Restrições Críticas para o Atendimento de Demanda de Potência em Sistemas de Energia Elétrica

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1 Anas do CNMAC v.2 ISSN X Restrções Crítcas para o Atendmento de Demanda de Potênca em Sstemas de Energa Elétrca Lucano V. Barboza Insttuto Federal Sul-ro-grandense, Campus Pelotas Unversdade Católca de Pelotas , Pelotas, RS E-mal: lucano@cefetrs.tche.br Resumo: Este estudo apresenta uma revsão sobre o máxmo carregamento em sstemas de energa elétrca, tendo como foco a análse dos prncpas fatores que o lmtam. O artgo vsa a determnar quas barras do sstema elétrco mas nfluem na lmtação do abastecmento das demandas. A abordagem utlza o método do máxmo carregamento em sstemas de potênca modelado como um problema de otmzação com restrções. A solução deste é realzada com a metodologa de Pontos Interores. Como consequênca da solução, os multplcadores de Lagrange podem ser usados como parâmetros dentfcadores das regões da rede elétrca que apresentam um estrangulamento para a transmssão da energa. O trabalho também apresenta um estudo sobre o relaconamento entre a função objetvo e os multplcadores de Lagrange como parâmetros de sensbldade no método de Pontos Interores. I. Introdução Nas últmas décadas, a estrutura dos sstemas de energa elétrca tem se tornado cada vez mas complexa. O prncpal objetvo na operação de uma rede de energa é utlzar plenamente os recursos dsponíves nesta. Além dsso, parâmetros de segurança, confabldade e crtéros de operação econômca também são balzadores que norteam a operação do sstema elétrco. Assm, ter-se uma efcente utlzação dos equpamentos nstalados no sstema, é o prncpal objetvo das ndústras de geração, transmssão e dstrbução de energa elétrca. Artgos relaconados ao máxmo carregamento [3][7] mostram que a utlzação adequada dos recursos exstentes no sstema é o dferencal em termos de transmssão da energa elétrca de uma forma mas segura, confável e a um menor custo de geração e transmssão. Por outro lado, a capacdade de transmssão de um sstema elétrco é geralmente lmtada por város fatores ntrínsecos à própra rede e outros relaconados à operação desta. Entre estes, podem ser ctados: magntudes das tensões complexas nas barras do sstema, capacdade máxma de transmssão de potênca em lnhas de transmssão e transformadores, dsponbldade de geração de potênca atva nas centras elétrcas e um adequado suporte de potênca reatva dsponível na rede. Para obter um ponto de operação ótmo para o sstema elétrco, baseado nos crtéros anterores, as técncas matemátcas de otmzação podem ser usadas. Elas estão propostas na lteratura em váras abordagens [4][8]. As metodologas procuram modelar todos os controles e equpamentos componentes do sstema de energa de uma forma o mas confável possível. Dessa forma, o problema do máxmo carregamento de um sstema de energa elétrca fornecerá um ponto de operação onde todas as restrções operaconas e/ou de equpamentos estejam atenddas (satsfetas). Este trabalho formula o máxmo carregamento como um problema de otmzação. O modelo é soluconado utlzando o método não-lnear de Pontos Interores. Nesta metodologa, cada restrção da rede possu assocada a s um multplcador de Lagrange [1][2]. Estudos mostram que estes multplcadores de Lagrange podem ser nterpretados como parâmetros de sensbldade entre a função objetvo e as restrções do problema [6]. Assm, ao fnal do processo teratvo de otmzação, estas sensbldades são obtdas a um custo zero, ou seja, elas são um subproduto do processo de otmzação. Analsando os valores dos multplcadores de Lagrange, pode-se observar quas lmtes são mas restrtvos na lmtação do máxmo carregamento. Com estes dados, um plano de operação adequado pode ser elaborado de modo a possbltar um aumento na transmssão de energa elétrca, de uma forma segura e confável. 322

2 II. O Problema do Máxmo Carregamento O problema do máxmo carregamento em uma rede elétrca pode ser enuncado por Max ρ sa.. gx (, ρ) = 0 hx (, ρ) 0 ρ 0 (1) onde ρ é o fator que parametrza as demandas de potêncas atva e reatva; g é o vetor com os desbalanços de potêncas atva e reatva; h corresponde ao vetor com as restrções de desgualdade, como magntudes das tensões complexas, taps dos transformadores, geração de potêncas atva e reatva, capacdades de transmssão em lnhas de transmssão e transformadores,..., com os seus respectvos lmtes mínmos e máxmos; x é o vetor contendo as varáves de estado, que neste estudo corresponde a x = [ V δ a ρ] (2) onde V é o vetor com as magntudes das tensões complexas em todas as barras da rede elétrca; δ é o vetor com os ângulos de fase das tensões complexas em todas as barras, exceto na barra de folga; e a é o vetor com os taps dos transformadores. Os desbalanços de potêncas atva e reatva em todas as barras do sstema de potênca parametrzados pelo fator de carga ρ são P( x) + P + P = 0 d d Q ( x) + Q + Q = 0 d d onde P( x) e Q( x ) são as njeções de potêncas atva e reatva calculadas a partr do estado da rede; Pd0 e Q d0 correspondem as demandas de potêncas atva e reatva programadas (caso base); Pd e Qd ndcam as dreções de crescmento das demandas de potêncas; e o subescrto corresponde a todas as barras da rede elétrca. A geração de potêncas atva e reatva são um dos componentes do vetor h. Neste estudo, estas restrções são tratadas como restrções funconas e modeladas como P ( x, ρ) = P ( x) + P + P Gj j d j d Q ( x, ρ) = Q ( x) + Q + Q Gj j d j d onde o subescrto j corresponde a todas as barras de geração do sstema elétrco. Ao fnal do processo teratvo, o valor de ρ ndca o máxmo aumento nas demandas do sstema. Neste caso, estes valores podem ser determnados como (3) (4) max d = k d0 + ρ k dk P P P max d = k d0 + ρ k dk Q Q Q (5) com a garanta de todas as restrções satsfetas; e o subescrto k correspondendo às barras onde haja demanda de energa elétrca. III. Solução va Metodologa de Pontos Interores Consdere o problema geral de otmzação a segur. 323

3 Max f ( x) sa.. gx () = 0 hx ( ) 0 (6) onde f ( x ) é a função objetvo; g é o vetor com as restrções de gualdade; o vetor h contem as restrções de desgualdade; e o vetor x é o vetor com as varáves de estado. Aplcando a abordagem de Pontos Interores [9] ao problema (6), obtem-se Max f ( x) + μ lns sa.. gx () = 0 hx ( ) s= 0 s > 0 onde μ é o parâmetro barrera do método de Pontos Interores; s é o vetor com as va-ráves de folga; e o subescrto se refere a todas as restrções de desgualdade orgnas. A função Lagrangeana aumentada correspondente ao problema modfcado (7) é ( xs,, λπ, ) = f( x) + μ ln s λ gx ( ) π ( hx ( ) s) (8) onde λ e π são vetores contendo os multplcadores de Lagrange das restrções. As condções de otmaldade de prmera ordem para a função Lagrangeana (8) são f ( x) ( ) ( ) (,,, ) g x = h x x xsλπ λ x x x π = 0 (9) s ( xs,, λπ, ) = μe + Sπ = 0 (10) λ ( xs,, λπ, ) = gx ( ) = 0 (11) π ( xs,, λπ, ) = hx ( ) s= 0 (12) onde é o operador dervada parcal; e é um vetor com todos os seus elementos untáros; e S é uma matrz dagonal contendo as varáves de folga. Resolvendo o sstema de equações não-lneares (9)-(12), o valor ótmo para a função custo é obtdo. Este sstema é resolvdo usando o método de Newton-Raphson perturbado, assm chamado porque utlza um controle de passo para as atualzações das varáves e o parâmetro barrera μ é estmado, ao fnal de cada teração. (7) IV. Relação entre o Valor da Função Objetvo e os Valores das Restrções a) Restrções de Igualdade A relação entre o valor da função custo e os valores das restrções de gualdade já é bem conhecda na lteratura [5][6]. De acordo com [6], de certo modo, os multplcadores de Lagrange quantfcam a mudança no valor ótmo quando as restrções de gualdade são perturbadas, atuando como verdaderos parâmetros de sensbldade. b) Restrções de Desgualdade Consdere o problema de otmzação sujeto somente a restrções de desgualdade Max f ( x) sa.. hx () β (13) 324

4 Com a abordagem de Pontos Interores, a função Lagrangeana aumentada é ( xs,, π) = f( x) + μ ln s π ( hx ( ) s β ) (14) As condções de otmaldade de prmera ordem para a função Lagrangeana são f ( x) ( ) (,, ) h x = x xs x x π = 0 (15) s ( xs,, π) = μe + Sπ = 0 (16) π ( xs,, π) = hx ( ) s β = 0 (17) Neste ponto, é mportante salentar que, como as restrções de desgualdade foram transformadas em restrções de gualdade pela adção das varáves de folga, estas se tornam atvas ao fnal do processo teratvo no método de Pontos Interores. Neste caso, a forma de verfcar se a restrção de desgualdade orgnal atngu ou não algum de seus lmtes é através da análse do valor das varáves de folga. Caso a varável de folga seja nula, ndca que a restrção de desgualdade está atva. Dervando a função objetvo em relação aos lmtes das restrções, tem-se que f( x) f( ) x x = β x β (18) Manpulando as equações (15), (17) e (18), conclu-se que f ( x ) = U + s = + π U s π β β β (19) que expressa a sensbldade da função custo em relação aos lmtes das restrções de desgualdade. Note que estas sensbldades não dependem apenas dos multplcadores de Lagrange, mas também são nfluencadas pelo valor das dervadas parcas das varáves de folga em relação aos lmtes das restrções (sensbldades de s em relação a β). V. Resultados Numércos Em relação à equação (19), é mportante salentar que, após números testes, observou-se que os termos s β são muto pequenos. Isso na prátca ndca que estas sensbldades não nfluem de manera decsva na sensbldade da função objetvo em relação aos lmtes das restrções de desgualdade. Baseado nos expermentos prátcos, a equação (19) pode ser smplfcada para f ( x) = π β de forma semelhante àquelas da função custo em relação aos lmtes das restrções de gualdade. Assm, neste estudo adotar-se-á os valores dos multplcadores de Lagrange como relações de sensbldade entre a função custo e os lmtes mpostos à rede elétrca. Os resultados foram obtdos a partr da aplcação do método proposto a sstemas do IEEE. As característcas das redes estão apresentadas na abela 1. Nesta tabela, nb, nlt, nt e ng correspondem, respectvamente, a números de barras, lnhas de transmssão, transformadores e barras de geração nos sstemas elétrcos. As duas últmas colunas apresentam as demandas as prevstas de potêncas atva e reatva (caso base). (20) 325

5 Sstema nb nlt nt ng P d (MW) Q d (Mvar) IEEE ,0 36,0 IEEE , ,0 abela 1: Característcas Prncpas das Redes Elétrcas estadas a) IEEE-6 Barras Aplcando a abordagem do máxmo carregamento ao caso base do sstema IEEE-6, obtemse as máxmas demandas de potêncas atva e reatva na rede, respectvamente, 148,7 MW e 39,7 Mvar. O valor do parâmetro de carga ρ vale 10,1. A smulação fo realzada de modo a manter constantes os fatores de potênca em todas as barras de carga. As abelas 2 e 3 apresentam os valores dos multplcadores de Lagrange para as restrções de gualdade e desgualdade, respectvamente. Barra λ P 37,7 28,9 63,6 54,2 λ 57,3 55,5 112,8 107,5 Q abela 2: Multplcadores de Lagrange Restrções de Igualdade Barra V (pu) 1,1 1,1 0,95 0,95 0,95 π 375,8 226,9 43,1 146,5 276,3 abela 3: Multplcadores de Lagrange Restrções de Desgualdade Analsando a abela 2, observa-se que, em termos de desbalanços de potêncas, a barra 5 é a mas crítca do ponto de vsta do máxmo carregamento. Os seus multplcadores de Lagrange valem, respectvamente, 63,6 e 112,8 (são os maores valores). Assm, para produzr um aumento no valor do fator de carga ρ é necessáro realzar um ajuste nas demandas prevstas para esta barra (corte de carga). Na smulação, os lmtes de taps de transformadores e de geração de potêncas atva e reatva não foram atngdos. Porém, nota-se que algumas magntudes de tensão atngram os seus lmtes (abela 3). Dessa tabela, observa-se que as barras 1 e 2 (barras de geração) atngram os seus lmtes superores, bem como as barras 3, 5 e 6 (barras de carga) alcançaram os seus lmtes nferores. Em termos decrescentes, os lmtes mas restrtvos são os das barras 1, 6, 5 e 3. Se estes lmtes puderem ser relaxados, sto mplcará em um aumento de atendmento de demanda no sstema. Para lustrar esta stuação, testes foram realzados para determnar o aumento de carregamento causado pela relaxação destes. Nos testes, fo admtda uma relaxação de 1% nos lmtes superor e nferor das magntudes de tensão. Por exemplo, no prmero teste, o lmte superor da tensão na barra 1 fo aumentado para 1,111 pu e um novo fluxo de potênca ótmo fo realzado. No caso da barra 6, o seu lmte nferor fo relaxado para 0,9405 pu. O procedmento fo efetuado também para as barras 2, 5 e 3. A abela 4 mostra os resultados obtdos para os novos valores do fator de carga ρ. A prmera lnha da tabela se refere a qual barra teve o seu lmte de tensão relaxado a cada smulação. Barra ρ 14,3 12,7 12,6 11,5 10,6 abela 4: Fatores de Carga com Relaxação de Lmtes de ensão Como era esperado, baseado nos multplcadores de Lagrange π, nota-se que o maor ncremento no fator de carga e, portanto na demanda al da rede, fo obtdo no caso em que o lmte superor da tensão na barra 1 fo relaxado. Observe anda que uma relaxação de 1% neste lmte acarretou um aumento no fator de carga de 41,6% (comparado com o caso base). Isto 326

6 sgnfcou um aumento al de demandas de potêncas atva e reatva de 148,7 MW e 39,7 Mvar para 154,3 MW e 41,1 Mvar (+3,7%). b) IEEE-118 Barras A abordagem também fo aplcada a um sstema de porte médo com 118 barras. Aplcado ao caso base, os resultados obtdos são apresentados na abela 5. A segunda e tercera colunas da tabela referem-se aos valores as máxmos das demandas de potêncas atva e reatva que podem ser suprdos pela rede. O teste fo realzado de modo que as dreções de crescmento das demandas foram ajustadas para manter o fator de potêncas das cargas constantes nas barras. ρ P sup (MW) Q sup (Mvar) 53, , ,7 abela 5: Máxmo carregamento para o sstema IEEE-118 Da abela 5, verfca-se que é possível, a partr do caso base, um acréscmo de 53,93% nas demandas de potêncas da rede elétrca mantendo todos os lmtes operaconas e de equpamentos em segurança. A abela 6 apresenta as maores sensbldades da função custo assocadas aos desbalanços de potêncas nas barras de carga. Barra λ P 9,7 10,3 31,2 20,7 λ 20,6 24,2 75,0 48,4 Q abela 6: Maores Sensbldades Assocadas aos Balanços de Potêncas Com base na abela 6, nota-se que as barras 75, 76 e 118 são as mas crítcas em termos de lmtação do carregamento da rede (maores multplcadores de Lagrange). Em relação às restrções de desgualdade, nenhum tap ou geração de potênca reatva teve os seus lmtes atngdos. Por outro lado, a abela 7 mostra as prncpas restrções atvas para as gerações de potênca atva e para as magntudes das tensões, com os seus correspondentes parâmetros de sensbldade (multplcadores de Lagrange). Barra P G (MW) π 0,14 0,27 V (pu) 1,1 1,1 1,05 0,95 1,1 1,05 1,05 π 16,1 349,9 182,6 817,6 371,3 29,5 43,0 abela 7: Maores Sensbldades para as Restrções de Desgualdade Atvas Da abela 7, nota-se que os lmtes superores de geração de potênca atva nas barras 72 e 73 são atngdos, embora pouca nfluênca tenham no carregamento da rede elétrca (pequenos valores para os multplcadores de Lagrange). Por outro lado, observa-se que as sensbldades da função custo relaconadas com os lmtes de magntude de tensão são bem mas consderáves. O multplcador de Lagrange assocado ao lmte nferor de tensão na barra 76 é o maor. Isto reforça a mportânca da barra 76 para estudos de máxmo carregamento no sstema IEEE-118. Como comprovação, os lmtes nferores e superores das magntudes de tensão foram relaxados novamente em 1%, semelhante ao efetuado para o sstema IEEE-6. A abela 8 mostra os resultados das smulações com uma relaxação por vez. Barra ρ 54,1 57,8 55,8 61,1 54,5 54,1 54,0 abela 8: Valores do Parâmetro de Carga com Relaxação de Lmtes de ensão 327

7 A abela 8 ndca que o maor ncremento no fator de carga ρ ocorre quando o lmte nferor da magntude da tensão na barra 76 é relaxado para 0,9405 pu, como esperado. Note que a relaxação de 1% neste lmte mplca em um acréscmo de demanda de 13,3%, sto é, o sstema elétrco pode ter as suas demandas as de potêncas atva e reatva aumentadas para 6.647,0 MW e 2.319,4 Mvar. VI. Conclusões O artgo apresentou uma revsão sobre o máxmo carregamento de um sstema elétrco, modelado como um problema de otmzação, e também um estudo sobre a nfluênca das restrções operaconas sobre este máxmo carregamento quando se resolve o problema através do método de Pontos Interores. A maor contrbução do estudo é lustrar o fato de que os multplcadores de Lagrange podem ser usados para avalar a nfluênca dos lmtes das restrções sobre o valor da função custo e que estes são obtdos sem nenhum custo computaconal extra, sendo, em verdade, um subproduto do processo de otmzação. Estas relações foram apresentadas e dscutdas através da nterpretação dos multplcadores de Lagrange como parâmetros de sensbldade. Os resultados numércos obtdos a partr da aplcação da abordagem proposta a sstemas elétrcos reforçam a metodologa e confrmam a possbldade de utlzação dos multplcadores de Lagrange como fatores de sensbldade. Referêncas [1] A. S. El-Bakry, R. A. apa,. suchya e Y. Zhang, On the Formulaton and heory of the Newton Interor-Pont Method for Nonlnear Programmng, Journal of Optmzaton heory and Applcatons, vol. 89, no. 3, pp , (1996). [2] L. V. Barboza, Análse do Máxmo Carregamento de Sstemas de Potênca va Métodos de Pontos Interores, Dssertação de Mestrado, Centro ecnológco/ppgeel, UFSC, [3] L. V. Barboza e R. Salgado, An Effcent ap Control Appled to the Maxmum Loadablty of Electrc Power Systems, em IEEE/PES ransmsson & Dstrbuton Conference and Exposton: Latn Amerca, pp. 1-6, São Paulo, Brazl, [4] A. Berzz, C. Bovo, M. Innorta e P. Marannno, Multobjectve Optmzaton echnques Appled to Modern Power System, em PES Wnter Meetng, pp , vol. 3, Columbus, USA, [5] J. D. Buys e R. Gonn, he Use of Augmented Lagrangan Functons for Senstvty Analyss n Nonlnear Programmng, Journal on Mathematcal Programmng, vol. 12, no. 1, pp , (1977). [6] M. Gockenbach, Lagrange Multplers and Senstvty, Notas de aula. Dsponível em (15/04/2009). [7] G. D. Irsarr, X. Wang, J. ong e S. Mokhtar, Maxmum Loadablty of Power Systems Usng Interor Pont Non-Lnear Optmzaton Method, IEEE ransactons on Power Systems, vol. 12, no. 1, pp , (1997). [8] J. W. Park, A Hybrd System Based Nonlnear Least Squares Optmzaton Appled to a Mult-Machne Power System Control, IEICE ransactons on Fundamentals of Electroncs, Communcatons and Computer Scences, vol. E89-A, no. 11, pp , (2006). [9] Y. C. Wu, A. S. Debs e R. E. Marsten, A Drect Nonlnear Predctor Corrector Prmal Dual Interor Pont Algorthm for Optmal Power Flows, IEEE ransactons on Power Systems, vol. 9, no. 2, pp , (1994). 328