.12 apresenta os cortes realzados para essa stuação. O corte total fo de 6,3927 p.u. O corte dmnuu de 7,3104 p.u. para 6,3927 p.u. Houve uma dmnução no corte de carga total em torno de 35% em relação ao corte orgnalmente calculado (9,7759 p.u.). Tabela Cortes de Carga para Smulação 3 (w cc =1, w tensão =1, ϕ tensão =0,97, w fluxo =1, Barra Carga orgnal (p.u.) Corte de Carga (p.u.) ϕ fluxo =0,20) Carga Resultante (p.u.) Corte Máxmo Estpulado (%) 9 0,0023 0,0023 0, ,2300 0,1302 0, ,3800 0,2124 0, ,2220 0,2220 0, ,1030 0,0047 0, ,4480 0,3195 0, ,3790 0,0679 0, ,3000 0,0713 0, ,2250 0,0789 0, ,2070 0,0205 0, ,3320 0,1494 0, ,2730 0,1228 0, ,4850 0,4420 0, ,3370 0,3370 0, ,1850 0,1850 0, ,2210 0,0994 0,

70 56 Tabela Cortes de Carga para Smulação 3 (w cc =1, w tensão =1, ϕ tensão =0,97, w fluxo =1, ϕ fluxo =0,20) 168 0,0960 0,0095 0, ,2500 0,2500 0, ,4810 0,1107 0, ,1100 0,1100 0, ,1750 0,1750 0, ,3960 0,3960 0, ,2860 0,1287 0, ,2940 0,1064 0, ,4200 0,1890 0, ,1640 0,0820 0, ,4270 0,0072 0, ,2840 0,1420 0, ,1710 0,0855 0, ,4370 0,2185 0, ,2460 0,1230 0, ,0480 0,0480 0, ,4110 0,1849 0, ,0970 0,0970 0, ,1490 0,0745 0, ,2670 0,0251 0, ,5100 0,2035 0, ,0720 0,0720 0, ,0900 0,0065 0, ,1340 0,0115 0, ,0240 0,0240 0, ,1670 0,0921 0, ,1090 0,0540 0, ,1100 0,1079 0, ,1450 0,1450 0, ,2420 0,2216 0, ,5140 0,0355 0, ,1810 0,0131 0, ,0900 0,0287 0, ,2200 0,0805 0, ,2200 0,0967 0, ,0420 0,0397 0, ,1630 0,0500 0, ,2270 0,0821 0, Somatóra 72,7326 6, ,3399 p.u. A Tabela 4.13, apresenta os lmtes de tensão relaxados para valores aquém de 0,95

71 57 Tabela Lmtes de Tensão Volados para Smulação 3 Barra Tensão Mínma Exgda (p.u.) Tensão Mínma Calculada (p.u.) 16 0,9500 0, ,9500 0, ,9500 0, ,9500 0, ,9500 0, ,9500 0, ,9500 0, ,9500 0, ,9500 0, ,9500 0, ,9500 0, ,9500 0, ,9500 0, ,9500 0, ,9500 0, ,9500 0, ,9500 0, ,9500 0, ,9500 0, ,9500 0, ,9500 0, ,9500 0, ,9500 0, ,9500 0, ,9500 0, ,9500 0, ,9500 0, ,9500 0, ,9500 0, ,9500 0, ,9500 0, ,9500 0, ,9500 0, ,9500 0, ,9500 0, ,9500 0, ,9500 0, ,9500 0, ,9500 0, ,9500 0, ,9500 0, ,9500 0, ,9500 0, ,9500 0, ,9500 0, ,9500 0,9356

72 58 Tabela Lmtes de Fluxo Volados para Smulação ,9500 0, ,9500 0, ,9500 0, ,9500 0, ,9500 0, ,9500 0, ,9500 0, ,9500 0, ,9500 0, ,9500 0, ,9500 0, ,9500 0, ,9500 0, ,9500 0, ,9500 0,9394 A Tabela 4.14 apresenta os transformadores cujos lmtes máxmos foram sobrepujados em torno de 12 %. Tabela Lmtes de Fluxo Volados para Smulação 3 Lnhas Lmtes de Fluxo Fluxos Volados Calculada (p.u.) % de Sobrecarga 233 4,5282 5, , ,5046 5, , Estabelecmento de Estágos de Corte de Carga Pelos resultados apresentados nos tens anterores, e supondo-se que por poucas horas seja possível o sstema operar com subtensões de até 3% e sobrecargas nos transformadores de até 20%, pode-se estabelecer estratégas para corte de carga. Na Tabela 4.15, observa-se que o valor total de corte de carga de potênca atva necessáro para se restabelecer os lmtes operaconas é de 9,7759 p.u. Tendo em vsta esse resultado, pode-se estabelecer um 1 Estágo de corte de carga, onde além de ntroduzr relaxamento de restrções de tensão e dos lmtes de fluxo de potênca atva, são admtdas subtensões de apenas 3% abaxo do lmte mínmo e sobrecarga de 20% em alguns transformadores. Com essa prmera estratéga, o resultado que se nota é o corte de 6,3927 p.u., ou seja, houve uma dmnução de 35% do corte orgnalmente calculado. Na persstênca da contngênca, ocorre um 2 Estágo de corte, onde cortam-se os restantes 3,3832 p.u. que perfazem o corte total de 9,7759 p.u.

73 59 Feto sso, pode-se conclur que se a contngênca for sanada no 1 Estágo de corte, estabelece-se o ponto de operação anteror à contngênca, poupando-se em torno de 35% de corte de carga. Barra 1 o Estágo de Corte de Carga (pu) Smulação 3 Tabela Resultados de Corte em Estágos 2 o Estágo de Corte de Carga (pu) Sm.1 Sm. 3 Corte Total (pu) Smulação 1 9 0,0023 0,0000 0, ,1302 0,0998 0, ,2124 0,1676 0, ,2220 0,0000 0, ,0047 0,0983 0, ,2320 0,0875 0, ,0000 0,2080 0, ,0000 0,4480 0, ,0000 0,3530 0, ,0000 0,2910 0, ,0000 0,1810 0, ,0000 0,4160 0, ,0679 0,3111 0, ,0000 0,3620 0, ,0000 0,1810 0, ,0713 0,2287 0, ,0000 0,1480 0, ,0000 0,5690 0, ,0789 0,1461 0, ,0000 0,3020 0, ,0000 0,4550 0, ,0000 0,1300 0, ,0205 0,1865 0, ,0000 0,8800 3, ,1494 0,1826 0, ,1228 0,1502 0, ,4420 0,0430 0, ,0000 0,3800 0, ,3370 0,0000 0, ,1850 0,0000 0, ,0994 0,1216 0, ,0095 0,0000 0, ,2500 0,0000 0, ,1107 0,3703 0, ,1100 0,0000 0,1100

74 60 Tabela Resultados de Corte em Estágos 172 0,0000 0,4420 0, ,1750 0,0000 0, ,3960 0,0000 0, ,1287 0,1573 0, ,0000 0,5780 0, ,1064 0,1876 0, ,1890 0,2310 0, ,0000 0,1060 0, ,0820 0,0820 0, ,0072 0,4198 0, ,1420 0,1420 0, ,0855 0,0855 0, ,2185 0,2185 0, ,1230 0,1230 0, ,0480 0,0000 0, ,1849 0,2261 0, ,0970 0,0000 0, ,0745 0,0745 0, ,0251 0,2419 0, ,2035 0,3065 0, ,0720 0,0000 0, ,0065 0,0835 0, ,0115 0,1225 0, ,0000 0,2120 0, ,0240 0,0000 0, ,0921 0,0749 0, ,0000 0,0610 0, ,0540 0,0550 0, ,1079 0,0021 0, ,1450 0,0000 0, ,2216 0,0204 0, ,0355 0,4785 0, ,0131 0,1679 0, ,0287 0,0613 0, ,0805 0,1395 0, ,0967 0,1233 0, ,0397 0,1233 0, ,0500 0,1130 0, ,0821 0,1449 0,2270 Somatóra 6,3927 3,3832 9,7759

75 Resultados de outras smulações Neste trabalho, foram realzadas também outras smulações para outras contngêncas com o mesmo sstema. Essas contngêncas foram smuladas pelo Modelo Não-Lnear. Para tanto, não foram consderados lmtes nos cortes de carga e as barras de todas as áreas foram seleconadas para corte. Como já menconado anterormente, as contngêncas smuladas foram a saída de um dos transformadores de 230/69/13,8 kv de 150 MVA da Subestação do Uberaba e a saída de um dos transformadores de 230/69 kv de 150MVA da Subestação do Plarznho. Para a contngênca na Subestação do Uberaba, adotando a função objetvo como sendo só a mnmzação do corte de carga, a convergênca não fo possível, pos os cortes não foram sufcentes para que as restrções fossem satsfetas. Introduzndo-se o relaxamento dos lmtes de tensão em até 3% do lmte mínmo em regme normal, o corte de carga total obtdo fo de 5,8998 p.u. Como o valor da carga orgnal era de 72,7326 p.u., a carga restante passou a ser de 66,8328 p.u. A segur, fo ntroduzdo à função objetvo básca de mnmzação de corte de carga, além do relaxamento de tensão, o relaxamento dos lmtes de fluxo de potênca atva. Foram admtdas agora subtensões lmtadas a 3%, juntamente com sobrecargas nos transformadores em até 20% e o corte de carga total fo de 5,44569 p.u., ou seja, houve agora uma dmnução no corte de carga. Para a contngênca na Subestação do Plarznho, novamente, só com a mnmzação do corte de carga, não houve convergênca. Com a ntrodução do relaxamento dos lmtes de tensão em até 3% do lmte mínmo em regme normal, o corte de carga total obtdo fo de 5,3553 p.u. Como a carga orgnal era de 72,7326 p.u., a carga restante passou a ser de 67,3773 p.u. Na sequênca, fo ntroduzdo na função objetvo básca de mnmzação de corte de carga, além do relaxamento de tensão, o relaxamento dos lmtes de fluxo de potênca atva. Com essa nova função objetvo, o corte de carga total fo de 4,7289 p.u.

76 Desempenho do Predtor-Corretor A fm de se analsar os ganhos obtdos com a utlzação do Método Predtor- Corretor, a Tabela 4.16 apresenta os números de terações e tempos de CPU dspenddos pelo Método dos Pontos Interores versão Prmal-Dual Puro e versão Predtor-Corretor para a Smulação 1. Tabela Desempenho do Predtor-Corretor X Puro Método dos Pontos Interores Iterações Tempo da CPU (s) Versão Puro ,3594 Versão Predtor-Corretor ,75 Observa-se pela Tabela 4.16 que a versão Predtor-Corretor é bastante efcente, dmnundo o número de terações e o tempo da CPU no processo de convergênca desta smulação. 4.8 Consderações Fnas A metodologa proposta fo testada a partr de um sstema elétrco real submetdo a uma emergênca que acarreta sobrecargas em equpamentos como lnhas de transmssão e transformadores. Foram testadas as opções de corte de carga em áreas ou barras do sstema. As smulações tveram como objetvo a avalação das dferentes possbldades oferecdas pela metodologa para estudos de corte de carga. Incalmente fo realzada a verfcação prelmnar de lmtes de fluxo sob contngêncas no Modelo Lnear, ou seja, verfcou-se em quas barras sera necessáro o corte de carga devdo a lmtes de fluxos atvos atngdos em lnhas e transformadores. Com a realzação da valdação do Modelo Lnear através de smulações realzadas no Modelo Não-lnear, pode-se conclur que o Modelo Lnear não apresenta resultados satsfatóros, pos das 13 barras onde ocorreu alívo de carga, apenas uma delas (264) fo realmente cortada pelo Modelo Não-Lnear.

77 63 Na seqüênca, foram estabelecdos Estágos de Corte de Carga a partr de Relaxamento de Restrções de Tensão e de Fluxo de Potênca Atva, a fm de mnmzar os cortes nas barras. E por fm, apresentou-se os resultados verfcados para a Smulação 1 pela utlzação do Método Predtor-Corretor. Esse método se mostrou bastante efcaz, dmnundo o número de terações e o tempo da CPU no processo de convergênca. Todas as smulações foram no sentdo de dar suporte ao operador na decsão sobre quas barras devem ser cortadas. No próxmo capítulo, serão apresentadas as conclusões referentes às metodologas propostas neste trabalho.

78 64 CAPÍTULO 5 Conclusões 5.1 Introdução Esse trabalho teve como objetvo realzar estudos de alívo ótmo de carga na fase do planejamento de curto prazo. Nessa fase dos estudos é necessáro se elaborar estratégas que auxlem o operador do sstema a recuperar os lmtes operaconas quando em stuações de emergênca. Como no Brasl os estudos de planejamento da operação de sstemas elétrcos relaconados à corte de carga em caso de contngêncas são normalmente realzados de manera manual pelas empresas concessonáras de energa elétrca, vslumbrou-se a possbldade de aperfeçoá-los, utlzando técncas de otmzação. A lteratura apresenta váras possbldades para esse aperfeçoamento, dentre elas destaca-se a metodologa proposta por MIKILITA (2005), que ntroduz ao problema clássco do corte de carga: () lmtes aos cortes por barras, evtando que cargas que não podem ser cortadas o sejam e, () estudos de pré-dagnóstco de barras com problemas de subtensão. No entanto, mas aprmoramentos podem ser adconados ao trabalho de MIKILITA (2005), como desenvolvdo nessa dssertação, tas como: () adção de relaxamento das restrções de tensão e de fluxo nos transformadores, obtendo dessa manera novos lmtes mínmos de tensão e novos lmtes de fluxo em transformadores, os quas possbltam dmnução no corte de carga e estabelecmento de estágos para alívo de carga e, () estudos de pré-dagnóstco de barras canddatas a corte utlzando modelo lnear de FPO. Em síntese, esse trabalho apresentou uma metodologa que utlza a déa de que se for admtdo que alguns lmtes de tensão sejam volados somente 3% (por exemplo) e que ocorra sobrecarga de 20% em alguns transformadores por apenas uma ou duas horas (por exemplo), pode-se cortar menos carga do que sera necessáro se essas volações de lmtes

79 65 não fossem admtdas. Se a contngênca for sanada dentro desse ntervalo, ter-se-ão evtados cortes de carga desnecessáros admtndo-se apenas pequenas volações. Caso contráro, realza-se o corte de carga que tera sdo proposto sem se consderar os relaxamentos. De uma manera geral, esse trabalho propõe o estabelecmento de város estágos de corte de carga, sempre com o ntuto de mnmzá-los. Os resultados apresentados por essa metodologa, através da smulação do sstema de 291 barras foram satsfatóros, valdando-se a técnca proposta. Baseando-se anda em MIKILITA (2005), que propõe um dagnóstco das barras problemátcas em termos de níves mínmos de tensão não atngdos, mplementou-se um FPO lnear que mnmza cortes de carga, cujo objetvo é o de dentfcar as barras problemátcas em termos de carregamentos de crcutos. No modelo lnear, os cortes que por acaso sejam necessáros, são devdo a congestonamentos nos transformadores e nas lnhas. Deste modo, as barras cortadas podem ser dentfcadas como canddatas a corte para o modelo não-lnear, dmnundo-se o unverso de busca para esse últmo. No entanto, esse pré-dagnóstco não se mostrou efcaz pos as barras cortadas no modelo lnear não concdem com as cortadas pelo modelo não-lnear. 5.2 Recomendações para Trabalhos Futuros Nesse trabalho, foram fetas algumas consderações que devem ser objeto de estudos futuros: - admtu-se subtensões de até 3 % no relaxamento dos lmtes de tensão. As conseqüêncas na utlzação desse valor devem ser analsadas sob o ponto de vsta operaconal e econômco, sendo que cada concessonára faz esses estudos e determna as subtensões admssíves (no caso da COPEL é admtdo subtensão de até 0,9 pu em algumas barras); - admtu-se sobrecarga de 20 % para todos os transformadores. No entanto, cada transformador tem lmtes de sobrecarga própros que devem durar por tempos pré-estabelecdos ou que dependem da temperatura nos enrolamentos. Num prmero momento, deve-se fazer um levantamento desses dados a fm de se admtr sobrecargas ndvdualzadas por transformador; levando-se em conta os dados dos fabrcantes;

80 66 - consderou-se que o ntervalo entre os estágos de corte sejam de duas horas. Estudos sobre a duração dos estados de emergênca devem ser realzados a fm de se estabelecer convenentemente as durações dos estágos; - foram estabelecdos apenas 2 estágos de corte, no entanto se for admtdo que as tensões sejam relaxadas por mas tempo, pode-se estudar a contnudade de um tercero estágo de corte. Fnalmente, como as sobrecargas nos transformadores não podem durar mas que um determnado ntervalo de horas ou mnutos por da sob o rsco de se perder vda útl, percebeu-se que no momento de uma contngênca, um determnado transformador já pode estar sobrecarregado e que esta sobrecarga já pode estar no seu lmte dáro. Ou anda, que para alguns transformadores a sobrecarga que se pode nfrngr depende da temperatura vgente nos enrolamentos. Assm, vslumbra-se para um próxmo aperfeçoamento da questão de cortes ótmos de carga, o desenvolvmento de um FPO em tempo real que montore os tempos de sobrecarga e as magens térmcas dos transformadores, para a partr desses dados, se estabelecer estágos de cortes factíves.

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84 70 Apêndce A Modelagem das Equações de Balanço de Potênca Atva e Reatva e do Ângulo de Referênca A.1 Representação das Equações de Balanço de Potênca Atva e Reatva na Forma Retangular (FERNANDES, 2004) As equações de balanço de potênca atva e reatva são modeladas utlzando-se a representação retangular dos fasores de tensão: onde e : parte real da tensão V & ; f : parte magnára da tensão V &. V & = e + j f =1,, nb (A.1) Consderando que * P = Pg Pd = real [ dag( V& ) ( Y& V& ) ] (A.2) * Q = Qg Qd = mag [ dag( V& ) ( Y& V& ) ] (A.3) onde V & : vetor de tensão com dmensão (nb 1); Y & : matrz de admtânca de barra com dmensão (nb nb) P : vetor de dmensão (nb 1) contendo a njeção de potênca atva; Q: vetor de dmensão (nb 1) contendo a njeção de potênca reatva; Pg: vetor de potênca de geração atva com dmensão [nb 1]; Pd: vetor de potênca de carga atva com dmensão [nb 1]; Qg: vetor de potênca de geração reatva com dmensão [nb 1]; Qd: vetor de potênca de carga reatva [nb 1]. Substtundo-se nas equações (A.2) e (A.3) a representação na forma retangular da expressão (A.1), obtém-se:

85 71 ] [ ) ( ] [ ) ( f G e B f f B e G e P + + = dag dag (A.4) ] [ ) ( ] [ ) ( f G e B e f B e G f Q + = dag dag (A.5) onde = e nb e Μ 1 e : vetor de dmensão (nb 1) contendo a parte real da tensão; = f nb f Μ 1 f : vetor de dmensão (nb 1) contendo a parte magnára da tensão; G: parte real de Y &, ou seja, matrz de condutânca de barra com dmensão (nb nb); B: parte magnára de Y &, ou seja, matrz de susceptânca de barra com dmensão (nb nb); As equações (A.4) e (A.5) podem ser expressas, de forma compacta, em função de um vetor x, cujos elementos são as componentes real e magnára das tensões de barra: = nb nb f f e e Μ Μ 1 1 x (A.6) O vetor x possu dmensão [2nb 1]. Para a obtenção dos vetores e e f a partr de x utlzam-se as seguntes matrzes: = e (A.7) e = f (A.8) sendo

86 72 ou seja, Γ : matrz dentdade de dmensão (nb nb); : matrz nula de dmensão (nb nb); 1 1 = (A.9) Ο 1 e : matrz composta pela justaposção da matrz Γ e da matrz de modo que o vetor formado pelas partes reas das tensões das barras, e, possa ser escrto por: e = x ( A.10) e f : matrz composta pela justaposção da matrz Γ e da matrz de de modo que o vetor formado pelas partes magnáras das tensões das barras, f, possa ser escrto por: f = x (A.11) f Utlzando-se as matrzes descrtas anterormente, podem-se representar as equações (A.4) e (A.5) em função das varáves Pg, Qg e x: () Equações de balanço de potênca atva: [ G B ] + ( x) [ B G ] } x Pg Pd = { dag ( x) dag (A.12) e ()Equações de balanço de potênca reatva: f [ G B ] + ( x) [ B G ] } x Qg Qd = { dag ( x) dag (A.13) f As equações (A.4) e (A.5) são equvalentes às equações (A.12) e (A.13), as quas podem ser representadas smplesmente como: e Pg Pd = P(x) (A.14) Qg Qd = Q(x) (A.15)

87 73 A.2 Representação do Ângulo de Referênca na Forma Retangular (FERNANDES, 2004) Uma barra é escolhda para ser referênca angular com valor zero. Como a representação escolhda para o fasor tensão é a retangular, esta referênca mplca que a parte magnára do valor de tensão na forma retangular é gual a zero. f ref = 0 (A.16) Para se representar a equação (2.16) na forma vetoral, defne-se o vetor d do segunte modo: onde d T = [ Μ ] (A.17) d: vetor de dmensão [2nb 1], com os nb prmeros elementos são nulos e os subseqüentes também nulos, com exceção das posções correspondentes à barra de referênca que assume valor untáro. Deste modo, T d x = 0 (A.18)

88 74 Apêndce B Formulações de FPO B.1 O Problema de FPO como: O problema de Fluxo de Potênca Ótmo pode ser representado de forma genérca mn f(u) (B.1) s. a g(u) = 0 (B.2) h mn h(u) h (B.3) onde u: vetor de varáves de otmzação composto pela geração de potênca atva e reatva, tensões nas barras, taps de transformadores e outros. f(u): função objetvo a ser otmzada; g(u): vetor de restrções de gualdade que representam as equações de balanço de potênca atva e reatva descrtas; h(u): vetor de restrções de desgualdade, composto pelos lmtes físcos e operaconas. Para utlzar os métodos de Pontos Interores aplcam-se ao problema (B.1)-(B.3) os procedmentos descrtos anterormente. a) Transformação das restrções de desgualdade em restrções de gualdade pela ntrodução de varáves de folga. As restrções passam a ser representadas da segunte manera: h(u) - h mn s mn = 0 (B.4) h(u) - h + s = 0 (B.5) Sendo que s mn e s são vetores de varáves de folga estrtamente postvas.

89 75 b) A fm de se representar as restrções de não negatvdade das varáves de folga, o problema é modfcado com a ntrodução da função barrera logarítmca na sua função objetvo. A função barrera penalza as estmatvas de solução que se encontram próxmas aos lmtes das desgualdades, ou anda, assocadas às varáves de folga próxmas de zero. O problema modfcado passa a ser assm representado: mn ndes mn f ( u) µ [ln( s ) + ln( s )] (B.6) sujeto a g(u) = 0 (B.7) h(u) - h mn s mn = 0 (B.8) h(u) - h + s = 0 (B.9) onde ndes: número de restrções de desgualdade µ : parâmetro barrera (µ 0). onde A função Lagrangeana assocada a este problema é: mn L(u,,,, mn s, µ + g(u) ndes mn s )= f(u) - [ln( s ) + ln( s )] mn + ( ) T [h(u) + h mn T + mn s ] + ( ) t [h(u) -h + s ] (B.10) : vetor de dmensão (ng 1) composto pelos multplcadores de Lagrange assocados às restrções de gualdade; mn : vetor de dmensão (ndes 1) composto pelos multplcadores de Lagrange assocados aos lmtes mínmos; : vetor de dmensão (ndes 1) composto pelos multplcadores de Lagrange assocados aos lmtes máxmos; ng : número de restrções de gualdade. O novo problema de otmzação passa a ser: mn mn L (u,,,, mn s, s ) (B.11)

90 76 sujeto a mn s 0, 0, s 0 (B.12) mn 0 sendo as restrções (B.12) e (B.13) mpostas para que a equvalênca com o problema (B.1)-(B.3) seja mantda. (B.13) B.2 Condções de Otmaldade Um ponto z =[ u T T ( mn ) T ( ) T T ( s mn ) ( s n ) T ] é solução do problema (B.11)-(B.13) somente se (LUENBERGER,1988): a) Satsfaz as condções necessáras de otmaldade de prmera ordem, ou condções de KKT (para que as expressões matemátcas presentes nas condções de KKT e nos algortmos descrtos sejam compactas, neste capítulo, fo usado o operador para representar dervadas parcas de funções): T T mn [ g(u) ] + [ h(u) ] ( + ) 0 u z = 0 u f (u) + u u = (B.14) L (z) = 0 g(u) 0 (B.15) u = mn mn mn L(z) = 0 h(u) h s = 0 π (B.16) L(z) = 0 h(u) h s = 0 π (B.17) mn mn L (z) = 0 µ e S 0 (B.18) mn = s L (z) = 0 µ e S 0 (B.19) = s s mn mn 0 0, s 0 (B.20), 0 (B.21) sendo e = [ ] T, com dmensão (ndes 1); mn S e S respectvamente. : matrzes dagonas compostas pelos elementos de mn s e s, b) Se a Hessana do Lagrangeano L

91 77 mn L (u,,, )= f(u) + g(u) T + T A h A (u) (B.22) onde h A (u) é o vetor das restrções de desgualdades atvas e T A é o vetor formado pelos mutlplcadores de Lagrange assocados a essas restrções, é defnda postva no espaço nulo do Jacobano formado pelas restrções de gualdade e restrções de desgualdades atvas assocadas a multplcadores de Lagrange estrtamente postvos. O Método de Pontos Interores se concentra em obter um ponto estaconáro, sto é, que satsfaça as condções necessáras de otmaldade do tem (a). Para se garantr que o ponto obtdo seja um mínmo de global de (B.1)-(B.3) as condções sufcentes do tem (b) devem ser testadas após a convergênca do método. No procedmento usado, entretanto, consdera-se como ótmo o ponto solução das condções de KKT. B.3 Algortmo Prmal Dual de Pontos Interores Após a transformação das restrções de desgualdade em gualdades, por meo da ntrodução de varáves de folga e adção da função barrera logarítmca à função objetvo como forma de garantr a não negatvdade dessas varáves, os passos seguntes consstem em se obter os pontos estaconáros da função Lagrangeana, utlzando-se o Método de Newton, e estabelecer crtéros para atualzação do parâmetro barrera, para ncalzação das varáves e teste de convergênca. B.4 Obtenção dos Pontos Estaconáros O prmero passo na obtenção dos pontos que satsfazem a função Lagrangeana consste em se fazer uma estmatva desta solução pela lnearzação das equações (B.14)- (B.19) utlzando-se o Método de Newton. Os ncrementos obtdos em cada teração deste método não podem ser usados dretamente no vetor z, pos os mesmos podem volar as restrções de desgualdade. Assm, esses ncrementos devem ser testados e, se necessáro, modfcados a fm de sempre se manter o vetor z dentro da regão de factbldade do problema.

92 78 seguntes: As etapas que devem ser segudas a fm de se obter os pontos estaconáros são as a) Incalzação das Varáves A fm de se começar o processo de otmzação, é necessáro a obtenção de uma estmatva ncal para as varáves do problema. A escolha é feta de tal modo que as varáves sejam estrtamente nternas aos lmtes mpostos pelas restrções de desgualdade do problema. Para tanto, as varáves u são ncalzadas pela metade da soma de seus valores máxmos e mínmos; posterormente, as varáves de folga são calculadas a partr das equações (B.16) e (B.17) e, arbtrando um valor ncal para o parâmetro barrera µ, os multplcadores de Lagrange assocados às restrções de desgualdade são calculados a partr de (B.18) e (B.19). Para os multplcadores de Lagrange assocados às restrções de gualdade estmam-se valores quasquer, como por exemplo, o vetor untáro. como: b) Método de Newton O sstema de equações (B.14) a (B.19) pode ser representado de forma compacta ρ(z) = 0 (B.23) Tomando uma aproxmação lnear do sstema (2.35) no ponto z tem-se: ρ (z + z) = ρ(z ) + z ρ(z) z (B.24) como z deve ser tal que ρ( z + z) = 0, da expressão anteror tem-se que: z ρ (z) z = ρ(z ) (B.25) z z Em termos das varáves do problema, u,, pode ser escrta como: mn,, mn s, s, a equação (B.25)

93 79 W x λ π s s mn mn = u f (u) + T [ g(u) ] + [ h(u) ] u h(u) h h(u) h g(u) µ e S µ e S mn mn u s s mn mn T ( mn + ) = π u λ mn π mn s s L L L L L L (B.26) onde W é a matrz Hessana de dmensão (nz nz), sendo que nz o número total de varáves em z, cuja expressão é: W = [ L [ L [ L L uu T uλ ] T mn ] uπ T ] uπ 0 0 L uλ L uπ S 0 mn mn L uπ S I 0 Π 0 mn Π I 0 (B.27) com: L uu ng ndes 2 2 = uul = uu = 1 j = 1 2 mn 2 f ( u) + λ uug(u) + ( π j + π j ) uuhj(u) (B.28) sendo [ g(u ] T T 2 L u = [ Lλu ] = L = u ) mn Π : matrz dagonal composta pelos elementos de λ (B.29) [ h(u ] T T 2 L mn = [ L mn ] = mnl = u ) (B.30) uπ π u u [ h(u ] T t 2 L = [ L ] = L = u ) (B.31) uπ π u u L L mn mn mn = 2 mn mn L = S (B.32) s π s = 2 mn L = S (B.33) s π s L L L mn mn mn = 2 mn mn = Π (B.34) s s s s L = 2 = Π (B.35) s s s s mn Π : matrz dagonal composta pelos elementos de π I : matrz dentdade

94 80 c) Atualzação das Varáves Prmas e Duas A determnação do ponto ótmo se faz através de um processo teratvo. A cada teração, o sstema lnear representado em (B.26) é resolvdo, e, logo após, é determnado o comprmento do passo nos espaços prmal (α p ) e dual (α d ), de modo que: - as varáves de folga sejam todas postvas; - os multplcadores de Lagrange sejam tas que: Desta forma, α p e α d são expressos como: mn 0, 0. α s s mn = mn[ mn, mn p s 0 s s mn 0 mn < < s, 1] (B.36) α d = mn[ mn < 0, mn mn > 0 mn mn, 1] (B.37) Após o cálculo dos passos prmal e dual, a nova aproxmação para a solução ótma pode ser obtda pela segunte atualzação: u = u + σ αp u (B.38) s s mn mn mn = s + σ α p s (B.39) = s + σ αp s (B.40) λ = λ + σ α d λ (B.41) π π mn = π + σ α d π (B.42) mn mn = π + σ α d π (B.43) onde σ é uma constante que tem por fnaldade garantr a nterordade da nova estmatva de solução, sendo fxada em 0,9995. d) Atualzação do Parâmetro Barrera O últmo passo dentro de cada teração é recalcular o valor do parâmetro barrera µ. Com os valores de decréscmo do gap de dualdade: mn mn,, s, s, o cálculo do parâmetro µ é baseado no T mn T ( s ) π ( s ) π µ = 2 n β mn (B.44)

95 81 onde n: número total de varáves prmas e duas β: fator de aceleração ( 1). e) Crtéros de Convergênca A solução do problema é encontrada quando as equações que representam as condções de otmaldade (B.14) a (B.19) são satsfetas e o gap de dualdade ou parâmetro de barrera é nulo. Portanto, os crtéros de convergênca são: µ ε µ (B.45) onde L L ε L (B.46) : representa a norma nfnta do gradente da função Lagrangeana ε L e ε µ : tolerâncas para o teste de convergênca do método teratvo. B.5 Algortmo de Solução do Problema A segur é descrto o algortmo para a solução do problema de otmzação va Método Prmal-Dual de Pontos Interores: (B.19). Passo 0 : Incalzar as varáves. Passo 1: Calcular o gradente da função Lagrangeana através das equações (B.14)- Passo 2: Testar crtéros de convergênca: - Caso os crtéros estejam satsfetos, FIM. A solução ótma fo encontrada. - Caso contráro, prossegur ao Passo 3. Passo 3: Resolver a equação matrcal (B.26). Passo 4: Determnar o comprmento dos passos nos espaço prmal e dual, usando as equações (B.36) e (B.37). Passo 1. Passo 5 : Atualzar todas as varáves de acordo com equações (B.38) a (B.43). Passo 6: Atualzar o parâmetro barrera µ de acordo com (B.44) e retornar ao α p e α d,

96 82 Apêndce C Formulação do Fluxo de Potênca Lnear com Corte de Carga Resolução pelo Método Prmal-Dual va Pontos Interores C.1 Formulação baseada em varáves de folga e barrera logarítmca O Método dos Pontos Interores versão Prmal-Dual requer a transformação das restrções de desgualdade em restrções de gualdade, ntroduzndo-se varáves de folga. As restrções do problema formulado na seção do Capítulo III passam a ser representadas da segunte manera: -Pg + Pg mn + sp mn = 0 (C.1) Pg - Pg + sp = 0 (C.2) -X -1 (A ) T θ - t +st mn = 0 (C.3) X -1 (A ) T θ - t + st = 0 (C.4) Pd + spd mn = 0 (C.5) Pd Pd + spd = 0 mzx (C.6) As varáves de folga st mn, st, sp mn, sp, spd mn, spd devem ser todas 0. A fm de se representar as restrções de não negatvdade das varáves de folga, o problema é modfcado com a ntrodução da barrera logarítmca na função objetvo do problema. O objetvo da barrera é penalzar a função objetvo quando as varáves de folga se aproxmam da barrera. O problema modfcado passa a ser assm representado: Mn t wccα Pd - µ =1,ng (ln sp mn + ln sp ) - µ =1,nl (ln st mn + ln st ) - µ =1,nl (ln spd mn + ln spd ) (C.7)

97 83 s.a Ag Pg ( Pd U Pd ) = B red θ (C.8) m -Pg + Pg mn + sp mn = 0 (C.9) Pg - Pg + sp = 0 (C.10) -X -1 (A ) T θ - t +st mn = 0 (C.11) X -1 (A ) T θ - t + st = 0 (C.12) Pd + spd mn = 0 Pd Pd spd + = (C.13) 0 (C.14) C.2 Função Lagrangeana A função Lagrangeana assocada a este problema é: L(Pg,θ,λ,π)= t wccα Pd - µ =1,ng (ln sp mn + ln sp ) - µ =1,nl (ln st mn + ln st ) - µ =1,nl (ln spd mn + ln spd ) + λ t 0 (- Ag Pg + Pd U Pd m + B red θ ) + πp mn t ( -Pg + Pg mn + sp mn ) + πp t ( Pg - Pg + sp ) + πt mn t ( -X -1 (A ) T θ - t + st mn ) + πt t (X -1 (A ) T θ -t + st ) +πpd t mn ( Pd + spd mn )+πpd t ( Pd Pd + spd ) (C.15) As varáves do problema prmal são: θ, Pg, st mn, st, sp mn, sp, spd mn, spd. As varáves duas são os multplcadores de Lagrange assocados às restrções: λ, πt mn, πt, πp mn, πp, πpd mn, πpd. C.3 Condções de Otmaldade de Karush-Kuhn-Tucker As condções necessáras de otmaldade de prmera ordem para este novo problema de otmzação são:

98 84 Pg L = Ag t λ - πp mn + πp = 0 θ L = (B ) t λ - A X 1 πt mn + A X 1 πt = 0 (C.16) (C.17) Pd t L = w Um λ + = 0 (C.18) cc λ L = - Ag Pg + Pd 0 U m Pd + Bred θ = 0 (C.19) πp L = Pg - Pg + sp = 0 πpmn L = - Pg + Pg mn + sp mn = 0 πt L = X -1 (A ) t θ - t + st = 0 πtmn L = -X -1 (A ) t θ - t + st mn = 0 πpd L = πpdmn L = (C.20) (C.21) (C.22) (C.23) Pd Pd + spd = 0 (C.24) Pd + spd mn = 0 (C.25) sp L = - µ + sp πp = 0 spmn L = - µ + sp mn πp mn = 0 st L = - µ + st πt = 0 stmn L = - µ + st mn πt mn = 0 spd L = - µ + spd πpd = 0 spdmn L = - µ + spd mn πpd mn = 0 (C.26) (C.27) (C.28) (C.29) (C.30) (C.31) As equações (C.26) a (C.31) podem ser reescrtas: sp L = - µ ep + Sp πp = 0 spmn L = - µ ep + Sp mn πp mn = 0 st L = - µ et + St πt = 0 stmn L = - µ et + St mn πt mn = 0 spd L = - µ ec + Spd πpd = 0 spdmn L = - µ ec + Spd mn πpd mn = 0 onde ep : vetor (ng x 1) untáro; et : vetor (nl x 1) untáro; ec : vetor (nc x 1) untáro; (C.32) (C.33) (C.34) (C.35) (C.36) (C.37)

99 85 Sp mn : matrz dagonal das varáves sp mn ; Sp : matrz dagonal das varáves sp ; St mn : matrz dagonal das varáves st mn ; St : matrz dagonal das varáves st. Spd mn : matrz dagonal das varáves spd mn ; Spd : matrz dagonal das varáves spd. Devdo ao fato do multplcador de Lagrange λ estar assocado a uma restrção de gualdade o mesmo não possu restrção de snal, ou seja, λ pode assumr qualquer valor. Já as outras restrções mplcam nas seguntes restrções de snal: πt mn 0, πt 0, πp mn 0, πp 0., πpd mn 0, πpd 0. C.4 Aplcação do Método de Newton às Condções de KKT Aplcando o Método de Newton às condções de KKT para resolução do sstema por método teratvo, obtém-se o segunte sstema de equacões lnearzadas: H x = - x L (C.38) A matrz H apresenta a estrutura a segur:

100 Ag t Ip -Ip B red t 0 0 (A ) T X -1 -(A ) T X Um t Ic -Ic Ag B red Um Ip Ip Ip Ip X -1 (A ) t It X -1 (A ) t It Ic Ic Ic Ic Sp Πp Sp mn Πp mn St Πt St mn Πt mn Spd Πpd Spd mn Πpd mn onde Ip: matrz dagonal do vetor ep; It: matrz dagonal do vetor et; Ic: matrz dagonal do vetor ec. Os vetores x e x L são os seguntes: (C.39)

101 87 = mn mn mn mn mn mn spd spd st st sp sp Pg x (C.40) = L L L L L L L L L L L L L L L L L pd pd Pd mn mn mn mn mn mn spd spd st st sp sp Pg x (C.41)

102 88 C.5 Atualzação de x k e µ A cada teração, o sstema lnear do tem anteror é resolvdo, sendo a próxma etapa a determnação do comprmento do passo nos espaços prmal e dual, de modo que: - as varáves de folga st mn, st, sp mn, sp, spd, spd mn sejam todas 0. - os multplcadores de Lagrange sejam: πt mn 0, πt 0, πp mn 0, πp 0, πpd mn 0, πpd 0, α p = mn { mn s<0 ( s / s ), 1} (C.42) onde s corresponde ao vetor formado por sp mn, sp, sf mn, sf. α d = mn { mn π<0 ( π / π ),1} (C.43) onde π corresponde ao vetor formado pelo multplcadores πp mn e πf mn, πp e πf. A nova aproxmação para a solução ótma é feta por: k+1 x p k+1 x d = x k k p + σ α p. x p (C.44) = x k k d + σ α d. x d (C.45) onde α p e α d garantem que as restrções de desgualdades não seja voladas e σ é uma constante que tem por fnaldade garantr a nterordade da nova aproxmação, sendo utlzado o valor 0,9995.

103 89 Pg sp x p = sp mn (C.46) st st mn spd spd mn mn x d = (C.47) mn mn O últmo passo dentro de cada teração é recalcular o valor do parâmetro barrera µ. O cálculo do parâmetro é baseado no decréscmo no gap de dualdade : µ = ( s t π ) / 2 nt β (C.48) onde nt: número de varáves prmas mas duas, β: fator de aceleração ( 1) C.6 Algortmo para resolução do problema de otmzação va Prmal-Dual de Pontos Interores. Passo 0 : Escolha µ o, valores ncas para varáves prmas e duas. Faça k=0. Passo 1: Calcule o valor das condções de otmaldade ( cálculo de L ). Passo 2: Se norma nfnta de L < tol = 10-6 e µ < tol, FIM, a solução é x k. Caso contráro, faça k= k+1 e vá ao Passo 3.

104 90 Passo 3: Resolução do Sstema Lnear: H k x k = - L k (C.49) Passo 4: Determne o comprmento do passo nos espaço prma e dual (α p e α d ). Passo 5 : Atualze todas as varáves. Passo 6: Atualze o parâmetro barrera µ. Retorne ao Passo 1 C.7 Incalzação das Varáves A fm de se ncar o processo de otmzação, é necessáro a obtenção de uma estmatva ncal para as varáves do problema. A escolha é feta de tal modo as varáves satsfaçam as restrções do problema, ou seja, estejam dentro da regão vável do problema, para tanto: Pg 0 = (Pg + Pg mn ) /2 (C.50) Pd 0 = Pd /2 (C.51) θ 0 = 0 (C.52) µ o = 0,1 (C.53) sp mn 0 = Pg 0 - Pg mn (C.54) sp 0 = Pg - Pg 0 spd mn 0 = st mn 0 = t st 0 = t (C.55) (C.56) (C.57) Pd /2 (C.58) spd 0 = - Pd /2+ λ 0 = vetor untáro πp mn 0 = µ 0 (Sp mn 0 ) -1 ep πp 0 = µ 0 (Sp 0 ) -1 ep πt mn 0 = µ 0 (St mn 0 ) -1 et (C.59) (C.60) (C.61) (C.62) (C.63)

105 91 πt 0 = µ 0 ( St 0 ) -1 et πpd mn 0 = µ 0 (Spd mn 0 ) -1 ec πpd 0 = µ 0 ( Spd 0 ) -1 ec (C.64) (C.65) (C.66)

106 92 Anexo A Dados do Sstema de 291 Barras A.1 Introdução Este apêndce apresenta os dados de ramos e barras do sstema de 291 barras. Todos os valores estão em p.u. na base 100 MVA. Tabela A.1 - Dados das Lnhas de Transmssão e Transformadores De Para r(%) x(%) b s (%) a mín a máx Lmte (MW) ,270 1,025 1, , ,162 1,000 1, , ,140 1, , , ,780 0,850 1, , , , ,630 3,610 11, , ,430 8,220 26, , ,070 7,237 0,900 1, , ,772 19, ,000 0,904 0, , ,130 0,720 2, , ,430 2,480 8, , ,740 97, ,430 0,857 1,048 14, ,8250 1,050 1, , ,010 10,290 17, , ,823 1,000 1, , ,823 1,000 1, , ,070 0,390 0, , ,270 1,610 3, , ,080 12,580 24, , ,600 8,070 14, , ,032 1,1460 0,945 1, , ,500 0,869 1, , ,500 0,869 1, , , , ,190 1,130 2, , ,850 0,8695 1, , ,600 0,8695 1, , ,830 0,8695 1,043 43, ,510 0,8695 1,043 43, ,260 1,260 2, , ,340 1,640 3, , ,510 2,620 4, , ,300 1,820 3, , ,030 1,000 1, , ,320 1,000 1, ,47

107 93 Tabela A.1 - Dados das Lnhas de Transmssão e Transformadores De Para r(%) x(%) b s (%) a mín a máx Lmte (MW) ,270 0,869 1,043 47, ,470 0,869 1,043 47, , , ,840 1,043 1, , ,360 1,043 1, , ,270 6,380 11, , ,480 7,560 13, , ,490 0,869 1, , ,910 0,869 1, , ,230 1,100 2, , ,350 1,680 3, , ,760 0,869 1,043 47, ,760 0,869 1,043 47, ,410 2,050 3, , ,840 0,869 1, , ,030 0,869 1, , ,700 3,380 6, , ,110 0,869 1, , ,810 0,869 1, , , , ,010 0, , ,240 1,420 2, , ,860 0,869 1, , ,010 0, , ,380 1,880 3, , ,360 0,869 1, , ,180 16,510 4, , ,540 22,610 6, , ,010 14,180 3,916 11, ,840 1,024 1, , ,360 1,024 1,024 56, ,010 0,124 15, , ,010 0,126 15, , ,560 21,620 5,340 62, ,170 5,950 1, , ,970 0,826 1,000 16, ,550 7,250 1, , ,180 16,750 4,146 37, ,590 8,090 14, , ,390 0,869 1, , ,360 0,869 1, , ,670 16,480 4, , ,910 0,869 1,043 66, ,090 0,869 1,043 66, ,420 2,120 3,820 19, ,630 13,520 22, , ,150 2,380 0,586 78, ,820 3,310 1, ,40

108 94 Tabela A.1 - Dados das Lnhas de Transmssão e Transformadores De Para r(%) x(%) b s (%) a mín a máx Lmte (MW) ,160 3,540 0, , ,540 22,610 6,215 98, ,444 12, ,71 353, ,977 4,708 8, , ,010 0,040 0, , ,080 0,950 1,043 28, ,360 0,950 1,043 28, ,700 11,050 82, , ,150 9,640 2,370 6, ,130 21,720 5,383 71, ,850 11,630 2, , ,640 0,869 1, , ,290 0,869 1, , ,700 0,869 1, , ,130 6,990 12, , ,220 7,690 13, , ,220 1,090 1, , ,170 1,030 2, , ,100 12,550 3, , ,250 20,190 4, , ,690 5,090 1, , ,910 5,970 1, , ,280 15,570 4, , ,560 7,780 1,930 93, ,090 9,110 2, , ,230 6,640 1, , ,470 15,310 3, , ,790 3,130 0, , ,610 1,860 0, , ,640 11,130 2, , ,720 13,730 3, , ,360 0,869 1, , , , ,780 14,600 3,600 90, ,970 12,140 2, , ,900 4,360 1,095 22, ,540 19,300 5, , ,660 14,240 3, , ,480 0,826 1,000 40, ,640 9,500 2,350 50, ,940 15,860 4,088 93, ,530 0,869 1,043 55, ,330 0,869 1,043 55, ,510 7,732 13, , ,400 10,380 2,558 45, ,260 0,850 1,050 39, ,00 0,826 1,000 26, ,800 9,820 2, ,5

109 95 Tabela A.1 - Dados das Lnhas de Transmssão e Transformadores De Para r(%) x(%) b s (%) a mín a máx Lmte (MW) ,840 2,710 0, , ,400 1,024 1, , ,200 1,024 1, , ,052 0,654 80, , ,056 0,697 85, , ,230 0,470 0, , ,710 14,180 3,300 86, ,870 6,070 1,410 96, ,580 7,530 2, , ,860 1,770 0, , ,760 0,826 1,000 21, ,290 0,840 0, , ,290 0,840 0, , ,840 18,760 4,324 31, ,670 11,990 2,780 86, ,140 19,400 4, , ,720 13,730 3, , ,740 13,820 3, , ,710 13,690 3,713 11, ,450 13,590 3, , ,690 1,450 0, , ,770 1,790 0, , ,230 2,830 0, , ,890 5,490 6, , ,290 19,190 4, , ,930 0,826 1,000 13, ,550 7,640 1,821 60, ,980 9,370 2, , ,510 0,869 1, , ,650 0,869 1, , ,100 5,680 9,790 85, , , ,290 1,270 0, , ,740 2,140 0, , ,110 0,240 0, , ,620 20,230 0,346 52, ,260 18,220 4,940 47, ,010 0,010 25, ,680 8,180 2,018 48, ,580 17,420 0,730 53, ,580 17,420 0,730 53, ,670 1,045 1,045 23, ,870 1,045 1,045 23, ,260 4,840 1,232 20, ,910 12,260 3,103 34, ,370 0,869 1, , ,380 0,869 1, , ,180 11,350 19, ,70

110 96 Tabela A.1 - Dados das Lnhas de Transmssão e Transformadores De Para r(%) x(%) b s (%) a mín a máx Lmte (MW) ,170 11, , , ,575 3, , , ,980 15,210 3,754 93, ,200 3,400 0, , ,660 4,540 1, , , , ,480 21,480 5,413 82, ,720 8,150 2,099 96, ,700 11,140 2,834 94, ,270 12,930 3,254 94, ,880 11,810 2, , ,720 0,869 1, , ,400 0,869 1, , ,880 0,869 1, , ,330 0,869 1, , ,310 1,820 3, , ,980 2,150 0, , ,330 3,680 1, , ,710 0,869 1, , ,630 0,869 1, , , , ,400 4,040 1, , ,730 2,670 0, , ,330 1,320 0,712 45, ,670 2,060 0,542 96, ,300 0,610 0,160 94, ,010 94, ,860 12,610 2, , ,110 3,090 0, , ,050 0,730 78, , ,020 1, , ,080 1, , ,076 1, ,580 94, ,360 0,869 1, , ,150 0,890 1, , ,200 2, , , ,162 2, , , ,200 2, , , ,159 2, , , ,470 0,869 1, , ,460 18,070 30, , ,031 1,207 0,922 1, , ,045 15, , , ,041 15, , , ,880 0,869 1, , ,127 1, , , ,590 0,869 1, , ,514 7,836 13, ,92

111 97 Tabela A.1 - Dados das Lnhas de Transmssão e Transformadores De Para r(%) x(%) b s (%) a mín a máx Lmte (MW) ,051 17, , , ,668 17,780 30, , ,255 2, , , ,050 0,440 47, , ,210 11, , , ,032 1,163 0,945 1, , ,031 1,166 0,945 1, , ,892 9,776 16, , ,895 9,704 17, , ,510 19, , , ,590 7,630 33, , ,001 0,010 1, , ,001 0,010 1, , ,001 0,010 1, , ,110 1, , , ,154 1, , , ,039 1,272 0,900 1, , ,020 1,219 0,900 1, , ,425 2,5030 7, , ,629 8,344 14, , ,024 2, , ,809 12, ,108 3, , ,782 6, ,381 47,870 0,872 1,064 32, ,074 15, , , ,320 3,100 0,055 48, ,008 1, , ,034 4,545 28, ,010 3,030 0, , ,400 0,869 1,043 63, ,870 0,869 1,043 63, ,210 0,869 1,043 45, ,180 0,869 1,043 45, ,360 2,600 0,046 11, ,800 7,940 0, , ,110 4,040 0,070 36, ,950 4,160 0,084 82, ,840 8,770 0,134 79, ,840 8,770 0,134 79, ,110 11,900 0,231 75, ,030 5,900 0,101 65, ,030 5,900 0,101 63, ,290 4,610 0,075 47, ,740 4,970 0,102 69, ,830 4,960 0,113 69, ,660 3,250 0, , ,030 6,260 0,095 82,06

112 98 Tabela A.1 - Dados das Lnhas de Transmssão e Transformadores De Para r(%) x(%) b s (%) a mín a máx Lmte (MW) ,830 5,640 0,085 91, ,830 5,640 0,085 86, ,670 3,890 0,062 83, ,670 3,890 0,062 89, ,080 8,210 0,151 3, ,460 4,230 0,072 87, ,390 1,160 0,330 66, ,070 2,450 0,699 49, ,640 10,760 2,858 80, ,620 1,910 0,546 66, ,570 2,740 0,068 91, ,650 3,170 0, , ,950 5,690 0,095 55, ,750 11,110 0,194 89, ,340 0,990 0,016 77, ,250 3,990 0,066 78, ,210 9,360 0,154 14, ,640 12,280 0,235 83, ,240 11,110 0,212 86, ,300 35,640 0,595 59, ,030 28,720 0,444 52, ,580 1,670 0,028 86, ,410 1,300 0,378 64, ,090 6,980 0,130 80, ,090 6,980 0,130 80, ,440 2,130 0,053 9, ,010 6,670 0,141 54, ,500 1,072 1, ,480 13,430 0,204 2, ,270 0,830 0,013 68, ,790 15,650 0,248 56, ,680 11,450 0,184 48, ,620 5,350 0,081 57, ,400 5,310 0,083 58, ,630 2,770 0,065 89, ,580 2,920 0, , ,150 14,970 4, , ,690 23,180 6, , ,660 1,097 1,097 39, ,010 22,030 0,36 26, ,030 54,940 0,854 36, ,030 54,940 0,854 36, ,650 14,210 3, , ,410 12,920 3, , ,810 2,900 0, , ,430 42,420 0,800 22, ,170 5,510 0,089 51, ,790 6,410 0,143 37,42

113 99 Tabela A.1 - Dados das Lnhas de Transmssão e Transformadores De Para r(%) x(%) b s (%) a mín a máx Lmte (MW) ,470 7,190 1,969 57, ,190 0,830 0,317 90, ,070 2,800 0,070 76, ,310 1,400 0,039 88, ,830 11,130 0,190 56, ,400 6,990 0,111 88, ,660 3,020 0, , ,560 10,700 0,170 80, ,560 10,700 0,170 80, ,120 6,390 0,088 63, ,900 5,510 0,094 46, ,700 4,920 0,079 71, ,870 8,370 0,134 23, , , ,800 5,410 0,099 75, ,410 1,190 0,019 24, ,200 0,590 0,009 65, ,870 3,870 0, , ,860 2,720 0, , ,860 2,720 0, , ,490 4,550 1,119 48, ,890 13,200 0,234 50, ,760 5,130 1, , ,090 0,280 0, , ,800 0,826 1,000 9, ,570 1,750 0, , ,960 0,850 1,050 17, ,820 3,890 0,064 89, ,480 32,740 0,426 14, ,220 15,990 3,910 44, ,320 0,826 1,000 51, ,520 0,826 1,000 48, ,120 0,826 1,000 51, ,780 16,450 3,821 94, ,240 15,230 4, , ,400 1,000 1,000 10, ,560 7,470 2, , ,560 7,470 2, , ,880 11,270 0,200 54, ,700 72,240 1,280 54, ,400 54, ,370 76,950 1,040 38, ,480 24,730 0,385 35, ,820 60,560 0,031 55, ,520 53,920 0,915 41, ,970 42,210 0,760 11, ,380 65,730 0,890 26, ,270 0,900 1, ,86

114 100 Tabela A.1 - Dados das Lnhas de Transmssão e Transformadores De Para r(%) x(%) b s (%) a mín a máx Lmte (MW) ,850 11,190 3, , ,090 3,170 0,862 98, ,650 5,640 0,081 64, ,740 39,930 0,500 22, ,170 6,430 0,101 5, ,040 37,820 0,510 12, ,703 8,340 2, , ,670 1,000 1,000 3, ,240 1,055 48, ,670 0,805 1,123 53, ,820 1,000 1,000 49, ,610 1,000 1,000 49, ,670 1,000 1,000 50, ,100 1,000 1,000 49, ,560 1,000 1,000 49, ,340 1,000 1,000 50, ,500 1,000 1,000 49, ,180 1,000 1,000 49, ,270 1,610 3,187 50, ,340 1,710 3,003 49, ,820 1,043 49, ,450 1,000 1,000 39, ,120 1,000 1, , ,020 1,043 48, ,780 1,000 1, , ,620 1,000 1,000 57, ,030 1, , ,630 1,000 1,000 57, ,600 1,000 1,000 33, ,980 1,043 40, ,550 1,000 1,000 40, ,920 1,000 1,000 40,98

115 101 Tabela A.2 - Dados das Barras de Carga Barra Nome Vmn Vmáx Pd Qd Shunt Área (pu) (pu) (MW) (Mvar) (Mvar) 66 IVAIPORA-525 0,95 1,05-924,3 296, ROSANA ,90 1,05 153,0 8, CAPIVARA-440 0,95 1,05-572,7-29, CAPIVARA-138 0,90 1,05 109,0 31, ASSIS--B-230 0,95 1,05 0,233 46, ASSIS ,95 1,05 749,0-203,5-90, ASSIS-A ,95 1, SALTGRD-Y230 0,95 1, SALTOGRDE230 0,95 1, SALTOGRDE-88 0,90 1,05 16,9 6, CHAVANTE-230 0,95 1,05 390,0-32, GralhAzu-230 0,95 1,05 18,0 6, Bateas ,95 1, CIndustr-230 0,95 1, CComprd-230 0,95 1, GPSouza ,95 1, , DISJoseP-230 0,95 1, Plarzn-230 0,95 1, Uberaba ,95 1, Umbara ,95 1, Umbara ,95 1, Area ,90 1, GBMunhoz-525 0,95 1, Guarapua-138 0,90 1,05 23,0 11,9 4, Irat ,90 1,05 38,0 15,5 4, Jaguara-230 0,95 1, Ptanga ,90 1,05 22,2 11,3 2, PGrossaN-230 0,95 1, PGrossaN-138 0,90 1, PGrossaS-230 0,95 1, RoAzul ,90 1,05 10,3 8,8 1, Sabara ,90 1,05 18,0 8,8 4, SMateus ,95 1, Socorro ,90 1,05 10,9 3, UVtora-138 0,90 1,05 40,5 25,0 9, VlaCarl-138 0,90 1,05 23,2 7,8 4, AChateau-138 0,90 1,05 20,8 9,7 2, Cascavel-230 0,95 1, Cascavel-138 0,90 1,05 30,5 9,3 2, CeuAzul ,90 1,05 9,5 5,3 2, Vznho ,90 1,05 31,1 15,6 7, FIguacu ,90 1,05 44,8 25, FBeltrao-138 0,90 1,05 35,3 13,6 4, Guara ,95 1, Guara ,90 1,05 14,6 6,7 2, FChopm ,90 1,

116 102 Tabela A.2 - Dados das Barras de Carga Barra Nome Vmn Vmáx Pd Qd Shunt Área (pu) (pu) (MW) (Mvar) (Mvar) 849 MCRondon-138 0,90 1,05 29,1 18,0 4, Medane-138 0,90 1,05 40,3 18,4 7, Palotna-138 0,90 1,05 18,1 10,5 3, PBranco ,95 1, PBranco ,90 1, Pnhero-138 0,90 1,05 44,4 16,0 7, Realeza ,90 1,05 41,6 15,5 7, Segredo ,95 1, Toledo ,90 1,05 37,9 19,2 10, VYolanda-138 0,90 1,05 36,2 17,2 7, AlParana-138 0,90 1,05 18,1 10,4 2, CMourao ,90 1, Canorte-138 0,90 1,05 30,0 15,7 3, CGaucha ,90 1,05 8,4 3, Gooere ,90 1,05 14,8 6,3 4, JAlvorad-138 0,90 1,05 56,9 25,6 14, Loanda ,90 1,05 19,6 9, Mambore ,90 1,05 14,9 7,4 2, Mandagua-138 0,90 1,05 22,5 10,3 4, Marnga ,95 1, Marnga ,90 1,05 32,6 12,9 10, Paranava-138 0,90 1,05 33,4 12,7 7, SDumont ,90 1,05 30,2 21,2 2, FChopm ,90 1, Umuarama-138 0,90 1,05 45,5 21,0 7, Andra-B-138 0,90 1,05 18,8 13,0 4, Andra ,90 1, Andra-A-138 0,90 1, Apucaran-230 0,95 1, Apucaran-138 0,90 1,05 29,2 18,4 7, Bandera-138 0,90 1,05 16,1 8,4 2, BVParas-138 0,90 1,05 15,9 8,3 2, CProcop-138 0,90 1,05 30,4 12,3 9, Faxnal ,90 1,05 17,1 6, Fguera-230 0,95 1, Floresto-138 0,90 1,05 13,0 4, Ibpora ,90 1, Ibpora ,90 1,05 35,3 10,6 7, Ivapora-138 0,90 1,05 20,7 8,3 2, LondrnC-230 0,95 1, Londrna-138 0,90 1,05 63,0 37,5 14, RDavdsB-138 0,90 1,05 19,3 10, VeraCruz-138 0,90 1, ,6 19, RDavdsA-138 0,90 1,05 21,7 11, Palermo ,90 1,05 27,7 13,5 4, Bateas ,95 1,05-436,2-205, CascavOe-525 0,95 1,

117 103 Tabela A.2 - Dados das Barras de Carga Barra Nome Vmn (pu) Vmáx (pu) Pd (MW) Qd (Mvar) Shunt (Mvar) Área 897 SCaxas ,95 1, FChopm ,95 1, Horzont-138 0,90 1,05 37,6 14, Area ,95 1,05 5, Area ,90 1, Blumenau-525 0,95 1,05 937,0-64, Canonha-230 0,95 1,05 120,0-9, CMourao ,95 1, CNovos ,95 1,05 815,0-72,0-100, Curtba-525 0,95 1,05 4, Curtba-230 0,95 1, Guara-F-230 0,95 1, IvaporE-525 0,95 1,05 3, Jonvll-230 0,95 1,05 242,0 17, Londrna-525 0,95 1, LondrnE-230 0,95 1, LondrnF-230 0,95 1, MarngaF-230 0,95 1, SOsoro ,95 1,05 1, SOsoro ,90 1,05 1,3 0, SSantag-525 0,95 1, ,0 8, SSantago-69 0,90 1,05 0, Xanxere ,95 1,05 388,0-64, Dourados-230 0,95 1,05 89,8-22,3 27, EldoradF-138 0,90 1,05 17,2 3, FazIguac-138 0,90 1,05 28,3 18, CAssobo-230 0,95 1, CAssobo-138 0,90 1, Araucara-69 0,90 1,05 47,3 23,4 4, Atuba ,90 1,05 33,2 18,1 7, Bacacher-69 0,90 1,05 27,3 9,7 4, Bargu ,90 1,05 38,1 11,4 9, Bateas ,90 1, Batel ,90 1,05 48,5 17, Boquerao-69 0,90 1,05 38,0 8, BOSCH ,90 1,05 13,5 4, CComprdo-69 0,90 1, CLargo ,90 1,05 18,0 9,7 7, Capanema--69 0,90 1,05 33,7 12,5 19, CentroCur-69 0,90 1,05 18,5 14,9 9, Chamne ,90 1, CIndustr-69 0,90 1, Colombo ,90 1,05 22,1 5,7 4, COCELPA ,90 1,05 9,0 2, ULTRAFERT-69 0,90 1, , GERDAU ,90 1,05 0,

118 104 Tabela A.2 - Dados das Barras de Carga Barra Nome Vmn Vmáx Pd Qd Shunt Área (pu) (pu) (MW) (Mvar) (Mvar) 2373 GPSouza ,90 1, Guarcana-69 0,90 1, ITAMBE ,90 1,05 4,6 0, PIRIZAL ,90 1,05 3,5 1, CCPRB ,90 1,05 16,1 0, Lapa ,90 1,05 19,7 7,1 2, Matnhos-138 0,90 1,05 9,6 7, Guatupe ,90 1,05 25,0 13, Merces ,90 1,05 48,1 33,0 9, Morretes--69 0,90 1,05 11,0 3,9 2, Paranagu-138 0,90 1,05 44,2 22,0 13, Pnhas ,90 1,05 17,5 6, Paroln ,90 1,05 39,6 14,4 4, Plarznh-69 0,90 1,05 28,6 11,2 7, PnherA-69 0,90 1,05 57,8 23,1 7, TAF+Pen-138 0,90 1,05 29,4 13, PLeste ,90 1,05 11,8 5,1 2, DICLargo-138 0,90 1,05 21,9 7,5 2, Barras ,90 1,05 42,0 27,8 2, CORN-PROD-69 0,90 1,05 7,0 0, PLC+REF+D-69 0,90 1,05 10,6 3, REPAR ,90 1,05 0, RBranco ,90 1,05 16,4 8,6 2, SQutera-69 0,90 1,05 42,7 13, SJPnhas-69 0,90 1,05 28,4 13,3 4, SIGHURPOX230 0,90 1,05 61, Taruma-L1-69 0,90 1,05 17,1 11, Uberaba ,90 1,05 43,7 16,2 16, Umbara-A--69 0,90 1, WMARTINS--69 0,90 1, BERNECK ,90 1,05 6,5 2, Taruma-L2-69 0,90 1,05 24,6 16,9 4, Umbara-B--69 0,90 1, HUHTAMAKI-69 0,90 1,05 4,8 1, AltGlora-69 0,90 1,05 41,1 24, PROVIDENC-69 0,90 1,05 9,7 5, Guaratub-138 0,90 1,05 22,4 13,7 4, KRAF+NEWH-69 0,90 1,05 11,4 4, Tatu+Furu-69 0,90 1,05 15,7 6,6 4, Guaratub-69 0,90 1,05 14,9 5, Porto ,90 1,05 25,2 10, Belem ,90 1,05 15,2 7, Castro ,90 1,05 26,7 10,4 4, Guarapuav-69 0,90 1, INPACEL ,90 1,05 32,8 7, VOLVO ,90 1,05 4,0 1, Jaguara-138 0,90 1,

119 105 Tabela A.2 - Dados das Barras de Carga Barra Nome Vmn Vmáx Pd Qd Shunt Área (pu) (pu) (MW) (Mvar) (Mvar) 2424 XISTO ,90 1,05 14,0 4, KLABIN ,90 1,05 51,0 18, PISA ,90 1,05 78,3 7, Senges ,90 1,05 7,2 4, SCampos-138 0,90 1,05 20,6 12,0 2, TelBorba-138 0,90 1,05 30,5 8, TelBorba--69 0,90 1,05 28,6 8, Jaguara-69 0,90 1, Jaguara-34 0,90 1,05 9,0 3, Palmera-138 0,90 1,05 13,4 6,3 2, BATAVIA ,90 1,05 6,1 2, PLACA-JGI138 0,90 1,05 10,8 0, Clevelan-138 0,90 1,05 21,2 11,3 2, CER+FOC ,90 1,05 2,4 0, Laranje--69 0,90 1,05 17,4 8,0 2, MSMARIA ,90 1,05 13,8 1, Pnheros-69 0,90 1, QIguacu ,90 1,05 12,8 4,0 2, SADIA ,90 1,05 17,9 6, CSEGREDO--69 0,90 1,05 12,3 3,2 2, SOsoro-Y-69 0,90 1, Ubrata ,90 1,05 16,7 6,6 3, Olmpco-138 0,90 1,05 33,4 14, CascavOe-230 0,95 1, AALEGRE ,90 1,05 4 1, SaltNatal-69 0,90 1, PCONDGAS--69 0,90 1, COPACOL ,90 1,05 6,3 2, Mourao ,90 1,05 6,1 1, Altona ,90 1,05 10,9 3, BarFerraz-69 0,90 1,05 11,0 8, CMourao ,90 1, Colorado-138 0,90 1,05 14,5 7,0 2, Mambore ,90 1, Marnga ,90 1, Mourao ,90 1, JTropca-138 0,90 1,05 24,2 9, Fguera---6 0,90 1, Araponga-138 0,90 1,05 51,4 29,6 4, Astorga ,90 1,05 18,1 7,3 2, Fguera-138 0,90 1, JBander-138 0,90 1,05 31,2 17,7 4, SAPlatn-138 0,90 1,05 17,1 5,9 4, CrstoRe138 0,90 1,05 16,5 5, DXT+ATLAS138 0,90 1,05 7,1 2, COCAMAR ,90 1,05 12,4 4, AcarayCF-138 0,90 1,

120 106 Tabela A.2 - Dados das Barras de Carga Barra Nome Vmn Vmáx Pd Qd Shunt Área (pu) (pu) (MW) (Mvar) (Mvar) 2499 Acaray-CF-11 0,90 1, CComprdo-13 0,90 1,05 31,3 11,0 2, DIND-SJP--13 0,90 1,05 11,5 3, Jaguara-13 0,9 1,05 9,0 3, pgs t1 0,9 1, pgs t1 0,9 1,05 22,0 10,0 9, pgs t1 0,90 1, pgs t2 0,90 1, pgs t2 0,90 1,05 22,0 10,0 9, pgs t1 0,90 1, pgn t1 0,90 1, pgn t1 0,90 1,05 7,0 2,0 2, pgn t1 0,90 1, pgn t2 0,90 1, pgn t2 0,90 1,05 30,0 5,0 9, pgn t2 0,90 1,05 4,2 2,0 4, SaoMateus-34 0,90 1,05 7,3 2, SaoMateus-13 0,90 1,05 4,8 1, CASSOBIO--13 0,90 1,05 20,0 8, Fguera-FIC 0,90 1, Fguera--13 0,90 1,05 16,3 10, Area----FIC 0,90 1, Area ,90 1,05 2,2 0, GPSouza--FIC 0,90 1, GPSouza ,90 1,05 3,8 1, PBranco--FIC 0,90 1, PBranco ,90 1,05 16,3 6, PBranco ,90 1,05 22,7 9,9 9, CIndustr-13 0,90 1,05 45,8 28,0 7, MASISA ,90 1,05 17,5 6, LARANJ-Y--69 0,90 1, BateasF-230 0,95 1, BateasT-230 0,95 1, CComprF-230 0,95 1, COAMO ,90 1,05 8,0 0, ApucaraF-138 0,90 1,

121 107 Tabela A.3 - Dados das Barras de Geração Barra Nome Vmn Vmáx Pgmáx Qgmín Qgmáx Área (pu) (pu) (MW) (Mvar) (Mvar) 507 CAPIVARA-4GR 0,95 1,05 580,0-308,0 308, ROSANA---4GR 0,95 1,05 372,0-144,0 144, S.GRANDE- 4GR 0,95 1,05 70,0-32,0 42, Chavante-4GR 0,95 1,05 400,0-200,0 200, GBMunhoz-4GR 0,95 1, ,0-800,0 800, GBMunhoz-0CS 0,95 1, GPSouza 4GR 0,95 1,05 260,0-120,0 138, GPSouza 0CS 0,95 1, AraucarG-0GR 0,95 1, AraucarV-0GR 0,95 1, SCaxas--4GR 0,95 1, ,0-600,0 600, SCaxas--0CS 0,95 1, GNBraga--3GR 0,95 1,05 940,0-300,0 399, GNBraga--0CS 0,95 1, SOsor1a4-3GR 0,95 1,05 540,0-111,0 165, SOsor1a4-1CS 0,95 1, SOsor5e6-2GR 0,95 1,05 340,0-168,0 168, SOsor5e6-0CS 0,95 1, SSantag-4GR 0,95 1, ,0-440,0 420, SSantag-0CS 0,95 1, Chamne ,90 1,05 11,6-3,6 3, Guarcana--6 0,90 1,05 13,

122 108 Anexo B Representação Gráfca do Sstema Utlzado B.1 Introdução Este apêndce apresenta grafcamente o sstema nterlgado da Regão Sul, o sstema da COPEL e o sstema da regão de Curtba. B.2 Sstema da Regão Sul Neste mapa está representada a Rede Básca da Regão Sul e suas nterlgações com as outras regões do Brasl.

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